ROZPRAWY MONOGR AFIE

ROZPRAWY MONOGR AFIE 110 EDWARD PREWEDA Estymacja parametrów kinematycznego modelu przemieszczeń ISSN 0867-6631 AGH KRAKÓW 2002 Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne Akademii Górniczo-Hutniczej im. S. Staszica w Krakowie 5

Spis treści Streszczenie... 7 Summary... 8 Spis oznaczeń... 9 Wstęp...11 1. Kinematyczny model przemieszczeń... 13 1.1. Kinematyczne modele sieci geodezyjnych...13 1.2. Dane do modelu kinematycznego...15 1.3. Modelowanie a liczba obserwacji...16 1.4. Obserwacje w modelu kinematycznym...17 1.5. Sformułowanie modelu uogólnionego... 24 2. Estymacja punktowa... 29 2.1. Model uogólniony... 29 2.2. Model wieloparametrowy... 35 2.2. Model uwarunkowany... 37 2.3. Model wieloparametrowy z restrykcjami... 38 2.4. Model uwarunkowany z niewiadomymi..... 41 2.5. Nieobciążoność estymatorów..... 43 3. Estymacja przedziałowa... 52 3.1. Przekształcenia zmiennych losowych.... 52 3.2. Analiza rozkładu prawdopodobieństwa... 54 3.3. Podstawowe twierdzenia... 56 3.4. Przedziały ufności... 60 4. Weryfikacja hipotez statystycznych... 70 4.1. Wprowadzenie... 70 4.2. Hipotezy dotyczące wartości przeciętnych i wariancji... 72 4.3. Wnioskowanie o funkcjach zmiennych losowych.... 74 4.4. Ocena wiarygodności estymowanego modelu.... 78

5. Elementy obliczeń numerycznych...... 79 5.1. Wprowadzenie... 79 5.2. Wyznaczanie pseudoodwrotności... 84 5.3. Regularyzacja... 89 5.4. Parametry rozkładu prawdopodobieństwa...... 92 Zakończenie.... 95 Literatura... 97 7

EDWARD PREWEDA Estymacja parametrów kinematycznego modelu przemieszczeń Streszczenie W pracy przedstawiono wyniki badań w zakresie estymacji parametrów uogólnionego modelu kinematycznego, który może być podstawą określania stanu przemieszczeń i odkształceń obiektów inżynierskich. Cechą szczególną uogólnionego modelu jest możliwość nałożenia na jego postać strukturalną warunków gwarantujących ciągłość odkształceń, możliwość adaptacji do postaci dynamicznej lub uproszczenia do modeli ogólnie znanych. Zasadnicza część pracy poświęcona jest estymacji punktowej i przedziałowej uogólnionego modelu liniowego. Estymacji dokonano metodą najmniejszych kwadratów przy uwzględnieniu warunków Gaussa Markowa dla formy kwadratowej zapisanej za pomocą funkcji Lagrange a. Warunki konieczne na minimum funkcji Lagrange a prowadzą do układu równań, którego rozwiązanie przedstawiono za pomocą uogólnionej odwrotności macierzy blokowej. Podano szczegółowe wzory na wszystkie parametry modelu. Analiza rozkładu prawdopodobieństwa zmiennych losowych występujących w modelu oraz rozkładu funkcji zmiennych losowych jest podstawą sformułowanych zasad estymacji przedziałowej i weryfikacji hipotez statystycznych. W końcowej części pracy skierowano uwagę na wybrane elementy związane z numeryczną realizacją opracowanych algorytmów. 7

EDWARD PREWEDA Summary Estimation of Parameters of Deformations Kinematics Model The results of studies on generalized kinematical model estimation parameters, that can be the basis of engineering structures displacements and deformations description, are presented in this paper. The particular feature of generalized model is the possibility of implementing conditions that can guarantee deformations continuity, ability of transformation into dynamic model or simplification into commonly known models. The point and range estimation of general linear model makes the main part of this study. The estimation has been performed by least squares method, including Gauss Markow conditions for a square form described with Lagrange s function. Necessary conditions for Lagrange s function minimum leads to the set of equations, which has been solved and stroved by means of block matrix generalized vertex. The detailed formulas on all model parameters are also included. The distribution analysis of random variables occurring in model and random variables functions distribution is the basis for formulated range estimation principles and statistical hypothesis verification. The final part of the study concerns some chosen examples concerning numeric implementation of elaborated algorithms. 8

Literatura References [1] Achimowicz J.: Statystyka, modelowanie i analiza sygnałów. Warszawa, NOT 1988 [2] Baran W.: Teoretyczne podstawy opracowania wyników obserwacji. Warszawa, PWN 1983 [3] Beluch J., Plewako M.: Taking Kinematics of Surface into Account then Caculating High Control on Mining Areas. Proc. of the Perelmuter Workshop on Dynamic Deformation Models, Haifa 1994, 291 302 [4] Berdat J.S., Piersal A.G.: Metody analizy i pomiaru sygnałów losowych. Warszawa, PWN 1975 [5] Björck A., Dahlquist G.: Metody numeryczne. Warszawa, PWN 1983 [6] Björck A., Yuan J.Y.: Preconditioners for Least Squares Problems by LU Factorization. Electronic Transaction on Numerical Analysis, vol. 8, Kent State University 1999 [7] Borowiecki R., Czaja J., Preweda E. i in.: Metody i procedury szacowania wartości podmiotów gospodarczych. Kraków, Oficyna Wydawnicza Abrys 2001 [8] Cacoń S.: Dynamic Model of the Crustal Deformation on the Vicinity of Water Reservoirs. Proc. of the Perelmuter Workshop on Dynamic Deformation Models, Haifa 1994 [9] Castel M.J., Migallon V., Penades J.: On Parallel Two-Stage Methods for Hermitian Positive Definite Matrices with Applications to Preconditioning. Electronic Transaction on Numerical Analysis, vol. 12, Kent State University 2001 [10] Chrzanowski A., Chen Y.Q., Szostak A., Secord J.M.: Combination of geometrical analysis with physical interpretation for the enhancement of deformation modelling. Congers of FIG, Finland 1990 [11] Chrzanowski A., Szostak A.: Ground Subsidence modelling using non-linear elastic finite element analysis. Quebec, CIM 1989 [12] Czaja J.: Aproksymacja wektorowego pola przemieszczeń i odkształceń i jego interpretacja geometryczna i fizyczna. Geodezja i Kartografia, t. XX, 1971 [13] Czaja J.: Wyznaczanie przemieszczeń i odkształceń powłok cienkościennych w krzywoliniowych układach współrzędnych na podstawie okresowych pomiarów geodezyjnych oraz próba analizy stanu naprężenia w tych powłokach. ZN AGH Geodezja, z. 33, 1974 [14] Czaja J.: Analiza stanu odkształceń skończonych oraz estymacja wskaźników deformacji określonych na podstawie okresowych pomiarów geodezyjnych. Geodezja i Kartografia, t. XXXIX, z. 4, 1989 97

[15] Czaja J.: Analiza stanu naprężeń stalowych elementów konstrukcyjnych na podstawie okresowych pomiarów geodezyjnych. Geodezja i Kartografia, z. 4, 1992 [16] Czaja J.: Analysis of deformation Surveys. Proc. of the Perelmuter Workshop on Dynamic Deformation Models, Haifa 1994 [17] Czaja J.: Estimation of linear deformation models. Proc. of the 8th FIG International Symposium on Deformation Measurements, Hong Kong 1996 [18] Czaja J.: Interval Estimation of Generalized Linear Models. Geodezja i Kartografia, t. XLVI, z. 1, 1997 [19] Czaja J., Preweda E.: Estymacja parametrów liniowych modeli. Materiały II Ogólnopolskiego Seminarium Modelowanie danych przestrzennych, Warszawa 2000 [20] Czaja J., Preweda E.: Analiza statystyczna zmiennej losowej wielowymiarowej w aspekcie korelacji i predykcji. ZN AGH Geodezja, t. 6, z. 2, 2001 [21] George A., Liu J.W.H.: Computer Solution of Large Positive Definite System. Englewood Clifs, New York, Prentice Hall 1981 [22] Gocał J.: Aproksymacja średniokwadratowa w badaniach kształtu elementów konstrukcyjnych. Geodezja i Kartografia, t. XXVIII, z. 3 [23] Golub G.H., Van Loan C.F.: Matrix Computations, 2nd ed. Baltimore, Maryland, The John Hopkins University Press 1989 [24] Gloub G.H., Reinsch C.: Singular Value Decomposition and Least Squares Solution. Num. Math., 14, 1970 [25] Graybill F.A.: Introduction to Linear Statystical Models. New York, 1961 [26] Gregory D.A., Kirkland S.J.: Singular Values of Tournament Matrices. The Electronic Journal of Linear Algebra, vol. 5, Kingston 1999 [27] Hermanowski A., Laudyn I.: Obliczanie pionowych przemieszczeń budowli. Prace IGiK, t. XXII, z. 3, 1980 [28] Hillar C., Johnson C.R., Spitkovsky I.M.: Positive eigenvalues and two-letter generalized words. The Electronic Journal of Linear Algebra, vol. 9, University of California, Berkeley 2002 [29] Householder A.S.: The Theory of Matices in Numerical Analysis. New York, Blaisdell 1965 [30] Janusz W.: Obliczanie poziomych przemieszczeń punktów w sieciach kontrolnych. Prace IGiK, t. XXX, z.1, 1983 [31] Janusz W.: Obsługa geodezyjna budowli i konstrukcji. Warszawa, PPWK 1975 [32] Kadaj R.: Kinematyczne modele dla pomiaru przemieszczeń. Mat. III NT Symposium, Polanica Zdrój 1987 [33] Kadaj R.: System komputerowy trójwymiarowej sieci kinematycznej do pomiaru przemieszczeń obiektów inżynierskich. ZN AR Wrocław Geodezja i Urządzenia Rolne X, nr 210, 1991 [34] Kadaj R., Plewako M.: A New Modelling Approach to Geodetic Deformation Analysis. Proc. of the 8th Int. Symp. on Deformation Measurement, Hong Kong 1996 98

[35] Kadaj R.: Modele, metody i algorytmy obliczeniowe sieci kinematycznych w geodezyjnych pomiarach przemieszczeń i odkształceń. Kraków, AR 1998 [36] Kiełbasiński A., Schwetlick H.: Numeryczna algebra liniowa. Warszawa, WNT 1992 [37] Latoś S., Preweda E.: Geometryczna interpretacja i własności jednopunktowej oraz globalnej charakterystyki dokładności poziomych sieci geodezyjnych. ZN AR Wrocław, nr 324, Geodezja i Urządzenia Rolne, XIV, 1997 [38] Laudyn I.: Oblicznie przemieszczeń poziomych budowli. Prace IGiK, t. XXII, z. 1, 1980 [39] Lawson Ch.L., Hanson R.J.: Solving Least Squares Problems. Englewood, New Jersy, Prentice-Hall 1965 [40] Lazzarini T.: Geodezyjne pomiary przemieszczeń budowli i ich otoczenia. Warszawa, PPWK 1977 [41] Liebelt P.B.: An Inroduction to Optimal Estimation. Boston, Addison-Weslay, Publishing Company 1967 [42] Marquardt D.W.: Generalized inverses, ridge regression, biased linear estimation, and nonlinear estimation. Technometrics, vol. 12, No. 3, 1970 [43] Milev G.: Generalized dynamic models with stresses and deformations. Symp. of FIG, Fredericton 1988 [44] Milev I., Gruendig L.: An Integrated Model for Physical Interpretation of Deformations. The 10th FIG International Symposium on Deformation Measurements, 2000 [45] Ney B.: Determination of the Components of Horisontal Network Deformation by the Method of Polynomial Approximation. I Internationales Symposium übes Deformationsmesungen, Kraków 1975 [46] Niebylski J.: Pomiary deformacji statków na pochylni w technologicznym cyklu budowy. Geodezja w Gospodarce Morskiej, III Konf. SGP, Gdańsk 1988 [47] Osada E.: Analiza Wyrównanie i Modelowanie Geo-Danych. Wrocław, Wyd. AR 1998 [48] Papoulis A.: Prawdopodobieństwo, zmienne losowe i procesy stochastyczne. Warszawa, WNT 1970 [49] Pelzer H.: Neuere Ergebnisse bei der statishen Analyse von Deformationsmessungen. Washington, Cengress of FIG 1974 [50] Pelzer H.: Geodätishe Netze in Landes- und Ingenieurvermessung. Hannover, Herausgegeben von Hans Pelzer 1979 [51] Pfeufer A., Milev G., Prószyński W., Steinberg G., Teskey W.F., Welsh W.: Classification of Models for Geodetic Examination of Deformations. Perelmuter Workshop on Dynamic Deformation Models, Haifa 1994 [52] Piwowarski W., Dżegniuk B., Niedojadło Z: Współczesne teorie ruchów górotworu i ich zastosowania. Kraków, Wyd. AGH 1995 [53] Preweda E.: System gromadzenia i przepływu informacji o stanie geometrycznym obiektów powłokowych. Ogólnopolskie Sympozjum, Skomputeryzowane systemy pomiarowe w geodezji inżynieryjnej, Kraków 1995 [54] Preweda E.: Baza informacji na temat przemieszczeń poziomych terenu. ZN AR Wrocław, nr 324, Geodezja i Urządzenia Rolne, XIV, 1997 99

[55] Preweda E.: Baza danych dla wyznaczania deformacji przestrzennych sekcji okrętowych. ART, Olsztyn, 1999 [56] Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P.: Numerical Recipes in C. Cambridge University Press 1995 [57] Prószyński W.: Transformation of the reference system in engineering, survey networks. Manuscripte Geodaetica, Springer-Verlag 1990 [58] Prószyński W.: On Certain Properties of a Linear Kinematic Model for a Single- Epoch Survey Network. Proc. of the Perelmuter Workshop on Dynamic Deformation Models, Haifa 1994 [59] Prószyński W.: Measuring the robustness potential of the least-squares estimation: geodetic illustration. Journal of Geodesy, 1997 [60] Przewłocki S., Andrzejewski Z.: Badanie przemieszczeń pionowych w czasoprzestrzeni z uwzględnieniem ruchów stanowiska. Geodezja i Kartografia, t. XXXV z. 3 4, 1986 [61] Przewłocki S.: Pomiary inżynierskie. Łódź, WNPŁ, 1993 (praca zbiorowa) [62] Rao C.R, Mitra S.K.: Some results in estimation and tests of linear hypotheses under the Gauss-Markoff model. Sankhya A 30, 1968 [63] Rao C.R.: Least Squares Theory for Possibly Singular Models. Canadian Statistican, 1978 [64] Rao C.R.: Modele liniowe statystyki matematycznej. Warszawa, PWN 1978 [65] Schwarz H.R., Rutishauser H., Stiefel E.: Numerical Analysis of Symmetric Matrices. Englewood Cliffs, New Jersy, Prentice-Hall 1973 [66] Stewart D.E.: A New Algorithm for the SVD of a Long Product of Matrices and the Stability of Products. Electronic Transaction on Numerical Analysis, vol. 5, Kent State University 1997 [67] Świątek B., Grabowski S.: Model dynamiczny wyznaczenia pionowych ruchów skorupy ziemskiej i jego weryfikacja doświadczalna. Geodezja i Kartografia, t. XXXIV, z. 3 4, 1985 [68] Vassilevski P.S., Wade J.G.: A Comprasion of Multilevel Methods for Total Variation Regularization. Electronic Transaction on Numerical Analysis, vol. 6, Kent State University 1997 [69] Wasilewski A., Baran W., Oszczak S., Rzepecka Z.: Analysis of Deformation with GPS Technique. Perelmuter Workshop on Dynamic Deformation Models, Haifa 1994 [70] Welsch W.M., Heunecke O.: Models and Terminology for the Analysis of Geodetic Monitoring Observations Official Report of the Ad-Hoc Committee of FIG Working Group 6.1. The 10 FIG International symposium on Deformation Measurements, 2000 [71] Westlake J.R.: A Handbook of Numerical Matrix Inversion and Solution of Linear Equations. Control Data Corporation 1968 [72] Wilkinson J.H.: The Algebraic Eigenvalue Problem. Oxford, Clerendon Press 1965 [73] Wilkinson J.H.: Błędy zaokrągleń w procesach algebraicznych. Warszawa, PWN 1967 [74] Wirth N.: Wstęp do programowania systematycznego. Warszawa, WNT 1987 100

[75] Wiśniewski Z.: The most effective estimator of variance coefficient in geodetic observation system. Geodezja i Kartografia, t. XLVI, z. 3 4, 1997 Raporty [76] Borowiecki R., Czaja J., Preweda E. i in.: Metody i procedury szacowania wartości podmiotów gospodarczych oparte na statystyce matematycznej i na oprogramowaniu komputerowym zastosowanie w procesie zarządzania restrukturyzacją przedsiębiorstw. Projekt badawczy KBN nr 1 H02D 030 14, AE Kraków 1998 2000 [77] Czaja J., Preweda E. i in.: Estymacja punktowa i przedziałowa stanu przemieszczeń i odkształceń obiektów inżynierskich na podstawie pomiarów geodezyjnych. Projekt badawczy KBN nr 9 S 605 015 06, AGH Kraków 1994 1996 [78] Czaja J., Preweda E. i in.: Opracowanie statystycznego modelu powszechnej wyceny nieruchomości jako składnika SIT. Badania statutowe nr 11.150.167, AGH Kraków 1994 1996 [79] Czaja J., Preweda E. i in.: Zastosowanie informacji statystycznych w estymacji informacji o terenie. Badania statutowe nr 11.11.150.316, AGH Kraków 1999 2000 [80] Czaja J., Preweda E. i in.: Modelowanie wartości rynkowej i katastralnej dla nieruchomości. Projekt badawczy KBN nr 9 T12E 037 16, AGH Kraków 1999 2001 [81] Latoś S., Preweda E. i in.: Koncepcja zakładania osnów geodezyjnych i wykonywanie pomiarów szczegółów terenowych w aspekcie systemów informacji o terenie. Projekt badawczy KBN nr 9 T12E 014 08, AGH Kraków 1995 1997 [82] Preweda E.: Estymacja kinematycznych modeli deformacji. Badania własne nr 10.150.355, AGH Kraków 1995 [83] Preweda E.: Estymacja kinematycznych modeli deformacji wraz z wizualizacją warstwową. Badania własne nr 10.150.355, AGH Kraków 1996 1997 [84] Preweda E.: Kinematyczny model przemieszczeń i odkształceń obiektów inżynierskich. Projekt badawczy KBN nr 9 T12E 028 14, AGH Kraków 1998 1999 [85] Preweda E.: Zastosowanie modeli kinematycznych w badaniach deformacji terenu. Badania własne nr 10.10.150.480, AGH Kraków 2000 [86] Preweda E., Barańska A., Mitka B.: Zastosowanie modeli statystycznych w analizie odkształceń i w wycenie nieruchomości. Badania własne nr 10.10.150.533, AGH Kraków 2001 [87] Wędzony J., Dżegniuk B., Latoś S., Piwowarski W., Preweda E. i in.: Zintegrowany system informatyczny dla określenia wskaźników deformacji terenu i górotworu w szczególnych uwarunkowaniach eksploatacyjnych złóż podziemnych. Projekt badawczy KBN Nr 90699 9101, AGH Kraków 1991 1993 [88] Niebylski J., Preweda E. i in.: Nowe technologie budowy kadłubów okrętowych wymuszające skrócenie cykli budowy i podwyższające wymogi jakościowe. Projekt celowy nr 9 9286 93 c/1430, Stocznia Szczecińska S.A., Szczecin 1996 1997 101

Opracowania dla przemysłu (niepublikowane) [89] Latoś S., Preweda E. i in.: Pomiary, obliczenia i interpretacja wyników badania przemieszczeń poziomych i pionowych powierzchni terenu w rejonie odkrywki Zesławice w Nowej Hucie. Kraków 1992 2001 [90] Latoś S., Wędzony J., Preweda E. i in.: Okresowe badania przemieszczeń pionowych powierzchni terenu położonego nad eksploatacją o dużej miąższości na obszarze górniczym Z.G. Trzebionka w Trzebini. Kraków 1992 2001 [91] Latoś S., Wędzony J., Preweda E. i in.: Okresowe badania przemieszczeń pionowych powierzchni terenu i obiektów budowlanych położonych nad wyrobiskami górniczymi dawnej kopalni Matylda w Chrzanowie. Kraków 1998 2001 [92] Preweda E.: Analiza okresowych przemieszczeń obiektów Elektrowni Opole. Kraków 1994 2000 [93] Preweda E.: Opinia o stanie geometrycznym chłodni kominowych położonych na terenie Elektrowni Łaziska S.A. Kraków 1998 1999 [94] Preweda E.: Opracowanie koncepcji wyznaczania parametrów położenia i kształtu chłodni hiperboloidalnych położonych na terenie Elektrowni Łaziska S.A. Kraków 1998 2000 [95] Preweda E.: Opracowanie systemu badania okresowych przemieszczeń pionowych obiektów Elektrowni Opole z uwzględnieniem kinematycznych modeli przemieszczeń. Kraków 1999 2001 Strona WWW [96] Preweda E.: Kody źródłowe umożliwiające rozkład macierzy względem wartości szczególnych oraz wyznaczanie parametrów wybranych rozkładów prawdopodobieństwa. Http://galaxy.uci.agh.edu.pl/~preweda/kody.html 102