Wybrane zagadnienia z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa oraz realizacja ośmiu głównych kompetencji kluczowych Kategoria: Materiały z warsztatów przedmiotowych Słowa kluczowe: kombinatoryka, rachunek prawdopodobieństwa, kompetencje kluczowe Dane autora: Piotr Janoska, Uniwersytet Śląski, piotrjanoska@wp.pl Artykuł ten zawiera wybrane zagadnienia z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa oraz uwagi na temat realizacji ośmiu głównych kompetencji kluczowych, które zostały przeze mnie przedstawione podczas unijnych warsztatów przedmiotowych z matematyki, zakończonych w sierpniu tego roku. Materiały te mogą zatem być pomocne nauczycielom gimnazjów oraz szkół ponadgimnazjalnych podczas realizacji projektów unijnych w szkołach. 1.Kombinatoryka: 1. permutacje bez powtórzeń, 2. permutacje z powtórzeniami, 3. kombinacje bez powtórzeń, 4. kombinacje z powtórzeniami, 5. wariacje bez powtórzeń, 6. wariacje z powtórzeniami. 2.Rachunek prawdopodobieństwa: 1. prawdopodobieństwo klasyczne, 2. prawdopodobieństwo całkowite, 3. zależność oraz niezależność zdarzeń, 4. najprostsze zmienne losowe. Ad.1Omawiając kombinatorykę staramy się przedstawiać w ciekawy sposób możliwości uporządkowania przedmiotów, wybierania elementów z danego zbioru, ustawiania przedmiotów w ciągi. Pokazujemy fragment tzw. matematyki dyskretnej używając najprostszych metod np. metody szufladkowej. Ad.1.1 Permutacje bez powtórzeń związane z nimi pojęcia to: silnia, własności silni, silnia jako funkcja. rozmieszczanie układów książek na półce tak, aby wybrane książki sąsiadowały(nie sąsiadowały) ze sobą,
budowanie liczb o niepowtarzających się cyfrach, rozmieszczanie osób przy stole prostokątnym lub okrągłym tak, aby wybrane osoby siedziały(nie siedziały) obok siebie, ustawianie osób do zdjęć w rzędach, obliczenia występujące w genetyce związane z tymi permutacjami. Ad.1.2 Permutacje z powtórzeniami wprowadzamy odpowiedni wzór na tego typu permutacje, uzasadniamy jego poprawność oraz pokazujemy w tym rozdziale użyteczność indukcji matematycznej. układanie słów z danego zbioru liter, obliczenia występujące w genetyce związane z powtarzaniem się genów, przestawianie liter w wyrazach(np. Missisipi, mama, matematyka, kajak) tak, aby nie było widać różnicy po tym przestawieniu, obliczenia związane z wyznaczaniem zbioru, z którego pochodzą permutacje z powtórzeniami, na podstawie ilości tych permutacji, układanie sznurów korali. Ad.1.3 Kombinacje bez powtórzeń wprowadzamy symbol Newtona, trójkąt Pascala, dwumian Newtona, wzór na kombinacje bez powtórzeń; uzasadniamy jego poprawność oraz pokazujemy użyteczność indukcji matematycznej. Prezentujemy następujące typy zadań związane z tym tematem: obliczenia geometryczne(np. ile prostych przechodzi przez zadane punkty na płaszczyźnie, ile półprostych przechodzi przez nie; ile płaszczyzn przechodzi przez zadane punkty w przestrzeni trójwymiarowej, ile bryła ma przekrojów, itd.), obliczenia związane ze zbiorem i jego podzbiorami, wybieranie delegacji spośród pewnej grupy osób, rady klasowej spośród uczniów danej klasy, itd., obliczenia związane z grami liczbowymi(toto Lotek, Multi Lotek), wybieranie określonego układu kart z całej talii. Ad.1.4 Kombinacje z powtórzeniami wprowadzamy rzadziej używane wzory na te kombinacje, uzasadniamy ich poprawność oraz pokazujemy użyteczność indukcji matematycznej. Prezentujemy następujące typy zadań z tego tematu: obliczenia związane z chemią, fizyką(rozmieszczanie cząstek rozróżnialnych i nierozróżnialnych w blokach), genetyką, zagadnienia polegające na obliczaniu podzbiorów danego zbioru,
obliczenia urnowe(losowanie kul z urn), wybieranie zadanego układu kart z całej talii, obliczenia związane z wyznaczaniem zbioru, z którego pochodzą kombinacje z powtórzeniami, na podstawie ilości tych kombinacji. Ad.1.5 Wariacje bez powtórzeń wprowadzamy wzór na te wariacje, uzasadniamy jego poprawność oraz pokazujemy użyteczność indukcji matematycznej. Prezentujemy tzw. metodę szufladkową przy obliczaniu tych wariacji oraz zastosowanie ciągów geometrycznych. obliczenia związane z ustawianiem osób w kolejkach, wysiadaniem pasażerów na przystankach, wychodzeniem pasażerów z windy, itd., budowanie liczb o niepowtarzających się cyfrach, kolorowanie flag złożonych z układów pasów poziomych lub pionowych, układanie sznurów korali, losowanie bez zwracania kul z urn. Ad.1.6 Wariacje z powtórzeniami wprowadzamy odpowiedni wzór, uzasadniamy jego poprawność oraz pokazujemy użyteczność indukcji matematycznej. Pokazujemy zasadę szufladkową przy obliczaniu tych wariacji oraz zastosowanie ciągów geometrycznych, przykłady zadań brzmiących odmiennie o identycznych rozwiązaniach. Wykorzystujemy odpowiednie typy zadań: obliczenia związane z ustawianiem osób w kolejkach, wysiadaniem pasażerów na przystankach, wychodzeniem pasażerów z windy, itd., budowanie liczb o powtarzających się cyfrach, kolorowanie flag złożonych z układów pasów poziomych lub pionowych, układanie słów w alfabecie Morse a, układanie sznurów korali, obliczenia związane z ilością słów, które można zapisać korzystając z dostępnego alfabetu. Ad.2.Omawiając rachunek prawdopodobieństwa staramy się przedstawiać w prosty sposób obliczanie szans wygranej, zespół pojęć z tej dziedziny oraz analizę najprostszych zmiennych losowych. Ad.2.1 Prawdopodobieństwo klasyczne wprowadzamy wzór na prawdopodobieństwo klasyczne funkcjonujący dla zbiorów skończonych, uzasadniamy jego poprawność oraz pokazujemy użyteczność indukcji matematycznej. Zaciekawiamy uczniów gwarą
probabilistyczną, innymi rodzajami prawdopodobieństw(np. prawdopodobieństwem geometrycznym), paradoksami z tej dziedziny. Prezentujemy typy zadań z tego zakresu: obliczenia związane z kombinatoryką(punkty od 1 do 6), rachowanie prawdopodobieństw wygranych w danych grach liczbowych, obliczanie prawdopodobieństw sensowności słów tworzonych z danego alfabetu, rachowanie prawdopodobieństw w sytuacjach geometrycznych(np. związanych z układaniem trójkąta korzystając z danego zbioru odcinków), porównywanie prawdopodobieństw występujących w różnych modelach probabilistycznych. Ad.2.2 Prawdopodobieństwo całkowite wprowadzamy odpowiedni wzór, wzór Bayes a, uzasadniamy ich poprawność; omawiamy rachunki związane z drzewami stochastycznymi. Pokazujemy następujące typy zadań z tego zakresu: obliczenia związane z wieloetapowymi doświadczeniami losowymi, rachunki dotyczące wielokrotnego losowania kul z urn, obliczenia dotyczące wielokrotnych rzutów monetą, kostką itd., porównywanie prawdopodobieństw występujących w rozważaniach dotyczących drzew stochastycznych(skończonych bądź nieskończonych; symetrycznych bądź niesymetrycznych), prezentacja prostych metod rozwiązywania trudnych zagadnień. Ad.2.3 Zależność oraz niezależność zdarzeń omawiamy te pojęcia i podajemy ich interpretację probabilistyczną. Zastanawiamy się nad ścisłym(matematycznym) ich znaczeniem oraz znaczeniem potocznym. W rozdziale tym zamieszczamy: odpowiednie definicje dla dwóch zdarzeń, trzech zdarzeń, itd., listę przykładów ilustrujących te pojęcia, obliczenia związane z rzutami kostką, monetą, losowaniem układu kart z talii(ze zwracaniem, bez zwracania), rachunki występujące w schematach urnowych, listę kontrprzykładów ilustrujących zagadnienia związane z zależnością zdarzeń. Ad.2.4 Najprostsze zmienne losowe definiujemy te zmienne, ilustrujemy w formie tabelek, zaciekawiamy prostymi zagadnieniami statystycznymi, podajemy interpretację wartości oczekiwanej i wariancji. W rozdziale tym zamieszczamy:
listę przykładów prostych zmiennych losowych, obliczenia związane z rzutami kostką, monetą, itd., rachunki występujące w schematach urnowych, interpretację wartości oczekiwanej jako najczęściej występującego wyniku w danym doświadczeniu losowym, interpretację wariancji jako pomiaru błędu występującego w danym doświadczeniu losowym. Dział ten jest wstępem do prostego opisu statystycznego danej zbiorowości poprzez liczenie wartości oczekiwanej i wariancji. Realizując powyższe treści, pracujemy nad wszechstronnym rozwojem następujących kompetencji kluczowych: a) porozumiewanie się w języku ojczystym kształtowanie umiejętności poprawnego wypowiadania się w języku matematyki, b) porozumiewanie się w językach obcych wzbogacenie wiedzy słuchaczy o niektóre zwroty i określenia z języka angielskiego, c) kompetencje matematyczne i podstawowe kompetencje naukowo-techniczne - rozwijanie zdolności i chęci wykorzystywania matematycznych sposobów myślenia oraz prezentacji, d) kompetencje informatyczne rozwijanie umiejętności obejmujących zdolności poszukiwania, gromadzenia i przetwarzania informacji matematycznych, e) umiejętność uczenia się docieranie do nowej wiedzy i umiejętności oraz zdobywanie, przetwarzanie i przyswajanie ich, f) kompetencje społeczne i obywatelskie rozwijanie współpracy wewnątrz grupy ćwiczeniowej(podział słuchaczy na podgrupy i prowadzenie zajęć w tych podgrupach), g) inicjatywność i przedsiębiorczość rozwijanie umiejętności odnoszących się do zarządzania projektami(co obejmuje np. planowanie, organizowanie, kierowanie, zlecanie zadań, analizowanie, sprawozdawczość), h) świadomość i ekspresja kulturalna kreatywne rozwiązywanie różnego typu zadań i pokazywanie estetyki poruszanych problemów.