Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie rozszerzonym dla uczniów technikum część III
Granica ciągu liczbowego 1 Pojęcie granicy ciągu i ciągi zbieżne do zera sporządzać częściowy wykres nieskończonego ciągu i określać, czy prawie wszystkie jego wyrazy należą do podanego otoczenia liczby, objaśnić zapisy n i lim an 0, n podać przykłady ciągów zbieżnych do zera, podać przykłady ciągów geometrycznych zbieżnych do zera. 2 Ciągi zbieżne i ich własności stosować twierdzenia o działaniach na granicach ciągów tj. a) granicy sumy i różnicy ciągów, b) granicy iloczynu ciągów, c) granicy ilorazu ciągów, d) granicy iloczynu liczby k i ciągu. podawać przykłady ciągu o określonej wartości granicy,
1 1 obliczać granice ciągów korzystając z granic ciągów typu i n 2 n ciągów, oraz z twierdzeń o granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu 3 Szereg geometryczny i jego suma obliczać granicę szeregu geometrycznego zbieżnego wg wzoru obliczać sumę szeregu geometrycznego, S n a1 lim Sn 1 q, gdy q 1, zamieniać ułamek okresowy na zwykły wykorzystując własności szeregu geometrycznego zbieżnego, rozwiązywać zadania do których rozwiązania wykorzystuje wzór na sumę szeregu geometrycznego, gdy q 1, rozwiązywać równania i nierówności, gdzie jedna ze stron jest zbieżnym szeregiem geometrycznym oraz których rozwiązanie sprowadza się do rozwiązywania równań kwadratowych, wielomianowych, wymiernych lub liniowych. n 4 Granica niewłaściwa ciągu objaśnić pojęcie ciągu rozbieżnego podając odpowiednie przykłady, np. a n n, b 5, rysować częściowe wykresy ciągów rozbieżnych, obliczać granice ciągów rozbieżnych korzystając z twierdzeń o działaniach na granicach oraz granic ciągów typu: a 1 n n, 1 k b n n 2 i cn n, gdzie n N i n 1 oraz k N. n
4/23 Granica i ciągłość funkcji 5 Granica funkcji w punkcie podać przykłady ciągów, których granicą jest liczba q, obliczyć wyrazy ciągu wartości funkcji f x n, dla której argumentami są kolejne wyrazy ciągu o podanym wzorze np. 1 lub a n 3 itp. n objaśnić sąsiedztwo lewostronne i prawostronne liczby x 0 i objaśnić to na przykładowym rysunku, wykorzystywać wszystkie twierdzenia dotyczące granic ciągów przy obliczaniu granic funkcji, a n 1 n n obliczać granice funkcji w punkcie 0 x np. lim x 2 2 x 1, x x 1 lim 1 2 itp. x 1
5/23 6 Granice jednostronne funkcji w punkcie objaśnić pojęcie granicy niewłaściwej funkcji f lewostronnej i prawostronnej w punkcie x 0, jako ciągu wartości funkcji f, które są kolejnymi wartościami ciągu zbieżnego do x 0, zilustrować graficznie granicę funkcji f: lim f x lim f x a), b) x x0 x x0 lim f x lim f x c), d) x x0 x x0 odczytać z rysunku wartości granicy lewostronnej i granicy prawostronnej funkcji w punkcie,, x 0 D f, obliczać granice jednostronne funkcji f w punkcie 0 lim f x 0 i x D f x x, 0 7 Granica niewłaściwa funkcji w punkcie objaśnić pojęcie granicy niewłaściwej funkcji f lewostronnej i prawostronnej w punkcie x 0, jako ciągu wartości funkcji f, które są kolejnymi wartościami ciągu zbieżnego do x 0, zilustrować graficznie granicę funkcji f: lim f x lim f x a), b) x x0 x x0 lim f x lim f x c), d) x x0 x x0 odczytać z rysunku wartości granicy lewostronnej i granicy prawostronnej funkcji w punkcie obliczać granice jednostronne funkcji f w punkcie stosować wzory na obliczanie granic funkcji,, 0 lim f x 0 i x D f x x x, a y, gdy: a 0, x D f f x 0 D f, 0 i lim f x 0 x x oraz lim f x 0 x x 0 0, czyli
6/23 a) c) lim a f x x x0 0 lim a f x x x 0 0 a, b) a, d) lim a f x a x x0 0 lim a f x x x0 0, a, obliczać granice funkcji f w punktach nie należących do dziedziny. 8 Ciągłość funkcji wymienić warunki, jakie spełnia funkcja ciągła w punkcie x 0, mając wykres funkcji wymienić jej argumenty, dla których nie są spełnione warunki funkcji ciągłej; uzasadniać swoją decyzję, badać ciągłość funkcji określonej w różnych przedziałach różnymi wzorami, rozwiązywać zadania, w których określa wartość parametru, dla którego funkcja jest ciągła, podać przykłady funkcji ciągłych w swojej dziedzinie.
7/23 9 Własności funkcji ciągłych mając wykres funkcji ciągłej w przedziale a; b, gdzie a b, podać f MIN i f MAX, dla funkcji kwadratowej w przedziale wykresu lub obliczyć f a, b określić czy funkcja x a; b określić, czy odcięta x w wierzchołka należy do przedziału f i f x i stwierdzić czy ; y f ma w przedziale b w f xw a b, a; co najmniej jedno miejsce zerowe, gdy a f b 0 f. a; b oraz odczytać z 10 Granica funkcji w nieskończoności obliczać granice funkcji f, gdy ciąg jej argumentów jest rozbieżny do: a), b), stosować twierdzenia o działaniach na granicach ciągu do obliczania granic w, stosować twierdzenia o granicach ilorazu lub iloczynu ciągów rozbieżnych do obliczania granic funkcji.
8/23 Pochodna funkcji i jej interpretacja
9/23 11 Iloraz różnicowy funkcji i jego interpretacja objaśnić pojęcie przyrostu wartości funkcji f ( f ) i przyrost argumentu funkcji od x 1 do x 2 ( x ), podać interpretację geometryczną, chemiczną i fizyczną i inną interpretację ilorazu różnicowego f x funkcji f. 12 Pochodna funkcji w punkcie i jej interpretacja obliczać pochodną funkcji f w punkcie, gdy określać różniczkowalność funkcji w punkcie, x 0 D f, podać interpretację geometryczną, podać interpretację fizyczną pochodnej, pisać równanie stycznej do krzywej y f x obliczając współczynnik kierunkowy stycznej m f, x 0 korzystać z fizycznej interpretacji pochodnej i mając np. drogę S x obliczyć t St i przyspieszenie at t. 13 Pochodna jako funkcja obliczać pochodne funkcji potęgowych, wielomianowych i wymiernych, objaśnić co to oznacza wypowiedzenie funkcja różniczkowalna, obliczać pochodną ilorazu funkcji i ich iloczynu.
10/23 14 Interpretacja geometryczna i fizyczna pochodnej funkcji 15 Związek pochodnej z monotonicznością funkcji rozwiązywać zadania dotyczące: a) pisania stycznej do wykresu funkcji f w zadanym punkcie, b) mając wzór na drogę ciała w zależności od czasu obliczyć prędkość i przyspieszenie tego ciała. obliczać pochodną funkcji, określać znak funkcji pochodnej rozwiązując nierówności wielomianowe i wymierne, określać monotoniczność funkcji w zależności od znaku funkcji pochodnej w wyznaczonych przedziałach.
11/23 16 Ekstrema lokalne funkcji wymiernych odczytywać z wykresu funkcji f maksimum lokalne funkcji f, wyznaczać ekstrema funkcji korzystając z wzoru f x 0 0 i x0 D f.
12/23 17 Zastosowanie pochodnej przy obliczaniu największej i najmniejszej wartości funkcji obliczać wartość funkcji ciągłej na końcach domkniętego przedziału określoności obliczać ekstrema lokalne funkcji w przedziale a; b, porównywać f a, b f i y MIN ( y MAX ). a; b, Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta 17 Miara łukowa kąta i kąt jako miara obrotu stosować miarę łukową, zamieniać miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie 18 Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta korzystać z definicji i wyznaczać wartości funkcji sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta o mierze wyrażonej w stopniach lub radianach 19 Znaki wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta wyznaczać wartości funkcji sinus, cosinus i tangens wielokrotności kąta, wartości sin, cos, tg 2 wartości funkcji sinus, cosinus i tangens. oraz znaki 20 Wzory redukcyjne wyznaczać wartości funkcji sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta poprzez sprowadzanie do przypadku kąta ostrego,
13/23 i okresowość funkcji trygonometrycznych wykorzystywać okresowość funkcji trygonometrycznych. 21 Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta 22 Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów. znając wartość jednej z funkcji sinus lub cosinus, wyznaczać wartości pozostałych funkcji tego samego kąta. stosować wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów. 23 Suma i różnica funkcji trygonometrycznych stosować wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów. 24 Wykresy i własności funkcji trygonometrycznych 25 Przekształcanie wykresów funkcji trygonometrycznych sporządzić wykresy funkcji sinus, cosinus i tangens w zadanym przedziale. naszkicować wykresy funkcji trygonometrycznych: y sin x p, y cos x p, y x p y x y cos x q, y tg x q, y sin x, y cos x, y tg x, y sin x, y cos x, y x tg, sin q, tg, naszkicować wykresy funkcji y sin x, y cos x, y tg x, y c sin x, y c cos x, y c tg x y cos c x, y tg c x., y c x sin,
14/23 26 Równania trygonometryczne rozwiązywać równania trygonometryczne korzystając z poznanych wzorów, potrafi podać interpretację graficzną równania (w prostych przypadkach). 27 Nierówności trygonometryczne posługiwać się wykresami funkcji trygonometrycznych do rozwiązywania nierówności typu: sin x a, cos x a, tg x a, 1 cos 2x. 2 Okręgi i proste na płaszczyźnie 28 Kąt środkowy i pole wycinka koła rozpoznawać kąty środkowe, obliczać długość okręgu i łuku okręgu, obliczać pole koła, pierścienia, wycinka kołowego. 29 Kąt wpisany i jego związek z kątem środkowym stosować zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym. 30 Styczna do okręgu i jej własności rozpoznawać wzajemne położenie prostej i okręgu, rozpoznawać styczną do okręgu,
15/23 korzystać z faktu, że styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności, korzystać z własności stycznej do okręgu. 31 Okręgi styczne i ich własności korzystać z własności okręgów stycznych. Wielokąty na płaszczyźnie i obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Lp. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie umiejętności rozwiązując zadania, w których potrafi: 32 Trójkąty rozwiązywać trójkąty korzystając z własności funkcji trygonometrycznych, rozwiązywać zadania z zastosowaniem wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt i na promień okręgu opisanego na trójkącie oraz wzorów na pole trójkąta. 33 Prostokąty i kwadraty korzystać z własności funkcji trygonometrycznych do obliczania długości odcinków i kątów w prostokątach i kwadratach oraz ich pól.
16/23 34 Równoległoboki korzystać z własności funkcji trygonometrycznych do obliczania długości odcinków i kątów w równoległobokach i ich pól. 35 Trapezy i deltoidy korzystać z własności funkcji trygonometrycznych do obliczania długości odcinków i kątów w trapezach, deltoidach oraz ich pól. 36 Okrąg wpisany w czworokąt stosować twierdzenia charakteryzujące czworokąty opisane na okręgu (tzn. stosować twierdzenia o okręgu wpisanym w czworokąt). 37 Okrąg opisany na czworokącie stosować twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg 38 Zadania optymalizacyjne z planimetrii wykorzystywać własności funkcji kwadratowej i elementów rachunku różniczkowego do obliczania najmniejszych lub największych wymiarów figur płaskich. Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów Lp. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie umiejętności rozwiązując zadania, w których potrafi: 39 Twierdzenie znajdować związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów.
17/23 Lp. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie umiejętności rozwiązując zadania, w których potrafi: sinusów i twierdzenie cosinusów znajdować związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia cosinusów. znajdować związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów. Graniastosłupy Lp. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie umiejętności rozwiązując zadania, w których potrafi: 40 Wzajemne położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni i pojęcie kąta dwuściennego rozpoznać położenie prostych w przestrzeni,. rozpoznać wzajemne położenie prostej i płaszczyzny w przestrzeni, rozpoznać wzajemne położenie dwóch płaszczyzn w przestrzeni, rozpoznać kąt dwuścienny i wyznaczać kąt płaski będący jego miarą. 41 Graniastosłup rozpoznawać graniastosłupy prawidłowe, rozpoznawać siatki graniastosłupów prostych. 42 Odcinki w graniastosłupach i kąty między tymi odcinkami rozpoznawać w graniastosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) i obliczać miary tych kątów, stosować trygonometrię do obliczeń długości odcinków i miar kątów.
18/23 Lp. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie umiejętności rozwiązując zadania, w których potrafi: 43 Kąty w graniastosłupie między odcinkami i płaszczyznami rozpoznawać w graniastosłupach kąty między odcinkami i płaszczyznami (np. między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami) i obliczać miary tych kątów, stosować trygonometrię do obliczeń długości odcinków i miar kątów. 44 Kąty między ścianami w graniastosłupie rozpoznawać w graniastosłupach kąty między ścianami i obliczać ich miary, stosować trygonometrię do obliczeń długości odcinków i miar kątów. 45 Przekroje prostopadłościanu wyznaczać przekroje prostopadłościanu płaszczyzną, stosować trygonometrię do obliczeń długości odcinków i pól powierzchni figur otrzymanych w wyniku przekroju. 46 Przekroje graniastosłupa określać, jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa płaszczyzną. 47 Pole powierzchni i objętość graniastosłupa stosować trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości, stosować pochodną do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.
19/23 Ostrosłupy 48 Odcinki i kąty w ostrosłupie rozpoznawać w ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi), obliczać miary tych kątów, rozpoznawać w ostrosłupach kąt między odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami), obliczać miary tych kątów, rozpoznawać w ostrosłupach kąty między ścianami, stosować trygonometrię do obliczeń długości odcinków i miar kątów. 49 Przekroje ostrosłupa określać, jaką figurą jest dany przekrój ostrosłupa płaszczyzną. 50 Pola powierzchni i objętości ostrosłupów stosować trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości, stosować pochodną do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych. Walec, stożek i kula 51 Walec, jego pole powierzchni i objętość rozpoznawać w walcach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami, obliczać miary tych kątów, stosować trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości.
20/23 52 Stożek, jego pole powierzchni i objętość rozpoznawać w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt między tworzącymi stożka, kąt między tworzącą a podstawą), obliczać miary tych kątów, stosować trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości, stosować pochodną do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych. 53 Kula jej pole powierzchni i objętość. Przekroje sfery obliczać pole powierzchni i objętość kuli (także w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym). określać, jaką figurą jest przekrój sfery płaszczyzną, rozwiązywać zadania optymalizacyjne.
21/23 Rachunek prawdopodobieństwa 54 Doświadczenie losowe i zbiór zdarzeń elementarnych zliczać obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, stosować regułę mnożenia i regułę dodawania. 55 Obliczanie liczby oczekiwanych wyników doświadczenia losowego stosować regułę mnożenia i regułę dodawania, zliczać obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych. 56 Zdarzenie losowe i jego prawdopodobieństwo obliczać prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa. 57 Obliczanie prawdopodobieństwa metodą drzew obliczać prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując regułę mnożenia i regułę dodawania oraz rysując odpowiednie grafy. 58 Własności prawdopodobieństwa określać liczbę zdarzeń elementarnych (podawać zdarzenia) sprzyjających zajściu: zdarzenia A lub zdarzenia B, jednoczesnemu zdarzeń A i B, obliczać prawdopodobieństwo sumy zdarzeń A i B.
22/23 Kombinatoryka a prawdopodobieństwo 59 Pojęcie silni n! obliczać wartości wyrażeń z silnią, obliczać wartości wyrażeń w których występuje symbol Newtona. 60 Permutacje Wariacje bez powtórzeń Wariacje z powtórzeniami Kombinacje korzystać z wzorów na liczbę permutacji do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych. korzystać z wzorów na liczbę wariacji bez powtórzeń do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych. korzystać z wzorów na liczbę wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych. korzystać z wzorów na liczbę kombinacji obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych. 61 Rozwiązywanie zadań różnych z zastosowaniem kombinatoryki korzystać z wzorów na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych.
23/23 Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite 62 Prawdopodobieństwo warunkowe i jego własności obliczać prawdopodobieństwo warunkowe. 63 Prawdopodobieństwo całkowite korzystać z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.