R O Z P R A W A D O K T O R S K A

Transkrypt

1 AKADEMIA GÓRNICZO - HUTNICZA IM. STANISŁAWA STASZICA W KRAKOWIE EDWARD PREWEDA SYSTEM POMIARU, OBLICZEŃ I WIZUALIZACJI ZMIAN GEOMETRYCZNYCH OBIEKTÓW POWŁOKOWYCH O POWIERZCHNI STOPNIA DRUGIEGO R O Z P R A W A D O K T O R S K A PROMOTOR PROF. DR HAB. INŻ. STANISŁAW LATOŚ KRAKÓW

2 S p i s t r e ś c i str. 1. Wprowadzenie 4 2. Charakterystyka obiektów powłokowych Ogólna klasyfikacja powłok Charakterystyka konstrukcji obiektów powłokowych żelbetowych i metalowych Metody pomiaru geometrii obiektów powłokowych Sieć punktów odniesienia Techniki pomiaru i nowoczesne systemy pomiarowe Wyznaczenie macierzy kowariancji dla współrzędnych punktów reprezentujących powłokę obiektu w metodzie biegunowej Estymacja parametrów położenia i kształtu powierzchni stopnia drugiego Estymacja parametrów równania powierzchni stopnia drugiego Estymacja współrzędnych środka powłoki Estymacja półosi głównych Estymacja kierunków osi głównych powierzchni modelowej Wyznaczenie odchyłek kształtu powłoki rzeczywistej od modelowej Wyznaczanie środkowej powierzchni obiektów powłokowych Zastosowanie uogólnionej odwrotności macierzy do rozwiązywania liniowych układów równań Uwarunkowania numeryczne Definicja pseudoodwrotności i dwie metody jej wyznaczenia Wyznaczanie pseudoodwrotności metodami ortogonalizacji Wyznaczenie pseudoodwrotności na podstawie rozkładu QR Wyznaczenie pseudoodwrotności na podstawie rozkładu SVD Regularyzacja dyskretna Modelowanie i wizualizacja geometrii obiektów powłokowych Wizualizacja modelu dyskretnego Uwagi ogólne o modelowaniu powierzchni Interpolacja funkcji zmian geometrycznych za pomocą jednowymiarowych funkcji sklejanych stopnia trzeciego Aproksymacja funkcji zmian geometrycznych za pomocą jednowymiarowych funkcji sklejanych stopnia trzeciego Interpolacja i aproksymacja za pomocą dwuwymiarowych funkcji sklejanych 89

3 Komputerowa realizacja systemu Przegląd opracowanych modułów komputerowych Numeryczne wyznaczanie dystrybuanty i kwantyli wybranych rozkładów prawdopodobieństwa Podstawy teoretyczne Moduł "MiniStat" Moduł "SVD" dla rozkładu macierzy względem wartości szczególnych Moduł "ED" do wyznaczenia macierzy spektralnej i modalnej Przykłady zastosowań systemu wyznaczania zmian geometrycznych powłok Uwagi końcowe i wnioski 151 Bibliografia 154

4 1. WPROWADZENIE Wyznaczanie zmian geometrycznych różnego rodzaju obiektów jest jednym z podstawowych sposobów pozyskiwania informacji o ich stanie i funkcjonowaniu. Opracowane wyniki pomiarów sprawdzających i inwentaryzacyjnych wykorzystywane są zarówno w celach profilaktycznych diagnostycznych jak i badawczych. Pomocne są głównie przy podejmowaniu działań związanych z zapewnieniem warunków bezpiecznej pracy i prawidłowego funkcjonowania obiektów oraz przy rozpoznawaniu ewentualnych przyczyn występowania ich deformacji. Specyficzną grupę obiektów stanowią konstrukcje powłokowe. Badanie kształtu obiektów powłokowych jest przedmiotem wielu prac naukowych, między innymi [11],[12],[13],[20], [25],[26],[35],[36],[50],[76],[79]. Podstawą określania parametrów geometrycznych obiektu są wyniki okresowych obserwacji (geodezyjnych lub fotogrametrycznych) zbioru punktów reprezentujących badaną powłokę. W zależności od stosowanej techniki pomiarowej, z punktów odniesienia tworzących sieć przestrzenną, obserwowane są punkty sygnalizowane na powierzchni obiektu lub kierunki styczne do badanej powierzchni. Opracowanie wyników pomiarów prowadzi do wyznaczenia parametrów modelu matematycznego wpasowanego w obiekt oraz określenia w obserwowanych punktach wartości odchyłek powierzchni obserwowanej od wyaproksymowanej. Podstawową tezą niniejszej pracy jest opracowanie optymalnego systemu wyznaczania zmian geometrycznych obiektów o powierzchni stopnia drugiego, umożliwiającego zautomatyzowanie tego procesu. Zdaniem autora pracy, w procesie badania geometrii obiektów powłokowych, pomimo bogatej literatury na ten temat, można na dzień dzisiejszy mieć wiele wątpliwości, występujących na etapie pomiarów, opracowania wyników, co do formy przekazywanych rezultatów jak i zakresu dotychczasowych opracowań. Aby jakikolwiek proces mógł być dobrze przeprowadzony musi być realizowany z określonego punktu widzenia, a konkretnie z punktu widzenia korzystającego z informacji zebranych w danym procesie. W naszym przypadku konieczne jest takie zaprojektowanie procesu wyznaczania geometrii powłok aby zapewnione były potrzeby konstruktora, projektanta czy użytkownika obiektu. Zebrane przez autora dane o kształtowaniu konstrukcji powłokowych [75] i aktualne wysokie wymagania stawiane przez użytkowników tych obiektów wskazują na słabą korelację pomiędzy realnymi potrzebami a danymi aktualnie uzyskiwanymi w badaniach geometrii powłok. Aby dostarczane wyniki badań mogły być dobrze wykorzystane przez konstruktorów czy technologów konieczne jest spełnienie szeregu warunków. Pierwsza grupa warunków związana jest ze zbieraniem danych wyjściowych, czyli z pomiarem. Prawidłowo zaplanowany pomiar, a przede wszystkim dobre rozmieszczenie punktów reprezentujących badany obiekt, ich odpowiednia liczba i świadomie ustalony czas wykonania obserwacji, to wręcz warunki niezbędne. Dane zebrane w sposób bierny pochodzą

5 - 4 - wprawdzie z rzeczywistości, ale powstaje pytanie, czy wyniki uzyskane na takiej bazie mogą stanowić podstawę rzetelnej interpretacji. Pomiary dla danego obiektu, prowadzące do wyznaczenia jego geometrii, mogą być wykonywane w różnych lecz konkretnych celach (badawcze, powykonawcze, inwentaryzacyjne, diagnostyczne). W zależności od celu i uwarunkowań konstrukcyjnych danego obiektu, przy projektowaniu pomiarów należy wyróżnić cechy nadrzędne takie jak: lokalizacja punktów obserwacyjnych, czas występowania ekstremalnych lub podobnych obciążeń (np. zbiornik napełniony i opróżniony, podobne lub różne warunki atmosferyczne), dokładność wykonania pomiarów. Cechy te powinne determinować zarówno przebieg pomiaru jak i sposób opracowania wyników. Z uwagi na brak bliższych informacji na ten temat w literaturze związanej z badaniem geometrii obiektów powłokowych, w rozdziale [2] przedstawiono krótką charakterystykę najczęściej spotykanych typów konstrukcji powłokowych, dającą w dużej mierze możliwość uzyskania odpowiedzi na pytania związane z omawianą grupę warunków. Realizacja pomiaru spełniającego powyższe uwarunkowania wymaga dostosowania odpowiedniej techniki pomiaru i odpowiedniej klasy sprzętu pomiarowego. Zarówno techniki pomiarów jak i charakterystyki instrumentów czy systemów pomiarowych są powszechnie znane, dlatego w rozdziale [3.2] niniejszej pracy dokonano, dla zachowania spójnego charakteru pracy, tylko krótkiej ich prezentacji. Większą uwagę zwrócono jedynie na metodę biegunową która, dzięki pojawieniu się dalmierzy bezzwierciadlanych, zaczyna nabierać coraz większego znaczenia. Można przypuszczać, że już w niedalekiej przyszłości systemy pomiarowe oparte na tej metodzie będą dominowały w badaniach geometrii obiektów trudno dostępnych. Kolejną tezą stawianą przez autora jest konieczność rozszerzenia dotychczasowego zakresu opracowań wyników pomiarów. Stosowane aktualnie metody wyznaczania cech geometrycznych obiektów powłokowych charakteryzuje różnorodna forma opracowania wyników. Pomimo tej różnorodności, w przekonaniu autora, wiele cennych informacji zawartych w wynikach pomiarów nie jest w pełnym stopniu wykorzystywanych. Zakres opracowań sprowadza się w praktyce do określenia zmian geometrii badanego obiektu względem wartości projektowych lub względem uproszczonego modelu matematycznego, to jest powierzchni obrotowych. Prowadzone przez autora od kilku lat badania i obliczenia numeryczne z zakresu wyznaczania kształtu różnorodnych obiektów wskazują, iż istnieje cały szereg względów dla których bardzo korzystna lub wręcz nieodzowna jest aproksymacja kwadryk o dowolnych parametrach geometrycznych i dowolnym położeniu w przestrzeni. Konieczność rozbudowania algorytmów obliczeniowych wynika chociażby z samego faktu występowania w praktyce, obok najczęściej spotykanych powierzchni obrotowych, również powłok nieobrotowych czy translacyjnych. Należy też zwrócić uwagę na to, że powłoki projektowane jako obrotowe, po zrealizowaniu obiektu z reguły nie spełniają wymogów projektowych.

6 - 5 - Proces aproksymacji powierzchni ma za zadanie dostarczyć informacji o rzeczywistym stanie danej powłoki. Jeśli stan ten mamy odnieść do stanu określonego projektem, wówczas proces aproksymacji nie ma tu miejsca. Jeśli natomiast przystępujemy do aproksymacji powierzchni, to jakiekolwiek założenia a'priori co do typu tej powierzchni powodują utratę części informacji zawartej w wynikach pomiarów. Naturalnie, tego typu założenia mogą być i są w pewnych przypadkach bardzo korzystne, pod warunkiem, że proces eliminacji nadmiaru informacji będzie przeprowadzony z pełną świadomością. Decyzja o tym które z informacji zebranych dla konkretnego obiektu są mniej lub bardziej istotne powinna należeć do specjalisty z zakresu projektowania konstrukcji powłokowych, nie powinien więc otrzymywać on materiału już zredundowanego. Opracowane w niniejszej pracy algorytmy pozwalają na aproksymację wszystkich parametrów powierzchni stopnia drugiego oraz umożliwiają wprowadzenie dowolnie ustalonych warunków brzegowych jakie aproksymowana powierzchnia powinna spełniać (powierzchnia obrotowa, o pionowej osi głównej, itp.). Można zauważyć, że nie powiększając kosztów wykonania pomiaru uzyskujemy wiele dodatkowych i cennych informacji które w dotychczasowej praktyce są pomijane. Zestawienie parametrów powierzchni aproksymowanej przy różnych warunkach brzegowych daje pogląd nie tylko na lokalne zmiany kształtu powłoki ale również na zmiany globalne. Może służyć na przykład do analizy wpływu różnego typu obciążeń działających na dany obiekt, takich jak obciążenia wiatrem, śniegiem czy ciężarem własnym konstrukcji. Uzyskane w procesie aproksymacji różne obrazy tego samego stanu geometrycznego powłoki, wzajemnie uzupełniając się, mogą stanowić dobry materiał do interpretacji i oceny obiektu przez zainteresowanych specjalistów. Dotychczas stosowane uproszczone metody badania geometrii powłok mają ścisły związek ze stosowanymi dawniej, również uproszczonymi, metodami projektowania i analizy konstrukcji. Aktualnie, komputerowe wspomaganie projektowania pozwala konstruktorom na zrezygnowanie z założeń upraszczających i stosowanie metod bardziej dokładnych. Najnowsze systemy komputerowe mają możliwość sterowania procesem obliczeń przy uwzględnieniu szeregu dodatkowych czynników. Doświadczenia z tego zakresu autor zdobył dzięki badaniom [75]. W ramach tych badań autor zapoznał się z możliwościami systemu "Robot", który to zaliczany jest do jednych z najlepszych na świecie systemów analizy różnorodnych konstrukcji inżynierskich, w tym konstrukcji powłokowych (stalowych i żelbetowych). System ten obowiązuje we Francji, ale również z powodzeniem stosowany jest w wielu innych krajach. Dostosowany jest bowiem do norm amerykańskich, brytyjskich, hiszpańskich, niemieckich oraz norm wielu innych krajów, w tym również do norm polskich. Uwzględnia ponadto normy i zalecenia międzynarodowe. W Polsce "Robot" nie jest jeszcze system powszechnie stosowanym, jednak według rozeznania autora jego popularność bardzo szybko rośnie. Z tych względów autor już w tej pracy dąży do utworzenia algorytmów umożliwiających wymianę danych pomiędzy tworzonym systemem badania geometrii powłok a system Robot - którego zadaniem byłaby analiza dostarczanych informacji. Ścisła

7 - 6 - współpraca na tym poziomie pomiędzy wykonawcą pomiarów inwentaryzacyjnych a konstruktorem czy użytkownikiem obiektów powłokowych jest dzisiaj nieodzowna. Aktualnie, głównie z uwagi na koszty przedsięwzięcia, autor pracy poczynił dopiero pierwsze kroki zmierzające do utworzenia relacyjnej bazy danych służącej do gromadzenia, aktualizacji i wymiany informacji. Problem ten wykracza poza zakres niniejszej pracy, a jego szczegółowe rozwiązanie jest przedmiotem dalszych badań autora. Kolejny powód przemawiający za estymacją wszystkich parametrów równania powierzchni wiąże się z zagadnieniem wyznaczania zmian jej krzywizny. Jak wiadomo, niezbyt łagodne zmiany krzywizny mają istotne znaczenie przy badaniu stateczności i wytrzymałości obiektów, szczególnie w sensie lokalnym. W przypadku założenia niektórych parametrów powierzchni aproksymowanej uchwycenie istotnych zmian krzywizny powłoki jest znacznie trudniejsze aniżeli w przypadku aproksymacji swobodnej. W niniejszej pracy problem powyższy nie będzie rozwijany, ponieważ z powodzeniem można zaadoptować w tym celu rozwiązania opracowane w projekcie badawczym [99]. W projekcie tym zamieszczony jest również program komputerowy opracowany przy udziale autora pracy, program zdający egzamin również przy wyznaczaniu krzywizn powierzchni zbliżonych do powierzchni stopnia drugiego. Odejście od przyjętego dotychczas standardu określania geometrii obiektów względem powierzchni obrotowych i uogólnienie procedury aproksymacji powierzchni umożliwia ponadto zastosowanie uogólnionych algorytmów do aproksymacji lokalnej przy pomocy płatów powierzchniowych oraz wpływa korzystnie na proces modelowania powierzchni. Zastąpienie dyskretnego modelu zmian geometrycznych modelem ciągłym jest bowiem tym łatwiejsze, im mniejszy jest stopień zróżnicowania danych wejściowych do poszukiwania ciągłej funkcji, a tym samym, im aproksymowana powierzchnia globalna jest bardziej adekwatna do powierzchni zaobserwowanej. Istotnym powodem dla którego zrodziła się koncepcja niniejszej pracy jest również brak w dotychczasowych opracowaniach z zakresu badania kształtu powierzchni stopnia drugiego analiz dokładności uzyskiwanych wyników. Powykonawcze pomiary sprawdzające i pomiary inwentaryzacyjne mają służyć nie tylko do stwierdzenia stanu geometrycznego badanych obiektów, ale również powinny dostarczać informacji do ustaleń normatywnych. Stąd też ścisła analiza dokładności odgrywa bardzo istotną rolę. Algorytmy pozwalające na prowadzenie takich analiz opracowano i zaprezentowano w rozdziale [4]. W zależności od celu danego pomiaru, analiza dokładności może sprowadzić się do podania przybliżonych oszacowań parametrów wyaproksymowanej powierzchni, lub (np w przypadku pomiarów dla celów badawczych) powinna być przeprowadzona bardzo szczegółowo. Mając na względzie potrzebę opracowania systemu uniwersalnego, autor sporo uwagi poświęcił ustaleniu ścisłych wzorów na estymację punktową parametrów powierzchni. Oprócz estymacji punktowej należy również przeprowadzać estymację przedziałową, według zasad ogólnie znanych z literatury. Mając na uwadze to, że wszystkie proponowane w pracy algorytmy (również te na które autor

8 - 7 - się powołuje ) dla ich praktycznego zastosowania muszą być oprogramowane, autor za celowe uznał zamieszczenie opracowanego kodu źródłowego modułu podstawowego dla statystycznej obróbki wyników przy pomocy komputera (por. roz ). Jednym z podstawowych warunków poprawności procesu wyznaczania zmian geometrycznych obiektów powłokowych jest uwzględnienie w obliczeniach uwarunkowań konstrukcyjnych. Brak tego czynnika może wręcz dyskwalifikować opracowania geodezyjne. Informacje o geometrii obiektu uzyskane na podstawie pomiarów geodezyjnych czy fotogrametrycznych dotyczą jego zewnętrznej lub wewnętrznej powierzchni. W przypadku wielu obiektów powłokowych (np. żelbetowych chłodni hiperboloidalnych), powierzchnie te z definicji nie są powierzchniami stopnia drugiego. Warunki powierzchni stopnia drugiego powinny spełniać powierzchnie środkowe tych obiektów. Kształt powierzchni zewnętrznej i wewnętrznej wynika natomiast z potrzeb i uwarunkowań konstrukcyjnych danego obiektu. Niestety, informacje dotyczące powierzchni zewnętrznej lub wewnętrznej nie mogą być najczęściej podstawą do interpretacji przez zainteresowanych specjalistów. Z tego względu, w ramach niniejszej pracy opracowano proste algorytmy pozwalające na "przejście" z powierzchni zewnętrznej lub wewnętrznej na powierzchnię środkową, na przykładzie chłodni hiperboloidalnych. Zakres badań rozszerzyć też należy o aproksymacje lokalną, pozwalającą na wyznaczanie geometrii wybranych stref obiektu w celach doraźnych, na przykład diagnostycznych. Nowe ujęcie zagadnienia powoduje trudności numeryczne, związane z pojawianiem się słabo uwarunkowanych lub źle postawionych zadań. W związku z tym, komputerowa realizacja systemu wymaga bliższego zapoznania się z problematyką metod i obliczeń numerycznych, którą zaprezentowano w rozdziale [5]. Wynikiem aproksymacji powierzchni stopnia drugiego, oprócz parametrów położenia i kształtu powierzchni, jest też dyskretny model zmian geometrycznych powłoki obserwowanej względem wyaproksymowanej. Model ten jest wizualizowany w postaci wykresów sporządzanych na etapie obliczeń. Wykresy te można oglądać na ekranie monitora, a ponadto zapisywane są w postaci plików typu DXF. Umożliwia to ich przenoszenie poprzez dostępne otoczenie graficzne na różne drukarki i plotery, gdzie mogą być wykreślane w dowolnie ustalonych skalach. Pliki typu DXF pozwalają również na komunikowanie się z systemami do analizy konstrukcji inżynierskich, na przykład systemem ROBOT. Do wizualizacji wyników modelowania powierzchni można zastosować dowolne pakiety otoczenia graficznego (AutoCad, Surfer, Microstation, itp). Opracowane algorytmy zweryfikowano na wielu przykładach testowych i obiektach rzeczywistych. Wybrane fragmenty wyników procesu wyznaczania geometrii powłok zaprezentowano w rozdziale [8].

9 Bibliografia References Abramek W., Centkowski J., Gigiel J., Golczyk M., Kałuża R. : Analiza bezpieczeństwa żelbetowych chłodni kominowych z uwzględnieniem imperfekcji geometrycznych. Inżynieria i Budownictwo, Nr 6, Warszawa, 1993 Achimowicz J. : Statystyka, modelowanie i analiza sygnałów. NOT, Warszawa 1988 Ahlberg J.H., Nilson E.N., Walsh J.L.: The Theory of Splines and Their Applications. Academic Press, London 1967 Angell I.O. Wprowadzenie do grafiki komputerowej. WNT Warszawa, 1986 Bałut A. : Zastosowanie funkcji giętych w interpretacji wyników geodezyjnych pomiarów przemieszczeń. Praca doktorska, AGH, Kraków 1980 Banachowski L.,Kreczmar A, Rytter W. : Analiza algorytmów i struktur danych. WNT, Warszawa 1987 Bauer F.L., Fike C.T. : Norms and Exclusion Theorem. Num.Math Böhmer K.: Spline-Funktionen, Teubner-Studienbücher, Stuttgart 1974 Centkowski J. : Grubość powłoki żelbetowej chłodni kominowej. Konferencja Naukowo- Techniczna "Problemy trwałośći żelbetowych chłodni kominowych. Instytut Budownictwa Politechniki Wrocławskiej, Wrocław-Bogatynia 1989 Centkowski J. : Dobór grubości hiperboloidalnej chłodni kominowej. Inżynieria i Budownictwo. Nr 6, Warszawa 1993 Czaja J. : Badanie zmian położenia i kształtu budowli w oparciu o interpretację wektorowego pola przemieszczeń wyznaczonego za pomocą okresowych pomiarów geodezyjnych. Praca doktorska, AGH, Kraków 1972 Czaja J. : Wyznaczanie przemieszczeń i odkształceń powłok cienkościennych w krzywoliniowych układach współrzędnych na podstawie okresowych pomiarów geodezyjnych oraz próba analizy stanu naprężenia w tych powłokach. ZN AGH, Geodezja z.23. Kraków 1974 Czaja J. : Uogólniona metoda wyznaczania położenia i kształtu budowli obrotowych o powierzchni stopnia derugiego. Geodezja i Kartografia, Nr 3, Warszawa 1984 Czaja J : Statystyka w informacji o Terenie - maszynopis Czarnota- Bojarski R.E. : Radioteleskop w Effelsberg. Inżynieria i Budownictwo, Nr 5 Warszawa 1973 Dahlquist G., Björck Ĺ. : Metody numeryczne. PWN, Warszawa 1983 De Boor C. : A Practical Guide to Splines. Tłum. ros. Radio i Swjaz, Moskwa 1985 Fishman G.S. : Symulacja komputerowa. Pojęcia i metody. PWE, Warszawa 1981 Flügge W. : Powłoki. Obliczenia statyczne. Arkady. Warszawa 1987 Forrest R.B. : Radio Reflector Calibration. Photogrammetric Engineering, Vol. XXXII No.1, 1966

10 Geodätische Netze in Landes - und Ingenieurvermessung. Herausgegeben von H. Pelzer. Hannover 1979 George A., Liu J.W.H. : Computer Solution of Large Positive Definite System. Prentice Hall, Englewood Clifs. New York, 1981 Gloub G.H., Reinsch C. : Singular Value Decomposition and Least Squares Solution. Num. Math. 14 ( ) Gocał J. : Aproksymacja średniokwadratowa w badaniach kształtu elementów konstrukcyjnych. Geodezja i Kartografia, t.xxviii, z.3, Warszawa 1979 Gocał J. : Geodezyjne metody wyznaczania położenia i kształtu zbiorników stalowych. Geodezja i Kartografia z.3, Warszawa 1989 Gocał J. : Zasady prowadzenia geodezyjnych badań hiperboloidalnych chłodni kominowych. Zeszyty Naukowe AGH, Geodezja, z.61, Kraków 1980 Grafarend E. : Schätzung von Varianz und Kowarianz der Beobachtungen in geodätischen Ausgleichungsmodellen. Allgemeine Vermessung-Nachrichten. Karlsruhe 1978 Grafarend E., Schaffrin B. : Von der Statischen zur Dynamischen Auffassung geodätisher Netze. Zeitschrift für Vermassungswesen 113, Karlsruhe 1988 Greń J. : Statystyka matematyczna. Podręcznik programowany. PWN, Warszawa 1987 Hildebrand F. B. : Introduction to Numerical Analysis.. McGraw-Hill, New York 1956 Holejko K. : Precyzyjne elektroniczne pomiary odległości i kątów. WNT, Warszawa 1987 Householder A.S. : The Theory of Matices in Numerical Analysis. Blaisdell, New York Janusz W. : Obsługa geodezyjna budowli i konstrukcji. PPWK, Warszawa 1971 Jankowski M : Elementy grafiki komputerowej. WNT, Warszawa 1990 Kadaj R. : Wyznaczanie położenia i kształtu niektórych przestrzennych tworów geometrycznych metodami geodezyjnych wcięć stożkowych. Rozprawa doktorska, AGH, Kraków 1973 Kadaj R. : Geodezyjne metody pomiaru krzywoliniowych form przestrzennych z przykładami zastosowań w zagadnieniach inżynierskich. Rozprawy 3. Wyd. Nauk. Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów 1975 Kiełbasiński A., Schwetlick H. : Numeryczna algebra liniowa, WNT, Warszawa Korn G.A., Korn T.M. : Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów. PWN, Warszawa Krysicki W. i inni : Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Cz. 1 i 2. PwN Warszawa.1993 Kuś S. : Problemy projektowe na tle normy "Eurodod 1". Podstawy projektowania i oddziaływań na konstrukcje. Inżynieria i Budownictwo. Nr. 6, Warszawa 1993 Lansdown J. : Grafika komputerowa. WNT Warszawa 1990 Latoś S., Preweda E. : Systemy informatyczne wyznaczania przemieszczeń i odkształceń obiektów powłokowych. Badania statutowe, AGH, Kraków 1992

11 Latoś S., Preweda E. : Position and Shape Parameters of Second Order Surface Estimated by Points and Intervals. Perelmuter Workshop on Dynamic Deformation Models. Haifa, Israel 1994 Lawson Ch. L., Hanson R.J. : Solving Least Squares Problems. Prentice-Hall, Englewood, New Jersy 1965 Ledwoń J., Golczyk M. : Chłodnie kominowe i wentylatorowe. Warszawa 1965 Ledwoń J. : Żelbetowe chłodnie kominowe, obliczanie i konstrukcja. Warszawa 1957 Liebelt P.B. : An Inroduction to Optimal Estimation. Addison-Weslay Publishing Company Majde A. : Konwersatorium "Metody pomiarów chłodni kominowych", Przebieg, problemy, wnioski. Przegląd Geodezyjny Nr 10, Warszawa 1991 Marciniak A. : Borland Pascal 7.0. Wydawnictwo Nakom. Poznań 1994 Marks W.G. : Geometric Calibration of Antennae by Photogrammetry. Photogrammetric Engeneering, Vol. XXIX, No. 4, 1963 Marquardt D.W. : Generalized Inverses, Ridge Regression, Biased Linear Estimation, and Nonlinear Estimation. Technometrics, Vol.12 No Mazurkiewicz Z., Nagórski R. : Powłoki obrotowe sprężyste. PWN, Warszawa 1987 Menyhárd I. : Konstrukcje powłokowe. Arkady, Warszawa 1971 Microsoft Access Language Reference. Microsoft Corporation. Ireland 1992 Mitzel A., Stachurski W., Suwalski J. : Awarie konstrukcji betonowych i murowych. Arkady, Warszawa 1972 Murzewski J. : Bezpieczeństwo konstrukcji budowlanych. Arkady, Warszawa 1970 Murzewski J. : Teoria błonowej nośności konstrukcji. PWN, Warszawa 1976 Otto E., Otto F. : Podręcznik geometrii wykreślnej. PWN, Warszawa 1994 Papoulis A. : Prawdopodobieństwo, zmienne losowe i procesy stochastyczne. WNT. Warszawa, 1970 Pawłowski W., Przewłocki S. : Metodyka wyznaczania cech geometrycznych elementów budowlanych w układzie pomiarowym realizowanym przez urządzenie laserowe LNA-2L.. Konf. Nauk.-Tech. "Problemy automatyzacji w geodezji inżynieryjnej", PAN, SGP, Warszawa 1993 Płatek A. : Geodezyjne dalmierze elektromagnetyczne i tachymetry elektroniczne. PPWK Warszawa 1991 PN-90/B "Konstrukcje stalowe". Obliczenia statyczne i projektowanie PN-81/B "Konstrukcje stalowe". Zbiorniki walcowe pionowe na ciecze. Obliczenia statyczne i projektowanie. PN-84/B "Konstrukcje stalowe". Zbiorniki walcowe pionowe na ciecze. Wymagania i badania PN-83/B "Konstrukcje stalowe". Zbiorniki kuliste ciśnieniowe stałe. Obliczenia statyczne i projektowanie

12 PN-83/B "Konstrukcje stalowe". Zbiorniki kuliste ciśnieniowe stałe. Wymagania i badania PN-80/B Obciążenia w obliczeniach statycznych. Obciążenia śniegiem PN-80/B Obciążenia budowli. Obciążenie zmienne środowiskowe. Obciążenie temperaturą Praca zbiorowa pod redakcją W. Boguckiego. Poradnik projektanta konstrukcji metalowych. Cz. II, Arkady, Warszawa 1982 Praca zbiorowa pod redakcją S. Przewłockiego. Pomiary inżynierskie. WNPŁ, Łódź Praca zbiorowa. Obliczenia statyczne przekryć strukturalnych. Arkady, Warszawa 1980 Preweda E. : Geodezyjne metody inwentaryzacji budowli powłokowych drugiego stopnia. Praca magisterska, Kraków,1990 Preweda E. : Ocena stanu geometrycznego obiektów powłokowych względem dowolnych powierzchni drugiego stopnia. Geodezja, AGH, 115, Kraków, 1993 Preweda E. : Automatyzacja pomiarów, obliczeń i modelowania zmian geometrycznych obiektów powłokowych o powierzchni stopnia drugiego. Problemy automatyzacji w geodezji inżynieryjnej, PAN, Warszawa, 1993 Preweda E. : System pomiaru, obliczeń i wizualizacji zmian geometrycznych obiektów powłokowych o powierzchni stopnia drugiego. Skomputeryzowane systemy pomiarowe w geodezji inżynieryjnej, Akademia Górniczo-Hutnicza im St. Staszica. Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska, Kraków, 1995 Przewłocki S. :Geodezyjne metody kształtowania geometrycznego konstrukcji powłokowych. Skrypt PŁ, WNPŁ, Łódź 1974 Przewłocki S. : Metrologia budowli. Cechy geometryczne form produkcyjnych i elementów prefabrykowanych. Skrypt PŁ, WNPŁ, Łódź Przewłocki S. : Procesy metrologiczne w projektowaniu, wykonawstwie i eksploatacji budowli. Przegląd budowlany Nr 5. Warszawa 1988 Przewłocki S. : Zastosowanie laserów do badań cech geometrycznych konstrukcji inżynierskich. Inżynieria i Budownictwo Nr 8. Warszawa 1986 Pyrak S. : O pracach normalizacyjnych w budownictwie. Inżynieria i Budownictwo, Nr 6, Warszawa 1993 Ralston A : Wstęp do analizy numerycznej. PWN, Warszawa 1983 Rao. C. R. : Modele liniowe statystyki matematycznej. PWN, Warszawa 1982 Robot - Materiały informacyjne i reklamowe firmy RoboBat. Kraków 1993 Schneider G.M., Bruell S.C. : Advanced Programming and Problem Solving with Pascal. Jon Wiley & Sons Schwarz H.R., Rutishauser H., Stiefel E. : Numerical Analysis of Symmetric Matrices. Prentice-Hall, Inc.Englewood Cliffs, New Jersy Sieklucki K. : Geometria i topologia. T.53. PWN, Warszawa 1979

13 Smoluk A. : Podstawy teorii aproksymacji i s-funkcje. PWE Warszawa 1974 Stoer J. : Wstęp do metod numerycznych. PWN, Warszawa 1979 Stoer J., Bulirsch R. : Wstęp do analizy numerycznej. PWN, Warszawa 1987 Turski W.M. : Propedeutyka informatyki. PWN, Warszawa 1989 Warunki techniczne wykonania i odbioru robót budowlano - montażowych. Tom I Budownictwo ogólne, cz. 1. Warszawa 1989 Westlake J.R. : A Handbook of Numerical Matrix Inversion and Solution of Linear Equations. Control Data Corporation Wędzony J.T. : Numeryczne opracowanie liczbowych wartości pomiarów osiadań terenu. Ochrona Terenów Górniczych. Katowice 1978 Wędzony J.T. : Opracowanie metod interpretacji wyników pomiarów deformacji wywołanych eksploatacją górniczą. Prace IGGiP AGH, Kraków Wilkinson J.H. : The Algebraic Eigenvalue Problem. Clerendon Press. Oxford 1965 Winkler T. : Komputerowy zapis konstrukcji. WNT, Warszawa 1989 Wirth N. : Wstęp do programowania systematycznego. WNT, Warszawa 1987 Wirth N. : Algorytmy + struktury danych = programy. WNT, Warszawa 1989 Zintegrowany system informatyczny dla określania wskaźników deformacji terenu i górotworu w szczególnych uwarunkowaniach eksploatacyjnych złóż podziemnych. Projekt badawczy pod kier. J.T. Wędzonego. Kraków AGH 1993 Zaremba S. : O dokładności celowania przy pomiarach budowli żelbetowych typu wieżowego. Prace Naukowe Instytutu Geotechniki Politechniki Wrocławskiej Nr 20. Konferencje Nr 7. Wrocław 1976 Zielenkiewicz O.C. Metoda elementów skończonych. Warszawa 1972 Zieliński R. : Tablice statystyczne. PWN, Warszawa 1972 Ziółko J. : Zbiorniki metalowe na ciecze i gazy. Arkady, Warszawa 1986