SZACOWANIE GRADIENTU W ANALITYCZNYM I NUMERYCZNYM ROZWIĄZANIU POLA TEMPERATURY

18/4 Archives of Foundry, Year 22, Volume 2, 4 Archiwum Odlewnictwa, Rok 22, Rocznik 2, Nr 4 PAN Katowice PL ISSN 1642-538 SZACOWANIE GRADIENTU W ANALITYCZNYM I NUMERYCZNYM ROZWIĄZANIU POLA TEMPERATURY P. MIKOŁAJCZAK 1, Z. IGNASZAK 2 Instytut Technologii Materiałów Politechniki Poznańskiej STRESZCZENIE Przeprowadzono porównanie analitycznego i numerycznego rozwiązania dla klasycznego układu cieplnego odlew-forma pół-przestrzenna. Otrzymane wyniki odniesiono do pomiarów eksperymentalnych. Wskazano na przyczyny rozbieżności między dwoma sposobami rozwiązań oraz czynniki wpływające na dokładność przybliżenia gradientów temperatury. Rozważania prowadzono w aspekcie zastosowania gradientów temperatury do obliczeń wielkości kryterialnych, służących podczas oceny jakości odlewu w post-processingowych procedurach systemów symulacyjnych. Key words: heat transfer, numerical simulation. 1. WPROWADZENIE Wiedza o złożonych zjawiskach fizycznych, wykorzystana do symulacji procesu wytworzenia odlewu w formie (wypełnianie, krzepnięcie i stygnięcie), wymaga badań uzupełniających i doskonalenia w zakresie ich modelowania i ujęcia matematycznego, identyfikacji zjawisk elementarnych i wyznaczenia odpowiadających im parametrów fizycznych, poszukiwania skutecznych metod numerycznych i projektowania efektywnych algorytmów, a w końcu weryfikacji wyników z eksperymentem i walidacji modeli [1,2]. 1 mgr inż., Piotr.MIKOLAJCZAK@put.poznan.pl 2 dr hab. inż., profesor nadzw.politechniki Poznańskiej, Zenon.IGNASZAK@put.poznan.pl

148 2. STAN BADAŃ NAD WALIDACJĄ MODELI ODLEWANIA Walidacja modelu, rozumianego jako fizykalno matematyczne sformułowanie zadania inżynierskiego, rozwiązywanego na przykład metodami numerycznymi, może dotyczyć etapu przygotowawczego zwanego pre processingiem jak i procedur, przy pomocy których, analizuje się wyniki obliczeń (post processing). Walidacja polega na skutecznym dopasowaniu składowych elementów modelu i metod interpretacji uzyskanych za jego pomocą wyników, do parametrów procesu przebiegającego w rzeczywistości, połączonym z testowaniem różnych wariantów, co prowadzi do możliwości ilościowej oceny marginesu popełnianego błędu [3,4]. Problemom walidacji w obszarze post processingu poświęca się coraz więcej uwagi. W oparciu o uzyskane mapy temperatury, na podstawie numerycznego rozwiązania równania Fouriera Kirchhoffa, stworzono kryteria prognozujące stan jakości odlewu. Pożądany parametr kryterialny to taki, który pozwala przewidzieć obszary wad w odlewach o dowolnych kształtach i wymiarach, z dowolnego stopu. Możliwości tych upatrywano w gradiencie temperatury, w kryterium Niyamy (gradient zmodyfikowany) i w gradiencie podwójnie modyfikowanym [1,5,6,7], wskazując na prostotę i łatwość obliczania gradientu temperatury [8]. W trakcie symulacji procesu, źródłem niejednoznaczności w prognozowaniu lokalizacji i wielkości porowatości w odlewie są założenia związane ze sposobem dyskretyzacji przestrzeni odlewu. Omówiono to w pracy [9], przedstawiając przyczyny otrzymywania zróżnicowanych wartości gradientowych parametrów kryterialnych. Prognozowanie to łączyć się powinno z wynikami badań nieniszczących ujętych ilościowo. Prowadzi do uporządkowania i ujednolicenia interpretacji natury wady oraz parametrów wady (lokalizacja i natężenie), a z drugiej strony umożliwia jej korelację z przewidywaną wirtualnie porowatością skurczową [1,11]. 3. PRZEBIEG BADAŃ NAD ROZWIĄZANIEM ANALITYCZNYM I SYMULACYJNYM Spośród dostępnych rozwiązań nieustalonego przepływu ciepła w warunkach standaryzowanych [12,13] wykorzystano rozwiązanie stygnięcia pół-przestrzeni z płaską powierzchnią, zwaną kontrolną, i założonym warunkiem pierwszego rodzaju. Zakłada się, że pół-przestrzeń jest ciałem jednorodnym o stałych parametrach opisujących właściwości termofizyczne. W czasie przyjętym za początkowy, półprzestrzeń ta ma w całej objętości temperaturę T, na jej powierzchni kontrolnej temperatura wynosi T pow, i jest stała w ciągu procesu stygnięcia. Warunki brzegowopoczątkowe można zapisać w postaci: dla t= T=T, dla x= T=T pow =const dla x T/ x = Zatem rozwiązaniem równania: T = a 2 T (1) t

149 z uwzględnieniem powyższych warunków jest funkcja x 2 at Tx Tpow 2 2 u x = e du = erf (2) T Tpow π 2 at gdzie: erf{x/(2 at)} - całka zwana funkcją błędów Gaussa (całka prawdopodobieństwa). Wartości funkcji błędów w postaci tablicowej [12] ze względów praktycznych zastąpiono formułami obliczeniowymi. Do obliczeń funkcji "erf" wykorzystano skumulowany rozkład normalny (µ= - średnia arytmetyczna rozkładu, σ=1- odchylenie standardowe) uzyskując zadowalającą zgodność obliczanej funkcji błędów z danymi tablicowymi, ( erf max =±.5% dla wartości argumentu {x/(2 at)}= 3.5). Dokonano wstępnego porównania rozwiązania numerycznego 3 i analitycznego dla powyższego zagadnienia nieustalonego ruchu ciepła. W rozwiązaniu numerycznym geometrii testowej warunek brzegowy w x przybliżono przyjmując x=1 [m] co pozwalało spełnić w sposób praktyczny warunek T/ x =, przy określonych x i t. Obliczenia przeprowadzono dla uśrednionych danych termofizycznych stygnącego materiału pół przestrzeni : λ=26 [W/mK], c=58 [J/kgK], ρ=73 [kg/m 3 ], a= 6.1477 1-6 [m 2 /s] oraz brzegowo-początkowych : T =16 [ o C] i T pow =14 [ o C]. Obliczenia symulacyjne przeprowadzono dla kilku wariantów dyskretyzacji przestrzennej, generując na grubości hipotetycznego odlewu x=1[m] odpowiednio : 5, 15, 55, 95, 695 i 115 węzłów (oprogramowanie symulacyjne oparte jest o metodę FVM). Dla przyjętego czasu t=2 [s], w punktach (węzłach) o współrzędnych x=.1,.3,.5,.7 i.9 [m], odchylenie wartości temperatury względem rozwiązania analitycznego nie przekroczyło ±.25%. Pozwala to na stosowanie powyżej opisanej aproksymacji funkcji "erf" do analitycznego opisu pola temperatury w całej pół przestrzeni lub jej części. Zasadniczy cel badań dotyczył testowania metody szacowania gradientu temperatury i analizy obciążenia jej błędem dyskretyzacji, dla przypadku symulowanego numerycznie zmiennego pola temperatury w odlewie płyty staliwnej o grubości g=1 mm, ochładzanej symetrycznie [14]. Rozpatrzono płytę odlewaną do form: piaskowej i z ochładzalnikiem. Wymagało to identyfikacji i porównania warunków cieplnych przyjętych do rozwiązania równania (2) z warunkami panującymi w rzeczywistym odlewie. Konieczność tego "przybliżenia" wynika z odmienego opisu warunków geometrycznych, brzegowo-początkowych i parametrów materiałowych. W symulacji numerycznej zastosowano geometrię przedstawioną na rys. 1 oraz warunki brzegowo-początkowe i materiałowe zgodne z badaniami [14,15]. Zaproponowano dwie metody porównania pola temperatury z rozwiązania analitycznego "AN" i symulowanego SYM w ściance płyty g=1 mm. Pierwsza metoda polega na uwzględnieniu zgodności temperatury (AN i SYM) w i węzłach z przedziału między wybranymi punktami pochodzącymi z grubego podziału n=5: x=.25m i x=.35m (rys. 2.) co przy całkowitej liczbie węzłów w odlewie n=55 daje i=12 w ww. przedziale (.25.35m). Gradient temperatury jest szacowany w punkcie x=.25m. Tak otrzymane analityczne rozwiązanie pola 3 wykorzystano system symulacyjny PAM-CAST SIMULOR firmy ESI Group

15 temperatury dość wiernie odwzorowujące pole obliczone numerycznie pozwala na obliczenie funkcji zmienności gradientu temperatury jako G ANdT = T x / x po zróżniczkowaniu poniższego równania : x T x = erf ( T Tpow ) + T (3) pow 2 at Pokazaną na rys.2 zgodność otrzymano zmieniając odpowiednio: t, T, T pow. Sposób osiągania tej zgodności zilustrowano pokazaniem 4 krzywych analitycznych dla t=1sec, t=5sec, t=15sec i t=3sec dla T =151.5ºC, T pow =22ºC. Najlepsze dopasowanie uzyskano dla t=11sec. Casting q = Mould αcast-mould αenvironment q = q= point x=,25 5 mm casting mesh n=5,...55 mould Rys. 1. Geometria testowanego układu odlew-forma - dla obliczeń numerycznych. Fig. 1. Geometry of tested cast-mould system numerical calculations. Druga metoda (proponowane docelowo narzędzie szacowania gradientu) zakłada zgodność temperatury jedynie w trzech punktach, czyli i=3, a więc w naszym przykładzie tylko dla współrzędnych pierwotnej dyskretyzacji n=5, bez zwiększania liczby n węzłów podziału przestrzennego i konieczności powtarzania obliczeń). Środkowy węzeł stanowił będzie miejsce obliczania gradientu. W metodzie tej, uzyskano inne niż w metodzie pierwszej wartości warunków brzegowo-początkowych rozwiązania analitycznego (t=18sec, T =1517ºC, T pow =15ºC) podczas aproksymowania rozwiązania pola temperatury w odlewie płyty staliwnej g=1 mm za pomocą równania (3) Uzyskane w obu metodach z aproksymacji wartości t, T i T pow mają znaczenie formalne i wynikają z lokalności dopasowania i ilości węzłów. Porównanie wyliczonych gradientów z zastosowaniem obu metod pokazano w tablicy 1. 4. WYNIKI I ANALIZA PRZEPROWADZONYCH TESTÓW Wykorzystanie do obliczenia nieustalonego pola temperatury funkcji ciągłej pozwala na dokładne w sensie matematycznym określenie wartości temperatury w dowolnych wybranych punktach przestrzeni i czasu oraz na podobne obliczenie

151 gradientu temperatury w tych wybranych punktach (Tablica 1). Wartości tak obliczonego gradientu temperatury G ANdT = T x / x odniesione do gradientów G ANnum obliczonych z zastosowaniem algorytmów różnicowych stosowanych w kodach symulacyjnych potwierdziły istnienie znanych rozbieżności (rys.3). Jest oczywiste, że warunki cieplne oceniane w krzepnącym odlewie, determinujące strukturę i mechaniczne właściwości odlewu, będą błędnie prognozowane. Przy zbyt małej liczbie węzłów następuje kilkukrotne zmniejszenie wartości gradientu pola temperatury obliczonego za pomocą kodu symulacyjnego, co jest równoważne skrajnie z. kilkudziesięcioprocentowym błędem w stosunku do wielkości G ANdT. Tablica 1. Gradient temperatury G ANdT = T x / x (metody I i II) oraz G ANnum (n5). Table 1. Temperature gradient G ANdT = T x / x (metods I i II) oraz G ANnum (n5). G [K/m] p1: x=.5 p2: x=.15 p3: x=.25 p4: x=.35 p5: x=.45 Metoda I Ochładzalnik 12871 1356 8765 6393 - Piasek 1515 95 756 72 - Metoda II Ochładzalnik - 8542 6684 5552 - Piasek - 876 69 544 - G ANnum (n5) Ochładzalnik 4131 434 3727 3278 - Piasek 1444 771 67 45 - p1... - punkty w odlewie w odległości x [m] od powierzchni odlew-forma (rozwiązanie symulacyjne) lub płaszczyzny ograniczającej pół-przestrzeń (rozwiązanie analityczne). T[degC] 152 151 15 149 148 147 146 145,1,2,3,4,5 odległość od powierzchni odlew-forma [m] T(t1=1,) T(t2=5,) T(t3=11,) T(t4=15) T(t5=3) T(t22)-p1 - n5 T(t18)-p1 - n55 Rys. 2. Temperatura: rozwiązanie numeryczne (n5 i n55) i analityczne (t=11.sec) Fig. 2. Temperature: numerical (n5 and n55) and analytical (t=11.sec) solutions. Rys. 3. Gradient temperatury GANnum i odchylenie delg ANnum od G ANdT = T x / x Fig. 3. Temperature gradient G ANnum and its deviation delg ANnum from G ANdT = T x / x Gdyby zatem, wartości gradientów obliczać z wartości temperatury rozwiązania analitycznego i założyć, że wartości te znane są tylko w węzłach (por. rys.3) to ze znacznym wzrostem liczby węzłów (np. n=695, rozmieszczonych w połowie grubości ścianki 1mm, daje odległość międzywęzłową równą.72mm) gradienty G ANnum dążą Gradient G [K/m] 18 16 14 12 1 8 6 4 2-1 -2-3 -4-5 -6-7 -8 1 1 1 1 1 liczba węzłów n [1] delta G [%] p1- G(ANnum) p2- G(ANnum) p3- G(ANnum) p4- G(ANnum) p1-delg p2-delg p3-delg p4-delg

152 do wartości otrzymanej z zastosowania funkcji ciągłej G ANdT = T x / x. Okazuje się, że stosowanie tej samej zasady dla obliczeń numerycznych G SYM przy tej samej założonej liczbie elementów n=695 prowadzi do zwiększenie błędu w odniesieniu do wartości oczekiwanej G ANdT = T x / x. Można to wyjaśnić w sposób następujący. Wartości G SYM wyznaczane przy tak dużej liczbie elementów n obliczane są z bardzo małych wielkości T i x, zbliżonych do dokładności zaokrąglania liczb przez algorytm programu symulacyjnego. Rys. 4 przedstawia efekt podobny do braku stabilności rozwiązania, spowodowany nadmiernie rozdrobnioną dyskretyzacją przestrzeni w symulacji numerycznej, ukazując rozkład gradientu (geometria i warunki brzegowo-początkowe jak w powyższym wstępnym porówaniu rozwiązania analitycznego i numerycznego, tj dla x=1m) szacowanego metodą różnicową G SYM (dla liczby węzłów odpowiednio n=5, 15,..., 115) oraz wartości G ANdT = T x / x z rozwiązania analitycznego. Wynika stąd, że dokładne szacowanie gradientu przez zwiększanie stopnia dyskretyzacji (liczby węzłów) należy również rozpatrywać z tego punktu widzenia. Określenie optymalnej liczby węzłów (odległości pomiędzy węzłami) wymaga określenia wartości T i x (w ujęciu lokalnej dynamiki zmian pola temperatury w odlewie, szczególnie w zakresie T L -T S ). Gradient G [K/m] 8 G(SYM)-n5 75 G(SYM)-n15 7 G(SYM)-n25 65 G(SYM)-n55 6 G(SYM)-n15 55 G(SYM)-n695 5 G(SYM)-n115 45 G(ANdT) 4,5,1,15,2,25 odległośc od powierzchni odlew-forma [m] Rys. 4. Gradient temperatury - rozwiązanie numeryczne i analityczne. Fig. 4. Temperature gradient - numerical and analytical solution. 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 G [K/m] G(ANdT) G(ANnum)- n55 G(ANnum)- n5 deltag(55) delta G(5),1,2,3,4,5 x[m] -1-12 Rys. 5. Gradient temperatury (z rozwiązania analitycznego) przy n=5 n=55 w odlewie (t=11.sec, T=151.5ºC, T pow =22ºC). Fig. 5. Temperature gradient (analytical solution) with n=5 n=55 in casting (t=11.sec, T =151.5ºC, T pow =22ºC). 4 2-2 -4-6 -8 dleta G [%] W obliczeniach symulacyjnych najbardziej właściwe wydaje się obliczenie pola temperatury przy zoptymalizowanej liczbie węzłów, a następnie szacowanie gradientu za pomocą funkcji ciągłej (np. rozwiązania z funkcją błędu "erf") lokalnie aproksymującej rozkład temperatury danej tylko w węzłach (zgodnie z metodą II). Do tej pory kody symulacyjne nie stosują tego sposobu. Wartości gradientu temperatury obliczane tam w wybranych węzłach reprezentują zgodnie z definicją przylegającą, przypisaną im objętość. Rys. 5 i 6 ilustrują tę sytuację. Przedstawiają one wartości gradientu G ANnum w poszczególnych punktach odlewu oraz w przyległych z definicji obszarach. Widać jednocześnie, że gradienty obliczone przy różnym stopniu

153 dyskretyzacji przestrzeni znacznie różnią się od oczekiwanych wartości gradientu G ANdT = T x / x. Rys.6 jest powiększeniem fragmentu rys.5. Odchylenia wartości gradientu G SYM od wartości G ANdT = T x / x można zmniejszyć m.in. poprzez linearyzacje w obszarze pomiędzy węzłami. Rozwiązania takie stosują ww. kody symulacyjne w tym np. PAM-CAST/SIMULOR (wyniki symulacji programem odlewania płyty w formie z ochładzalnikiem na rys. 7). Linearyzacja wprowadza jedynie liniową zmienność wybranych wielkości fizycznych (np. temperatury, gradientu) w przestrzeni między węzłami. W przypadku formy z ochładzalnikiem efekt linearyzacji wpływa nieznacznie na poprawę przebiegu gradientu G SYM, a skuteczniejszy jest dla krzepnięcia w formie piaskowej, w której zróżnicowanie gadientów jest mniejsze (rys. 7). W PAM-CAST/SIMULOR wizualizacja z zastosowaniem opisanej linearyzacji określona jest jako "banded contours", zaś z pominięciem linearyzcji (wartości wprost z obliczeń "solvera") jako "colored faces". Gradient G [K/m] 25 2 15 1 5 G(ANdT) G(ANnum)-n55 G(ANnum)-n15 G(ANnum)-n5,18,2,22,24,26,28,3,32 odległość od powierzchni odlew-forma [m] Rys. 6. Gradient temperatury (rozwiązanie analityczne) przy liczbie węzłów 5 i 55. Fig. 6. Temperature gradient (analytical solution) with number of mesh 5 and 55. Gradient G [K/m] 5 45 4 35 3 25 2 15 1 5 G(SYM)-n5 (colored faces) G(SYM)-n55 (colored faces) G(SYM)-n5 (banded contours) delta G(SYM)-n5 (colored faces) delta G(SYM)-n5 (banded contours),1,2,3,4,5 odległość od powierzchni odlew-forma [m] 1 8 6 4 2-2 -4-6 -8-1 Rys. 7. Gradient temperatury - przed i po linearyzacji, dla n=5 i 55 (forma piaskowej). Fig. 7. Temperature gradient - comparison for calculated and linearised values, for mesh number n=5 and 55 in casting in sand mould. delta G [%] 5. WNIOSKI Przeprowadzone badania wykazały, że procedury do obliczania gradientu temperatury G (ważnego pod względem interpretacyjnym jako narzędzia, służącego do prognozowania jakości odlewów) nawiązujące do opisu morfologii krzepnięcia, należy analizować z dużą ostrożnością i znajomością zagadnień metalurgicznych i numerycznych. W pracy dokonano: - porównania i uwiarygodnienia modelu numerycznego i analitycznego, - wyznaczenia lokalnego gradientu temperatury G ANdT = T x / x (określając jednocześnie błąd numeryczny G SYM ) dla określonych warunków cieplnych, - wskazania, że ze względu na formalny błąd obliczeń numerycznych i problem zaokrąglania liczb, istnieje graniczna ilości węzłów oraz że nie można w związku z tym dowolnie powiększać ich ilości w celu coraz dokładniejszego obliczania gradientu temperatury G SYM

154 - testowania metody szacowania gradientu dla rozwiązań numerycznych pola temperatury, z lokalnym zastosowaniem funkcji ciągłej. LITERATURA [1] Z. Ignaszak, A. Baranowski: Krzepnięcie Metali i Stopów, 1992, nr 16. [2] Z. Ignaszak, N. Hueber: A general method for numerical model installation related to experiments. Zeszyty Naukowe PP, nr 43, Poznań 1997. [3] Z. Ignaszak: Proceedings Konferencji sprawozdawczej Komitetu Hutnictwa PAN, Krynica, 23 24.9.1998. [4] Z.Ignaszak: Proceedings Konferencji sprawozdawczej Komitetu Hutnictwa PAN, Krynica, 22. [5] P. N. Hansen, P. R. Sahm: Modeling and control of casting and welding processes IV, 1998. [6] Z. Ignaszak, A. Baranowski: Krzepnięcie Metali i Stopów, 1993, nr 18. [7] Z. Ignaszak, A.Baranowski: Krzepnięcie metali i stopów 1994, nr 19. [8] E. Niyama: 49 th International Foundry Congress, Chicago, 1982, 1. [9] Z. Ignaszak, P. Mikołajczak: Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji, (1998), Nr 18. [1] Z. Ignaszak, J. Ciesiółka: Archiwum Odlewnictwa, rok 21, rocz.1, nr 1 (1/2). [11] Z. Ignaszak, J. Ciesiółka: Proceedings - Seminarium naukowego "Nieniszczące badania materiałów", 12-15 marzec 22, Zakopane. [12] W. Longa: Krzepnięcie odlewów, Wydawnictwo Śląsk, Katowice 1985. [13] S. J. Gdula: Przewodzenie ciepła, PWN 1984. [14] Z. Ignaszak: Projekt badawczy KBN 7 TO8 B 24 9, Archiwum prac Zakładu Odlewnictwa PP, Poznań 1997. [15] Z. Ignaszak, L. Hącia, P. Mikołajczak; FOCOMP, Kraków 1999. TEMPERATURE GRADIENT ESTIMATION IN ANALYTICAL AND NUMERICAL SOLUTION OF THE HEAT TRANSFER PHENOMENA SUMMARY The comparison between analytical and numerical solutions for the classic thermal system casting-mould (as half space) was carried out. Obtained results were compared with experimental data. The divergences depending on the method of heat transfer modeling were shown. The factors affecting accuracy of the local temperature gradient were analysed. The analysis was carried out in aspect of using the temperature gradient for criterial parameters calculation applied in post-processing casting quality estimation. Recenzował Prof. Stanisław Jura