Politechnika Poznańska Metoda Elementów Skończonych Prowadzący: dr hab. Tomasz Stręk, prof. nadzw. Wykonały: Bielecka Magdalena Mysiukiewicz Olga Sobieraj Małgorzata
Spis treści: 1. Analiza rozkładu temperatur dla pudełka wyjętego z zamrażarki Wstęp 3 Dane wejściowe...5 Rozwiązanie...7 Wnioski. 8 2. Analiza obciążenia statycznego na przykładzie buta z podeszwą gumową. Wstęp 9 Dane wejściowe... 10 Rozwiązanie. 13 Wnioski. 14 3. Analiza opływu powietrza na przykładzie listka w kanale. Wstęp 15 Dane wejściowe... 16 Rozwiązanie. 20 Wnioski. 21 4. Analiza częstotliwości drgań własnych na przykładzie półki pod telewizor. Wstęp 22 Dane wejściowe... 23 Rozwiązanie. 26 Wnioski. 29 2
1.Analiza rozkładu temperatur dla wyjętego pudełka z zamrażarki. 1.1. Wstęp Analiza będzie dotyczyła rozkładu temperatury w pudełku (rys. 2.1) z lodami wyjętymi z zamrażarki, które rozmrażają się w temperaturze 20 o C. Do wykonania analizy rozkładu temperatury wykorzystany została aplikacja: Heat Transfer by Conduction. Równanie wykorzystane ma postać: ( ) Gdzie: [ ] [ ] [ ] [ ] 3
Rys.1.1.1. Model pudełka od lodów wykonany w programie COMSOL 4
1.2. Dane wejściowe parametry materiału z którego wykonano pudełko: Rys.1.2.1. Warunki początkowe. Rys.1.2.2. Warunki początkowe. 5
Rys.1.2.3. Warunki brzegowe Rys. 1.2.4. Warunki brzegowe 6
wygenerowanie siatki: Rys. 1.2.5. Wygenerowana siatka 1.3. Rozwiązanie Rys. 1.3.1. Rozwiązanie analiza rozkładu temperatury 7
Rys. 1.3.2.Rozwiązanie analiza gradientu temperatury 1.4. Wnioski Rozkład temperatury na powierzchni pudełka jest niemal równomierny. Wyraźnie widać, że po upływnie 1800 sekund (czyli pół godziny) pudełko nadal będzie miało temperaturę ok 0 o C. Biorąc pod uwagę, że rozpatrujemy tu puste pudełko, możemy wysunąć wniosek, że zawartość pudełka, w szczególności lód (o dużym cieple właściwym) po upływie tego czasu nadal będzie zamrożona. Taki wynik zagadnienia pokrywa się z obserwacjami z codziennego życia. Różnice temperatury na ściankach, mimo że nieznaczne, jednak istnieją. Aby je lepiej zobrazować, korzystając z funkcji Plot parameters, możemy wizualizować gradienty temperatur na obiekcie. Jak widać, są one niewielkie, wręcz pomijalnie małe (nie przekraczające 0,126 K/m 2 ). Oznacza to, że w pudełku o takim kształcie wymiana ciepła odbywa się w przybliżeniu równomiernie na całej powierzchni. Zauważalnym wyjątkiem jest rant pudełka wokół jego denka właśnie tam występują największe gradienty temperatury. Wypływa z tego wniosek, że wymiana ciepła na danej powierzchni zależy również od jej kształtu, a nie tylko rodzaju materiału czy temperatury początkowej. Żeby lepiej uwidocznić gradienty temperatur wokół rantu, należało zagęścić siatkę w tym obszarze. Program liczy dokładne wartości funkcji w węzłach siatki, a więc im bardziej gęsta siatka, tym dokładniejszy jest otrzymany wynik. Rozwiązanie powyższego zagadnienia pozwala nam wysnuć wnioski również dla przypadków analogicznych, obecnych w inżynierii. Dzięki niemu wiemy, że wymiana ciepła jest najbardziej intensywna w pobliżu krawędzi podobnie jak naprężenia mechaniczne są największe w pobliżu karbów. 8
2.1. Wstęp 2. Analiza obciążenia statycznego na podstawie podeszwy z gumy. Założono, że na podeszwie stanie osoba mająca 50kg. Osoba nosi parę butów, dletego obiciążenie jednej nogi wyniesie 25kg. Celem analizy jest zbadanie odkształceń podeszwy z gumy, pod działaniem siły ciężkości osoby o w/w wadze ciała. Rys.2.1.1. Model podeszwy buta wykonany w programie COMSOL 3.4 9
Podczas przeprowadzania analizy w programie COMSOL, wykorzystywane jest Lagrange a II rodzaju: równanie gdzie: F wartość obciążenia, ρ współczynnik zależny od gęstości. 2.2. Dane wejściowe Rys.2.2.1. Określenie modułu, który umożliwi rozwiązanie problemu 10
W celu przeprowadzenia analizy określono także warunki początkowe: Rys.2.2.2. Warunki początkowe Ustalono, że podeszwa utwierdzona jest do podłoża, a siła działa na powierzchnię podeszwy, co pokazują Rys. 2.2.3. i 2.3.4 11
Rys.2.2.3. Określenie przytwierdzenia podeszwy do podłoża Rys.2.2.4. Wyznaczenie powierzchni na jaką działa siła obciążająca Rys.2.2.5. Wygenerowana siatka składająca się z 2304 elementów 12
2.3 Rozwiązanie Rys.2.3.1.Rozwiązanie problemu wraz z zaznaczonymi naprężeniami od stanu pierwotnego 13
Rys.2.3.2. Rozwiązanie problemu zraz z zaznaczonym odkształceniem od pierwotnego stanu 2.4. Wnioski Na przykładzie powyższego zagadnienia, widzimy, że naprężenia w tego typu podeszwie buta nie są duże i na większości powierzchni wynoszą ok 20 kpa. Maksymalne naprężenia na nosku podeszwy to nieco ponad 30 kpa. Przyczyną wzrostu wielkości naprężeń w tym ostatnim miejscu jest obecność ostrej krawędzi, która działa jak karb. Wypływa z tego wniosek, że materiał na podeszwy butów nie musi być bardzo wytrzymały, a przede wszystkim komfortowy dla użytkownika i odporny na ścieranie. Odkształcenia podeszwy również nie są znacznie, sięgają 80 μm. W rzeczywistości odkształcenia te nie są wyczuwalne ani widoczne, nie wpływają też na komfort noszenia butów. Największe odkształcenia dotyczą obcasa, a najmniejsze noska, mimo że w przypadku odkształceń jest odwrotnie Należy pamiętać, że w rzeczywistym przypadku ciężar człowieka nie rozkłada się równomiernie na całej podeszwie, ponieważ ludzka stopa nie jest płaska i w różny sposób oddziałuje z podłożem. Z drugiej strony stopa zwykle porusza się w bucie, obciąża różne miejsca podeszwy, dlatego też cała podeszwa powinna mieć odpowiednią wytrzymałość. Powyższe zagadnienie jest przykładem, że metody MES są uniwersalne i sprawdzają się w różnych dziedzinach techniki i przemysłu. Modelowanie naprężeń i odkształceń w obuwiu jest zbędne przy projektowaniu zwykłych butów, lecz może być kluczowe przy konstrukcji specjalistycznego obuwia, np. sportowego lub ortopedycznego 14
3.Analiza opływu powietrza na przykładzie listka. 3.1.Wstęp Przedmiotem badań jest liść. Naszym celem będzie zbadanie opływowości liścia podczas lotu w rurze z powietrzem oraz w jaki sposób będą rozkładać się prędkości powietrza wokół badanego obiektu. Podczas przeprowadzania analizy w programie COMSOL, wykorzystywane jest poniższe równanie: [ ( ( ) )] gdzie: gęstość [kg/m3], pole prędkości [m/s], czas [s], ciśnienie [Pa], współczynnik lepkości dynamicznej [Pa s], temperatura [K], siła objętościowa [N/m3] 15
3.2. Dane wejściowe Rys.3.2.1. Określenie modułu, który umożliwi rozwiązanie problemu W celu przeprowadzenia badania, narysowano przy pomocy programu COMSOL przybliżony kształt listka i określono obszar, w którym będzie odbywał się jego ruch. Określono także warunki początkowe. Rys.3.2.2. Warunki początkowe 16
wylot. Ustalono, że lot listka odbywa się w lewą stronę, dlatego lewą krawędź określono jako wlot, a prawą jako Rys.3.2.3. Określenie wlotu Rys.3.2.4. Określenie wylotu 17
3.2.5. Określenie przeszkody w postaci listka na drodze powietrza Rys.3.2.6. Wygenerowana siatka składająca się z 2833 elementów 18
Rys.3.2.7. Parametry czasowe Rys.3.2.8. Parametry wg liczby Reynoldsa 19
3.3. Rozwiązanie Po wprowadzeniu wszystkich potrzebnych parametrów wykonano obliczenia w programie COMSOL Multiphysics 3.4 i uzyskano wyniki przedstawione na poniższych rysunkach. Rys.3.3.1. Prędkość powietrza wokół listka Rys. 3.3.2. Ciśnienie powietrza wokół listka 20
3.4.Wnioski Zarówno prędkość powietrza, jak i jego ciśnienie zmienia się wraz ze wzrostem odległości od miejsca wlotowego, jak i pod wpływem oddziaływania z liściem. Prędkość jest największa pod obiektem blokującym przepływ, a nie na wlocie do kanału, jak mogłoby się wydawać laikowi. W bezpośrednim otoczeniu powietrze otaczające liść ma zerową prędkość, tak samo jak gaz przy ściankach kanału. Maksymalna prędkość powietrza nie jest duża - wynosi ok 2 m/s. Tak mała jej wartość wynika z tego, że rozpatrujemy tu przepływ laminarny. Przepływ mieszany lub turbulentny, gdy liczba Reynoldsa jest znacznie większa od przyjętej tu wartości 500 jest trudny do zamodelowania przy pomocy tego modułu programu Comsol Mulitiphysics. Ciśnienie powietrza największe jest na wlocie do kanału, aż do miejsca, w którym znajduje się liść, a później spada. Widzimy, że w pewnych obszarach kanału występuje niewielkie podciśnienie (ok 300 Pa), a w innych nadciśnienie (ok 670 Pa). Możemy też zauważyć, że na wylocie kanału przeważa ciśnienie atmosferyczne (ciśnienie powierzchniowe to ok 0 Pa). Listek prawdopodobnie nie będzie unoszony przez powietrze w kanale, a raczej spychany w prawo, ponieważ ciśnienie po jego lewej stronie jest większe niż po prawej. Z rozpatrzonego zagadnienia wynika, że obecność przedmiotu o kształcie i wymiarach listka nie zakłóca w znaczący sposób wymiany powietrza w kanale prostoliniowym. 21
4. Analiza częstotliwości drgań własnych na podstawie półki pod telewizor. 4.1. Wstęp Przedmiotem badań będzie określenie częstotliwości drgań własnych dla półki pod telewizor wykonanej ze stali, o kształcie pokazanym poniżej. Celem jest określenie wartości częstotliwości pierwszych dziesięciu harmonicznych drgań, a także wizualizacja kierunku ich działania. Rys.4.1.1. Model półki wykonany w programie COMSOL 3.4 22
4.2. Dane wejściowe Rys.4.2.1. Warunki początkowe 23
Rys.4.2.2. Warunki brzegowe Rys 4.2.3. Warunki brzegowe 24
Rys.4.2.4. Wygenerowanie siatki składającej się z 1726 elementów Rys.4.2.5. Parametry materiałowe 25
4.3. Rozwiązanie Rys.4.3.1. Deformacja 26
Rys.4.3.2. Deformacja Rys.4.3.3. 27
Rys.4.3.4. 28
4.4. Wnioski W wyniku obliczeń uzyskano obrazu przemieszczeń półki pod wpływem drgań własnych. Wynika z tego, że przedmiot ten pod wpływem drgań o określonej częstotliwości drga zarówno w kierunku pionowym, jak i w poziomym. Im wyższa częstotliwość drgań, tym krótsza jest długość fali dla pierwszej częstotliwości odkształcony blat stołu tworzy falę stojącą z węzłami na podporach (których przemieszczenia są zablokowane) i strzałką w połowie długości, a dla drugiej harmonicznej w tym kierunku w połowie blatu występuje kolejny węzeł (blat w tym miejscu się nie odkształci). Wyliczone częstotliwości drgań własnych są dość duże (począwszy od ok 300 Hz). Podczas normalnego użytkowania półki, gdy stoi na niej telewizor, takie drgania nie działają na nią i nie szkodzą. Nic dziwnego, skoro przedmiot ten zaprojektowany jest, by podtrzymywać przedmiot codziennego użytku o niewielkiej masie. Wyznaczanie częstotliwości drgań własnych ma większe znaczenie przy projektowaniu maszyn i urządzeń narażonych na działanie drgań (a więc wszystkich niemal maszyn wykorzystywanych w przemyśle). Należy pamiętać o zagrożeniu rezonansem. 29
30