LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY, LICZBY RZECZYWISTE

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY, LICZBY RZECZYWISTE POJĘCIE PIERWOTNE, AKSJOMAT, TWIERDZENIE Pojęcie pierwotne jest to pojęcie, którego nie definiujemy, a mimo to przyjmujemy za oczywiste np.: liczba, punkt, prosta, płaszczyzna. Pojęcie, które nie są pierwotne należy zdefiniować za pomocą pojęć pierwotnych. Aksjomat (pewnik) jest to twierdzenie, które przyjmujemy za prawdziwe bez dowodu np.: Do prostej należy nieskończenie wiele punktów." Albo: "Przez 2 różne punkty przechodzi zawsze tylko jedna prosta." Twierdzenie, które nie są aksjomatami wymagają dowodu opartego na aksjomatach. ZDANIA W LOGICE Zdaniem nazywamy w logice wypowiedź twierdzącą, której można przypisać jedną z dwóch ocen: prawdę lub fałsz. Zdanie zaczynające się np. od "czy" nie będzie zatem zdaniem w sensie logiki matematycznej. Wartość logiczną zdania prawdziwego przyjmujemy umownie 1, zdania fałszywego zaś 0. Zdania na ogół oznaczamy małymi literami: Na przykład zdanie: 13 jest liczbą pierwszą jest (w arytmetyce) zdaniem prawdziwym (wartość logiczna 1), zaś zdanie 13 jest liczbą parzystą jest zdaniem fałszywym (wartość logiczna 0). Zdanie: Czy kwadrat jest czworokątem? nie jest twierdzące, zatem nie ma wartości logicznej. Zdanie: Prosta jednym ruchem gałki ocznej niszczy galaktyki jest wprawdzie twierdzące, ale zarówno w ramach geometrii jak i astronomii bezsensowne. Logika nie ustala wartości logicznych zdań. Czyni to odpowiednia nauka. Na przykład zdanie: Istnieje liczba będąca ilorazem 13 i 5 jest fałszywe w arytmetyce liczb naturalnych (bo ułamek nie jest liczbą naturalną), ale prawdziwe w arytmetyce liczb wymiernych czy też rzeczywistych. Oczywiście to samo zdanie nie posiada wartości logicznej na przykład w etyce czy biologii. DZIAŁANIA NA ZDANIACH Negację (zaprzeczenie) zdania p, czyli zdanie nieprawda, że p oznaczamy: Na przykład jeżeli oznacza zdanie: 3 jest liczbą parzystą to oznacza zdanie: Nieprawda, że 3 jest liczbą parzystą. W tym przykładzie zdanie jest fałszywe, a zdanie nie jest prawdziwe. Zdania: i nie nazywamy sprzecznymi. Koniunkcję zdań i czyli zdanie p i q oznaczamy:. Koniunkcja dwóch zdań jest zdaniem prawdziwym tylko gdy oba zdania są prawdziwe. Na przykład zdanie: Kwadrat jest czworokątem i 7 jest liczbą pierwszą jest prawdziwe, natomiast zdanie Kwadrat nie jest czworokątem i 7 jest liczbą parzystą jest fałszywe. Alternatywę zdań i czyli zdanie p lub q oznaczamy Alternatywa dwóch zdań jest zdaniem fałszywym tylko w przypadku gdy oba zdania są fałszywe. Na przykład zdanie: Kwadrat jest czworokątem lub 7 jest liczbą parzystą jest prawdziwe, natomiast zdanie Kwadrat nie jest czworokątem lub 7 jest liczbą parzystą jest fałszywe. Podobnie zdanie 6 jest liczbą parzystą lub 6 jest liczbą nieparzystą jest prawdziwe, natomiast zdanie 7 jest podzielne przez 2 lub 7 jest podzielne przez 3 jest fałszywe. 1

Implikację (wynikanie) zdań i czyli zdanie jeśli p, to q oznaczamy: Zdanie nazywamy poprzednikiem implikacji, a zdanie następnikiem implikacji. Implikacja dwóch zdań jest zdaniem fałszywym tylko w przypadku gdy poprzednik jest prawdziwy a następnik fałszywy. Implikacja jest najciekawszym przypadkiem rachunku zdań. Przeczy ona bowiem niekiedy zdrowemu rozsądkowi. W mowie potocznej nie używamy słowa "wynika" w tak szerokim znaczeniu. Na przykład nie mówimy o wynikaniu gdy zarówno poprzednik jak i następnik są fałszywe. Tymczasem w logice matematycznej takie zdanie jest prawdziwe! Równoważność zdań i czyli zdanie p wtedy i tylko wtedy, gdy q oznaczamy: Równoważność jest prawdziwa, gdy po obu stronach stoją zdania o tej samej wartości logicznej. Inaczej mówiąc, jeżeli równoważność jest prawdziwa, to zdania p i q nazywamy zdaniami równoważnymi. Na przykład:. Równoważność jest uogólnieniem równości, stąd nieprzypadkowe podobieństwo symboli. Tabela wartości logicznych negacji, koniunkcji, alternatywy, implikacji i równoważności: 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 TAUTOLOGIA Tautologia to zdanie złożone, które jest zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznych zdań prostych, z których się składa. Na przykład prawdziwe jest zawsze zdanie: Jest mróz i jeżeli jest mróz, to woda w jeziorze zamarza, zatem woda w jeziorze zamarza. Prawdziwe jest też zdanie: Jeżeli Jan wygrał w totka lub Piotr wygrał w totka, to jeżeli Jan nie wygrał w totka, to Piotr wygrał w totka. Najbardziej znanymi tautologiami są podane niżej prawa: 1. Prawo wyłączonego środka: 2. Prawo transpozycji: 3. Reguła odrywania: 4. I prawo de Morgana: 5. II prawo de Morgana: KWADRAT LOGICZNY TWIERDZEŃ Twierdzenia matematyczne na ogół mają postać implikacji. Jeżeli implikacja jest twierdzeniem, to jego poprzednik nazywamy założeniem twierdzenia, następnik zaś tezą twierdzenia. Dla danej implikacji którą nazywamy prostą, implikację nazywamy odwrotną. Prawdziwość jednej z nich na ogół nie pociąga za sobą prawdziwości drugiej. Dla każdej implikacji prostej implikację nazywamy przeciwstawną, a implikację przeciwną. Implikacja prosta i przeciwstawna są równoważne oraz równoważne są implikacje odwrotna i przeciwna. Zależności te można przedstawić na tzw. kwadracie logicznym twierdzeń. 2

Przy wierzchołkach kwadratu położonych wzdłuż na samej przekątnej znajdują się implikacje równoważne. Każda z par implikacji: prosta i przeciwna oraz odwrotna i przeciwstawna stanowi tzw. zamknięty układ implikacji Dla dowodu twierdzenia postaci, wystarczy udowodnić implikację prostą i odwrotną. Z kwadratu logicznego wynika, że dla dowodu twierdzenia wystarczy udowodnić jedną z par implikacji występujących w tym kwadracie przy wspólnym boku. Przykład. Oto cztery twierdzenia tworzące kwadrat logiczny twierdzeń. Twierdzenie proste: Jeżeli liczba naturalna dzieli się przez 25, to dzieli się przez 5. Twierdzenie odwrotne: Jeżeli liczba naturalna dzieli się przez 5, to dzieli się przez 25. Twierdzenie przeciwstawne: Jeżeli liczba naturalna nie dzieli się przez 5, to nie dzieli się przez 25. Twierdzenie przeciwne: Jeżeli liczba naturalna nie dzieli się przez 25, to nie dzieli się przez 5. KWANTYFIKATORY OGÓLNY I SZCZEGÓŁOWY Ważną rolę w formułowaniu twierdzeń i definicji, odgrywają wyrażenia dla każdego i istnieje. Wyrażenia te oznaczane są specjalnymi symbolami i. Zdanie: Dla każdej liczby rzeczywistej zachodzi zapisujemy: Zdanie: Istnieje taka liczba rzeczywista, że zapisujemy:. Znaki i nazywamy odpowiednio kwantyfikatorem ogólnym i szczegółowym. Czasem zamiast i używane są znaki i. ZBIÓR, ELEMENT, NALEŻENIE Pojęcie zbioru jest jednym z podstawowych pojęć matematycznych. Jest to pojęcie pierwotne. Zbiór będziemy rozumieć jako pewną całość złożoną z pojedynczych obiektów, nazywanych elementami tego zbioru. Elementy zbioru mogą być zupełnie dowolne. Zbiory oznaczamy wielkimi literami, np., lub itd. Elementy zbioru oznaczamy zaś literami małymi, np., lub itd. Jeśli element należy do zbioru A zapisujemy to symbolicznie. Symbol oznacza należy do. Elementami zbioru mogą być inne zbiory. Na przykład zbiór {{ } } zawiera dwa elementy: { } i. Element { } sam jest zbiorem (dwuelementowym), ale uwaga, jego elementy nie należą do zbioru. Zbiór zawierający n elementów: zapisujemy symbolicznie umieszczając elementy w nawiasach klamrowych: { } Zbiór można określić również wymieniając własność, którą posiadają jego elementy, na przykład zapis { } oznacza zbiór liczb naturalnych mniejszych od 7 czyli zbiór { }. 3

ZBIÓR SKOŃCZONY, ZBIÓR NIESKOŃCZONY, ZBIÓR PUSTY, MOC ZBIORU Zbiór zawierający skończenie wiele elementów nazywamy zbiorem skończonym. W otaczającej nas rzeczywistości mamy do czynienia tylko z takimi zbiorami. Liczbę elementów zbioru oznaczamy i nazywamy mocą zbioru. Zbiór, który nie jest skończony (a z takimi mamy często do czynienia w matematyce) nazywamy zbiorem nieskończonym. Przykład: zbiór punktów na prostej, zbiór ułamków, zbiór funkcji liniowych itd. Moc zbioru skończonego to po prostu liczba jego elementów. Może to wydawać się dziwne ale również zbiory nieskończone, podobnie jak zbiory skończone, mogą mieć różne moce. Zbiór nie zawierający żadnego elementu nazywa się zbiorem pustym, oznaczamy. Istnieje tylko jeden zbiór pusty (jest to jeden z tzw. aksjomatów teorii zbiorów mnogości). RÓWNOŚĆ ZBIORÓW, ZAWIERANIE SIĘ ZBIORÓW Zbiory i są równe, wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru jest elementem zbioru i każdy element zbioru jest elementem zbioru. Jeżeli każdy element należący do należy jednocześnie do zbioru, to zbiór nazywa się podzbiorem zbioru. Mówimy też, że zbiór zawiera się w zbiorze. Każdy zbiór jest swoim własnym podzbiorem (tak zwanym podzbiorem niewłaściwym). Zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru. Przykład: zbiór kwadratów zawiera się w zbiorze prostokątów, z kolei zbiór prostokątów zawiera się w zbiorze równoległoboków, ten zawiera się w zbiorze trapezów, a ten z kolei zawiera się w zbiorze czworokątów. W zbiorze czworokątów, zawiera się też na przykład zbiór deltoidów, którego podzbiorem jest zbiór rombów. Zawieranie się zbioru w zbiorze oznaczamy, co ilustruje symboliczny rysunek obok. Z prawej ilustracja wzajemnego położenia zbiorów liczbowych (o których dalej). DZIAŁANIA NA ZBIORACH Na zbiorach, podobnie jak na liczbach można wykonywać działania. Mają one podobne nazwy, ale ich rezultat jest nieco inny niż w przypadku działań na liczbach. I tak po kolei: Suma zbiorów: Suma zbiorów i jest to zbiór elementów należących do zbioru lub do zbioru i tylko do nich. W istocie suma to po prostu obydwa zbiory połączone w jeden. Sumę zbiorów i zapisujemy: Przykłady: Sumą zbiorów { } i { } jest zbiór { }. Sumą zbioru liczb wymiernych i niewymiernych jest zbiór liczb rzeczywistych. Iloczyn zbiorów: Iloczyn zbiorów i jest to zbiór elementów należących i do zbioru i do zbioru. Iloczyn zbiorów to po prostu ich część wspólna. Iloczyn zbiorów i zapisujemy: Przykłady: Iloczynem zbiorów { } i { } jest zbiór { }. Iloczynem zbioru liczb naturalnych i zbioru liczb całkowitych parzystych jest zbiór liczb naturalnych parzystych. 4

Różnica zbiorów: Różnica zbiorów i jest to zbiór elementów należących do zbioru ale nie należących do zbioru. Po prostu ze zbioru "wyrzucamy" wszystko co nie należy do zbioru. Różnicę zbiorów i zapisujemy: Przykład: Różnicą zbioru liczb naturalnych i zbioru liczb całkowitych parzystych jest zbiór liczb naturalnych nieparzystych. Przestrzeń i dopełnienie zbioru: Jeżeli rozpatrywane przez nas zbiory są podzbiorami ustalonego zbioru to zbiór nazywamy przestrzenią. Dopełnieniem zbioru w przestrzeni nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni, które nie należą do zbioru. Dopełnienie zbioru oznaczamy. Dopełnienie zbioru zapisujemy jako: Przykład: Dopełnieniem zbioru liczb wymiernych (w przestrzeni liczb rzeczywistych) jest zbiór liczb niewymiernych. PRAWA DZIAŁAŃ NA ZBIORACH (PRAWA DE MORGANA) Dla dowolnych zbiorów zachodzą następujące prawa: 1. (prawo łączności sumy) 2. (prawo łączności iloczynu) 3. (prawo rozdzielności sumy względem iloczynu) 4. (prawo rozdzielności iloczynu względem sumy) 5. (I prawo de Morgana) 6. (II prawo de Morgana) * ILOCZYN KARTEZJAŃSKI ZBIORÓW Iloczyn kartezjański zbiorów i to zbiór wszystkich par uporządkowanych dla których, zaś. Zbiór ten oznaczamy symbolem. Nazwa iloczyn kartezjański pochodzi od Kartezjusza, francuskiego filozofa i matematyka. Przykład: jeśli i będzie zbiorem liczb rzeczywistych, wówczas zbiór będzie zbiorem wszystkich par liczb rzeczywistych, który możemy utożsamiać ze zbiorem punktów na płaszczyźnie (stąd określenie kartezjański układ współrzędnych). Z kolei iloczyn kartezjański dwóch przedziałów liczbowych można utożsamić z pewnym prostokątem na płaszczyźnie. ZBIORY LICZBOWE Zbiory liczbowe to zbiory, których elementami są liczby. Zbiory liczbowe odgrywają wielką rolę w matematyce. Do najważniejszych zbiorów liczbowyuch zaliczamy: 5 1. zbiór liczb naturalnych, oznaczany jako 2. zbiór liczb całkowitych, oznaczany jako 3. zbiór liczb wymiernych, oznaczany jako 4. zbiór liczb niewymiernych, oznaczany jako 5. zbiór liczb rzeczywistych, oznaczany jako ZBIÓR LICZB NATURALNYCH Najważniejszym zbiorem liczbowym, zbiorem na bazie którego zbudowana jest cała matematyka jest zbiór liczb naturalnych { }. Liczba naturalna to każda z liczb, do której możemy doliczyć, poczynając od. Zbiór liczb naturalnych jest zbiorem nieskończonym gdyż nie istnieje największa liczba

naturalna (można liczyć bez końca). Liczbą naturalną jest zatem czy. Matematyk niemiecki Leopold Kronecker (1823-1891) uważał, że liczby naturalne stworzył Bóg, a wszystko inne jest dziełem człowieka. LICZBY PIERWSZE I ZŁOŻONE Ważnym podzbiorem zbioru liczb naturalnych jest zbiór liczb pierwszych. Liczba naturalna jest liczbą pierwszą, jeśli i dzieli się tylko przez i przez samą siebie (inaczej: ma tylko dwa różne dzielniki). Zbiór liczb pierwszych jest nieskończony (nie istnieje największa liczba pierwsza) największa znana dzisiaj liczba pierwsza liczy ponad 17 milionów cyfr. Liczba ta to. Każdą liczbę naturalną daje się przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych (mogą one się powtarzać) tylko na 1 sposób. Na przykład. Liczbę, która nie jest liczbą pierwszą nazywamy liczbą złożoną. Liczby pierwsze mają fundamentalne znaczenie w teorii liczb. Jeśli zbiór liczb naturalnych porównalibyśmy do materii to liczby pierwsze są odpowiednikiem pierwiastków chemicznych, a liczby złożone związków. Oto kilkanaście początkowych liczb pierwszych: ZBIÓR LICZB CAŁKOWITYCH Zbiór liczb jest całkowitych powstaje poprzez dołączenie do zbioru liczb naturalnych liczb do nich przeciwnych i zera. { }. ZBIÓR LICZB WYMIERNYCH Liczby wymierne to po prostu ułamki, czyli ilorazy dwóch liczb całkowitych, z których górną nazywamy licznikiem, a dolną mianownikiem, przy czym ponieważ dzielenie przez zero jest niewykonalne, mianownik musi być różny od zera. Oczywiście każda liczba całkowita jest ułamkiem (o mianowniku 1). Liczby wymierne to:. Liczbami wymiernymi nie będą,, o czym dalej. Zatem zbiór liczb wymiernych zapisujemy symbolicznie: { }. ZBIÓR LICZB NIEWYMIERNYCH Liczba niewymierna to liczba, której nie da się przedstawić w postaci ułamka. Na przykład liczbami niewymiernymi są pierwiastki dowolnego stopnia z liczb całkowitych, które same nie są liczbami całkowitymi (np. ) Inną, znaną nam już liczbą niewymierną jest (czyli stosunek długości okręgu do jego średnicy), a także nieznana nam jeszcze, ale bardzo ważna w matematyce liczba (tzw. liczba Eulera). ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH Pojęcie liczby rzeczywistej jest obejmuje wszystkie rodzaje liczb: liczby naturalne, całkowite, ułamki, oraz liczby niewymierne. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem. Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich oznaczać będziemy a zbiór liczb rzeczywistych ujemnych. 6

DZIAŁANIA WYKONALNE W ZBIORACH LICZBOWYCH Znamy cztery podstawowe działania na liczbach: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Działanie jest wykonalne w danym zbiorze liczbowym, jeżeli rezultat działania na liczbach z tego zbioru również należy do tego zbioru. Wykonalność działań w danym zbiorze przedstawia tabelka: Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie tak nie tak nie tak tak tak nie tak tak tak tak (oprócz dzielenia przez 0) tak tak nie tak tak tak tak UŁAMKI DZIESIĘTNE SKOŃCZONE, NIESKOŃCZONE OKRESOWE, NIESKOŃCZONE NIEOKRESOWE tak (oprócz dzielenia przez 0) Ułamkiem dziesiętnym skończonym nazywamy ułamek, którego mianownik jest pewną potęgą (o wykładniku naturalnym) liczby 10. Ułamki dziesiętne zapisuje się stosując przecinek, który oddziela część całkowitą od części ułamkowej. Pierwsze miejsce po przecinku oznacza części dziesiąte, drugie setne, trzecie tysiączne, itd. Jeżeli ciąg cyfr po przecinku jest skończony wówczas mamy do czynienia z ułamkiem dziesiętnym skończonym. Na ułamek dziesiętny skończony można przekształcić każdy ułamek zwykły, którego mianownik jest postaci (w rozkładzie na czynniki pierwsze mianownika występuje iloczyn wyłącznie potęg liczby 2 i potęg liczby 5). Przykład: Ułamkiem dziesiętnym okresowym nazywamy ułamek dziesiętny, w zapisie którego od pewnego miejsca określony zestaw cyfr powtarza się w nieskończoność. Dzieje się tak jeżeli w mianowniku ułamka zwykłego występują potęgi innych liczb niż 2 lub 5. Przekształcenie takiego ułamka zwykłego do postaci ułamka dziesiętnego okresowego polega na wykonaniu pisemnego dzielenia licznika przez mianownik, do momentu w którym cyfry po przecinku zaczną się powtarzać. I odwrotnie, aby przekształcić ułamek dziesiętny okresowy na zwykły postępujemy jak w przykładzie. Przykład: Przekształcić ułamek okresowy na ułamek zwykły. Oznaczmy, mamy zatem. Odejmując stronami obie równości dostajemy równość, skąd natychmiast otrzymujemy. Ułamkiem dziesiętnym nieskończonym nieokresowym nazywamy ułamek dziesiętny, w zapisie którego po przecinku występuje nieskończenie wiele cyfr, pośród których żaden ich ciąg nie powtarza się. Na przykład: (po przecinku występują kolejne liczby naturalne) lub (między kolejnymi jedynkami zwiększa się liczba zer). Takie ułamki dziesiętne nieskończone nieokresowe reprezentują liczby niewymierne. 7

OŚ LICZBOWA Zbiór liczb rzeczywistych można przedstawić w postaci tzw. osi liczbowej. Jest to prosta, na której ustalono punkty odpowiadające liczbie 0 i liczbie 1. Gdzie są pozostałe liczby? Położenie liczb całkowitych widać od razu. Liczby wymierne (ułamki) też łatwo znaleźć. Punkty, które nie odpowiadają żadnej liczbie wymiernej reprezentują liczby niewymierne. Znalezienie położenia liczby niewymiernej na osi liczbowej jest niekiedy trudnym zadaniem. Dzięki temu modelowi każdej liczba rzeczywistej odpowiada pewien punkt na osi liczbowej i odwrotnie, każdemu punktowi na osi liczbowej odpowiada pewna liczba rzeczywista. PRZEDZIAŁY LICZBOWE Przedziałem liczbowym ograniczonym otwartym nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność postaci:. W przedziale otwartym nie istnieje liczba największa ani najmniejsza. Przedziałem liczbowym ograniczonym domkniętym nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność postaci:. W przedziale domkniętym istnieje liczba największa i liczba najmniejsza. Przedziałem liczbowym nieograniczonym otwartym rzeczywistych spełniających nierówność postaci:. Przedziałem liczbowym nieograniczonym domkniętym rzeczywistych spełniających nierówność postaci:. Przedziałem liczbowym nieograniczonym otwartym rzeczywistych spełniających nierówność postaci:. Przedziałem liczbowym nieograniczonym domkniętym rzeczywistych spełniających nierówność postaci:. 8 nazywamy zbiór wszystkich liczb nazywamy zbiór wszystkich liczb nazywamy zbiór wszystkich liczb nazywamy zbiór wszystkich liczb Przedział to po prostu zbiór. Oprócz powyższych istnieją również przedziały otwartodomknięte, których zdefiniowanie nie nastręcza trudności. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY (MODUŁ) Wartością bezwzględną liczby rzeczywistej nieujemnej jest ta sama liczba, wartością bezwzględną liczby rzeczywistej ujemnej, jest liczba do niej przeciwna. Fakt ten zapisujemy następująco: { W interpretacji geometrycznej wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ Często wartość bezwzględna występuje w równaniach lub nierównościach. Jak sobie z nimi radzić pokazują poniższe przykłady. Przykład 1: Rozwiązać równanie: Równanie rozwiążemy metodą filozoficzną. Wartość bezwzględna jakiej liczby wynosi 1? Otóż liczby 1 i liczby 1. Zatem pod znakiem wartości bezwzględnej po lewej stronie równania musi stać liczba 1

lub liczba 1. Skoro tak to lub. Zatem równanie ma dwa rozwiązania: i. Przykład 2: Rozwiązać nierówność Równanie rozwiążemy również metodą filozoficzną. Jaka liczba ma wartość bezwzględną większą od 3? Otóż liczba większa od 3 lub mniejsza od 3. Zatem lub. Skoro tak to lub. Zatem rozwiązaniem nierówności są. Przykład 2: Rozwiązać nierówność I tutaj działa metoda filozoficzna. Jaka liczba ma wartość bezwzględną mniejszą od 5? Otóż liczba mniejsza od 5 ale jednocześnie większa od 5. Zatem. Skoro tak to i. Zatem rozwiązaniem nierówności są. 9

ZADANIA SPRAWDZAJĄCE 1. Które z zdania są zdaniami w sensie logiki matematycznej? Oceń ich wartość logiczną. 10 a) Wszystkie liczby parzyste dzielą się przez 4. b) jest liczbą dodatnią. c) Każda liczba podzielna przez 6 jest parzysta. 2. Oceń wartość logiczną następujących zdań oraz skonstruuj ich negacje: a) Jeśli, to. a) 8 jest liczbą parzystą i podzielną przez 4. b) lub. c) Jeśli to. d) Liczba 128 jest parzysta i jest potęgą liczby 3. 3. Udowodnij, że poniższe zdania są tautologiami: a) b) c) 4. Wypisz po 5 elementów poniższych zbiorów: d) e) f) Niektóre liczby parzyste dzielą się przez 12 e) Warszawa leży nad Wisłą lub Kraków leży nad Wisłą. f) Jeśli pies jest ssakiem, to kot ma cztery łapy. g) Pada deszcz lub nie pada deszcz. h) Jeśli 5 jest liczbą parzystą, to a) { } (zbiór liczb naturalnych podzielnych przez 3) b) { } (zbiór liczb będących kwadratem liczby naturalnej) c) { } (zbiór ułamków dodatnich o liczniku 1) d) { } (zbiór liczb wymiernych z przedziału ) e) { } (zbiór potęg o wykładniku naturalnym liczby 2) f) { } 5. Podaj określenie zbiorów zawierających następujące elementy: a) { } b) { } 6. Wypisz wszystkie elementy zbiorów: a) { } b) { } c) C = { } d) e) f) c) { } d) { } d) { }; e) { } f) { { } { } { }} 7. Niech oznacza zbiór dzielników liczby, zaś zbiór dzielników liczby. Znajdź zbiory: a) b) c) d) 8. Wypisz wszystkie podzbiory zbioru { }. 9. Które z poniższych zbiorów są równe? a) { } b) { } c) C = { } d) { } e) { }

10. Przez oznaczamy zbiór liczb całkowitych podzielnych przez. Dla każdej pary podanych zbiorów określ czy jeden jest zawarty w drugim. a) i b) i c) i d) i 11. W oparciu o definicję zbioru z poprzedniego zadania, wyznacz zbiory: a) b) 12. Niech będzie przestrzenią, a dowolnym jej podzbiorem. Uzupełnij puste miejsca: a) b) c) d) e) f) g) 13. Zbiory i są niepuste. Co można o nich powiedzieć, jeśli wiadomo, że: a) b) c) d) e) f) g) h) 14. Dane są trzy zbiory, takie że,,. Sporządź ilustrujący to diagram Venna. Sprawdź na osobnych rysunkach czy prawdziwe są równości: a) b) 15. Wyznacz zbiory: a) b) c) d) 16. Zaznacz na osi liczbowej przedziały: a) ( ) b) c) d) 17. Zaznacz na osi liczbowej iloczyn (część wspólną) przedziałów: a) b) c) d) e) f) h) Zaznacz na osi liczbowej sumę przedziałów: a) b) c) d) e) f) 18. Skróć ułamki: a) b) c) d) e) f) 19. Uporządkuj w kolejności rosnącej liczby: a) b) c) d) c) d) e) f) g) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) 11 e) f)

20. Znajdź 2 liczby wymierne i 2 niewymierne znajdujące się między liczbami i. 21. Porównaj liczby: a) i b) i c) i d) i e) i f) i g) i h) i 22. Zamień ułamek dziesiętny okresowy na ułamek zwykły: a) b) c) d) e) f) 2,(21) g) 3,1(45) h) 0,5(45) i) 5,(002) j) 0,412(5) 23. Zamień ułamek zwykły na dziesiętny: a) b) c) d) e) f) g) h) 24. Oblicz: a) liczby b) liczby c) liczby 25. Jakim procentem liczby jest liczba gdy: a), b), d) liczby e) liczby f) liczby c), 26. Cenę pewnego produktu obniżono najpierw o 10% a następnie o 20%. O ile procent obniżono ostatecznie cenę tego produktu? 27. Zapisz podane wyrażenia bez symbolu wartości bezwzględnej: a) c) dla b) dla d) dla 28. Do jakiego przedziału liczbowego należy jeżeli: a) d) b) c) 29. Z definicji pierwiastka arytmetycznego wynika, że, korzystając z tego wzoru uprość: a) b) 30. Wyznacz wszystkie liczby, dla których: c) gdy d) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 12