1 Elementy teorii przeżywalności

1 Elementy teorii przeżywalności Zadanie 1 Zapisz 1. Prawdopodobieństwo, że noworodek umrze nie później niż w wieku 80 lat 2. P-two, że noworodek umrze nie później niż w wieku 30 lat 3. P-two, że noworodek dożyje wieku 50 4. P-two, że noworodek umrze między 20 a 50 rokiem życia 5. P-two, że noworodek umrze między 50 a 90 rokiem życia 6. P-two, że noworodek umrze między 20 a 50 rokiem życia pod warunkiem, że umrze między 10 a 50 rokiem życia 7. P-two, że noworodek umrze między 15 a 45 rokiem życia, o ile umrze przed 80-tką 8. P-two, że noworodek umrze między 10 a 20 rokiem życia pod warunkiem, że umrze między 15 a 25 rokiem życia Zadanie 2 Przeczytaj 1. 2. 3. F (50) F (13) F (60) F (10) F (80) F (20) s(15) s(16) s(26) 1 s(20) Zadanie 3 Zapisz symbolicznie 1. Prawdopodobieństwo, że 50-latek umrze w ciągu 5 lat 2. P-two, że 50-latek przeżyje co najmniej 10 lat 3. P-two, że 20-latek dożyje 80tki 4. P-two, że 30-latek nie dożyje 50tki 5. P-two, że 62-latek umrze w ciągu 40 lat 6. P-two, że 40-latek dożyje 90tki 7. P-two, że 20-latek umrze powyżej 50 roku życia 8. P-two, że 21-latek umrze przed 50tką 9. P-two, że noworodek dożyje wieku 56 10. P-two, że 53-latek dożyje co najmniej do 75 roku życia 11. P-two, że 53-latek umrze przed 75 rokiem życia 12. P-two, że 40-latek umrze przed 41 urodzinami 13. P-two, że 30-latek przeżyje rok 14. P-two, że noworodek umrze przed 40-tką

15. P-two, że 50-latek umrze w ciągu roku 16. P-two, że 4-latek dożyje 5-go roku życia 17. P-two, że 20-latek przeżyje 5 lat, ale umrze w ciągu następnych dwóch lat 18. P-two, że 50-latek przeżyje 10 lat, a następnie umrze w przeciągu 3 lat 19. P-two, że 30-latek przeżyje następnych 30 lat, ale nie przekroczy 80-tki 20. P-two, że 13-latek przeżyje 10 lat, ale umrze w ciągu roku Zadanie 4 Zapisz na trzy sposoby (przy użyciu p, s, F ) 1. P-two, że 60-latek przeżyje następnych 30 lat a następnie umrze w ciągu 3 lat 2. P-two, że 20-latek przeżyje 8 lat a następnie umrze w przeciągu 10 lat 3. P-two, że 16-latek przeżyje 60 lat a następnie umrze w ciągu roku 4. P-two, że 16-latek dożyje 60-tki a następnie umrze w ciągu roku Zadanie 5 Funkcja przeżycia dana jest wzorem s(x) = 1 10 100 x dla x [0, 100]. Oblicz 1. P-two, że noworodek umrze między 46 a 75 rokiem życia 2. P-two, że 20-latek nie dożyje 50-tki 3. P-two, że 46-latek nie przeżyje kolejnych pięciu lat 4. P-two, że 19-latek umrze przed 64 rokiem życia 5. P-two, że 46-latek dożyje wieku 75 lat 6. P-two, że 21-latek dożyje wieku 40 lat i umrze przed ukończeniem 57 roku życia. Hipoteza jednostajnej umieralności w ciągu roku (UDD) (w książce Błaszczyszyna Rolskiego (HU)). Zakładamy, że rozkład zgonów między całkowitymi liczbami lat jest równomierny. Zakładamy: gdzie t [0, 1) i x = 0, 1, 2... s(x + t) = (1 t) s(x) + t s(x + 1) Zadanie 6 Przy założeniu (UDD) wyznaczyć wzór na t q x oraz t p x. Zadanie 7 Zakładając (UDD) obliczyć prawdopodobieństwo, że siedemdziesięciolatek umrze między 70,5 a 71,5 rokiem życia, jeżeli q 70 = 0, 04, q 71 = 0, 05. Zadanie 8 Niech q x = 0, 0559 oraz q x+1 = 0, 0602. Zakładając (UDD) obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe, że (x)-latek przeżyje 1,2 roku pod warunkiem, że dożyje x + 0, 5 roku. Zadanie 9 Przyjmując założenie (UDD) wyznacz 0,5 0,3 q x+0,4, gdy p x = 0, 989, p x+1 = 0, 986. Zadanie 10 Niech p x = 0, 989 oraz p x+1 = 0, 987. Przyjmując założenie (UDD) oblicz 1. 0,5 0,8 q x 2. 0,7 0,6 q x 3. 0,6 p x+0,7

Zadanie 11 Niech q x = 0, 088 oraz p x+1 = 0, 903. Przyjmując założenie (UDD) oblicz 1,5 q x+0,2. Zadanie 12 Przyjmując hipotezę jednostajnej umieralności obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba w wieku 85 lat umrze między 85,5 a 86,5 rokiem życia wiedząc, że q 85 = 0, 14921 oraz q 86 = 0, 16029. Funkcja intensywności wymierania µ, wskaźnik przyszłej długości życia e x trwanie życia) oraz przeciętne całkowite dalsze trwanie życia e x (przeciętne dalsze µ x = f(x) s(x) = F (x) s(x) = (1 s(x)) s(x) tp x = e x x+t µ ydy e x = E(T x ) = tp x dt = e x = E(K x ) = k+1p x = k=0 0 = s(x) s(x) ω x 0 ω x 1 k=0 tp x dt = ( ln s(x)) k+1p x Zadanie 13 Przyszły czas życia noworodka ma rozkład wykładniczy z parametrem 0,01. Obliczyć: 1. Prawdopodobieństwo śmierci nie później niż w 45 roku życia 2. P-two dożycia 80 lat a kolejno śmierci w ciągu roku 3. P-two śmierci między 45 a 80 rokiem życia Zadanie 14 Znaleźć l t, jeśli l 0 = 1000 i µ = at. Zadanie 15 Funkcja przeżycia dana jest wzorem s(x) = 1 10 100 x dla x [0, 100]. Oblicz 1. 17 p 19 2. 15 13 q 36 3. f(36) 4. µ 50 5. E(X) Zadanie 16 Funkcja intensywności wymierania dana jest wzorem µ x+t = 1 85 t + 3 105 t. Oblicz 1. P (T x > 20) 2. 30 p x Zadanie 17 Wiedząc, że dla danej populacji z wiekiem granicznym 100 funkcja intensywności wymierania dana jest wzorem µ x = 2 1 dla x (0, 100). Oblicz prawdopodobieństwo, że 40 100 x 240 x letnia osoba umrze między 55 a 74 rokiem życia. Zadanie 18 W populacji z wiekiem granicznym 110 funkcja natężenia wymierania populacji dana jest wzorem µ x = 2 dla x > 0. Wyznaczyć przeciętne trwanie życia 50-letniej osoby z tej populacji. 110 x Zadanie 19 W populacji A intensywność zgonów jest dana wzorem µ A z = 1 dla x < 100, a w 100 x populacji B wzorem µ B x = n dla x < 100, gdzie n jest parametrem. Wiadomo ponadto, że ludzie 100 x z populacji A mają przed sobą przeciętnie o 10% więcej życia, niż ludzie z B w tym samym wieku. Oblicz n.

Zadanie 20 Funkcja µ x = 0, 01x opisuje natężenie zgonów. Oblicz prawdopodobieństwo, że osoba obecnie w wieku 45 lat umrze między 55 a 75 rokiem życia. Zadanie 21 Wiadomo, że przeciętna liczba dożywających wieku x l x = 121 x dla x [0, 121]. Obliczyć prawdopodobieństwo, że 21-latek dożyje wieku 40 lat i umrze przed ukończeniem 57 roku życia. Zadanie 22 Wyznaczyć prawdopodobieństwo przeżycia przez osobę 55-letnią co najmniej 10 lat, jeśli analogiczne prawdopodobieństwo dla osoby 25-letniej wynosi 0,8 oraz intensywność zgonów opisuje funkcja µ x = kx dla x > 0. Zadanie 23 Intensywność zgonów opisuje funkcja µ x+t = be x+t, gdzie b > 0. Dla jakiej wartości parametru b prawdopodobieństwo tego, że 30 -latek przeżyje następnych 10 lat, po czym umrze w ciągu kolejnych 5 lat, wynosi r, oraz prawdopodobieństwo 10 p 30 = 5r. Zadanie 24 Intensywność zgonów opisuje funkcja µ x = x. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że 100 osoba w wieku 15 lat umrze między trzydziestym piątym a czterdziestym piątym rokiem życia. Zadanie 25 Wyznacz prawdopodobieństwo przeżycia przez osobę (55) co najmniej 10 lat, jeżeli analogiczne prawdopodobieństwo (25) jest równe 0,8 oraz funkcja intensywności wymierania jest postaci µ x = kx dla x > 0. Zadanie 26 Oczekiwane dalsze całkowite trwanie życia (x) wynosi 28,5. Znajdź prawdopodobieństwo p x jeśli wiadomo, że e x+1 = 27, 7. Zadanie 27 (*) Funkcja natężenia wymierania pewnej populacji z wiekiem granicznym 120 dana jest wzorem 2, dla x (0, 30] 90 x µ x = 1, dla x (30, 120]. 120 x Obliczyć 10 p 20, 10 p 30, 20 p 20. Wyznaczyć przeciętne dalsze trwanie życia 50-letniej osoby z tej populacji populacji oraz przeciętne dalsze trwanie życia 20 letniej osoby z tej populacji. Prawa wymierania Prawo de Moivre a (istnieje wiek ω oraz rozkład dalszego trwania życia jest jednostajny). Dla x [0, ω) µ x = 1 ω x, ω x wtedy s(x) = w Prawo Gompertza (natężenie zgonów jest wykładnicze) gdzie B > 0, x > 0, c > 1 µ x = Bc x wtedy s(x) = e B ln c (cx 1) Zadanie 28 Przy założeniach de Moivre a wyznacz wzory na t p x, t q x, e x, e 0, e x, e 0. Zadanie 29 Oblicz 10 p x jeśli wiadomo, że (x) pochodzi z populacji de Moivre a o wieku granicznym ω oraz e x = 37. Zadanie 30 W danej populacji śmiertelnością rządzi prawo de Moivre a z wiekiem granicznym ω. O wieku x wiadomo, że osoby w tym wieku umierają w ciągu doby dwa razy rzadziej niż osoby dwukrotnie starsze. Oblicz prawdopodobieństwo, że osoba w wieku x dożyje wieku 2x. Zadanie 31 Obliczyć p 10, p 20, p 30, p 40 przyjmując, że rozkład trwania życia noworodka podlega prawu Gompertza z parametrami B = 0, 00026155, c = 1, 07826. Zadanie 32 Niech µ 20 = 0, 0056044 oraz µ 30 = 0, 0132678 i rozkład trwania życia noworodka podlega prawu Gompertza. Obliczyć 10 p 25.

Hipotezy interpolacyjne Jednostajna umieralność w ciągu roku (UDD) - patrz zadania 6-12 s(x + t) = (1 t) s(x) + t s(x + 1) Stała intensywność wymieralności (CFM) Dla każdego t (0, 1) wtedy µ x+t = µ x = µ. s(x + t) = s(x) 1 t s(x + 1) t Hipoteza Balducciego (B) - Prawdopodobieństwo tego, że (x) umrze przed końcem n-tego roku, pod warunkiem, że przeżyje część t tego roku, jest proporcjonalne do pozostałej części roku tj. 1 t. Dla t (0, 1) 1 s(x + t) = (1 t) 1 s(x) + t 1 s(x + 1) wtedy 1 t q x+t = (1 t)q x. Zadanie 33 Wyznacz wzory na t p x, t q x zakładając 1. (CFM) 2. (B) Zadanie 34 Rozwiąż zadania 7-12 zakładając zamiast (UDD) odpowiednio (CFM), następnie (B). Zadanie 35 Przyjmując założenie, że natężenie wymierania jest przedziałami stałe, wyznaczyć 0,5 0,3 q x+0,4 jeśli dane są p x = 0, 989 oraz p x+1 = 0, 986. Zadanie 36 Dane jest q x = 0, 088 oraz p x+1 = 0, 903. Oblicz 1,5 q x+0,2 przy założeniu o jednostajnym rozkładzie zgonów w ciągu roku. Zadanie 37 Przyjmując założenie o stałej intensywności wymierania wyznaczyć 0,7 0,6 q x jeśli dane są p x oraz p x+1. Zadanie 38 Przyjmując założenie o stałej intensywności wymierania wyznaczyć 0,4 0,8 q x jeśli dane są q x oraz 2 p x. Zadanie 39 Mając dane p x = 0, 909 oraz p x+1 = 0, 904 obliczyć prawdopodobieństwo 0,6 p x+0,7 stosując hipotezę Balducciego oraz założenie o stałej intensywności wymierania w ciągu roku. Zadanie 40 Znajdź µ 65,25 jeśli rozkład obciętego czasu życia jest dany przez TTŻ-PL97k przy założeniach 1. (UDD) 2. (CFM) 3. (B) Zadanie 41 Wiedząc, że p x = 0, 989, p x+1 = 0, 987 obliczyć 0,5 0,8 q x przy założeniu (UDD) i Balducciego i porównać wyniki. Wskazać większy. Zadanie 42 Zakładając, że natężenie śmiertelności jest stałe dla x 60 oraz e 60 = 25 obliczyć p 73. Zadanie 43 Zakładając, że intensywność śmiertelności jest stała dla x 50 oraz e 50 = 40, obliczyć p 60.

Zadanie 44 Zakładając, że natężenie śmiertelności jest stałe dla x 42 i e 42 = 40 obliczyć 35 p 52 Zadanie 45 Obliczyć q x jeśli wiadomo, że 0,3 q x obliczone przy założeniu (UDD) stanowi 0,9 wartości tego prawdopodobieństwa obliczonego przy założeniu hipotezy Balducciego. Zadanie 46 Zakładając (UDD) oblicz P (T (30) > 10, 25) wiedząc, że 10 p 30 = 0.99 oraz q 40 = 0, 0015. Zadanie 47 10000 osób urodzonych 1 września 1939 roku spotkało się 1 stycznia 1997 roku. Ile z nich stawi się najprawdopodobniej na umówione spotkanie 1 września 2007 roku, jeśli jedyną przyczyną nieobecności może być śmierć? Zakładamy, że ich życia są niezależne oraz p 57 = 0.9, 9 p 58 = 0.4, p 67 = 0.85. Zakładamy (UDD). Zadanie 48 Przyjąć (UDD) i obliczyć 10 1,5 q 30 wiedząc, że l 30 = 523, l 40 = 436, l 41 = 427, l 42 = 417. Zadanie 49 Wiedząc, że zachodzi (CFM) na podstawie TTŻ-PL97k znaleźć 0,5 q 56 oraz µ 58,75 Zadanie 50 Obliczyć 0,5 q 56, 2 p 56,5 i 2 q 56,5 zakładając, że prawo życia jest opisane przez TTŻ-PL97k oraz 1. (UDD) 2. (CFM) Zaobserwować niewielkie różnice wyników obliczonych przy różnych hipotezach. Zadanie 51 Wiedząc µ x+t = k dla t [0, 1] oraz, że 1 4 q x = 0, 6 1 2 q x obliczyć 3 q 4 x+ 1 8 Zadanie 52 W populacji osób urodzonych 1 stycznia dla pewnego wieku x prawdopodobieństwo q x = 0, 6. Podaj, dla którego dnia roku (1 rok=365 dni) nastąpi zrównanie prawdopodobieństwa śmierci tq x, t [0, 1) wyznaczonego przy hipotezie Balducciego z prawdopodobieństwem przeżycia t p x wyznaczonym przy jednostajnym rozkładnie zgonów w x-tym roku. Zadanie 53 Wiedząc, że oczekiwane dalsze trwanie życia jest równe e x = 28, 5, e x+1 = 27, 7 wyznaczyć p x przy założeniu (UDD). Znając p x oraz e x+1 obliczyć e x przy założeniach (UDD). Znając p x oraz e x obliczyć e x+1 przy założeniach (UDD). Zadanie 54 Jaka jest oczekiwana liczba osób z populacji miliona trzydziestopięciolatków, które umrą po ukończeniu 36 lat i 4 miesięcy życia przed ukończeniem 37 lat i 8 miesięcy? Przyjmujemy założenie Balducciego oraz, że jeden miesiąc to 1 roku. Dane są również 12 Podać najbliższą wartość. q 35 = 3 10 3, q 36 = 6 10 3, q 37 = 9 10 3.