Opcje drabinowe analiza w asno ci

A N N A L E S U N I V E R S I TAT I S M A R I A E C U R I E - S K O D O W S K A LUBLIN POLONIA VOL. XLVI, 1 SECTIO H 212 Katedra Ekonometrii i Statystyki Uniwersytet Miko aja Kopernika w Toruniu EWA DZIAWGO Opcje drabinowe analiza w asno ci Ladder options analysis of the properties Wprowadzenie Procesy globalizacji zachodz ce w gospodarce wiatowej stwarzaj wiele nowych mo liwo ci rozwoju przedsi biorstwom, które w coraz wi kszym stopniu mog rozszerza swoj dzia alno gospodarcz na skal mi dzynarodow. Jednak wzrost zjawiska globalizacji wp ywa na rosn c zmienno warunków rynkowych, co z kolei przyczynia si do wzrostu ryzyka zwi zanego z prowadzeniem dzia alno ci gospodarczej. Dlatego tak du e znaczenie dla poprawy wyników finansowych ma poszukiwanie i umiej tne stosowanie nowych metod i instrumentów pozwalaj cych na skuteczniejsze zarz dzanie ryzykiem. Prawid owe wprowadzanie nowych rozwi za w zakresie zarz dzania ryzykiem umo liwia osi gni cie przewagi konkurencyjnej. W procesie zarz dzania ryzykiem istotne znaczenie maj instrumenty pochodne. Jedn z zalet tych instrumentów jest mo liwo zabezpieczenia przed ryzykiem niekorzystnej zmiany ceny instrumentu bazowego w przysz o ci 1. Obszern grup instrumentów pochodnych stanowi opcje. Cech kontraktów opcyjnych jest niesymetryczno praw i obowi zków na o onych na strony transakcji. Nabywca opcji kupna/sprzeda y otrzymuje prawo kupna/sprzeda y okre lonego instrumentu bazowego w okre lonym czasie (czas wykonania) po okre lonej cenie (cena wykonania). Z kolei wystawiaj cy opcj zobowi zany jest do wykonania umowy, je li opcja b dzie realizowana. W dniu wykonania kontraktu wystawca opcji kupna/sprzeda y ma obowi zek sprzeda y/kupna 1 K. Jajuga, Zarz dzanie ryzykiem, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 27.

46 EWA DZIAWGO okre lonego instrumentu bazowego po cenie wykonania. Mo liwo profesjonalnego wykorzystania niesymetryczno ci kontraktu opcyjnego zwi ksza atrakcyjno opcji w grupie instrumentów zarz dzania ryzykiem 2. W artykule przedstawiono w asno ci opcji drabinowych. Ilustracja empiryczna zawarta w artykule przeprowadzona jest na podstawie symulacji wyceny opcji drabinowych wystawionych na EUR/PLN. 1. Rodzaje opcji drabinowych Opcje drabinowe (ang. ladder options) nale do klasy opcji uwarunkowanych 3. Dochód z nich zale y od tego, czy w okresie wa no ci opcji cena instrumentu bazowego przekroczy wyznaczone w dniu zawarcia kontraktu poziomy cen (tzw. szczeble drabiny) 4. Liczba ustalonych poziomów cen oraz odleg o mi dzy tymi poziomami (tzw. g sto szczebli drabiny) jest ustalana w dniu zawarcia umowy. Je li w okresie wa no ci opcji cena instrumentu przekroczy wyznaczone poziomy cen, to w dniu wyga ni cia dochód z drabinowej opcji kupna równy jest ró nicy mi dzy maksymalnym osi gni tym poziomem szczebla i cen wykonania. W dniu wyga ni cia opcji funkcja wyp aty drabinowej opcji kupna jest w postaci: w = max{[max( L, L,..., L, S ) K];} (1) c gdzie: w c funkcja wyp aty drabinowej opcji kupna, S T cena instrumentu bazowego w chwili T, K cena wykonania opcji, L i ustalony w dniu zawarcia umowy poziom ceny (szczebel drabiny), który w okresie wa no ci opcji zosta osi gni ty przez cen instrumentu bazowego, i = 1,2,...n, n liczba poziomów szczebli, T czas wyga ni cia opcji. Je li w okresie wa no ci opcji cena instrumentu przekroczy wyznaczone poziomy cen, to w dniu wyga ni cia dochód z drabinowej opcji sprzeda y równy jest 1 2 n T 2 W. Tarczy ski, Instrumenty pochodne na rynku kapita owym, PWE, Warszawa 23; J. C. Hull, Options, Futures and other Derivatives, Prentice Hall International, Inc. 22; E. Dziawgo, Wprowadzenie do strategii opcyjnych, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Miko aja Kopernika, Toru 21. 3 K. Jajuga, W. Gudaszewski, W. Mróz, Opcje egzotyczne wprowadzenie, Rynek Terminowy 24, nr 23; A. Weron, R. Weron, In ynieria finansowa. Wycena instrumentów pochodnych. Symulacje komputerowe. Statystyka rynku; Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1998. 4 A. Napiórkowski, Charakterystyka, wycena i zastosowanie wybranych opcji egzotycznych, NBP Departament Analiz i Bada, Warszawa 22; M. Ku mierkiewicz, Opcje uwarunkowane, Bank i Kredyt, 1999, nr 6.

OPCJE DRABINOWE ANALIZA W ASNO CI 47 ró nicy mi dzy cen wykonania i minimalnym osi gni tym poziomem cenowym szczebla. W przypadku drabinowej opcji sprzeda y funkcja wyp aty jest postaci: w = max{[ K min( L, L,..., L, S )];} (2) p gdzie: w p funkcja wyp aty drabinowej opcji sprzeda y, pozosta e oznaczenia s takie same jak we wzorze (1). W tabeli 1 przedstawiono podzia opcji drabinowych w zale no ci od relacji mi dzy cen wykonania a maksymaln (w przypadku opcji kupna) lub minimaln (w przypadku opcji sprzeda y) warto ci ze zbioru cen {L 1, L 2,..., L n, S T }. 1 2 n T Tabela 1. Rodzaje drabinowych opcji kupna i sprzeda y w-cenie max(l 1, L 2,..., L n, S T ) > K Drabinowa opcja kupna po-cenie max(l 1, L 2,..., L n, S T ) = K nie-w-cenie max(l 1, L 2,..., L n, S T ) < K w-cenie K > min(l 1, L 2,..., L n, S T ) Drabinowa opcja sprzeda y po-cenie K = min(l 1, L 2,..., L n, S T ) nie-w-cenie K < min(l 1, L 2,..., L n, S T ) ród o: Opracowanie w asne 5. Je li w okresie wa no ci opcji cena instrumentu bazowego nie przekroczy wyznaczonych poziomów cen, to w dniu wyga ni cia wyp ata otrzymana z opcji drabinowych równa jest wyp acie otrzymanej ze zwyk ej opcji, tzn.: wc 1 wp 1 = max[ S K;] - dla opcji kupna, (3) T = max[ K S ;] - dla opcji sprzeda y, (4) T gdzie: w c 1 funkcja wyp aty zwyk ej opcji kupna, w p 1 funkcja wyp aty zwyk ej opcji sprzeda y, pozosta e oznaczenia s takie same jak we wzorze (1). 5 Oznaczenia symboli wyst puj cych w tabeli s takie same jak we wzorze (1).

48 EWA DZIAWGO Je eli w funkcji wyp aty opcji uwzgl dni si ekstremum ze zbioru wszystkich cen instrumentu bazowego osi gni tych w okresie wa no ci opcji, to dochód otrzymany z tej opcji jest równy dochodowi otrzymanemu z opcji wstecznej o sta ej cenie realizacji 6. Funkcja wyp aty opcji wstecznej wynosi: w przypadku opcji kupna: w c2 = max[ M K;] (5) T w przypadku opcji sprzeda y: w p2 = max[ K m ;] (6) T gdzie: w c 2 funkcja wyp aty wstecznej opcji kupna o sta ej cenie realizacji, M T maksymalna cena instrumentu bazowego osi gni ta w okresie [;T], w p 2 funkcja wyp aty wstecznej opcji sprzeda y o sta ej cenie realizacji, m T minimalna cena instrumentu bazowego osi gni ta w okresie [;T], pozosta e oznaczenia s takie same jak we wzorze (1). W przypadku kiedy ustali si bardzo du liczb szczebli cenowych oraz okre li si ma e odleg o ci mi dzy poziomami cen, to warto ko cowa opcji drabinowej b dzie zbli ona do warto ci ko cowej opcji wstecznej o sta ej cenie realizacji. 2. W asno ci drabinowych opcji kupna analiza empiryczna Rozwa ania dotycz wp ywu wybranych czynników na kszta towanie si ceny drabinowej opcji kupna. Na rysunku 1 przedstawiono kszta towanie si ceny drabinowej i zwyk ej opcji kupna z cen wykonania 3,93 z. Termin wyga ni cia rozpatrywanych opcji wynosi 4 miesi ce. Symulacja wyceny przeprowadzona jest dla okresu 3.1 31.3.211 r. Opcje wystawione s na EUR/PLN. W przypadku opcji drabinowej szczebel drabiny wyznaczony zosta na poziomie 4,9 z. Na rysunku 2 przedstawiono wp yw bie cej ceny instrumentu bazowego na kszta towanie si ceny drabinowej opcji kupna. Termin wyga ni cia rozpatrywanych opcji wynosi 4 miesi ce, a cena wykonania 3,93 z. W rozpatrywanym okresie cena instrumentu bazowego nie przekroczy a poziomu 4,9 z. W okresie 5.1 27.1.211 r., 31.1 9.2.211 r., 15.2 18.2.211 r. cena instrumentu bazowego by a mniejsza od ceny wykonania. Opcje kupna by y wówczas typu nie-w-cenie. W pozosta ym analizowanym okresie rozpatrywane opcje by y typu w-cenie (cena instrumentu bazowego by a wi ksza od ceny wykonania). 6 E. Dziawgo, Analiza w asno ci opcji wstecznych, [w:] Problemy rozwoju rynku finansowego w aspekcie wzrostu gospodarczego, red. P. Karpu, J. W c awski, Wydawnictwo Uniwersytetu Marii Curie-Sk odowskiej, Lublin 27.

OPCJE DRABINOWE ANALIZA W ASNO CI 49,7,6,5,4,3,2 3.1 7.1 13.1 19.1 25.1 31.1 opcja drabinowa 4.2 1.2 16.2 data 22.2 28.2 7.3 11.3 17.3 opcja zwykła 23.3 29.3 Rys. 1. Kszta towanie si ceny drabinowej i zwyk ej opcji kupna,4,35,3,25,2 5,5 3,94 3,96 3,98 4 cena instrumentu bazowego [PLN] Rys. 2. Wp yw ceny instrumentu bazowego na cen drabinowej opcji kupna Z analizy kszta towania si cen przedstawionych na powy szych rysunkach wynika, e: drabinowa opcja kupna jest dro sza od zwyk ej opcji kupna, wzrost/spadek ceny instrumentu bazowego wp ywa na wzrost/spadek ceny zarówno zwyk ej, jak i drabinowej opcji kupna, w porównaniu ze zwyk opcj cena opcji drabinowej ulega wi kszym wahaniom,

41 EWA DZIAWGO w przypadku zbli ania si ceny instrumentu bazowego do wyznaczonego poziomu szczebla cenowego (w dniu 17.3) wyst puje znaczny wzrost ceny drabinowej opcji kupna. W tabeli 2 przedstawiono wp yw stopy procentowej na cen analizowanej drabinowej opcji kupna 7. Rysunek 3 jest ilustracj wp ywu ceny wykonania na cen drabinowej opcji kupna. Analiza przeprowadzona jest dla opcji z terminem wyga ni cia 4 miesi ce. Rysunek 4 przedstawia wp yw terminu wyga ni cia na cen opcji drabinowej. Rozwa ania dotycz opcji, których cena wykonania wynosi 3,93 z. Wp yw zmienno ci ceny instrumentu bazowego i czasu wyga ni cia na kszta towanie si ceny drabinowej opcji kupna przedstawiony jest na rysunku 5. Tabela 2. Wp yw stopy procentowej na cen drabinowej walutowej opcji kupna Stopa procentowa Wysoko stopy procentowej [%] Cena drabinowej walutowej opcji kupna [PLN] 4,35,2111 Krajowa 4,4,2228 4,45,2351 2,7,257 Zagraniczna 2,9,2463 2,11,2351,35,3,25,2 5,5 3,87 3,9 3,93 3,96 3,99 4,2 Rys. 3. Wp yw ceny wykonania opcji [PLN] na cen drabinowej opcji kupna 7 W przypadku opcji walutowej rozpatrywana jest stopa procentowa danego kraju oraz stopa procentowa kraju waluty obcej (E. Dziawgo, Modele kontraktów opcyjnych, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Miko aja Kopernika, Toru 23).

OPCJE DRABINOWE ANALIZA W ASNO CI 411,4,35,3,25,2 5,5 1 2 3 4 5 6 czas wygaśnięcia opcji [miesiące] Rys. 4. Wp yw czasu wyga ni cia na cen drabinowej opcji kupna,6,5,4,3,2,5 zmienność ceny instrumentu bazowego 5 3 6 czas wygaśnięcia [miesiące] Rys. 5. Wp yw zmienno ci ceny instrumentu bazowego i czasu wyga ni cia na cen drabinowej opcji kupna Z analizy kszta towania si cen przedstawionych na powy szych rysunkach i w tabeli 2 wynika, e: drabinowe opcje kupna z wy sz cen wykonania s ta sze, opcje z d u szym terminem wyga ni cia s dro sze,

412 EWA DZIAWGO wzrost krajowej stopy procentowej wp ywa na wzrost ceny drabinowej opcji kupna, wzrost zagranicznej stopy procentowej wp ywa na spadek ceny opcji kupna, wzrost zmienno ci ceny instrumentu bazowego przyczynia si do wzrostu ceny opcji, znaczniejszy wzrost ceny opcji wyst puje w przypadku wi kszej zmienno ci ceny instrumentu bazowego oraz d u szego terminu wyga ni cia. Dodatkowymi czynnikami, które wp ywaj na cen opcji drabinowych, s poziomy wyznaczonych szczebli cenowych oraz liczba tych poziomów. Rysunek 6 jest ilustracj wp ywu wyznaczonego poziomu szczebla na cen opcji. Analiza przeprowadzona jest dla opcji z jednym poziomem cenowym (z cen wykonania: 3,93 z ). Na wykresie 7 przedstawiono wp yw liczby szczebli cenowych na cen opcji. Rozpatrywana jest drabinowa opcja kupna z 1 poziomem cenowym 8, drabinowa opcja kupna z 2 szczeblami cenowymi 9 oraz wsteczna opcja kupna o sta ej cenie realizacji.,5,45,4,35,3,25,2 5,5 3,97 4 4,3 4,6 4,9 4,12 poziom szczebla drabiny cenowej [PLN] Rys. 6. Wp yw poziomu szczebla cenowego na cen drabinowej opcji kupna Z przeprowadzonej analizy wynikaj kolejne w asno ci drabinowej opcji kupna: opcje z wyznaczonym wy szym poziomem cenowym s ta sze, wzrost liczby szczebli cenowych wp ywa na wzrost ceny opcji drabinowej, opcja wsteczna o sta ej cenie realizacji jest znacznie dro sza od opcji drabinowej. 8 Oznaczenie opcji na rysunku: opcja drabinowa 1. 9 Oznaczenie opcji na rysunku: opcja drabinowa 2.

OPCJE DRABINOWE ANALIZA W ASNO CI 413,5,45,4,35,3,25,2 5,5 opcja drabinowa 1 opcja drabinowa 2 opcja wsteczna typ opcji Rys. 7. Cena drabinowej opcji kupna (z 1 i 2 poziomami szczebli) oraz cena wstecznej opcji kupna o sta ej cenie realizacji Tabela 3. Wp yw podstawowych czynników na cen walutowej drabinowej opcji kupna Czynnik Cena instrumentu bazowego Cena wykonania opcji Czas wyga ni cia opcji Wp yw wzrostu czynnika na cen drabinowej opcji kupna Spadek Stopa procentowa Krajowa Zagraniczna Spadek Zmienno ceny instrumentu bazowego Liczba szczebli Poziom szczebla cenowego Spadek

414 EWA DZIAWGO 3. W asno ci drabinowych opcji sprzeda y analiza empiryczna Przeprowadzona w tym rozdziale analiza dotyczy kszta towania si ceny drabinowej opcji sprzeda y oraz wp ywu na cen rozpatrywanej opcji nast puj cych czynników: ceny instrumentu bazowego, ceny wykonania, czasu wyga ni cia, zmienno ci ceny instrumentu bazowego, stopy procentowej, liczby szczebli cenowych oraz wyznaczonego poziomu cenowego. Rozwa ania dotycz opcji walutowych wystawionych na EUR/PLN. Na rysunku 8 przedstawiono kszta towanie si ceny drabinowej i zwyk ej opcji sprzeda y, których cena wykonania wynosi 3,93 z. Symulacja wyceny przeprowadzona jest dla okresu 3.1 31.3.211 r. Termin wyga ni cia rozpatrywanych opcji wynosi 4 miesi ce. Poziom szczebla dla opcji drabinowej wynosi 3,83 z. Rysunek 9 jest ilustracj wp ywu bie cej ceny instrumentu bazowego na kszta towanie si ceny drabinowej opcji sprzeda- y. Termin wyga ni cia rozpatrywanych opcji wynosi 4 miesi ce, a cena wykonania 3,93 z.,35,3,25,2 5,5 3.1 7.1 13.1 19.1 25.1 31.1 4.2 opcja drabinowa 1.2 16.2 data 22.2 28.2 7.3 11.3 17.3 opcja zwykła 23.3 29.3 Rys. 8. Kszta towanie si ceny drabinowej i zwyk ej opcji sprzeda y W analizowanym okresie cena instrumentu bazowego nie przekroczy a wyznaczonego poziomu 3,83 z. W okresie 5.1 27.1.211 r., 31.1 9.2.211 r., 15.2 18.2.211 r. cena instrumentu bazowego by a mniejsza od ceny wykonania.

OPCJE DRABINOWE ANALIZA W ASNO CI 415 Opcje sprzeda y by y wówczas typu w-cenie. W pozosta ym rozpatrywanym okresie opcje by y typu nie-w-cenie 1.,2 8 6 4 2,8,6,4,2 3,92 3,94 3,96 3,98 4 cena instrumentu bazowego [PLN] Rys. 9. Wp yw ceny instrumentu bazowego na cen drabinowej opcji sprzeda y Z analizy kszta towania si cen wynikaj nast puj ce wnioski: zwyk a opcja jest ta sza od opcji drabinowej, wzrost/spadek ceny instrumentu bazowego wp ywa na spadek/wzrost ceny zwyk ej opcji oraz drabinowej opcji sprzeda y, zbli anie si ceny instrumentu bazowego do danego poziomu szczebla cenowego (w dniu 11.1) wp ywa na znaczny wzrost ceny drabinowej opcji sprzeda y, w porównaniu ze zwyk opcj cena drabinowej opcji sprzeda y ulega znaczniejszym wahaniom. Na rysunku 1 przedstawiono wp yw ceny wykonania na cen drabinowej opcji sprzeda y. Rozwa ania dotycz opcji z terminem wyga ni cia 4 miesi ce. Rysunek 11 jest ilustracj wp ywu terminu wyga ni cia na cen opcji drabinowych z cen wykonania 3,93 z oraz czasem wyga ni cia równym 4 miesi ce. Natomiast wp yw zmienno ci ceny instrumentu bazowego i czasu wyga ni cia na kszta towanie si ceny drabinowej opcji sprzeda y przedstawiony jest na rysunku 12. W tabeli 4 przedstawiono wp yw stopy procentowej na cen analizowanej drabinowej opcji sprzeda y. 1 Cena instrumentu bazowego by a wi ksza od ceny wykonania.

416 EWA DZIAWGO,3,25,2 5,5 3,87 3,9 3,93 3,96 3,99 4,2 cena wykonania opcji [PLN] Rys. 1. Wp yw ceny wykonania na cen drabinowej opcji sprzeda y 8 6 4 2,8,6,4,2 1 2 3 4 5 6 czas wygaśnięcia opcji [miesiące] Rys. 11. Wp yw czasu wyga ni cia na cen drabinowej opcji sprzeda y

OPCJE DRABINOWE ANALIZA W ASNO CI 417,4,35,3,25,2 5,5,5 5 3 6 czas wygaśnięcia [miesiące] zmienność ceny instrumentu bazowego Rys. 12. Wp yw zmienno ci ceny instrumentu bazowego i czasu wyga ni cia na cen drabinowej opcji sprzeda y Tabela 4. Wp yw stopy procentowej na cen drabinowej walutowej opcji sprzeda y Stopa procentowa Wysoko stopy procentowej [%] Cena drabinowej walutowej opcji sprzeda y [PLN] 4,35 43 Krajowa 4,4 33 4,45 179 2,7,95 Zagraniczna 2,9 65 2,11 179 Z analizy kszta towania si cen przedstawionych na powy szych wykresach oraz w tabeli 4 wynikaj nast puj ce w asno ci drabinowych opcji sprzeda y: wzrost ceny wykonania przyczynia si do wzrostu ceny opcji, opcje z d u szym terminem wyga ni cia s dro sze, wzrost krajowej stopy procentowej wp ywa na spadek ceny opcji, wzrost zagranicznej stopy procentowej przyczynia si do wzrostu ceny opcji,

418 EWA DZIAWGO wi ksza zmienno ceny instrumentu bazowego przyczynia si do wzrostu ceny opcji, znaczniejszy wzrost ceny opcji wyst puje w sytuacji, kiedy opcja charakteryzuje si wi ksz zmienno ci ceny instrumentu bazowego i d u szym terminem wyga ni cia. Na rysunku 13 przedstawiono wp yw wyznaczonego poziomu szczebla na cen opcji sprzeda y. Rozwa ania dotycz opcji z jednym poziomem cenowym, których cena wykonania wynosi 3,93 z, a czas wyga ni cia 4 miesi ce. Na rysunku 14 przedstawiono wp yw liczby szczebli cenowych na cen opcji. Rozpatrywana jest drabinowa opcja sprzeda y z 1 poziomem cenowym 11, drabinowa opcja sprzeda y z 2 poziomami cenowymi 12 oraz wsteczna opcja sprzeda y o sta ej cenie realizacji. 6 4 2,8,6,4,2 3,8 3,83 3,86 3,89 3,92 poziom szczebla drabiny cenowej [PLN] Rys. 13. Wp yw poziomu szczebla drabiny cenowej na cen drabinowej opcji sprzeda y W przypadku drabinowej opcji sprzeda y: wy szy poziom wyznaczonego szczebla cenowego wp ywa na wzrost ceny opcji, wi ksza liczba wyznaczonych poziomów cenowych wp ywa na wzrost ceny opcji, opcja drabinowa jest znacznie ta sza od wstecznej opcji sprzeda y o sta ej cenie realizacji. 11 Oznaczenie opcji na rysunku: opcja drabinowa 1. 12 Oznaczenie opcji na rysunku: opcja drabinowa 2.

OPCJE DRABINOWE ANALIZA W ASNO CI 419,3,25,2 5,5 opcja drabinowa 1 opcja drabinowa 2 opcja wsteczna typ opcji Rys. 14. Cena drabinowej opcji sprzeda y (z 1 i 2 poziomami szczebli) oraz cena wstecznej opcji sprzeda y o sta ej cenie realizacji Tabela 5. Wp yw podstawowych czynników na cen drabinowej opcji sprzeda y Czynnik Cena instrumentu bazowego Cena wykonania opcji Czas wyga ni cia opcji Wp yw wzrostu czynnika na cen drabinowej walutowej opcji sprzeda y Spadek Stopa procentowa Krajowa Zagraniczna Spadek Zmienno ceny instrumentu bazowego Liczba szczebli Poziom szczebla cenowego Zako czenie Warto opcji drabinowej zale y od przekroczenia przez cen instrumentu bazowego poziomów cen wyznaczonych w dniu zawarcia umowy. Wprowadzenie

42 EWA DZIAWGO do konstrukcji funkcji wyp aty dodatkowych elementów umo liwia dok adniejsze dopasowanie opcji do wybranej strategii inwestycyjnej. W warunkach rynkowych, charakteryzuj cych si znaczn zmienno ci, uwzgl dnienie w rozliczeniu opcji najkorzystniejszego wyznaczonego poziomu, który zosta osi gni ty przez cen instrumentu bazowego w okresie wa no ci opcji, zwi ksza atrakcyjno opcji drabinowych w grupie instrumentów zarz dzania ryzykiem. Podobnie jak opcje wsteczne, opcje drabinowe pozwalaj na zwi kszanie warto ci funkcji dochodu. Jednak s one od nich znacznie ta sze. Podstawowymi czynnikami wp ywaj cymi na cen opcji walutowych s : termin wyga ni cia, zmienno ceny instrumentu bazowego, cena wykonania, bie ca cena instrumentu bazowego, krajowa stopa procentowa oraz stopa procentowa kraju waluty obcej. W przypadku opcji drabinowych dodatkowymi czynnikami, które maj znaczny wp yw na pó niejszy dochód, s liczba poziomów szczebli w drabinie oraz odleg o mi dzy tymi poziomami. Wybór opcji z odpowiedni liczb szczebli cenowych oraz odleg o ci mi dzy nimi pozwala na kszta towanie ró nych profili dochodu z opcji drabinowych. W zale no ci od oczekiwa zwi zanych z kszta towaniem si ceny instrumentu bazowego w przysz o ci, wybór opcji z odpowiednimi parametrami pozwala na precyzyjne dopasowanie poziomu zabezpieczenia do oczekiwanej zmienno ci ceny instrumentu bazowego. Zbli anie si ceny instrumentu bazowego do poziomu wyznaczonego szczebla cenowego przyczynia si do znacznych waha ceny opcji drabinowej. W zwi zku z tym ten rodzaj opcji mo e by atrakcyjnym instrumentem zarz dzania ryzykiem równie w transakcjach spekulacyjnych. Ladder options analysis of the properties Ladder options are path-dependent options. The article presents the issues connected with ladder options: characteristics of instruments, the pay-off function, the influence of selected factors (the price of the underlying instrument, the option s strike price, the option s time to maturity, the volatility of underlying instrument prices, the interest rate and the level of the rung of the ladder) on the price of those options. The empirical illustrations included in the article are concerned with the pricing simulations of the currency options on EUR/PLN.