ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECI SKIEGO NR 394 PRACE KATEDRY EKONOMETRII I STATYSTYKI NR 15 004 KRZYSZTOF DMYTRÓW Uniwersytet Szczeci ski PORÓWNANIE DECYZYJNEGO MODELOWANIA ZAPASÓW PRZY ZAŁO ENIU PEŁNEJ I NIEPEŁNEJ INFORMACJI O ZA- POTRZEBOWANIU WPROWADZENIE W wi kszo ci prac po wi conych teorii zapasów przy wyznaczaniu optymalnych wielko ci zmiennych decyzyjnych w klasycznym modelu Q, r zakładano znajomo rozkładu zapotrzebowania w okresie realizacji dostaw. Na ogół wyst puj nast puj ce strategie aproksymacji tego rozkładu 1 : strategia stosowania tego samego typu rozkładu (z ang. stick-to-one strategy), strategia najlepszego dopasowania do danych empirycznych (z ang. best-fit strategy), strategia empiryczna stosowana przy zało eniu, e dost pna jest wystarczaj ca liczba obserwacji (z ang. empirical strategy), strategia nieparametryczna z u yciem j drowego estymatora g sto ci (z ang. kernel strategy). Mo liwa jest jednak taka sytuacja, w której nie ma wystarczaj cej liczby obserwacji, aby zastosowa któr z powy szych metod. Ciekaw propozycj przedstawił G. Gallego. Wykorzystał podej cie minmax w przypadku, gdy zna- 1 Por. [4], s. 88.
44 Krzysztof Dmytrów na jest jedynie warto rednia i wariancja zapotrzebowania w okresie realizacji dostaw. Podej cie to zakłada minimalizowanie ł cznych kosztów gospodarki materiałowej, zakładaj c najbardziej niekorzystny rozkład zapotrzebowania w okresie realizacji dostaw. W artykule porównano wyniki wygenerowane przez model Q, r w przypadku zaległych zamówie (z ang. backorders case) przy zało eniu niepełnej informacji o zapotrzebowaniu (podej cie minmax) z wynikami wygenerowanymi przy zało eniu znajomo ci rozkładu zapotrzebowania w okresie realizacji dostaw. Przyj to rozkład gamma jako bardzo cz sto wyst puj cy w praktyce gospodarowania zapasami. 1. MODEL Przyj to nast puj ce oznaczenia: λ rednia stopa zapotrzebowania na produkt w ci gu jednostkowego okresu, Q optymalna wielko zamówienia, r poziom zamawiania, A koszt zło enia zamówienia, IC jednostkowy koszt magazynowania, jednostkowy koszt niedoboru, τ okres realizacji dostaw, µ warto rednia zapotrzebowania w okresie realizacji dostaw, σ wariancja rozkładu zapotrzebowania w okresie realizacji dostaw, η r oczekiwana liczba niedoborów w ci gu jednego okresu odnowienia ( ) zapasów. Oczekiwana warto przeci tnego rocznego kosztu kontroli zapasów K(Q, r) jest równa 3 : λ Q λ K( Q, r) = A + IC + r λτ + η ( r), (1) Q Q gdzie: Por. [5], s. 3; [1], s. 9. 3 Por. [3], s. 166.
Porównanie decyzyjnego modelowania zapasów... 45 r ( r) = ( x r) f ( x)dx η, () f(x) funkcja g sto ci prawdopodobie stwa rozkładu zapotrzebowania w okresie realizacji dostaw. Aby wyznaczy optymalne wielko ci zmiennych decyzyjnych Q * oraz r *, trzeba wyznaczy pierwsze pochodne równania (1): K ( Q, r) K( Q, r) = = 0. Q r Po wykonaniu wszystkich oblicze otrzymamy: oraz [ A ( r) ] λ + η Q =, (3) IC r = gdzie F( r) f ( x) 0 dx. F ( r) QIC = 1, (4) λ Zakładaj c niepełn informacj o zapotrzebowaniu, wzór () ma posta 4 : σ + η ( r ) =, (5) gdzie = r µ. Wstawiaj c (5) do (1), uzyskamy: 4 Por. [], s. 56.
+*) (' "! 46 Krzysztof Dmytrów λ Q λ σ + K ( Q, = A + IC + +. (6) Q Q Znalezienie optymalnych wielko ci Q * oraz * polega na obliczeniu pierwszych pochodnych (6) wzgl dem Q i. Odpowiednie warunki s nast puj ce 5 : K ( Q, = 0, Q K ( Q, 0 c.s. 0, gdzie c.s. luz dopełniaj cy (z ang. complementary slackness). K( Q, K ( Q, Oznacza to, e = 0 dla 0 i 0. W zwi zku z tym, optymalna wielko Q jest dana wzorem: Q = $#% λ A + σ + & IC. (7) Drugi warunek jest równowa ny z: + σ ICQ 1 λ c.s. 0. Id c dalej, mo na warunek ten przekształci w celu otrzymania wielko ci 0. Wówczas uzyskamy: ( λ ICQ) ( λ ICQ) σ = ICQ. (8) Nale y jednak e pami ta, e warunek, z którego został wyznaczony wzór (8), jest nierówno ci, dlatego otrzymane wielko ci trzeba traktowa jako doln granic, minimalizuj c ł czne koszty. Wyznaczone za pomoc wzorów (7) 5 Por. ibidem.
100 / --. Porównanie decyzyjnego modelowania zapasów... 47 i (8) optymalne wielko ci Q * oraz r * mo na nast pnie porówna z warto ciami wyznaczonymi dla rozkładu gamma przy danych poziomach µ oraz σ. Poniewa podej cie to zakłada najgorsz z mo liwych sytuacji, dlatego da wy sz warto ł cznych kosztów ni podej cie zakładaj ce przyj cie rozkładu gamma. Ró nica mi dzy warto ciami kosztów wyznaczonymi za pomoc obu podej jest nazywana warto ci informacji o rozkładzie VDI (z ang. value of the distributional information). Jej wzgl dna wielko, dana jest wzorem: VDI = K( Q, 1 100%. (9) K( Q, r) Mówi ona, o ile procent warto3 4 oczekiwanych ł5 cznych rocznych kosztów gospodarki zapasami dla niepełnej znajomo3 ci rozkładu zapotrzebowania jest wy6 sza ni6 w przypadku pełnej informacji o tym rozkładzie.. PRZYKŁAD NUMERYCZNY Przyj7 to nast7 puj5 ce wielko3 ci parametrów: λ = 650, A = 100 zł, IC = 10 zł, τ = 1 tydzie8, µ = 50, trzy warianty jednostkowych kosztów niedoboru : 10, 0 i 30 zł aby wyznaczy4 trzy warianty stosunku A : 0,1; 0, i 0,3, oraz pi794 wariantów wariancji zapotrzebowania w okresie realizacji dostaw σ : 156,5, 65,00, 500,00, 3906,5 i 565,00 (odpowiednio odchylenia standardowe: 1,50, 5,0, 50,0, 6,5 i 75,0, czyli współczynniki zmienno3 ci V S były równe 0,5, 0,50, 1,00, 1,5 oraz 1,50). Przyj7 te warianty wielko3 ci i współczynnika zmienno3 ci zapotrzebowania w okresie realizacji dostaw V S maj5 na celu sprawdzenie, jaka jest warto3 4 informacji o rozkładzie dla ró6 nych wielko3 ci tych parametrów 6. Wyniki oblicze8 przedstawiono w tabeli 1, a warto3 ci informacji o rozkładzie na rysunku 1. 6 Por. [], s. 57.
< 48 Krzysztof Dmytrów σ µ Wyszczegól nienie Wyniki oblicze: dla rozkładu gamma i podej; cia minmax A = 0,1 A = 0, A = 0,3 Tabela 1 gamma minmax gamma minmax gamma Minmax Q 37,837 48,91 37,65 58,177 37,007 65,146 r 67,461 71,44 73,06 79,034 76,047 84,809 0,5 K(Q, r) lub 55,98 703,36 K(Q, (zł) 60,9 87,11 630,55 999,54 VDI (%) 5,89 10,34 14,03 Q 49,436 67,4 48,538 85,530 48,135 99,46 R 84,719 91,51 98,10 105,367 105,599 115,677 0,50 K(Q, r) lub 841,55 3 087,36 966,58 3 408,97 3 037,34 3 649,3 K(Q, (zł) VDI (%) 8,65 14,91 0,15 Q 85,584 30,605 85,584 338,075 85,584 364,389 R 111,389 18,606 146,046 15,30 166,319 169,544 K(Q, r) lub 1,00 3 469,73 3 81,11 K(Q, (zł) 3 816,31 4 403,77 4 019,04 4 839,34 VDI 9,87 15,39 0,41 Q 310,06 319,665 311,955 363,37 31,790 395,408 R 117,581 145,949 164,446 173,683 19,545 193,744 1,5 K(Q, r) lub 3 776,43 4 156,14 K(Q, (zł) 4 64,01 4 869,0 4 553,36 5 391,5 VDI (%) 10,05 14,19 18,41 Q 338,10 336,315 343,493 387,685 345,874 45,448 R 117,809 16,655 176,714 194,01 13,049 16,63 1,50 K(Q, r) lub 4 059,11 4 489,70 4 70,07 5 317,05 5 089,3 5 90,7 K(Q, (zł) VDI (%) 10,61 13,08 16,34 ródło: opracowanie własne.
Porównanie decyzyjnego modelowania zapasów... 49 5% 0% 15% VDI 10% 5% 0% 0,5 0,5 1 1,5 1,5 W spółczynnik zm ienno= ci 0,1 0, 0,3 Rys. 1. Kształtowanie si> VDI w zale? no; ci od współczynnika zmienno; ci rozkładu zapotrzebowania w okresie realizacji dostaw V S dla trzech wariantów stosunku A < ródło: opracowanie własne. WNIOSKI 1. Zało6 enie niepełnej informacji o zapotrzebowaniu zawsze dawało wy6 sze wielko3 ci poziomu zamawiania r i wy6 sze wielko3 ci zamawiania Q.. Oczekiwane ł5 czne roczne koszty gospodarowania zapasami były zawsze wy6 sze przy zało6 eniu niepełnej informacji o zapotrzebowaniu. 3. Dla wielko3 ci stosunku A równego 0,1 warto3,4 informacji o rozkładzie była tym wi7 ksza, im wi7 kszy był współczynnik zmienno3 ci rozkładu zapotrzebowania w okresie realizacji dostaw. 4. Przy wielko3 ciach stosunku A równych 0, i 0,3 warto3,4 informacji o rozkładzie była najwi7 ksza dla współczynnika zmienno3 ci równego 1. Wniosek ogólny jest taki, 6 e im wy6 szy stosunek, tym bardziej A nale6 y si7 stara4, aby prawidłowo oszacowa4 rozkład zapotrzebowania w okresie realizacji dostaw, przy czym najwi7 ksze znaczenie ma to dla współczynnika zmienno3 ci równego 1.
50 Krzysztof Dmytrów LITERATURA 1. Elementy bada@ operacyjnych w zarza dzaniu. T. 1, red. A. Całczy: ski. Radom 000.. Gallego G.: A Minimax Distribution Free Procedure for the B Q, rc, Inventory Model. Operational Research Letters nr 11. 3. Hadley G., Whitin T.M.: Analysis of Inventory Systems. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1963. 4. Strijbosch L.W.G., Heuts R.M.J.: Modelling (S, Q) Inventory Systems: Parametric Versus Non-parametric Approximations for the Lead Time Demand Distribution. European Journal of Operational Research nr 63. 5. Strijbosh L.W.G., Moors J.J.A.: Simple Expressions for Safety Factors in Inventory Control. Tilburg University Center for Economic Research. Discussion Paper 1999, No 11. A COMPARISON OF DECISION MODEL OF INVENTORY MANAGEMENT WITH FULL AND PARTIAL DEMAND INFORMATION Summary In the article the author compared results generated by classical D Q, re inventory management model with backorders case with full and partial demand information. In the model with full demand information the gamma distribution of lead-time demand was used. The results show that both optimal order quantity Q and re-order point r are higher for partial demand information. Also, optimal costs generated by the model with partial demand information are always higher than for full demand information. The higher A ratio, the higher the difference becomes. The value of the distributional information (VDI) takes the highest values when the coefficient of deviation (V S ) is around 100% for large values of the A ratio. Translated by Krzysztof Dmytrów