Zakład Inżynierii Materiałowej i Systemów Pomiarowych Instytut Systemów Inżynierii Elektrycznej Wydział Elektrotechniki, Elektroniki Informatyki i Automatyki Politechnika Łódzka LABORATORIUM INŻYNIERII MATERIAŁOWEJ ĆWICZENIE 1 LIM Materiały przewodzące i elementy rezystancyjne Łódź 014
1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie podstawowych właściwości oraz zastosowań materiałów przewodzących i elementów rezystancyjnych. W części teoretycznej instrukcji przedstawiono zarys teorii przewodnictwa elektrycznego metali, a także czynniki decydujące o wartości rezystywności elektrycznej materiałów o elektronowym typie przewodnictwa elektrycznego. Cześć wykonawcza obejmuje: wyznaczenie rezystywności elektrycznej typowych materiałów przewodowych; wyznaczenie rezystancji ścieżek obwodów drukowanych; wyznaczenie temperaturowego współczynnika rezystancji badanych materiałów i rezystorów.. Podstawy teoretyczne.1. Wstęp. Materiały przewodzące prąd elektryczny odgrywają kluczową rolę w każdym urządzeniu elektrycznym i elektronicznym. Do utworzenia zamkniętego obwodu elektrycznego niezbędne są przewody elektryczne wykonane z dobrego przewodnika, zapewniające prowadzenie prądu elektrycznego wzdłuż określonej drogi. Materiały przewodzące są wykorzystywane przede wszystkim do produkcji przewodów i kabli (przewodów w osłonie) elektrycznych oraz obwodów drukowanych. Materiały o celowo pogorszonym przewodnictwie (stopy oporowe) znajdują zastosowanie w produkcji elementów rezystancyjnych, np. rezystorów, elementów grzejnych. Do materiałów przewodzących zaliczane są materiały charakteryzujące się bardzo dobrym przewodnictwem elektrycznym. Przyłożenie zewnętrznego pola elektrycznego wywołuje w przewodniku uporządkowany ruch nośników ładunku, co jest równoznaczne ze zjawiskiem prądu elektrycznego. Dobry przewodnik elektryczny musi zatem cechować się dużą koncentracją nośników ładunku, zdolnych do łatwego przemieszczania się w całej objętości ośrodka. Podstawowym parametrem charakteryzującym zdolność materiału do przewodzenia prądu elektrycznego jest konduktywność elektryczna γ (przewodność właściwa). Wartość konduktywności elektrycznej wynika z liczby nośników w jednostce objętości materiału i ich ruchliwości: γ = qnµ (1) gdzie: q ładunek elektryczny nośnika; n koncentracja objętościowa nośników ładunku; µ ruchliwość nośników współczynnik proporcjonalności między prędkością unoszenia nośników v d poddanych działaniu pola elektrycznego o natężeniu E. v d µ = () E Konduktywność elektryczna jest definiowana jako konduktancja (przewodność elektryczna) odcinka materiału o jednostkowej długości l i jednostkowym polu przekroju poprzecznego S.
1 l γ = [S/m] (3) R S Zamiennie z konduktywnością używane jest pojęcie rezystywności elektrycznej ρ. Związek między konduktywnością i rezystywnością przedstawia wzór (4). 1 S ρ = = R γ l [Ωm] (4) Największą wartością konduktywności, wynoszącą w temperaturze 0 ºC γ 0 >10 5 S/m, charakteryzują się metale i stopy metali. Najlepszymi przewodnikami elektrycznymi są w kolejności: srebro - γ 0 ~ 6 MS/m; miedź - γ 0 ~ 59 MS/m; złoto - γ 0 ~ 48 MS/m, aluminium - γ 0 ~ 37 MS/m. Konduktywność stopów jest co najmniej o rząd mniejsza od konduktywności srebra, np. dla konstantanu wynosi γ 0 ~ MS/m. Stosunkowo dobre właściwości elektryczne wykazują również niektóre odmiany alotropowe węgla (np. grafit )... Metale i stopy metali model elektronów swobodnych Cechami wspólnymi wszystkich metali i stopów metalicznych jest dobre przewodnictwo elektryczne i związane z nią dobre przewodnictwo cieplne. Metale są nieprzezroczyste, można je polerować, w wyniku czego nabierają specyficznego metalicznego połysku. Metale posiadają dobre właściwości mechaniczne, można je poddawać odkształceniom plastycznym, są odporne na udary. Metale można także łatwo łączyć poprzez spawanie i stapianie. Właściwości metali wynikają ze szczególnych wiązań międzyatomowych, zapewniających swobodę elektronów walencyjnych, nazywanych wiązaniami metalicznymi. Elektrony w metalu nie są zatem ściśle związane z jądrem atomu należą one do metalu jako całości, co pozwala im na swobodne poruszanie się w jego (ograniczonej) objętości. Ponieważ energia jonizacji wszystkich elektronów danego atomu jest zbyt wysoka, odrywane są jedynie elektrony walencyjne (elektrony przewodnictwa) z niecałkowicie obsadzonych powłok zewnętrznych. Koncentracja n elektronów przewodnictwa w metalu jest bardzo duża (np. dla miedzi n ~ 8 10 8 m -3 ) i nie zależy od temperatury i innych warunków zewnętrznych. W modelu elektronów swobodnych przyjmuje się trójwymiarową studnię potencjału wypełnioną elektronami walencyjnymi, tworzącymi tzw. kwantowy gaz Fermiego o ujemnym ładunku. Dodatnie jony neutralizują ładunek elektronów, w wyniku czego wypadkowy ładunek metalu jest równy zeru. Jest to równoważne założeniu, że ładunki dodatnie są rozmieszczone w sposób ciągły w całej objętości metalu. Jest to przybliżenie, w rzeczywistości dodatnio naładowany jon przedstawia znaczny potencjał przyciągający dla elektronu. W modelu swobodnych elektronów przyjmuje się ponadto, że pole potencjału dla żadnej z cząsteczek ładunku nie zależy od położenia pozostałych tym samym całkowicie pomija się oddziaływanie pomiędzy elektronami. Ze względu na dużą koncentrację, gaz elektronowy w metalach podlega rozkładowi Fermiego-Diraca i zakazowi Pauliego, tzn. elektrony nie mogą zajmować tego samego stanu energetycznego. Jedynie dwa elektrony o przeciwnych spinach mogą znajdować się w tym samym stanie energetycznym, przy czym w temperaturze zera bezwzględnego T = 0 K elektrony zajmują stany o najniższych energiach. Stany energetyczne zapełniane są przez elektrony kolejno, aż do stanów odpowiadających najwyższej energii. Maksymalna energia cząsteczek w temperaturze T = 0 K nosi nazwę energii Fermiego E F.
.3. Rozpraszanie nośników ładunku. Przyłożenie pola elektrycznego o natężeniu E r powoduje, że na elektron działa siła r r F = ee, która dąży do przesunięcia elektronów w stronę wyższego potencjału. Gdyby na elektrony działała tylko ta siła, miałby miejsce przyspieszony ruch elektronów zgodny z gradientem potencjału elektrycznego. W rzeczywistości, w stałym polu elektrycznym obserwowany jest przepływ prądu stałego. Jest on wynikiem zderzeń elektronów z fononami 1 i niedoskonałościami sieci krystalicznej. W wyniku tych zderzeń powstaje pewien stan równowagi, który charakteryzuje się ustalona prędkością dryfu v. Ruch elektronów można porównać do ruchu ciała pod działaniem stałej siły w ośrodku lepkim). Czynnikiem ustalającym pewną prędkość dryfu v r d, pomimo przyspieszającego działania pola elektrycznego o natężeniu E r, jest wpływ jonów. Regularne ułożenie jonów w sieci krystalicznej sprawia, że możemy przyjąć wygładzony kształt oddziaływania elektronowofononowego. Jednak drgania cieplne sieci oraz występowanie różnego rodzaju defektów w rzeczywistych metalach, powodują wiele odchyleń od doskonałej regularności sieci krystalicznej w kategoriach wygładzonego potencjału jest to równoznaczne ze zmianami gęstości ładunków dodatnich. W miarę wzrostu temperatury, wzrasta amplituda drgań cieplnych i odchylenia te stają się coraz silniejsze. Defekty struktury krystalicznej (wakanse, dyslokacje, błędy ułożenia, granice ziaren) także niszczą regularność sieci i powodują zmiany gęstości ładunku jonów, co z kolei wywołuje lokalne zmiany potencjału. Elektrony, napotykając lokalne zmiany potencjału, ulegają rozpraszaniu, co powoduje zmniejszenie ich średniej prędkości. Im większa jest prędkość przepływu, tym większe rozpraszanie. Oznacza to, że elektron pomiędzy kolejnymi rozproszeniami zmniejszającymi jego prędkość, podlega stałemu przyspieszeniu (rys. 1). Rys. 1. Zmiana prędkości pojedynczego elektronu jako efekt działania przyspieszającego pola elektrycznego i procesów rozproszeniowych. Jeżeli założyć, że siła hamująca jest proporcjonalna do prędkości dryfu, to równanie ruchu elektronu, otrzymane na podstawie drugiej zasady dynamiki Newtona, przyjmuje postać: 1 fonon quasicząstka reprezentująca kwant energii drgań sieci krystalicznej
r dv r 1 r m = ee mv (5) dt τ gdzie τ oznacza średni czas pomiędzy zderzeniami. Jeżeli dla czasu t=0 (moment włączenia pola elektrycznego) v=0, to rozwiązanie równania (5) można zapisać w postaci: t r r v( t) = v τ d 1 e (6) r r ee gdzie v d = τ - prędkość dryfu w stanie ustalonym. m Po wyłączeniu pola (E=0), równanie (5) przyjmuje postać: r r dv v = (7) dt τ którego rozwiązaniem jest funkcja: v r ( t) = v r d e (8) Jak wynika z równań (6) i (8), skokowe zmiany natężenia pola elektrycznego powodują wykładniczą zmianę prędkości elektronów w czasie. Znając prędkość dryfu v 0, można wyznaczyć gęstość prądu w stanie ustalonym: Z prawa Ohma wynika, że: Z porównania zależności (9) i (10): t τ r r e r j = envd = neτ (9) m r r j = γe (10) e γ = nτ (11) m Konduktywność metalu wyrażona za pomocą ruchliwości nośników ładunku elektrycznego µ może być zapisana w postaci (1), równoznacznej ze wzorem (1), w którym dowolny ładunek q zastąpiono ładunkiem elektronu e: γ = enµ (1) r v e gdzie: µ = r d = τ E m W przewodnictwie prądu elektrycznego biorą udział tylko niewielkie ilości elektronów o energiach bliskich energii Fermiego. Znając czas pomiędzy zderzeniami i prędkość elektronów, można obliczyć średnią drogę swobodną l (odległość między zderzeniami): l = τ v F (13) Dla miedzi w temperaturze 300 K l Cu ~ 4,5 10-8 m = 4.5 10 Å, natomiast w temperaturze 4, K l Cu ~ 4,5 10-3 m = 4.5 10 7 Å. Wynika z tego, że średnia droga swobodna elektronów pomiędzy zderzeniami jest około 10 razy większa w temperaturze 300 K, a w temperaturze 4, K nawet 10 7 razy większa od stałej sieci krystalicznej (odległości pomiędzy jonami). Wynik ten wskazuje, że w idealnej sieci krystalicznej, w której jony są nieruchome i która nie zawiera defektów struktury krystalicznej, nie występuje opór elektryczny. Spowodowane jest to falową naturą elektronu oraz faktem, że długość fali elektronowej odpowiadającej
energii Fermiego jest znacznie większa od odległości międzyatomowych. Tym samym fala elektronowa nie oddziałuje z nieruchomymi jonami sieci i nie traci swojej energii. Rozpraszanie energii elektronu w metalach następuje zatem w wyniku dwóch zjawisk: zderzenia elektron fonon (drgania cieplne sieci); zderzenia elektron defekt sieci krystalicznej. Rezystywności wynikające z niezależnych procesów rozpraszania są addytywne (reguła Mathiessena): ρ = ρ1 + ρ + K + ρ n (14) Całkowita rezystywność metali jest zatem równa: ρ ( T ) = ρ r + ρ ( T ) (15) gdzie: ρ r niezależna od temperatury rezystywność resztkowa, wynikająca z rozproszeń na defektach sieci; ρ f zależna od temperatury rezystywność fononowa. Rezystywność metali zmienia się w funkcji temperatury, ponieważ proces rozpraszania fononowego (koncentracja i amplituda fononów) jest zależny od temperatury..4. Wpływ temperatury na przewodność elektryczną metali Ze wzorów (11) i (13), po uwzględnieniu, że τ = l/v F, otrzymujemy następujące wyrażenie dla przewodności elektrycznej metali: f 1 e l γ = = n (16) ρ m Temperatura wpływa na przewodność elektryczną metali jedynie poprzez zmianę średniej drogi swobodnej elektronów l, a koncentracja elektronów n oraz prędkość Fermiego v F metali praktycznie nie zależą od temperatury. Niezależnie od rodzaju czynnika rozpraszającego, średnia droga swobodna jest odwrotnie proporcjonalna do koncentracji centrów rozpraszających l ~ 1/n r. Rozpraszanie elektronów na drganiach sieci krystalicznej (na fononach) Wzrost temperatury powoduje wzrost amplitudy drgań sieci krystalicznej, co jest równoznaczne ze liniowym wzrostem koncentracji fononów. v F ρ ~ T (17) f n f ~ W zakresie niskich temperatur całkowite rozproszenie elektronu następuje dopiero w wyniku wielokrotnych zderzeń elektronu z fononami ze względu na mały pęd fononów. Eksperymentalnie stwierdzono następującą zależność rezystywności metali od temperatury: 5 ρ f ~ T (18) Koncentracja fononów w niskich temperaturach jest bardzo mała, zatem w większości przypadków rozpraszanie elektronów na fononach w tym zakresie temperatur nie odgrywa większej roli.
Rozpraszanie elektronów na domieszkach Procesy rozpraszania wywołane są nie tylko przez oddziaływanie elektronów z fononami, ale także przez wszelkie inne zakłócenia w sieci jonów, które powodują lokalne zmiany rozkładu ładunku jonów dodatnich. Takie zmiany w gęstości ładunku pochodzą z: lokalnych zmian parametru sieci wywołanych atomami o różnej wielkości (a także wakansami oraz atomami w położeniach międzywęzłowych); lokalnych różnic ładunku, wywołanych atomami o różnej wartościowości w stosunku do wartościowości atomów osnowy (lub brakiem atomu osnowy, tzw. wakansem). Koncentracja defektów tego typu nie zależy od temperatury, więc rezystywność elektryczna wywołana rozpraszaniem na domieszkach także nie zależy od temperatury. Zgodnie z modelem elektronów swobodnych opór elektryczny metali w niskich temperaturach (T 0) (tzw. opór resztkowy) nie zależy od temperatury, ponieważ jest efektem rozproszeń na domieszkach. Rozpraszanie na fononach w niskich temperaturach nie wnosi istotnego wkładu do oporu ze względu na bardzo małą amplitudę drgań sieci krystalicznej. W miarę wzrostu temperatury addytywny wkład rozpraszania fononowego rośnie, powodując wzrost rezystywności proporcjonalny do T 5, a w wyższych temperaturach do T (w tym w zakresie temperatur pokojowych), odpowiednio do wzrastającego prawdopodobieństwa rozpraszania fononowego. Rys. 1. Charakterystyki temperaturowe rezystywności dla metalu idealnie czystego i zanieczyszczonego (Θ temperatura Debye a)..5. Zastosowania materiałów przewodzących Najliczniejszą i najczęściej stosowaną grupę materiałów przewodzących stanowią metale o strukturze polikrystalicznej i ich stopy. Wspólną cechą takich materiałów jest przewodnictwo elektryczne o charakterze metalicznym, opisane w poprzednich rozdziałach. Cechą przewodnictwa metalicznego jest dodatni temperaturowy współczynnik rezystancji (TWR). Do najważniejszych zastosowań materiałów o największej konduktywności (γ > 10 MS/m) w obwodach elektrycznych i elektronicznych należy zaliczyć przewody łączeniowe oraz druty nawojowe do wykonywania uzwojeń elementów indukcyjnych (miedź, aluminium). Materiały metaliczne o wysokiej temperaturze topnienia, np. wolfram, są stosowane do wytwarzania elementów emisyjnych, np. żarników żarówek i świetlówek, katod dział elektronowych. Materiały o podwyższonej wytrzymałości mechanicznej i dużej konduktywności znajdują zastosowanie jako materiały stykowe (Ag-Ni). Niektóre stopy
metali o dużej konduktywności i niskiej temperaturze topnienia wykorzystywane są jako spoiwa i luty (np. Sn-Ag, Sn-Sn). W elektronice, a szczególnie mikroelektronice, do wykonywania połączeń z materiałów przewodzących stosuje się technologie warstwowe. Najważniejsze zastosowania technologii warstwowych to: ścieżki przewodzące (przewody płaskie) obwodów drukowanych, ścieżki przewodzące w strukturach elementów półprzewodnikowych, pola kontaktowe, okładki kondensatorów warstwowych. W zależności od grubości warstwy d wyróżnia się warstwy grube (d > 1 µm) i warstwy cienkie o grubościach począwszy od 10-10 m (monowarstwy o grubości odpowiadającej średnicy pojedynczego atomu) do 10-6 m. Należy podkreślić, że konduktywność płaskich warstw metalicznych jest zwykle mniejsza od konduktywności objętościowej metali podawanej w tablicach materiałowych. Przyczyna takiego efektu jest zmniejszanie się średniej drogi swobodnej i wzrost roli defektów strukturalnych w przewodnictwie elektrycznym wraz ze zmniejszaniem grubości warstwy. Wymagania stawiane materiałom przewodzącym duża wartość konduktywności druty o róznym profilu Zastosowania materiałów przewodzących przewody warstwowe obwody drukowane ścieżki grube cienkie rezystory układów scalonych indywidualne Metaliczne materiały przewodzące o małej konduktywności (γ < MS/m), przede wszystkim stopy metali, są stosowane do wytwarzania drutów oporowych i rezystorów, także rezystorów warstwowych w układach scalonych i układach hybrydowych. pola kontaktowe warstwy cienkie warstwy grube drutowe pomiarowe duża rezystywność stabilność w czasie niski poziom szumów mała wartość TWR oraz NWR odporność na korozję atmosferyczną drutowe grzejne warstwowe materiały stykowe spoiwa i luty wytrzymałość mechaniczna dobra przewodność cieplna odporność na wysokie temperatury adhezja do podłoża i innych warstw lutowność (podatność na dołączanie) odporność na elektromigrację odporność na elektroerozję tworzenie się faz międzymetalicznych zgodność technologiczna oznaczono zastosowania, w których poszczególne wymagania są szczególnie istotne
Odmienną grupę materiałów przewodzących stanowią kompozyty przewodzące. Najważniejszą zaletą technologii wytwarzania materiałów kompozytowych jest możliwość modyfikowania w bardzo szerokim zakresie właściwości fizycznych (w tym konduktywności elektrycznej) takich materiałów, poprzez odpowiedni dobór składników (komponentów). Do kompozytów przewodzących można zaliczyć: - materiały, w których fazę przewodzącą stanowią metale, tlenki metali lub węgiel, a osnowę (fazę wiążącą) żywice organiczne; - cermety kompozyty wypalane ze sproszkowanych: tlenków przewodzących (PdO + Ag, RuO ) oraz szkła. W zależności od zastosowanej fazy przewodzącej przewodnictwo kompozytów może mieć charakter elektronowy (kompozyty metaliczne), jak również jonowy (kompozyty tlenkowe i węglowe). W drugim przypadku rolę nośników pełnią jony aktywowane najczęściej w procesach cieplnych, a temperaturowy współczynnik rezystancji ma wartość ujemną, tzn. konduktywność rośnie wraz z temperaturą.
3. Wykonanie ćwiczenia 3.1. Układ pomiarowy Oznaczenia: I źródło prądowe (zasilacz z regulacją wartości prądu); A amperomierz; V woltomierz; R badana próbka o średnicy d oraz odległości między zaciskami l ; P przełącznik do zmiany kierunku prądu; T termometr. 3. Wyznaczanie rezystywności materiałów przewodowych. 3..1. Przebieg pomiaru. Umieścić badaną próbkę w komorze grzejnej schłodzonej do temperatury otoczenia. Połączyć próbkę z układem pomiarowym zgodnie ze schematem (3.1). Ustawić wydajność prądową źródła prądu, odpowiednią dla każdego materiału (wg instrukcji dodatkowej). Skontrolować wartość płynącego prądu przy pomocy amperomierza A i odczytać na woltomierzu V wartość napięcia na próbce. Zmienić kierunek przepływu prądu i ponowić odczyt (wyeliminowanie wpływu zjawisk termoelektrycznych). Wykonać pomiary dla czujnika temperatury Pt100 oraz różnych materiałów wymienionych w instrukcji dodatkowej.
3... Obliczenia Napięcie wskazywane przez woltomierz U jest równe sumie rzeczywistego napięcia na próbce U i napięć wynikających z sił termoelektrycznych w obwodzie napięciowym E T. Uwzględniając znaki mierzonego napięcia dla obu kierunków płynącego prądu (U 1 i U ), rzeczywiste napięcie na próbce jest równe: U 1 U U = (19) Jeżeli U > E T, napięcie na próbce można wyznaczyć ze wzoru: U 1 + U U = (0) Wykorzystując wzór (19) lub (0) obliczyć rezystancję próbki R : U R = (1) I Rezystywność ρ x oraz konduktywność γ x materiału próbki obliczyć ze wzorów: S ρ = R () l 1 l 1 γ = = (3) R S ρ gdzie S x pole powierzchni przekroju poprzecznego przewodu: π d S =. (4) 4 3..3. Wyniki. Wyniki pomiarów i obliczeń zanotować w tabelach 1,, 3. Tabela 1 Pomiar temperatury I U Pt100_1 U Pt100_ U Pt100 R Pt100 ϑ [ma] [mv] [mv] [mv] [Ω] [ºC] Tabela Badanie drutów o przekroju okrągłym L.p. Materiał ρ l d I U 1 U U R ρ γ [Ωm] [m] [m] [ma] [mv] [mv] [mv] [Ω] [Ωm] [S/m] 1 3 4 Tabela 3 Badanie warstw przewodzących L.p. Materiał ρ l d h I U 1 U U R ρ γ [Ωm] [m] [m] [m] [ma] [mv] [mv] [mv] [Ω] [Ωm] [S/m] 1
3.3. Badanie wpływu temperatury na rezystywność materiałów przewodowych 3.3.1 Przebieg pomiaru. Umieścić badaną próbkę w komorze grzejnej schłodzonej do temperatury otoczenia. Połączyć próbkę z układem pomiarowym zgodnie ze schematem (3.1). Ustawić wydajność prądową źródła prądu, odpowiednią dla badanego materiału (wg instrukcji dodatkowej). Odczytać wskazania amperomierza i wskazania woltomierza dla dwóch kierunków płynącego prądu (dla czujnika Pt100 oraz wybranych próbek). Ustawić początkową temperaturę grzania (wg instrukcji dodatkowej), a następnie włączyć ogrzewanie komory i po ustaleniu się temperatury odczytać wskazania przyrządów postępując jak w poprzednim punkcie. Zwiększając, kolejno co 10 C, temperaturę w komorze powtórzyć opisane wcześniej czynności aż do uzyskania temperatury około 80ºC. Po zakończeniu cyklu pomiarów schłodzić wnętrze komory do temperatury otoczenia. Wykonać pomiary dla próbki wykonanej z czystego metalu oraz próbki wykonanej ze stopu metali. 3.3.. Obliczenia. Parametrem określającym reakcję rezystancji (rezystywności) materiału na zmianę temperatury jest temperaturowy współczynnik rezystancji α (TWR): 1 dr α = (5) dt R O W literaturze technicznej jest podawany temperaturowy współczynnik zmian rezystancji dla temperatury odniesienia 0 C. Ze względu na praktycznie liniową zależność między rezystancją i temperaturą dla większości metali (dla temperatur zbliżonych do temperatury otoczenia), temperaturowy współczynnik rezystancji α 0 (dla temperatury odniesienia 0 ºC) jest wyznaczany ze wzoru: 1 R R0 α 0 = (6) R0 ϑ 0 C gdzie: R 0 rezystancja w temperaturze 0 ºC; R rezystancja w temperaturze ϑ. Jeżeli temperatura odniesienia jest inna, wzór (6) ulega odpowiednim zmianom. 3.3.3. Wyniki. Wyniki pomiarów i obliczeń zanotować w tabeli 4.
Tabela 4 Materiał L.p. I U Pt100_1 U Pt100_ ϑ U 1 U U R (R /R ϑ1)-1 α ϑ1 [ma] [mv] [mv] [ºC] [mv] [mv] [mv] [Ω] [-] [1/K] 1 3 4 5 6 7 1 3 4 5 6 7 Współczynniki α ϑ1 wyznaczyć metodą aproksymacji liniowej (prosta aproksymująca musi przechodzić przez punkt odpowiadający temperaturze odniesienia ϑ 1 ). Na podstawie otrzymanych wyników wyznaczyć charakterystyki temperaturowe rezystancji badanego metalu i stopu metali R = f(ϑ). Dodatkowo wykonać na jednym układzie współrzędnych wykresy (R /R ϑ1 )-1 = f(ϑ) dla obu próbek.