Matematyka ubezpieczeń na życie. Piotr Kowalski

Matematyka ubezpieczeń na życie Piotr Kowalski 27 stycznia 212

Spis treści 1 Elementy matematyki finansowej 1 1.1 Oznaczenia.............................. 1 1.2 Związki................................ 1 2 Notacja rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Hipotezy rozkładu życia....................... 3 2.2 Prawa śmiertelności......................... 4 2.2.1 Prawo de Moivre a...................... 4 2.2.2 Prawo Weibull a....................... 4 2.3 Hipotezy interpolacyjne - ułamkowe................ 4 2.3.1 UDD hipoteza jednostajności................ 4 2.3.2 CFoM - hipoteza stałej śmiertelności............ 4 2.3.3 Hipoteza Balducciego - hiperboliczna............ 5 2.4 Notacja kohortowa i komutacyjna.................. 5 2.4.1 Kohorty............................ 5 2.4.2 Notacja komutacyjna..................... 6 3 Ubezpieczenia na życie 7 3.1 Ubezpieczenia płatne w chwili śmierci............... 7 3.1.1 Ubezpieczenie od śmierci n-letnie.............. 8 3.1.2 Ubezpiecznie od śmierci wieczyste............. 8 3.1.3 Ubezpieczenie na dożycie n-letnie............. 9 3.1.4 Ubezpieczenie na życie i dożycie n letnie.......... 9 3.1.5 Ubezpieczenie odroczone................... 1 3.1.6 Ubezpieczenie n-letnie o wypłacie rosnącej........ 1 3.1.7 Ubezpieczenie wieczyste o wypłacie rosnącej........ 1 3.1.8 Ubezpieczenie n-letnie o malejącej wypłacie........ 1 3.2 Ubezpieczenia płatne na koniec roku śmierci............ 1 3.2.1 Ubezpieczenie n-letnie płatne na koniec roku śmierci... 1 3.2.2 Ubezpieczenie wieczyste płatne na koniec roku śmierci.. 11 3.2.3 Ubezpiecznie na życie i dożycie płatna na koniec roku śmierci............................. 11 3.2.4 Ubezpieczenia odroczone.................. 12 3.2.5 Ubezpieczenie n-letnie o wypłacie rosnącej, wypłacanym na koniec roku śmierci................... 12 3.2.6 Ubezpieczenie wieczyste o wypłacie rosnącej, wypłacanym na koniec roku śmierci.................... 12 1

SPIS TREŚCI 2 3.2.7 Ubezpieczenie n-letnie o malejącej wypłacie, wypłacanym na koniec roku śmierci.................... 12 3.2.8 Inne.............................. 12 4 Renty 13 4.1 Renta ciągła.............................. 13 4.2 Renty dyskretne........................... 14 4.2.1 Renty płatne z góry..................... 14 4.2.2 Renty płatne z dołu..................... 14 4.3 Inne.................................. 15 5 Składki dla polis oraz rezerwy 16 5.1 Składka płatna w sposób ciągły................... 16 5.2 Składka płatna w sposób dyskretny................. 17 A Tabele 19

Streszczenie Punktem wyjścia w teorii matematyki ubezpieczeń jest matematyka finansowa wraz z jej wnioskami. Główną tezą matematyki finansowej jest zmiana wartości pieniądza w czasie oraz wszelkie konsekwencje tegoż faktu. W matematyce ubezpieczeniowej teza ta jest modyfikowana i aplikowana do niemal wszystkich modelów matematyki finansowej. Teza ta orzeka, że wartość pieniądza zmienia się w czasie, lecz nie według deterministycznej funkcji, lecz pewnego prawdopodobieństwa. Głównym celem rozważań matematyki ubezpieczeniowej jest orzekanie o tzw. składce netto, która odpowiada uczciwej wycenie pieniądza względem czasu i prawdopodobieństwa w sensie średniej probabilistycznej. W tej pracy pragnę zebrać i omówić podstawy tych rozważań. W rozdziale 1 wprowadzamy podstawowe pojęcia matematyki finansowej, natomiast w rozdziale 2 omawiamy denotację oraz wprowadzamy pojęcia z rachunku prawdopodobieństwa niezbędne do wyceny pieniądza względem czasu i prawdopodobieństwa. Rozdział 3 poświęcony jest prezentacji modeli ubezpieczeniowych.

Rozdział 1 Elementy matematyki finansowej W tym rozdziale zbieżemy najważniejsze oznaczenia matematyki finansowej oraz łączące je związki 1.1 Oznaczenia 1.2 Związki Twierdzenie 1.1. Wartość czynnika dyskonta można wyrazić za pomocą natężenia oprocentowania, przy założeniu stałej kapitalizacji v t = e δt (1.1) Twierdzenie 1.2. Pomiędzy oprocentowaniem efektywnym, a efektywną stopą dyskonta występuje następująca zależność d = i 1 + i (1.2) 1

Rozdział 2 Notacja rachunku prawdopodobieństwa Najważniejsze założenie całej teorii ubezpieczeń polega na uznaniu, że istnieje rozkład prawdopodobieństwa życia dla wszystkich ludzi na świecie (lub w danej populacji). Uznajmy zatem, że zmienna losowa T x posiada właśnie taki rozkład dla obecnego x-latka. Zatem funkcja określona F x (t) = P (T x t) (2.1) jest dystrybuatną tego rozkładu życia. Przez f x oznaczać będziemy odpowiadającą gęstość. Dystrybuanta opisuje jaka część społeczność umrze przed przeżyciem x-lat życia. Przez s x (t) = 1 F x (t) (2.2) Czyli S będzie funkcją przeżywalności. oznaczamy prstwo, że x latek nie przeżyje t lat. oznaczamy prstwo, że x latek przeżyje t lat. tq x = F x (t) (2.3) tp x = 1 F x (t) (2.4) s tq x = F x (s + t) F x (s) = P (s < T x s + t) (2.5) prawdopodobieństwo przeżycia t lat i śmierci poniżej s następnych Dysponujemy oczywiście prstwami warunkowymi Ponadto trzymamy oznaczenie tp [x]+s = P (T x > s + t T x > s) = s+tpx sp x tq [x]+s = P (T x s + t T x > s) = s t q x sp x (2.6) q x := 1 q x ; p x := 1 p x (2.7) 2

ROZDZIAŁ 2. NOTACJA RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 3 Dla tych prawdopodobieństw wprowadza się analogicznie charakterystyki prawdopodobieństwa e x = E [T x ] = Wartość oczekiwaną pozostałego życia tf x (t)dt (2.8) Twierdzenie 2.1. Mamy następujące wyrażenie oczekiwanej długości pozostałego życia (1) e x = tp x dt (2.9) W niektórych przypadkach posługujemy się również dyskretną (całkowitą) długością przyszłego życia (2) e x = ip x (2.1) Często posługujemy się pojęciem śmiertelności i jej intensywności i= µ [x]+t = f x(t) 1 F x (t) (2.11) Twierdzenie 2.2. Najważniejszym wzorem dotyczącym śmiertelności jest tq x = 2.1 Hipotezy rozkładu życia t sp x µ [x]+s ds (2.12) Definicja 2.3. Powiemy, że populacja spełnia warunek jednorodnej populacji kiedy dla dowolnego x latka rozkład warunkowy P (T x > t) = P (T > x + t T > x) (2.13) Definicja 2.4. Natężeniem zgonów nazwiemy µ t = s (t) s(t) (2.14) Zatem (z teorii równań różniczkowych) 1 Dowód w całkowaniu przez części 2 Dowód w całkowaniu przez części s(t) = exp t µ u du (2.15)

ROZDZIAŁ 2. NOTACJA RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 4 Ponadto można uogólnić i otrzymać poniższe ( ) t tp x = exp µ x+s ds ( tq x = 1 exp Twierdzenie 2.5. Przy tej hipotezie zachodzi t ) µ x+s ds (2.16) tp [x]+u = t p x+u 2.2 Prawa śmiertelności 2.2.1 Prawo de Moivre a µ [x]+t = µ x+t (2.17) Definicja 2.6. Powiemy, że spełnione jest prawo de Moivre a jeśli natężenie zgonów wyraża się µ t = 1 ω t, t < ω (2.18) Twierdzenie 2.7. Dla prawa de Moivre a zachodzi fakt, iż każdy przyszły rozkład życia x latka ma rozkład jednostajny. Wtedy 2.2.2 Prawo Weibull a tp x = 1 t ω x 2.3 Hipotezy interpolacyjne - ułamkowe 2.3.1 UDD hipoteza jednostajności (2.19) Definicja 2.8. Powiemy, że spełniona jest hipoteza jednostajności (UDD, uniform distribution of deaths), jeśli s(x + t) = (1 t)s(x) + ts(x + 1), t < 1, x N (2.2) Twierdzenie 2.9. Przy założeniu UDD zachodzi tq x = tq x tp x = 1 tq x t < 1, x N (2.21) µ x+t = qx 1 tq x 2.3.2 CFoM - hipoteza stałej śmiertelności Definicja 2.1. Powiemy, że spełniona jest hipoteza stałego śmiertelności (constant force of mortality) jeśli µ x+n+u = µ x+n, u < 1 (2.22)

ROZDZIAŁ 2. NOTACJA RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 5 Twierdzenie 2.11. Przy hipotezie CFoM zachodzą up x = (p x ) u uq x = 1 (p x ) u t < 1, x N (2.23) µ x+t = logp x 2.3.3 Hipoteza Balducciego - hiperboliczna Definicja 2.12. Powiemy, że zachodzi hipoteza Balducciego jeśli 1 s(x + t) = t s(x + 1) + 1 t, t < 1, x N (2.24) s(x) Twierdzenie 2.13. Rozwiązując powyższe otrzymujemy up x = p x 1 (1 u)q x uq x = uq x 1 (1 u)q x u < 1 (2.25) µ x+u = q x 1 (1 u)q x 2.4 Notacja kohortowa i komutacyjna 2.4.1 Kohorty W matematyce ubezpieczeniowej rozważamy pewne klasy abstrakcji dla ubezpieczonych podzielonych np. wg wieku. Taką grupę nazywa się z reguły kohortą (3). Załóżmy, że posiadamy grupę osób urodzonych w jednym roku, np. 1 takich osób. Przez l x (2.26) Oznaczać będziemy ilość osób w kohorcie, która dożyła wieku x. Przez nd x = l x l x+n (2.27) oznaczać będziemy ilość osób zmarłych pomiędzy x a x+n rokiem życia. Naturalnie d x = 1 d x Twierdzenie 2.14. Zachodzą związki Ponadto Twierdzenie 2.15. Zachodzą następujące przybliżenia 3 Oddział wojska w starożytnym Rzymie l x l xp (2.28) nq x = ndx l x np x = lx+n l x (2.29)

ROZDZIAŁ 2. NOTACJA RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 6 2.4.2 Notacja komutacyjna Definicja 2.16. Funkcja D D x = v x l x (2.3) Definicja 2.17. Funkcja C C x = v x+1 d x (2.31) Definicja 2.18. Funkcja M M x = + k= C x+k (2.32) Definicja 2.19. Funkcja R R x = + k= M x+k (2.33)

Rozdział 3 Ubezpieczenia na życie Ubezpieczenia na życie stanowią istotne uogólnienie w porównaniu do matematyki finansowej. Główne zadanie polega na adapatacji modeli finansowych do sytuacja gdzie istotną rolę odgrywa rachunake prawdopodobieństwa. Główne zadanie polega na wycenie przyszłych płatności pieniężnych w wadze z prawdopodobieństwem. Przykład 1. Pewien człowiek wykupił pewne ubezpieczenie. To ubezpieczenie zakłada, że jeśli zajdzie pewna sytuacja to wypłacone zostanie mu pewne odszkodowanie. Obecną wartość tego odszkodowania pozwolą nam wyjaśnić metody matematyki finansowej. Jednak zauważmy, że obecna wartość tego świadczenia wyniesie dokładnie tyle jedynie z pewnym prawdopodobieństwem. Biorąc wyceny wartości obecnej wszystkich tych świadczeń i łącząc je w pary z prawdopodobieństwami (lub gęstościami prawdopodobieństwa) tworzymy zmienną losową (ciągłą lub dyskretną) która łączy pary wartość obecna - prstwo. Czyli wartość obecna ubezpieczenia jest zmienną losową Definicja 3.1. Wartość oczekiwaną zmiennej losowej reprezentującej wartość obecną wypłat nazywam składką jednorazową netto świadczenia. Rozważmy teraz różne rodzaje ubezpieczeń, czyli de facto różne modele matematyki finansowej i ich konsekwenscje w matematyce ubezpieczeń na życie. 3.1 Ubezpieczenia płatne w chwili śmierci Najprostszymi modelami do zrealizowania są te, gdzie wypłata następuje niemal natychmiast po śmierci. Z punkty widzenia teorii oznacza to, że zmienna losowa reprezentująca przyszły czas życia nie podlega dodatkowej obróbce przed obliczeniami. Model ten jest również dobrze oddający faktyczne działanie ubezpieczeń. Rodzina zmarłego z reguły nie czeka za długo ze zgłoszeniem tego faktu i środki przelewane są również natychmiast po wypełnieniu wszelkich formalności. Można by zatem uznać, że czas wypłaty świadczenia wynosi T + k, gdzie T jest zmienną losową przyszłego czasu życia + k stałą liczbowa potrzebna do wypłaty. Pojawienie się wartości stałej w zmiennej losowej nie wprowadza nam przecież żadnych problemów modelowych. 7

ROZDZIAŁ 3. UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE 8 3.1.1 Ubezpieczenie od śmierci n-letnie Rozważamy ubezpieczenie gdzie ubezpieczony nabywa świadczenie w wysokości 1 jednostki pieniężnej wypłacanej mu w chwili jego śmierci, jeśli ta zajdzie w ciągu n-lat ubezpieczenia. Zastanówmy się nad postacią zmiennej losowej opisującej wartość obecną tego świadczenia. Jeśli śmierć nastąpi w okresie n-lat ubezpieczenia to ubezpieczony otrzyma 1 jednostkę pieniężna. W przeciwnym wypadku nie otrzyma nic. Wartość obecna dla wypłaty 1 jednostki wynosi obecnie Z(t) = 1 v t, t (, n), gdzie t jest momentem wypłaty. Z kolei wartość obecna braku wypłaty wynosi oczywiście. Pozwala to nam uznać, że nasza zmienna losowa ma postać { v t, t (, n) Z(t) = (3.1), t n Rozkład zmiennej losowej T x, opisującej przyszły czas życia, jest rozkładem ciągłym o gęstości f Tx (t) = t p x µ t+x 1l (,+ ) (t) (3.2) Zatem składka jednorazowa netto może zostać wyrażona jako A 1 x:n := E[Z(T x )] = n Z(t) t p x µ t+x dt = n v t tp x µ t+x dt (3.3) Obserwacja 3.2. Zauważmy, że jeżeli chcemy policzyć E[Z k (T X )] to n n E[Z k (T x )] = Z k (t) t p x µ t+x dt = (v t ) k tp x µ t+x dt = = n (v k ) t tp x µ t+x dt (3.4) Czyli odpowiada to wartości A 1 x:n ale policzonej przy innym wskaźniku finansowym (v k zamiast v). Zauważmy, że v = e δ, (v k ) = e δk (3.5) Oznacza to, że wartość ta odpowiada cenie ubezpieczenia liczonego przy k-krotnie większym natężeniu. Do oznaczenie tego k krotnie większego natężenia używa się symbolu k A 1 x:n. Czyli stąd mamy E[Z k (T x )] = k A 1 x:n (3.6) Twierdzenie 3.3. ( V ar[z(t x )] = 2 A 1 x:n Ax:n) 1 2 (3.7) 3.1.2 Ubezpiecznie od śmierci wieczyste Nasze rozważania odnośnie ubezpieczenie na okres n lat można rozszerzyć i rozważyć ubezpieczenie trwające na resztę życia osobnika. Wtedy naturalnie mamy zmienną losową postaci: { v t, t > Z(t) = (3.8), t

ROZDZIAŁ 3. UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE 9 przy rozkładzie zmiennej losowej T x f Tx (t) = t p x µ t+x 1l (,+ ) (t) (3.9) Zatem A x := E[Z(T x )] = + Z(t) t p x µ t+x dt = + v t tp x µ t+x dt (3.1) 3.1.3 Ubezpieczenie na dożycie n-letnie Troszeczkę różne w swej konstrukcji jest ubezpieczenie na dożycie. Opiera się ono o inny rodzaj umowy ubezpieczeniowej postaci, jeśli ubezpieczony przeżyje okres n-lat to firma ubezpieczeniowa przekaże mu kwotę równą 1 jednostce pieniężnej w chwili wygaśnięcia umowy, oraz nic w wypadku śmierci w tym okresie. Z punktu widzenia modelu, jest to najprostsze do obliczenia ubezpieczenie Rozważamy tu funkcję wartości obecnej wypłaty postaci Z(t) = { v n, t > n, t < (3.11) gdyż świadczenie jest wypłacone w chwili wygaśnięcia umowy tj. w dokładnie n-lat po jego podpisaniu. Liczone oczywiscie przy rozkładzie zmiennej losowej T x f Tx (t) = tp x µ t+x 1l (,+ ) (t) (3.12) Zatem otrzymujemy A 1 x:n := E[Z(T x )] = + Z(T x ) t p x µ t+x dt = + n v n tp x µ t+x = v n np x (3.13) Uwaga 3.4. Ubezpieczenie na dożycie jest często stosowane aby wyrazić zmianę wartości aktuarialnej świadczenia w czasie. Stosuje się do tego alternatywny symbol o identycznej wycenie ne x = A 1 x:n = v n np x (3.14) Czyli cenę w chwili x, świadczenia wartego 1 w chwili x+n 3.1.4 Ubezpieczenie na życie i dożycie n letnie Kombinacją powyższych ubezpieczeń jest umowa gdzie ubezpieczony otrzymuje świadczenie 1 jednostki pieniężnej w przypadku śmierci w okresie n lat ubezpieczenia lub 1 jednostki pieniężnej w chwili wygaśnięcia okresu ubezpieczenia. Jako, że sytuacje tych wypłat się jawnie wykluczają zastosowanie ma wzór A x:n = A 1 x:n + A 1 x:n (3.15)

ROZDZIAŁ 3. UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE 1 3.1.5 Ubezpieczenie odroczone Nietrudno również wyobrazić sobie uogólnienie tych ubezpieczeń na wypadek odroczenia ich, tzn. przypadku gdy okres ochrony ubezpieczeniem rozpocznie się dopiero od pewnego momentu w przyszłości. Do określenia wartości tego ubezpieczenia można łatwo, odwołując się do intuicji, powiedzieć że jest to wartość obecna odpowiedniego ubezpieczenia nieodroczonego zawartego w przyszłości. Wartość tę należy jednak zdyskontować zarówno względem wartości finansowej jak i prawdopodobieństwa. Przykład 2. Osoba w wieku x lat przychodzi i wykupuje dowolne ubezpieczenie odroczone o m lat. Gdyby przyszła za m - lat i wykupiła to ubezpieczenie zapłaciła by za nie kwotę A. Obecna wartość tego ubezpieczenia jest mniejsza z dwóch przyczyn. 1. Gdyby ta osoba chciała kupić to ubezpieczenie za m - lat musiałaby odłożyć do banku kwotę mniejszą o oprocentowanie z wkładu 2. Osoba ta nie wie czy dożyje momentu rozpoczęcia ubezpieczenia Oznacza to, że wartość obecne tego ubezpieczenia jest obniżana i wynosi B B = v m mp x A (3.16) Określmy zatem odpowiednie składki jednorazowe netto Twierdzenie 3.5. Zachodzą następujące własności m A 1 x:n = v m mp x A 1 x+m:n m A x = m A 1 x:n = m A x:n = v m mp x A x+m v m mp x A 1 x+m:n v m mp x A x+m:n (3.17) 3.1.6 Ubezpieczenie n-letnie o wypłacie rosnącej 3.1.7 Ubezpieczenie wieczyste o wypłacie rosnącej 3.1.8 Ubezpieczenie n-letnie o malejącej wypłacie 3.2 Ubezpieczenia płatne na koniec roku śmierci Często spotykane są również ubezpieczenia wypłacane na koniec jakiegoś okresu. Według ogólnego modelu rozważa się płatne na koniec roku, jednakże w sposób naturalny można przeprowadzić uogólnienia na również inne przypadki. 3.2.1 Ubezpieczenie n-letnie płatne na koniec roku śmierci Przykładowym ubezpieczeniem płatnym na koniec roku śmierci jest przeniesienie ubezpieczenia n-letniego płatnego w chwili śmierci na przypadek płatności

ROZDZIAŁ 3. UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE 11 na koniec roku. Do najważniejszych różnic jakie wprowadza wypłata końcoworoczna należy wartość obecna kwoty wypłaty. Skoro wypłata następuje jedynie w dokładnie określonych momentach czasu: { v [t]+1 t (, n) Z(t) = (3.18) p.p. Liczone oczywiscie przy rozkładzie zmiennej losowej T x f Tx (t) = t p x µ t+x 1l (,+ ) (t) (3.19) wtedy składka jednorazowa netto jest określona następująco : A 1 x:n := E[Z(T x)] = + Z(t) t p x µ t+x dt = = n 1 i= i+1 i v i+1 tp x µ t+x dt = n 1 i= v i+1 i+1 i tp x µ t+x dt = (3.2) = n 1 i= v i+1 ip x q x+i 3.2.2 Ubezpieczenie wieczyste płatne na koniec roku śmierci Również kolejne ubezpieczenia jesteśmy w stanie przenieść z płatnością na koniec roku { v [t]+1 t > Z(t) = (3.21) p.p. Liczone oczywiscie przy rozkładzie zmiennej losowej T x f Tx (t) = t p x µ t+x 1l (,+ ) (t) (3.22) wtedy składka jednorazowa netto jest określona następująco : A x := E[Z(T x )] = + Z(t) t p x µ t+x dt = = i= i+1 i v i+1 tp x µ t+x dt = v i= i+1 i+1 i tp x µ t+x dt = (3.23) = v i+1 ip x q x+i i= 3.2.3 Ubezpiecznie na życie i dożycie płatna na koniec roku śmierci Pomimo, iż (jak nie trudno spostrzec) ubezpieczenie na dożycie jest takim samym ubezpieczeniem niezależnie czy rozważamy rok śmierci ubezpieczonego czy dokładny moment śmierci. Jednakże w przypadku ubezpieczenie na życie i dożycie, ubezpieczenia te będą się różniły w tych dwóch wersjach. Mimo wszystko dalej utrzymana jest odpowiadająca równość A x:n = A 1 x:n + A 1 x:n (3.24)

ROZDZIAŁ 3. UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE 12 3.2.4 Ubezpieczenia odroczone W sposób zupełnie analogiczny jak poprzednio możemy zdefiniować ubezpieczenia odroczone Twierdzenie 3.6. Zachodzą następujące własności m A 1 x:n = m A x = vm mp x A 1 x+m:n v m mp x A x+m (3.25) m A x:n = v m mp x A x+m:n 3.2.5 Ubezpieczenie n-letnie o wypłacie rosnącej, wypłacanym na koniec roku śmierci 3.2.6 Ubezpieczenie wieczyste o wypłacie rosnącej, wypłacanym na koniec roku śmierci 3.2.7 Ubezpieczenie n-letnie o malejącej wypłacie, wypłacanym na koniec roku śmierci 3.2.8 Inne Twierdzenie 3.7. Istnieje ważny związek łączący ubezpieczenia płatne w chwili śmierci i na koniec roku. Zakładając UDD: A = i δ A x A 1 x:n = i δ A1 x:n (3.26) Twierdzenie 3.8. Zachodzą następujące wzory A x = Mx D x A 1 x:n = Mx Mx+n D x A 1 x:n = Dx+n D x (3.27) A x:n = Mx Mx+n+Dx+n D x

Rozdział 4 Renty Troszeczkę inaczej sprawa ma się z rentami ubezpieczeniowymi. Przypomnijmy, że rentą nazywamy ciąg przyszłych jednakowych płatności. Pod pojęciem renty ubezpieczeniowej kryje się zatem umowa wedle, której ubezpieczony o ile żyje otrzymuje wypłatę. 4.1 Renta ciągła Renta ciągła jest najprostszą, a jednocześnie najtrudniejszą do interpretacji formą renty ubezpieczeniowej. Świadczenie jest wypłacane w sposób ciągły i stanowi to przypadek graniczny dla zwiększania ilości okresów kapitalizacji. Świadczenie jest więc wypłacane o ile tylko świadczeniobiorca żyje, co oddaje poniższy wzór: Twierdzenie 4.1. Wartość obecna renty ciągłej wieczystej wynosi (1) a x = + v t tp x dt (4.1) Analogicznie Ponadto n a x:n = v t tp x dt (4.2) Twierdzenie 4.2. Dla renty ciągłej zachodzi równość 1 = δa x + A x (4.3) Ponadto można też rozważać tę rentę w wersji odroczonej k a x = v k kp x a x+k (4.4) 1 dowodzi się dzięki całkowaniu przez części 13

ROZDZIAŁ 4. RENTY 14 4.2 Renty dyskretne Duże szersze zastosowanie mają renty dyskretne. W ubezpieczeniu rentowym dyskretnym ubezpieczony otrzymuje w jaśnie określonych punktach w liczbie conajwyżej przeliczalnej 4.2.1 Renty płatne z góry Pierwszym typem rent są renty płatne z góry. Znacznie rzadziej stosowane w praktyce stanowią narzędzie pomocnicze Definicja 4.3. Przez ubezpieczeniową rentę wieczystą płatną z góry nazwiemy rentę wypłacającą jednostkę pieniężną na początek każdego roku ubezpieczenia ä x = v i ip x (4.5) i= Analogicznie definiuje się n-letnią rentę n 1 ä x:n = v i ip x (4.6) i= oraz renty odroczone k ä x = v k kp x ä x+k ä x:k k ä x:n = v k (4.7) kp x ä x+k:n Również tu zachodzi twierdzenie Twierdzenie 4.4. Dla renty płatnej z góry zachodzi równość 4.2.2 Renty płatne z dołu 1 = d ä x + A x (4.8) Drugim typem rent są renty płatne z dołu. Znacznie częściej stosowane w praktyce stanowią istotne narzędzie w zadaniach aktuariusza Definicja 4.5. Przez ubezpieczeniową rentę wieczystą płatną z dołu nazwiemy rentę wypłacającą jednostkę pieniężną na koniec każdego przeżytego roku a x = v i ip x (4.9) i=1 Analogicznie definiuje się n-letnią rentę n a x:n = v i ip x (4.1) i=1 oraz renty odroczone k a x = v k kp x a x+k a x:k k a x:n = v k (4.11) kp x a x+k:n Również tu zachodzi twierdzenie Twierdzenie 4.6. Dla renty płatnej z góry zachodzi równość 1 = ia x + (1 + i)a x (4.12)

ROZDZIAŁ 4. RENTY 15 4.3 Inne Twierdzenie 4.7. Zachodzą następujące wzory a x = Nx+1 D x ä x = Nx D x ä x:n = Nx Nx+n D x n ä x = Nx+n D x (4.13) n a x = Nx+n+1 D x M x = D x dn x

Rozdział 5 Składki dla polis oraz rezerwy Umowy ubezpieczeniowe podejmowane są w sposób, który do partycypacji w ryzyku śmierci przyjmuje obie strony. Najczęściej firmy ubezpieczeniowe decydują się na umowy w których otrzymują okresowe składki, a w zamian wypłacają świedczenia w wypadku śmierci. Najczęściej jest to więc wymiana gdzie jedna ze stron wystawia ubezpieczenie na życie, a druga płaci rentę ubezpieczeniową. Najważniejszym zadaniem postawionym przed tym problemem jest wycena składki, która powinna być płacona by kompensować dane ubezpieczenie. Czyli problem posiada postać A = K a (5.1) gdzie A jest pewnym ubezpieczeniem, a rentą ubezpieczeniową, natomiast K jest poszukiwaną składką. Możliwa do zdefiniowania jest funkcja, która danemu ubezpieczeniu przypisuje należną za niego składkę. Drugim istotnym problemem dotyczącym opłacania składek jest tzw. problem rezerw. Problem rezerw dotyka problemu faktycznego dochodu ubezpieczalni. W przypadku upłacania składek może się bowiem okazać, że składka za dany okres faktycznie nie pokrywa się dokładnie z oczekiwaną wypłatą w danym roku. Oznacza to, że po pewnym okresie, jedynie część z wpłaconych do ubezpieczalni pieniędzy może być traktowana jako zarobiona przez nią. Resztę należy odłożyć aby pokryć przyszłe zobowiązania wobec danej umowy ubepieczeniowej. 5.1 Składka płatna w sposób ciągły Definicja 5.1. Przez składkę w ubepieczeniu, płatną wieczyście w sposób ciągły dla ubezpieczenia A rozumieć będziemy wartość P ( A x ) = A x a x (5.2) Definicja 5.2. Przez rezerwę po czasie t rozumieć będziemy, wysokość zdeponowanej kwoty na poczet przyszłym wypłat. Rezerwa po czasie t będzie opisana symbolem i wzorem tv ( A x ) = ( Ax+t P ( A x ) ax+t ) (5.3) 16

ROZDZIAŁ 5. SKŁADKI DLA POLIS ORAZ REZERWY 17 Zauważmy, że wartość rezerwy jest na osi liczona zawsze w chwili x+t. Jeśli rozważamy ubepieczenia terminowe składki przyjmują postać Twierdzenie 5.3. Dla ubezpieczenia na n-lat ( ) P A 1 x:n = A1 x:n a x:n ( ) ( ) (5.4) tv A 1 x:n = A 1 x+t:n t P A 1 x:n a x+t:n t Analogicznie wyprowadza się również i inne wzory. 5.2 Składka płatna w sposób dyskretny W zasadzie wszystkie przypadki (a jest ich mnoga ilość) mogą być łatwo wyprowadzone z idei przedstawionej w poprzedniej sekcji. W przypadku jednak składek płatnych w sposób dyskretny dodatkową, istotną uwagą, jest że rezerwy w takim wypadku mają sens bycia liczonymi jedynie w chwilach wpłaty dyskretnej składki. Twierdzenie 5.4. Zachodzą następujące wzory P x = Ax ä x kv x = A x+k P x ä x+k P1 = A1 x:n x:n ä x:n kv1 = A 1 x+k:n k P1 x:n x:n ä x+k:n k (5.5) P 1 x:n = A 1 x:n ä x:n kv 1 x:n = Ax+k:n k P 1 1 x:n ä x+k:n k

Bibliografia [1] Bowers Newton L., Gerber Hans U., and Hickman James C.. Actuarial Mathematics. Society of Actuaries, 1997. [2] Błaszczyszyn Bartłomiej and Rolski Tomasz. Podstawy matematyki ubezpieczeń na życie. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa, 24. 18

Dodatek A Tabele wartość UDD CFoM Balducci tq x tq x 1 p t x tq x 1 (1 t)q x µ x+t q x 1 tq x log p x q x 1 (1 t)q x tp x 1 tq x p t x p x 1 (1 t)q x tp x µ x+t q x p t x log p x q x p x [1 (1 t)q x] 2 Tabela A.1: Założenia o śmiertelnościach między całkowitymi latami 19

DODATEK A. TABELE 2 Model µ x x p t x q t Ograniczenia Stała śmiertelność µ e µt 1 e µt µ > 1 Moivre ω x 1 t t ω x ω x x < ω. Gompetz B c x B >, c > 1, x. Makeham A + Bc x B >, A B, c > 1, x Weibull kx n k >, n >, x Tabela A.2: Modele przeżywalności Rodzaj okres ubezpieczenia symbol Wzór + Wieczyste A x v t tp x µ t+x dt Płatne n-letnie A 1 n x:n v t tp x µ t+x dt w chwili dożycie A 1 x:n v n np x śmierci życie i dożycie A x:n A 1 x:n + A 1 x:n m A 1 x:n v m mp x A 1 x+m:n odroczone m A x m A 1 x:n v m mp x A x+m v m mp x A 1 x+m:n m A x:n v m mp x A x+m:n Wieczyste A x v i+1 ip x q x+i Płatne n-letnie A 1 x:n i= n 1 v i+1 ip x q x+i na koniec życie i dożycie A x:n A 1 x:n + A 1 x:n i= m A 1 x:n v m mp x A 1 x+m:n roku śmierci odroczone m A x v m mp x A x+m m A x:n v m mp x A x+m:n Tabela A.3: Ubezpieczenia na życie