Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia Przedmowa Opracowanie to jest napisane z myślą o gimnazjalistach którzy całkowicie nie rozumieją wzorów skróconego mnożenia i chcą je perfekcyjnie umieć oraz rozumieć. Swoje uwagi możesz napisać na: matematyka.gim.sp@gmail.com Spis tematów 1. Wstęp.... 2 2. Kwadrat sumy dwóch wyrażeń: + = + 2 +.... 3 Ustalanie co trzeba wpisać zamiast i... 3 Obliczanie wartości oraz... 5 Obliczanie wartości wyrażenia 2... 7 Pełne obliczenia wg wzoru... 8 Wyprowadzenie wzoru... 12 Zwijanie wyrażenia do wzoru skróconego mnożenia... 13 3. Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń: = 2 +.... Ustalanie co trzeba wpisać zamiast i... Obliczanie wartości oraz... Obliczanie wartości wyrażenia 2... Pełne obliczenia wg wzoru... Wyprowadzenie wzoru... Zwijanie wyrażenia do wzoru skróconego mnożenia... 4. Iloczyn różnicy dwóch wyrażeń przez ich sumę: + =.... Ustalanie co trzeba wpisać zamiast i... Pełne obliczenia wg wzoru... Wyprowadzenie wzoru... Zwijanie wyrażenia do wzoru skróconego mnożenia... 5. Inne wzory skróconego mnożenia.... Wersja z dnia: 25.03.2012 http://matematyka.strefa.pl Wzory skróconego mnożenia strona 1

Temat: Wstęp. Nim podam Ci jak wyglądają wzory skróconego mnożenia oraz po co one są, najpierw zadam Ci pytanie z pozoru nie związane z tym tematem. Brzmi ono tak: Po co w klasach I III szkoły podstawowej trzeba było się uczyć na pamięć całej tabliczki mnożenia? i od razu na niego odpowiem: Bo nauczenie się wyników działań na pamięć, przyspiesza otrzymywanie wyników końcowych z dokonywanych obliczeń. Zamiast coś liczyć przez 1 minutę, można ten sam wynik otrzymać np. po 1 sekundzie. Chodzi więc o znaczne przyspieszenie obliczeń. Ze wzorami skróconego mnożenia jest dokładnie tak samo. Trzeba się ich nauczyć na pamięć, by móc odczuwalnie szybciej wykonywać obliczenia. Wzorów skróconego mnożenia jest dość dużo, ale najczęściej używa się tylko 3-ch z nich: Wzór skróconego mnożenia Nazwa wzoru a) + = + 2 + Kwadrat sumy dwóch wyrażeń b) = 2 + Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń c) + = Iloczyn różnicy dwóch wyrażeń przez ich sumę lub Iloczyn sumy dwóch wyrażeń przez ich różnicę Pozostałe wzory skróconego mnożenia: + = + 3 + 3 + = 3 + 3 + = + 4 + 6 + 4 + = 4 + 6 4 + + + = + + + + = + + = + + + + = + + = + + + 2 + 2 + 2 + + + = + + + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + 2 + + + + = + + + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + 2 + 2 Zwróć uwagę, że na podstawie powyższych wzorów na oraz można już samodzielnie ustalić wzory skróconego mnożenia dla i pozostałych tego typu wyrażeń o potęgach nieparzystych. Wystarczy tylko zwrócić uwagę na to, że w drugim nawiasie potęgi przy maleją o 1, a przy rosną o 1. Szczegóły jak to robić zostaną podane w jednym z tematów tego opracowania. Przy wzorach postaci minus pojawia się tylko tam, gdzie jest podniesione do potęgi nieparzystej. Ustalanie wzorów typu + oraz robi się z wykorzystaniem tzw. trójkąta Pascala. Zostanie to pokazane w jednym z dalszych tematów tego opracowania. Wersja z dnia: 25.03.2012 http://matematyka.strefa.pl Wzory skróconego mnożenia strona 2

Temat: Kwadrat sumy dwóch wyrażeń. ó żń ( + ) = + 2 + ż, ż ż Zamiast słowa wyraz można używać słowa wyrażenie. Domyślnie chodzi o wyrażenie algebraiczne. Zamiast słowa suma algebraiczna także można używać sformułowania wyrażenie algebraiczne. Jeśli na podstawie wyrażenia podanego w nawiasie, umiesz rozpoznawać ile wynosi i oraz umiesz je poprawnie podnosić do potęgi 2 w każdym przypadku (nawet gdy są pierwiastki), to możesz od razu przejść na stronę 8. Jeśli chcesz wiedzieć jak otrzymano ten wzór, przejdź stronę 12. Ustalanie co trzeba wpisać zamiast i W powyższym wzorze, literka oznacza wszystko co jest w nawiasie między nawiasem otwierającym, a symbolem dodawania (znakiem plus), zaś literka oznacza wszystko co jest między symbolem dodawania (znakiem plus) a nawiasem zamykającym. Zobacz przykłady: wyrażenie wyrażenie (5 + (3 (5 ) + 5 ) + 3 ) 5 ( 9 3 5 ( 8 + 4 6 + 3 5 3 1 2 + 4,7 1 2 ) ) 9 8 4 6 3 4,7 Na razie nie ma w tym nic trudnego, czego można byłoby się obawiać. Czy zawsze w nawiasie musi być plus? By móc zastosować ten wzór o którym mowa, to tak. A jeśli w nawiasie między wyrazami nie będzie plusa? To wtedy tego wzoru stosować nie można. Czy za nawiasem zawsze musi być potęga 2-ga? By móc stosować ten wzór, to tak. Gdyby za nawiasem była inna potęga niż 2, to suma algebraiczna która jest na prawo od znaku równości wyglądałaby zupełnie inaczej. Pokażę ją w dalszej części tego opracowania. Czy w nawiasie muszą być zawsze dokładnie 2 wyrazy? Nie. Nie jest to przymusowe, ale jeśli są tylko 2 wyrazy, to ten wzór daje prawie natychmiastowo wynik końcowy. W przeciwnym razie wydłuża obliczenia, a nie je skraca. Zobacz przykłady z 3-ma wyrazami w nawiasie: wyrażenie wyrażenie (5 + + 4 ) 5 + 4 (8 + 7 1 ) 8 7 1 (5 + + 4 ) 5 + 4 (3 2 + 8 ) 3 2 8 Zauważ, że jeśli w nawiasie są dokładnie 3 wyrazy, rozdzielone tylko plusami (lewa tabelka), to i możemy przyjmować dowolnie. Jeśli w nawiasie są dokładnie 3 wyrazy, rozdzielone jednym plusem i jednym minusem (tabelka prawa), to by móc zastosować ten wzór skróconego mnożenia trzeba i tak ustalić, by pomiędzy nimi był plus. Gdyby między i stał minus, to z tego wzoru skróconego mnożenia nie wolno byłoby korzystać. Wersja z dnia: 25.03.2012 http://matematyka.strefa.pl Wzory skróconego mnożenia strona 3

Jeśli ustalone lub zawiera znak dodawania lub odejmowania, to całe to lub warto wziąć w nawias, tak jak w powyższych tabelkach. Branie w nawias nie jest konieczne, ale przy obliczeniach pozwoli uniknąć błędów. Jeśli w nawiasie będzie więcej wyrazów niż 3, to postępowanie z ustaleniem i jest dokładnie takie samo. Przypominam jednak, że gdy w nawiasie są przynajmniej 3 wyrazy, to istnieją inne wzory skróconego mnożenia które dadzą szybciej ten sam wynik, co omawiany teraz wzór. Podany wzór skróconego mnożenia mający 2 wyrazy w nawiasie, najlepiej stosować tylko wtedy, gdy w nawiasie są dokładnie 2 wyrazy. W przeciwnym razie, wydłuży on obliczenia, a nie je skróci. Czy wzór: + = + 2 + można stosować np. do takiego wyrażenia: 3 4? Można, ale najpierw trzeba to wyrażenie w nawiasie przekształcić do postaci: 3 + 4. Wówczas będzie równe 3, zaś = 4. Nie ma jednak potrzeby tak robić, bo do tego typu wyrażeń jest inny wzór skr. mnożenia. Ustal ile wynosi i w podanych wyrażeniach. a) (3 + 7) b) (5 + 0,8) c) ( 4 + 7 ) d) 3 + 2 e) ( + 2 + 3) [a) = 3, = 7; b) = 5, = 0,8; c) = 4, = 7 ; d) = 3, = 2 ; e) =, = 2 + 3 lub = + 2, = 3.] Uwaga. W niektórych podręcznikach, zamiast omawianych powyżej literek i, stosuje się literki i. Wówczas ten wzór skróconego mnożenia przybiera postać równoważną: + = + 2 + do podanej wyżej postaci z literkami i. Nie ma też żadnego problemu z tym, by go przerobić na jeszcze inne literki np. i : + = + 2 + We wzorze tym, ważne jest tylko to, by to co jest po prawej stronie znaku równości miało analogiczną postać do tej z literkami i. Nim przejdę do obliczeń wg tego wzoru, wiedz jeszcze, że potęga 2 która jest za nawiasem, oznacza mnożenie tego nawiasu przed drugi taki sam nawias. Przykładowo, jeśli będzie trzeba szybko otrzymać wynik takiego działania: 5 + 45 + 4 to zamiast tych 2-ch identycznych nawiasów piszesz krócej: 5 + 4 i jako przyjmujesz 5 i jako wyraz 4. Podany iloczyn dwóch wyrażeń, zapisz krócej oraz ustal ile wynosi i. a) (4 + 3)(4 + 3) b) (3 7 + 4)(3 7 + 4) [a) Krótsza postać: 4 + 3 ; = 4; = 3; b) Krótsza postać: 3 7 + 4 ; = 3 7; = 4.] Z klasy pierwszej szkoły podstawowej, zapewne pamiętasz, że wynik działania 3 + 2 jest dokładnie taki sam jak wynik działania 2 + 3, a wynik działania 4 + 1 jest taki sam jak działania 1 + 4 i że nazywało się to przemiennością dodawania. W przypadkach takich jak ten: 6 + 1111 + 6 zawartość nawiasów nie jest identyczna, więc zastosowanie omawianego wzoru skróconego mnożenia nie jest możliwe, chyba, że w oparciu o przemienność dodawania, zmienisz kolejność wyrazów w jednym z nawiasów zawierających plus. Wówczas otrzymasz: 6 + 116 + 11 czyli 6 + 11 lub Wersja z dnia: 25.03.2012 http://matematyka.strefa.pl Wzory skróconego mnożenia strona 4

11 + 611 + 6 czyli 11 + 6 i bez problemu ustalisz i. Tym, że w górnej postaci = 6, = 11 a w dolnej odwrotnie: = 11, = 6 się nie przejmuj, bo wynik końcowy po zastosowaniu tego wzoru wyjdzie idealnie taki sam. Zapisz krócej wyrażenie: (5 + 4)(4 + 5) oraz ustal ile wynosi w nim i. [Podp. Wykorzystaj przemienność dodawania w jednym z nawiasów. Krótsza postać: 5 + 4 lub 4 + 5 ; = 5, = 4 lub = 4; = 5.] Obliczanie wartości oraz Teraz wyobraź sobie, że = 5 a Twoim zadaniem jest obliczyć ile wynosi. W tym celu musisz w myślach 5 wziąć w nawias i do potęgi 2 podnieść zarówno liczbę 5 oraz niewiadomą. Obliczenia powinny wyglądać tak: = 5 = 5 = 25 Dlaczego powyżej za drugim znakiem równości oddzielnie do potęgi 2 jest podnoszona liczba 5 i oddzielnie niewiadoma? Bo zapis 5 jest równoważny zapisowi: 5 5. Ten zaś jest równoważny zapisowi: 5 5. Wykorzystując przemienność mnożenia, można go zapisać w postaci: 5 5 = 5. Wiedząc ile wynosi, oblicz. a) = 4 b) = 10 c) = 5 d) = 20 e) = 3 [Odp. a) = 16 ; b) = 100 ; c) = 25 ; d) = 400 ; e) = 9 lub w kolejności alfabetycznej: = 9.] Wyliczanie robi się dokładnie tak samo jak. Wiedząc ile wynosi, oblicz. a) = 10 b) = 8 c) = 2 d) = 16 e) = 11 [Odp. a) = 100 ; b) = 64 ; c) = 4 ; d) = 256 ; e) = 121 lub w kolejności alfabetycznej: = 121.] Podobnie jest jeśli np. =. Aby obliczyć wystarczy w myślach wykonać działanie: i każdą z tych potęg rozpisać w myślach jako mnożenie 3-ch iksów przez siebie. Otrzymasz wówczas: = A da się powyższy wynik otrzymać szybciej, bez takiego rozpisywania? Tak. Wystarczy, że mając postać: = i znając wynik końcowy tj. dopatrzysz się mnożenia potęg (tej co jest w nawiasie przez tą co jest za nawiasem). Wiedząc ile wynosi, oblicz. a) = b) = c) = d) = e) = [Odp. a) = ; b) = ; c) = ; d) = ; e) =.] Wiedząc ile wynosi, oblicz. a) = b) = c) = d) = e) = [Odp. a) = ; b) = ; c) = ; d) = ; e) =.] Z podnoszeniem ułamków zwykłych do potęgi 2 jest podobnie. Zamiast rozpisywać w myślach, że: = = można od razu do potęgi tej co jest za nawiasem podnieść licznik, a potem mianownik, otrzymując w myślach taki Wersja z dnia: 25.03.2012 http://matematyka.strefa.pl Wzory skróconego mnożenia strona 5

zapis: czyli. Warto jednak pamiętać, że jeśli ułamek jest skracalny, to przed wykonaniem potęgowania warto go skrócić maksymalnie. Przykład: 12 64 = 6 32 = 3 16 = 3 16 = 9 256 To co jest napisane szarą czcionką, powinno być zrobione w myślach. Najpierw liczby nad i pod kreską ułamkową tj. 12 i 64 podzieliłem przez 2 (skrócenie ułamka), a potem otrzymane liczby tj. 6 i 32 ponownie podzieliłem przez 2. Można też było od razu dokonać dzielenia przez 4. Wiedząc ile wynosi, oblicz. Jeśli ułamek jest skracalny, to go najpierw skróć maksymalnie. a) = b) = c) = d) = e) = [Odp. a) Licznik i mianownik dzielisz przez 4; = ; b) = ; c) = ; d) = ; e) Licznik i mian. skracasz przez 5; =.] Wiedząc ile wynosi, oblicz. Jeśli ułamek jest skracalny, to go najpierw skróć maksymalnie. a) = b) = c) = [Odp. a) = ; b) = ; c) = ; d) = ; e) =.] d) = e) = Aby do potęgi 2 podnieść ułamki dziesiętne lub liczby mieszane, warto je najpierw zamienić na ułamki zwykłe i postępować jak wyżej. Przykład: 0,8 = = = =. To co napisałem szarą czcionką, powinno być zrobione w myślach. Wiedząc ile wynosi, oblicz. Wiedząc ile wynosi, oblicz. a) = 0,3 b) = 0,12 c) = 1,2 d) = 2,4 e) = 0,08 [Odp. a) = ; b) = ; c) = ; d) = ; e) =.] Jeśli do potęgi 2 będzie trzeba podnieść liczbę ujemną, to minus zniknie. Przykład: 3 = 3 = 9. Znikanie minusa jest prawdziwe tylko wtedy, gdy potęga za nawiasem jest parzysta. Wiedząc ile wynosi, oblicz. Wiedząc ile wynosi, oblicz. a) = 0,3 b) = c) = d) = 0,04 e) = 8 [Odp. a) = ; b) = ; c) = ; d) = ; e) = 64.] Zostało już tylko potęgowanie pierwiastków (logarytmy pominę). Nie będzie to trudne, ale oddzielnie pokażę potęgowanie pierwiastków stopnia 2-giego, a oddzielnie stopnia większego niż 2. Przypuśćmy, że = 3, wówczas: = 3 = 3 3 = 3 3 łą ó = 9 = 3 Zwróć uwagę, że wynikiem końcowym wyszło to, co na samym początku znajdowało się pod czerwonym symbolem pierwiastka. Sprawdźmy, to na innym przykładzie. Przypuśćmy, że tym razem = + 5 oraz, że + 5 0: = + 5 = + 5 + 5 = + 5 + 5 = + 5 łą ó Wersja z dnia: 25.03.2012 http://matematyka.strefa.pl Wzory skróconego mnożenia strona 6

Czy zawsze można łączyć symbole pierwiastków gdy między nimi jest mnożenie? Nie zawsze. Jest to możliwe tylko dla pierwiastków tego samego stopnia. W powyższym przykładzie oba czerwone pierwiastki były stopnia 2, więc ich złączenie w jeden symbol pierwiastka, także stopnia 2 było możliwe. Dlaczego po złączeniu symboli pierwiastka, nie wykonano mnożenia tych nawiasów co są pod nim? Bo jeśli pierwiastek jest stopnia 2 i pod swoim symbolem ma tylko mnożenie 2 identycznych wyrażeń, czyli tak jak w tym przypadku, to z własności pierwiastka wynika, że wynikiem końcowym jest wyrażenie ujęte w nawias. We wcześniejszym przykładzie też tak było, tyle tylko, że tam pokusiłem się o wymnożenie obu liczb 3 przez siebie, co dało liczbę 9, a tu nie chciało mi się już tego robić i od razu napisałem wynik końcowy, traktując ten poprzedni przykład jako ściągawkę. Spróbuj teraz samodzielnie swoich sił i zobacz, że jest to banalnie łatwe. Wiedząc ile wynosi, oblicz. a) = 4 b) = 9 c) = 4 +, dla 4 d) = 3 + 6 dla 2 e) = 1554654 [Odp. a) = 4; b) = 9; c) = 4 + ; d) = 3 + 6; e) = 1554654.] Tego co jest napisane poniżej, małymi literami możesz nie czytać. Gimnazjalista wiedzieć tego nie musi. Po co w niektórych przykładach w powyższym ćwiczeniu jest napisane np. dla 4? By Ci to wyjaśnić, zapytam się Ciebie ile wynosi 16? Na pewno nie jest to 4, bo 4 razy 4 daje 16, a nie 16. Także na pewno nie jest to 4 bo 4 4 też daje 16. Ile więc wynosi 16? By na to pytanie odpowiedzieć, trzeba mocno wykroczyć poza program gimnazjum i wejść w rozszerzony program liceum. Dobrą odpowiedzią będzie, że w zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje wynik takiego działania. Zatem by móc mówić o rozwiązaniu należącym do zbioru liczb rzeczywistych, zawsze pod symbolem pierwiastka parzystego stopnia musi być wyrażenie albo większe od 0 albo równe 0. By tak było, w powyższym ćwiczeniu w podpunkcie c) niewiadoma musi być większa lub równa od 4. W podpunkcie następnym, by pod symbolem pierwiastka nie było nigdy liczby mniejszej od 0, trzeba by niewiadoma była mniejsza od liczby 2 lub jej równa. Ustalanie tego nie jest przedmiotem tego opracowania, więc teraz pokazywać tego nie będę. Jest to jednak łatwe, bo wystarczy ułożyć i rozwiązać odpowiednią nierówność. Nieco wyżej pokazałem, że podnosząc pierwiastek stopnia 2 do potęgi 2, zawsze otrzymuję dokładnie to, co było pod symbolem pierwiastka np. 174 = 174; 555 = = 555; 0 = 0; 3 = 3 dla 0. Jest to prawda, ale tylko wtedy, jeśli wyrażenie które jest pod symbolem pierwiastka nie jest mniejsze od 0. Gdyby wykroczyć poza program nauczania w gimnazjum, to okaże się że 16 = 16, a nie 16 jak mogłoby się wydawać. Uzasadnienie jest łatwe do zrozumienia: 16 = = 16 16 = 16 16 = 256 = 16, choć warto zaznaczyć, że wartość 16 nie należy do zbioru liczb rzeczywistych jak pisałem wcześniej. Dziwne trochę, prawda? Chodzi o to, że 16 choć nie należy do zbioru liczb rzeczywistych, to po podniesieniu do potęgi 2 daje liczbę 16 która należy do zbioru liczb rzeczywistych. Nie wiem na ile to wytłumaczyłem zrozumiale, ale na razie tym się nie przejmuj, bo zrozumienie pierwiastków stopnia parzystego z liczb mniejszych od 0 jest mocno nadprogramowe. Podałem to tylko dla ciekawości oraz dla osób ubiegających się o ocenę celującą z matematyki. Jeśli jesteś osobą która się ubiega o ocenę celującą z matematyki, to wiedz, że podnosząc pierwiastek stopnia do potęgi 2-giej, zawsze zachodzi wzór: =. Jak widzisz, stopień pierwiastka nie ulega zmianie, a potęga która była za nawiasem wchodzi pod symbol pierwiastka. Wzór ten jest prawdziwy zawsze, więc nie trzeba robić żadnych założeń. Przypominam, że literka która jest pod symbolem pierwiastka oznacza całe wyrażenie które jest pod symbolem pierwiastka, a nie pojedynczą niewiadomą. Przykład: + 7 = + 7. Obliczanie wartości wyrażenia Na początek zacznijmy od tego, że w wyrażeniu 2 między 2 i oraz między i stoi mnożenie choć nie jest ono napisane. Zatem zapis 2 w myślach należy wyobrażać sobie jako zapisany w postaci takiej: 2. Przypuśćmy teraz, że już masz ustalone, że zamiast trzeba wpisać liczbę 5 i zamiast liczbę powiedzmy 4. By wiec obliczyć wartość wyrażenia 2 robisz takie działanie: 2 5 4 = 40. Najważniejsze jest tu tylko to, by w sytuacji gdy lub jest liczbą ujemną, to wziąć tę liczbę w nawias, bo nigdy dwa znaki działań nie mogą stać obok siebie. Zobacz inne przykłady: 2 2 5 10 2 = 2 5 10 = 100 3 7 2 = 2 ( 3) 7 = 42 3,5 0,2 582 0 2 = 2 ( 582) 0 = 0 5 2 3 4 2 = 2 5 2 3 4 = 15 4 = 3 Liczba 2 została skrócona liczbą 2. 2 = 2 3,5 0,2 = 1,4 1 12 12 1 7 3 1,2 5 2 = 2 3 5 = 7 10 35 15 Liczba 2 została skrócona liczbą 10. Przypomnienie: Mnożąc lub dzieląc dwie liczby ujemne przez siebie otrzymujesz wynik zawsze dodatni. Wersja z dnia: 25.03.2012 http://matematyka.strefa.pl Wzory skróconego mnożenia strona 7

Pełne obliczenia wg wzoru Na początek przypominam wzór o którym cały czas mówimy w tym podtemacie: + = + 2 + Na podstawie wiedzy jaką już masz po przeczytaniu tego podtematu, Twoje obliczenia dla poniższych przykładów powinny wyglądać tak: (4 + 5 ) = (4) + 2 4 5 ( + 3 ) = + 2 3 + (5) = 16 + 40 + 25 + (3) = + 6 + 9 (6 + ) = 6 + 2 6 + = 36 + 12 + Zapisy które są nad poziomymi klamerkami, możesz wykonywać w myślach, jeśli uważasz, że się nie pomylisz. a) 3 + 4 b) 10 + c) + d) 6 + 5 e) 12 + 10 [Odp. a) 9 + 24 + 16 ; b) 100 + 20 + ; c) + 2 + ; d) 36 + 60 + 25 ; e) 144 + 240 + 100.] Zadanie: W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest o 1 cm dłuższa od dłuższej przyprostokątnej. Jaką długość ma ta przeciwprostokątna, jeśli wiadomo, że długość krótszej przyprostokątnej wynosi 5 cm? Przypomnienie teorii o trójkącie prostokątnym Trójkąt prostokątny to taki, w którym jeden z kątów ma dokładnie 90. Najdłuższy bok w trójkącie prostokątnym nosi nazwę przeciwprostokątna, bo leży naprzeciw kąta 90. Bok w trójkącie prostokątnym który nie jest najdłuższy, nosi nazwę przyprostokątna. Są 2 takie boki. Tw. Pitagorasa orzeka, że w trójkącie prostokątnym, długość najdłuższego boku podniesiona do potęgi 2, to tyle samo co długość przyprostokątnej podniesionej do potęgi 2 dodać długość drugiej przyprostokątnej podniesionej także do potęgi 2. Jeśli przyprostokątne mają długości i zaś przeciwprostokątna ma długość, to twierdzenie Pitagorasa zapisane symbolicznie brzmi tak: + =. Rozwiązanie Z tw. Pitagorasa: Skoro już wiadomo, że = 12, więc pozostaje tylko obliczyć długość przeciwprostokątnej, czyli długość najdłuższego boku: Twierdzenie Pitagorasa orzeka, że długość czerwonego boku podniesiona do potęgi 2, dodać długość niebieskiego boku podniesiona do potęgi 2, to tyle samo co długość zielonego boku podniesiona do potęgi 2. + 1 = 12 + 1 = 13 Odp. Długość przeciwprostokątnej tego trójkąta wynosi 13 cm. W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest o 8 cm dłuższa od dłuższej przyprostokątnej. Jaką długość ma ta przeciwprostokątna, jeśli wiadomo, że długość krótszej przyprostokątnej wynosi 24 cm? [Odp. 40 cm.] W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest o 10 cm dłuższa od krótszej przyprostokątnej. Jaką długość ma ta przeciwprostokątna, jeśli wiadomo, że długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 20 cm? [Odp. 25 cm.] Wersja z dnia: 25.03.2012 http://matematyka.strefa.pl Wzory skróconego mnożenia strona 8

Zadanie: W oparciu o wzór skróconego mnożenia, oblicz ile wynosi 105. Komentarz Wystarczy zauważyć, że zamiast liczby 105 można napisać 100 + 5. Inne możliwości np. 90 + 15 lub 95 + 10 też dadzą poprawny wynik, ale obliczenia mogą być utrudnione przez wykonywanie mnożenia pisemnego. Zaleca się więc takie rozpisywanie danej liczby, by obliczenia były jak najłatwiejsze. Rozwiązanie 105 = (100 + 5 ) = 100 + 2 100 5 + 5 = 10000 + 1000 + 25 = 11025 W tym zadaniu nie trzeba udzielać odpowiedzi, bo w treści zadania nie było zadanego pytania. W oparciu o wzór skróconego mnożenia, oblicz ile wynosi: a) 106 ; b) 308 ; c) 701 ; d) 902. [Odp. a) 11236; b) 94864; c) 491401; d) 813604.] Zadanie: Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia zapisz wyrażenie: 7 + 3 4 + 5 w jak najprostszej postaci i wykonaj redukcję wyrazów podobnych. Komentarz Ponieważ przed drugim nawiasem stoi minus, więc znak każdego wyrazu który wyjdzie w drugim nawiasie trzeba będzie zmienić na przeciwny. Zostanie to pokazane pod poziomą niebieską klamerką. Redukcja wyrazów podobnych, to inaczej dodanie do siebie (lub odjęcie) tych wyrazów które zawierają dokładnie te same niewiadome np. 3 + 7 = 10. Nie możesz jednak ze sobą dodawać np. takich wyrażeń: 3 i 7 bo potęgi też muszą być identyczne przy odpowiednich zmiennych. W poniższym rozwiązaniu, wyrazy podobne wyróżniono tym samym kolorem i zredukowano je zgodnie ze znakiem działania które przed nim stoi (działanie to także zostało wyróżnione kolorem). Rozwiązanie 7 + 3 4 + 5 = 49 + 42 + 9 16 40 25 = 24 + 2 7 W tym zadaniu nie trzeba udzielać odpowiedzi, bo w treści zadania nie było zadanego pytania. Przypominam, że zmiany znaków w nawiasie na przeciwne robi się tylko wtedy, gdy przed nawiasem stoi minus. Nim przejdziesz do poniższego ćwiczenia, przypominam, że wynikiem działania np. takiego: 8 5 jest 13 a nie 13. Nie obowiązuje tu zasada, że minus z minusem daje plus, bo ona tyczy się tylko mnożenia i dzielenia. Zobacz inne przykłady: 4 15 = 19; 4 + 15 = 11; 7 2 = 9; 7 + 2 = 5. Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia zapisz podane wyrażenia w jak najprostszej postaci i wykonaj redukcję wyrazów podobnych. a) 5 + 4 6 + 7 b) 9 + 8 5 + 8 c) 3 + 4 4 + 9 d) 7 + 4 4 + 9 e) 6 + 5 6 + 5 f) 7 + 5 8 + 3 [Odp. a) 24 44 20; b) 56 + 64; c) 7 48 65; d) 130 128 32; e) 61 61 120; f) 58 118 89.] Wersja z dnia: 25.03.2012 http://matematyka.strefa.pl Wzory skróconego mnożenia strona 9

Zadanie: Oblicz średnią arytmetyczną kwadratów wyrażeń: + 1 oraz + 3. Komentarz Kwadrat wyrażenia to inaczej podniesienie całego tego wyrażenia do potęgi 2. Średnia arytmetyczna wyrażeń, to nic innego jak dodanie tych wyrażeń do siebie i podzielenie otrzymanego wyniku przez liczbę tych wyrażeń. W tym zadaniu chodzi więc o to, by najpierw oba podane wyrażenia podnieść do potęgi 2, dodać je do siebie i otrzymany wynik podzielić przez 2, bo są 2 wyrażenia. Rozwiązanie W tym zadaniu nie trzeba udzielać odpowiedzi, bo w treści zadania nie było zadanego pytania. Oblicz średnią arytmetyczną kwadratów podanych wyrażeń. a) + 3 oraz + 5; b), + 1, + 2. [Odp. a) + 8 + 17; b) + 2 + 1.] Teraz pokażę Ci, jak stosuje się omawiany wzór, gdy wewnątrz nawiasu występują potęgi. ( + 4 ) = ( ) + 2 4 + (4 ) = + 8 + 16 a) + 4 b) 10 + c) + d) 6 + 5 e) 12h + 10 [Odp. a) + 8 + 16 ; b) 100 + 20 + ; c) + 2 + ; d) 36 + 60 + 25 ; e) 144h + 240 + 100.] 8 + 7 = (8 ) + 2 8 7 7 + 9 = (7 ) + 2 7 9 + (7 ) = 64 + 112 + 49 + (9 ) = a) + 4 b) 3 + 3 c) + d) 6 + 5 [Odp. a) + 8 + 16 ; b) 9 + 12 + 9 ; c) + 2 + ; d) 36 + 60 + +25.] + = + 2 + = + ół ł + = + + = + 2 + = + + a) + b) + c) + d) + e) + [Odp. a) + + ; b) + + ; c) + + ; d) + + ; e) + +.] Wersja z dnia: 25.03.2012 http://matematyka.strefa.pl Wzory skróconego mnożenia strona 10

+ = + = ł ł + = + = ł ł + 2 + 2 + = + = a) + [Odp. a) + + ; b) b) + c) + + + ; c) + +.] 0,6 + 3,25 = + ł ł ę ł = + ł ł = + 2 + = + + a) 0,4 + 0,5 b) 0,4 + 0,24 c) 0,15 + 0,2 d) 0,08 + 4,8 e) 0,3 + 2,5 [Odp. a) + + ; b) + + ; c) + + ; d) + + ; e) + +.] 4 + 3 = + ł ł łś = + 2 + = a) 1 + 2 b) 3 + 4 c) 6 + 1 [Odp. a) + + ; b) + + ; c) + 22 +.] Analizując poniższy przykład, zauważ, że pod zielonym symbolem pierwiastka jest tylko liczba 5. Niewiadoma jest za symbolem pierwiastka. Będzie to miało znaczenie, przy wykonywaniu potęgowania. 7 + 3 5 = 7 + 2 7 3 5 + 3 5 = 7 + 6 35 + 45 Analizując poniższy przykład, zauważ, że pod zielonym symbolem pierwiastka jest także niewiadoma. 4 2 + 5 = 4 2 + 2 4 2 5 + 5 = 32 + 3210 + Nim przejdę do pokazania jak robi się obliczenia gdy są pierwiastki stopnia większego niż 2, pokażę Ci, na razie bez uzasadniania dlaczego tak jest, że podnosząc do potęgi 2 pierwiastek stopnia parzystego, jego stopnień maleje dwukrotnie, a to co jest pod tym symbolem, nie zmienia się. Przykłady: 19 = 19; 5 = 5 dla, 0; 5 1 = 19 dla Dlaczego potęgowanie pierwiastków stopnia parzystego wykonuje się w taki sposób, dowiesz się z oddzielnego opracowania. Takie obliczenia jak te powyższe, będą się sprowadzać do zamienienia pierwiastka na potęgę o wykładniku wymiernym (ułamkowym), a potem na ponownym zamienieniu otrzymanego wyniku na pierwiastek. Wersja z dnia: 25.03.2012 http://matematyka.strefa.pl Wzory skróconego mnożenia strona 11

Dla pierwiastków stopnia nieparzystego, też można tak robić jak wyżej (stopień pierwiastka stanie się ułamkiem), ale z reguły stosuje się podnoszenie tego co jest pod symbolem pierwiastka do potęgi, co jest za nawiasem. Przykłady: 5 = 5 = 25 5 + 1 = 5 + 1 ; 5 = 5 = 25 + 10 + 1, dla ó ż = 25 dla, 0; Dlaczego potęgowanie pierwiastków stopnia nieparzystego wykonuje się w taki sposób, dowiesz się z oddzielnego opracowania. Takie obliczenia jak te powyższe, będą się sprowadzać do zamienienia pierwiastka na potęgę o wykładniku wymiernym (ułamkowym), a potem na ponownym zamienieniu otrzymanego wyniku na pierwiastek. Ostatnią rzeczą jaką musisz wiedzieć, jest to, że pierwiastki o różnych stopniach można mnożyć tylko wtedy, gdy pod ich symbolami jest dokładnie to samo wyrażenie. Wówczas pierwiastek będący wynikiem takiego działania ma stopień równy iloczynowi obu tych pierwiastków co były mnożone, a pod swoim symbolem, ma to wyrażenie, które było pod symbolami obu tych mnożonych pierwiastków, podniesione do potęgi wynikającej z zamiany tych pierwiastków na potęgę o wykładniku wymiernym (ułamkowym). Nie będę teraz tego pokazywać, bo to nie opracowanie o pierwiastkach. Na razie umówmy się, że jeśli będziesz mieć mnożenie dwóch pierwiastków o różnych stopniach, to je przepiszesz bez wymnażania. Przykład: Zwróć uwagę, że pierwszy pierwiastek jest tylko z liczby 10, a nie z 10. 10 + 5 = 10 + 2 10 5 + 5 = 10 + 2 10 5 + 25 a) 5 + 3 b) 8 + 2 3 dla 0 c) 3 8 + dla 0, 0 d) 5 + 4 7 e) 7 + 5 dla 0 [Odp. a) 5 + 15 + 3 ; b) 8 + 4 24 + 12; c) 72 + 6 8 + ; d) 5 + 8 35 + 4 7; e) 49 + 2 7 5 + 5.] Wyprowadzenie wzoru Aby pokazać w jaki sposób otrzymano wzór: wystarczy zrobić takie obliczenia: i to wszystko. + = + + + = + 2 + W jaki sposób obliczono to, co jest za drugim znakiem równości? wymnożono żółte przez czerwone otrzymując wymnożono żółte przez niebieskie otrzymując = + + + = + 2 + wymnożono zielone przez czerwone otrzymując czyli bo mnożenie jest przemienne Wersja z dnia: 25.03.2012 http://matematyka.strefa.pl Wzory skróconego mnożenia strona 12

wymnożono zielone przez niebieskie otrzymując dodano z otrzymując +2. Teraz bez żadnych wyliczeń pokażę, że powyższy wzór jest prawdziwy. Opis: Kwadrat o boku + został podzielony za pomocą 2-ch odcinków prostopadłych do siebie w taki sposób, że podzieliły one wszystkie boki tego kwadratu na odcinki o długościach i. Ze wzoru na pole kwadratu wiadomo, że jego pole wynosi +, a z rysunku, że wynosi ono tyle, co pole żółtego kwadratu dodać 2 pola niebieskich prostokątów dodać pole zielonego kwadratu. Zapisując to symbolicznie masz, że: + = + 2 +. Zwijanie wyrażenia do wzoru skróconego mnożenia c.d.n. Wersja z dnia: 25.03.2012 http://matematyka.strefa.pl Wzory skróconego mnożenia strona 13