Politechnika Śląska Wydział Automatyki, Elektroniki i Informatyki Autoreferat rozprawy doktorskiej Grzegorz Tytko ANALITYCZNE MODELE MATEMATYCZNE CEWEK WIROPRĄDOWYCH Z RDZENIEM, UTWORZONE ZA POMOCĄ METODY TRUNCATED REGION EIGENFUNCTION EXPANSION Rozprawa doktorska napisana pod kierunkiem dr. hab. inż. Leszka Dziczkowskiego Gliwice, 2016
1. Wprowadzenie Kompleksowy sposób przeprowadzania nieniszczących badań materiałów polega na zastosowaniu różnych metod, wzajemnie się uzupełniających. W przypadku wad powierzchniowych oraz płytkich wad podpowierzchniowych jedną z najczęściej stosowanych jest metoda prądów wirowych. Najlepsze rezultaty, przynosi wykorzystanie tej metody do badań cienkich elementów, takich jak blachy, rurki czy pręty, wykonanych z materiałów nieferromagnetycznych. Idea tej techniki polega na wykorzystaniu w badaniach wiroprądowych zjawiska indukcji elektromagnetycznej. Po zbliżeniu cewki zasilanej prądem zmiennym do przewodnika elektrycznego zostają wyindukowane w nim prądy wirowe. Wszelkie nieciągłości występujące w tym materiale zaburzają przepływ prądów wirowych, powodując w konsekwencji zmianę impedancji cewki. W ten sposób możliwe jest wykrywanie różnego rodzaju nieciągłości struktury materiałów, takich jak pęknięcia, rysy czy ubytki korozyjne. Informacje o własnościach badanego materiału zawarte są w sygnale z przetwornika wiroprądowego, który może reprezentować na przykład zmianę impedancji cewki. Otrzymany w wyniku badania sygnał zawiera informacje zależne od wielu parametrów, również tych nieistotnych z punktu widzenia głównego celu wykonywanego testu. Kluczowym aspektem, decydującym o pozytywnej ocenie przeprowadzonych badań, jest więc prawidłowa interpretacja tego sygnału a tym samym rozpatrywanego zjawiska. Do tego celu wykorzystywane są odpowiednie modele matematyczne, umożliwiające optymalny dobór parametrów układu pomiarowego, zbudowanie właściwej skali przyrządu oraz oszacowanie przydatności stosowanej metody pomiaru. Najpopularniejsze obecnie sposoby modelowania zjawisk wiroprądowych wykorzystują metody siatkowe (ang. meshless methods), w których rozpatrywany układ zastępowany jest zbiorem złożonym z wielu tysięcy elementów. Można w ten sposób modelować nawet bardzo złożone zagadnienia wiroprądowe, bowiem wyniki końcowe otrzymywane są za pomocą przybliżeń numerycznych. Znacznie rzadziej pojawiają się rozwiązania analityczne (zazwyczaj w przypadku układów o niezbyt skomplikowanym kształcie), gdzie poszczególne wyrażenia przedstawione zostają w postaci wzorów matematycznych. 1
Zastosowanie w modelowaniu komputerowym metod siatkowych pozwala na otrzymywanie przybliżonych rozwiązań układów równań różniczkowych na podstawie wprowadzanych danych wejściowych. Niestety, brak wyrażeń analitycznych powoduje, iż w przypadku analizy wielu problemów wiroprądowych jest to rozwiązanie niewystarczające. Dotyczy to przede wszystkim takich zagadnień, jak: projektowanie sond, analiza rozkładu prądów wirowych czy też określanie wpływu poszczególnych parametrów badanego układu na wyniki końcowe przeprowadzanych testów. Istnieje więc potrzeba sformułowania modeli matematycznych, w których szukane wielkości opisane będą za pomocą wyrażeń analitycznych. Rozwiązania takie nie tylko pozwalają lepiej zrozumieć badane zjawiska wiroprądowe, lecz także cechują się łatwą implementacją komputerową i krótkim czasem wykonywania obliczeń. 1.2. Cel pracy Głównym celem niniejszej pracy było stworzenie analitycznych modeli matematycznych cewek wiroprądowych z rdzeniem, umieszczonych nad warstwowym materiałem przewodzącym prąd elektryczny. Podstawowym czynnikiem, którym kierował się autor, przy podejmowaniu prac badawczych, był fakt, iż dla niektórych układów cewka z rdzeniem badany materiał, dotychczas nie przedstawiono w dostępnej literaturze rozwiązań analitycznych. Szczególnie zauważalny jest brak modeli matematycznych uwzględniających występowanie przestrzeni powietrznej we wnętrzu kolumny rdzenia (rys. 1.1). Zamiast tego w literaturze powszechnie stosowane jest uproszczenie, opierające się na założeniu, iż kolumna ta wypełniona jest całkowicie materiałem, z którego wykonano rdzeń [1-4]. Wspomniane uproszczenie może wprowadzać znaczące zwiększenie błędu obliczeń, co zdaniem autora determinuje konieczność przedstawienia rozwiązania analitycznego, uwzględniającego przestrzeń powietrzną wewnątrz kolumny rdzenia cewki. W przypadku defektoskopii wiroprądowej istnieje potrzeba stworzenia analitycznych modeli matematycznych dla układów zawierających różnego typu wady występujące w badanym materiale. Dotyczy to między innymi wad powierzchniowych, które mogą być skutecznie wykrywane za pomocą metody prądów wirowych. Potrzebne są przede wszystkim rozwiązania analityczne, które umożliwią modelowanie i analizę 2
procesów korozyjnych, pęknięć i innych uszkodzeń, występujących na powierzchni badanego materiału. Jednym z najistotniejszych zagadnień w badaniach przeprowadzanych za pomocą metody prądów wirowych jest wykrywanie występowania wad znajdujących się pod powierzchnią testowanego elementu. Wyraźnie dostrzegalna potrzeba stworzenia analitycznego modelu matematycznego, który pozwoli na analizę zjawisk wiroprądowych w przypadku najtrudniej wykrywalnych nieciągłości podpowierzchniowych, stanowi poważne wyzwanie w dziedzinie modelowania cewek wiroprądowych. Szczególnie odczuwalny w defektoskopii brak analitycznych modeli dla najczęściej stosowanych obecnie cewek z rdzeniami kubkowymi typu E, zarówno w przypadku występowania w badanym materiale wad powierzchniowych, jak i podpowierzchniowych, motywuje autora do podjęcia prac badawczych mających na celu zaproponowanie rozwiązań dla wymienionych zagadnień wiroprądowych. Aktualny wykaz opublikowanych w literaturze analitycznych modeli matematycznych wybranych układów wiroprądowych pokazano w tabeli 1.1. Tabela 1.1. Wykaz znanych rozwiązań analitycznych dla niektórych układów cewka stykowa badany materiał Rdzeń powietrzny (ang. air-core) Rdzeń typu I (ang. I-core) Rdzeń kubkowy typu E (ang. E-core) Cewka nad materiałem przewodzącym C. V. Dodd [5] T. P. Theodoulidis [1] F. Sakkaki [4] Cewka nad materiałem zawierającym otwór powierzchniowy T. P. Theodoulidis [6] brak brak Cewka nad materiałem zawierającym otwór podpowierzchniowy brak brak brak Uwzględnienie szczeliny powietrznej w kolumnie rdzenia cewki nie dotyczy brak brak 3
Rys. 1.1. Cewka wiroprądowa z rdzeniem kubkowym typu E p (a), wizualizacja przekroju poprzecznego cewki bez uwzględnienia przestrzeni powietrznej we wnętrzu kolumny rdzenia (b) 1.2. Tezy pracy Uwzględniając wyżej wymienione potrzeby, w niniejszej pracy sformułowano następujące tezy: 1. Istnieje możliwość stworzenia analitycznego modelu matematycznego cewki wiroprądowej z rdzeniem, zawierającym kolumnę ze szczeliną powietrzną. 2. Istnieje możliwość stworzenia analitycznego modelu matematycznego cewki wiroprądowej z rdzeniem, umieszczonej nad materiałem przewodzącym, zawierającym otwór powierzchniowy. 3. Istnieje możliwość stworzenia analitycznego modelu matematycznego cewki wiroprądowej z rdzeniem, umieszczonej nad materiałem przewodzącym, zawierającym otwór podpowierzchniowy. Modele matematyczne, stworzone na podstawie przedstawionych tez, powinny zostać zweryfikowane poprzez porównanie uzyskanych rezultatów z wynikami otrzymanymi w badaniach eksperymentalnych oraz wynikami obliczeń przeprowadzonych za pomocą wybranej metody siatkowej. W wyniku tej weryfikacji powinien zostać uzyskany akceptowalny błąd obliczeń, nieprzekraczający kilku procent, tak aby możliwe było zastosowanie stworzonych modeli matematycznych w konstruowaniu sond wiroprądowych oraz w pomiarach wykonywanych w czasie rzeczywistym. 4
2. Metoda Truncated Region Eigenfunction Expansion Na początku XXI wieku prace nad sformułowaniem nowego sposobu analitycznego modelowania zjawisk wiroprądowych przyniosły poszukiwane od wielu lat rozwiązanie. T.P. Theodoulidis w 2002 roku zaproponował metodę, nazwaną później Truncated Region Eigenfunction Expansion (TREE), umożliwiającą wyprowadzanie modeli matematycznych układów wiroprądowych, dla których wcześniej nie uzyskano rozwiązań analitycznych. Od tego czasu technika TREE była stale rozwijana i wykorzystywana w coraz to bardziej skomplikowanych zagadnieniach wiroprądowych. 2.1. Opis koncepcji metody Geometryczny układ cewka badany element, modelowany przy użyciu metody TREE w walcowym układzie współrzędnych, dzielony jest na części zwane warstwami (numerowane od 1 do n), o odmiennej strukturze i właściwościach (rys. 2.1). Dla dwuwymiarowych zagadnień wiroprądowych granice pomiędzy poszczególnymi warstwami przebiegają równolegle do osi r zastosowanego układu współrzędnych. Warstwy dzielone są na podobszary o odmiennych parametrach fizycznych. Granice podobszarów wyznaczane są równolegle do osi z układu współrzędnych. Cechą charakteryzującą metodę TREE jest ograniczenie dziedziny r układu współrzędnych modelowanego zagadnienia do arbitralnie przyjętej wartości liczbowej, określanej przez parametr b. W ten sposób rozwiązania równań różniczkowych, opisujących magnetyczny potencjał wektorowy, można zapisać jako sumy szeregów, zamiast w postaci całek o nieskończonych granicach. Wynikająca z tego korzyść to rezygnacja z czasochłonnych procedur całkujących na rzecz implementacji numerycznej, wykorzystującej proste pętle iteracyjne. Liczba sumowanych wyrazów określana jest przez wartość parametru Ns, który pozwala bezpośrednio wpływać na czas wykonywanych obliczeń. Ponadto, możliwa staje się kontrola dokładności otrzymywanych wyników końcowych za pomocą parametru b. Wyrażenia końcowe określające podstawowe wielkości badanego zagadnienia, takie jak impedancja cewki pomiarowej czy gęstość prądów wirowych w materiale przewodzącym, zostają przedstawione w czytelnej i łatwej w implementacji postaci macierzowej. Ciągłość magnetycznego potencjału wektorowego w całym rozpatrywanym układzie jest zapewniona poprzez spełnienie warunków brzegowych oraz równań granicznych 5
pomiędzy sąsiadującymi warstwami. Własność ta otwiera drogę do zastosowania metody TREE w wielu różnych zagadnieniach analizy pól elektromagnetycznych. Rys. 2.1. Przekrój poprzeczny cewki z rdzeniem typu I p, umieszczonej nad dwuwarstwowym materiałem przewodzącym zawierającym otwór podpowierzchniowy 2.2. Przyjęte założenia Do wyprowadzenia modeli matematycznych przedstawionych w niniejszej pracy zastosowano metodę TREE. Uzyskane wyrażenia końcowe opisują najczęściej wykorzystywane w technikach wiroprądowych wielkości, takie jak: magnetyczny potencjał wektorowy, impedancję cewki czy gęstość prądów wirowych indukowanych w przewodzącym materiale. Ogólny schemat postępowania przy tworzeniu za pomocą metody TREE modeli matematycznych układów cewka badany materiał można przedstawić w następujący sposób: podział rozpatrywanego układu na warstwy i podobszary, wyznaczenie dyskretnych wartości własnych, wprowadzenie do analizy cewki włókienkowej, zapisanie magnetycznego potencjału wektorowego dla poszczególnych warstw układu za pomocą sumy szeregu oraz w postaci macierzowej, sformułowanie równań granicznych, wyznaczenie nieznanych współczynników B i, C i, wyprowadzenie wyrażeń końcowych opisujących gęstość prądów wirowych w przewodniku oraz impedancję cewki. 6
3. Wyniki badań 3.1. Środowisko testowe W celu weryfikacji poprawności modeli matematycznych stworzonych w pracy doktorskiej, zaimplementowano je w postaci programu komputerowego. Zdaniem autora, najbardziej efektywnym rozwiązaniem było napisanie kodu źródłowego w jednym z wielu dostępnych obecnie pakietów obliczeniowych. Wybór takiego pakietu powinien determinować fakt, iż większość niezbędnych do wykonania operacji matematycznych stanowią numeryczne obliczenia macierzowe. Z tego właśnie powodu oraz ze względu na możliwość integracji kodu źródłowego z programami wykorzystującymi metody siatkowe (w szczególności metodę elementów skończonych), do przeprowadzanych obliczeń wykorzystano środowisko Matlab firmy MathWorks. 3.2. Modele komputerowe w programie COMSOL Analiza zjawisk wiroprądowych metodą elementów skończonych wymaga stworzenia matematycznych modeli rozważanych obiektów fizycznych. W dostępnym obecnie oprogramowaniu osiągnięcie tego celu sprowadza się w głównej mierze do narysowania konturów elementów badanego układu oraz wprowadzenia danych wejściowych. Program komputerowy automatycznie dzieli rozpatrywany układ na elementy tworzące siatkę. Owa siatka składa się zazwyczaj z wielu tysięcy elementów. Następnie, wykorzystując implementację wybranych zjawisk fizycznych, wykonuje się wskazane przez użytkownika obliczenia. W literaturze dotyczącej badań wiroprądowych jednym z najczęściej stosowanych pakietów oprogramowania służącego do przeprowadzania obliczeń za pomocą metody elementów skończonych jest COMSOL Multiphysics [4, 7 10]. Zawarty w programie moduł AC/DC umożliwia zarówno modelowanie zagadnień wiroprądowych, jak i analizę rozkładu pola magnetycznego bez konieczności wprowadzania wyrażeń opisujących symulowane zjawiska. Do przeprowadzania obliczeń na potrzeby niniejszej pracy wybrano program COMSOL, na co istotny wpływ oprócz wyżej wymienionych czynników miały również dostępne dodatki: LiveLink for Matlab oraz LiveLink for Excel. 7
Podobnie jak w przypadku metody TREE, przyjęto, iż układ cewka badany materiał jest osiowosymetryczny, a modelowaną przestrzeń ograniczono wartością parametru b. Siatkę jednego z modeli stworzonych w programie COMSOL na potrzeby niniejszej pracy pokazano na rys. 3.1. Kolorem niebieskim zaznaczono rdzeń cewki oraz wewnętrzną (głębszą) warstwę badanego materiału, kolorem zielonym warstwę powierzchniową (zewnętrzną), natomiast uzwojenie wyróżniono kolorem czerwonym. Rys. 3.1. Siatka modelu cewki z rdzeniem typu E p, umieszczonej nad dwuwarstwowym materiałem zawierającym otwór podpowierzchniowy 3.3. Opis stanowiska do badań eksperymentalnych Badania eksperymentalne na potrzeby niniejszej pracy przeprowadzono w Centrum Nowoczesnych Technologii Politechniki Śląskiej w Gliwicach. Przed eksperymentem wykonano cewkę pomiarową (rys. 3.2), nawijając uzwojenie na karkas, który następnie umieszczono we wnętrzu kubkowego rdzenia ferrytowego. Przekrój poprzeczny tak wykonanej cewki przedstawiono na rys. 3.3. Wymiary geometryczne uzwojenia oraz rdzenia zaprezentowano w tabeli 3.1. 8
Rys. 3.2. Cewka z rdzeniem typu E p, zastosowana w przeprowadzonych badaniach Podłączając do cewki pomiarowej przewody zasilające, a następnie umieszczając ją w obudowie głowicy, otrzymano przygotowaną do badań sondę wiroprądową. W trakcie przeprowadzanych pomiarów wykorzystywano podkładkę dystansową o grubości 0,25 mm, wykonaną z nieprzewodzącego materiału. Podstawka dystansowa nie tylko chroni powierzchnię badanego materiału przed porysowaniem, lecz także umożliwia przytknięcie sondy do nierównej powierzchni. Pomiary przeprowadzano precyzyjnym miernikiem składowych impedancji Agilent 4294A, dla 75 różnych wartości częstotliwości z zakresu od 1 khz do 20 khz. Dokładność pomiaru impedancji podana przez producenta urządzenia wynosi ± 0, 08%. Pomiary wykonano trzykrotnie w tych samych warunkach, w odstępie czasu wynoszącym około 5 minut. Wszystkie wyniki pomiarów, umieszczone w dalszej części niniejszej pracy, przedstawiono w postaci średniej arytmetycznej wyznaczonej z wartości trzech pomiarów. Podczas badań eksperymentalnych mierzonymi parametrami były składowe impedancji cewki dla różnych częstotliwości prądu zasilającego sondę. W pierwszym kroku sonda wiroprądowa została umieszczona w otoczeniu niezawierającym materiałów przewodzących. W ten sposób zmierzono składowe impedancji cewki izolowanej (ang. isolated coil). W drugiej części badań sondę przyłożono do powierzchni przewodzącego materiału, wykonując pomiary analogicznie do przypadku cewki izolowanej. Następnie od uzyskanych w ten sposób wyników odjęto wartości wyznaczone dla cewki izolowanej, otrzymując zmiany impedancji cewki oznaczane w dalszej części pracy symbolem Z. 9
Rys. 3.3. Przekrój poprzeczny cewki z rdzeniem typu E p Tabela 3.1. Parametry cewki z rdzeniem typu E p, zamieszczonej na rys. 3.2 Liczba zwojów cewki N 646 Promień wewnętrzny cewki r 1 Promień zewnętrzny cewki r 2 Wysokość wewnętrzna cewki h 1 Wysokość zewnętrzna cewki h 2 Promień wewnętrzny kolumny rdzenia a 1 Promień zewnętrzny kolumny rdzenia a 2 Promień wewnętrzny rdzenia c 1 Promień zewnętrzny rdzenia c 2 Wysokość wewnętrzna pokrywy rdzenia d 1 Wysokość zewnętrzna pokrywy rdzenia d 2 Przenikalność magnetyczna rdzenia Wysokość podkładki dystansowej l 1 4,47 mm 7,3 mm 0,1 mm 4,19 mm 1,55 mm 3,9 mm 7,55 mm 9 mm 4,2 mm 5,31 mm µ f 3000 0,25 mm Stanowisko do przeprowadzania badań eksperymentalnych, składające się z miernika składowych impedancji Agilent 4294A oraz sondy wiroprądowej, przedstawiono na rys. 3.4. Badanymi materiałami przewodzącymi były miedź, aluminium, mosiądz oraz brąz przygotowane w postaci wypolerowanych płytek, pokazanych na rys. 3.5. W materiałach tych wykonano szczeliny o różnej głębokości i szerokości, które odwzorowywały wady występujące w badanych elementach. 10
Rys. 3.4. Stanowisko do przeprowadzania badań eksperymentalnych Rys. 3.5. Płytki wykonane z materiałów przewodzących 11
3.4. Analiza uzyskanych wyników Weryfikację modeli matematycznych opracowanych w niniejszej pracy przeprowadzono, porównując składowe impedancji cewki wiroprądowej, otrzymane za pomocą: metody TREE zaimplementowanej w środowisku Matlab, metody elementów skończonych wykorzystywanej w programie COMSOL, badań eksperymentalnych wykonanych z użyciem miernika składowych impedancji. Obliczenia wykonano na komputerze klasy PC z procesorem Intel Pentium E2220 2,4 GHz wyposażonym w pamięć RAM 4 GB. 3.4.1. Układ pomiarowy: cewka z rdzeniem, zawierającym kolumnę ze szczeliną powietrzną materiał przewodzący. Różnica wartości zmian impedancji cewki z rdzeniem I p, uzyskanych za pomocą metod TREE oraz MES była niewielka i wynosiła około 1 1,5 %. W układzie cewki z rdzeniem E p wyniki otrzymane w programach COMSOL i Matlab porównano z rezultatami badań eksperymentalnych. W przypadku metody TREE błąd obliczeń rezystancji ε RT nie przekraczał 1, 76 %, a błąd obliczeń induktancji ε XT był nie większy niż 1,88 %. Znacznie gorsze rezultaty otrzymano, korzystając z metody elementów skończonych. Wartości te wyniosły odpowiednio: ε _ = 3,52 % w przypadku rezystancji oraz ε _ = 3,15 % dla induktancji. XF MAX Na podstawie analizy wpływu szczeliny, występującej w kolumnie rdzenia, na zmianę impedancji cewki RF MAX Z stwierdzono, iż obecność szczeliny powietrznej ma zdecydowanie większe znaczenie w przypadku rezystancji niż induktancji. Dla rdzenia kubkowego E p różnica otrzymanych zmian rezystancji δ R_KOL_MAX przyjmowała wartości rzędu 2 2,5 %, lecz dla największego z badanych rdzeni przekroczyła nawet 7,5 %. Z otrzymanych rezultatów badań wynika, że zastosowanie uproszczenia, zgodnie z którym kolumna rdzenia nie zawiera przestrzeni powietrznej ( a 1 = 0 ), może spowodować wzrost błędu wyznaczania zmian impedancji cewki nawet o ponad 100 %. 12
3.4.2. Układ pomiarowy: cewka z rdzeniem materiał przewodzący, zawierający otwór powierzchniowy. Wprowadzenie w obliczeniach otworu powierzchniowego nie wpłynęło w istotny sposób na błąd otrzymywanych wyników. W przypadku rdzenia typu I p różnica zmian impedancji cewki uzyskanych za pomocą metod TREE i MES nie przekraczała 1,55 % dla składowej rzeczywistej oraz 1,06 % dla zmian składowej urojonej, podczas gdy dla układu bez otworu powierzchniowego wartości te wynosiły odpowiednio: 1,51 % i 1,1%. W przypadku rdzenia kubkowego E p, po wprowadzeniu otworu powierzchniowego zaobserwowano nieznaczne zmniejszenie wartości maksymalnego błędu wyznaczania zmian impedancji z 1,76 % do 1,65 % dla składowej rzeczywistej oraz w znacznie większym stopniu z 1,88 % do 1,04 % dla składowej urojonej. Są to rezultaty zdecydowanie lepsze niż dane uzyskane za pomocą MES, obarczone błędem wyznaczania zmian impedancji, przyjmującym wartości od 2,94 % do 2,32 %. 3.4.3. Układ pomiarowy: cewka z rdzeniem materiał przewodzący, zawierający otwór podpowierzchniowy. Obecność otworu podpowierzchniowego w badanym materiale przewodzącym nie spowodowała znacznej zmiany wartości błędu otrzymywanych wyników. W przypadku rdzenia typu I p, uzyskano współczynniki δ R _ MIN = 1,6% i δ X _ MIN = 1,01%, które tylko nieznacznie różniły się od wartości otrzymanych w układzie z otworem powierzchniowym. Podobna sytuacja miała miejsce dla rdzenia E p, w którym to przypadku uzyskano identyczną wartość ε _ = 1, 76%, jak w układzie z materiałem RT przewodzącym, niezawierającym otworu. Z kolei porównując te same układy pod kątem wyznaczania zmian induktancji, zaobserwowano zmniejszenie wartości bezwzględnej błędu z 1,88 % do 1,72 %. Wyraźnie gorsze rezultaty uzyskano w programie COMSOL, gdzie największe wartości błędów składowych Z wyniosły odpowiednio: ε RF _ MAX = 3,18% oraz ε XF _ MAX = 2,92 %. MAX 13
4. Podsumowanie W niniejszej pracy stworzono oraz sprawdzono przydatność praktyczną dwuwymiarowych modeli matematycznych cewki stykowej z rdzeniem, umieszczonej nad warstwowym materiałem przewodzącym, zawierającym wadę. W dostępnej literaturze nie opisano dotychczas podobnych rozwiązań analitycznych. W rozdziale 1 omówiono rozwój techniki modelowania wiroprądowego, począwszy od odkrycia zjawiska prądów wirowych w XIX wieku, aż do współcześnie stosowanych układów pomiarowych, wykorzystujących zaawansowane metody symulacji komputerowych. W rozdziale 2 przedstawiono cel i tezy rozprawy, a także motywy podjęcia przez autora prac badawczych. W kolejnym z rozdziałów opisano podstawy teoretyczne, wśród których na szczególną uwagę zasługuje omówienie procesu tworzenia modelu matematycznego za pomocą metody TREE, na przykładzie cewki z rdzeniem kubkowym typu C. Technikę tę wykorzystano w rozdziale 4 do stworzenia modeli matematycznych cewki z rdzeniem, zawierającym kolumnę ze szczeliną powietrzną, które następnie rozszerzono o obecność w materiale przewodzącym wady powierzchniowej i podpowierzchniowej. Opis przeprowadzonych badań i obliczeń, analizę uzyskanych wyników oraz wnioski końcowe zawarto w rozdziale 5. Głównym celem niniejszej pracy było stworzenie analitycznych modeli matematycznych cewek wiroprądowych z rdzeniem, umieszczonych nad warstwowym materiałem przewodzącym prąd elektryczny. Cel z powodzeniem osiągnięto, a dla wszystkich stworzonych modeli matematycznych przedstawiono w postaci analitycznej, wyrażenia opisujące zmianę impedancji cewki Z po zbliżeniu jej do materiału przewodzącego. Następnie wzory te zaimplementowano w postaci programów komputerowych, które posłużyły do przeprowadzenia obliczeń. W przypadku cewki z rdzeniem I p różnica pomiędzy rezultatami uzyskanymi za pomocą metod TREE oraz MES była niewielka i nie przekraczała 1,6 % dla zmian składowej rzeczywistej impedancji cewki oraz 1,1 % dla zmian składowej urojonej. Wyniki obliczeń dla cewki z rdzeniem E p opublikowano w czasopiśmie naukowym IEEE Transactions on Magnetics [10]. Otrzymane dane porównano również z wynikami badań eksperymentalnych, a uzyskane w ten sposób wartości błędów wyznaczania zmian impedancji cewki przedstawiono w tabeli 4.1. 14
Tabela 4.1. Największe wartości błędów wyznaczania zmian składowych impedancji cewki, uzyskane dla kilku układów cewka z rdzeniem E badany materiał p MES (COMSOL) TREE (Matlab) ε R [%] ε X [%] ε R [%] ε X [%] Cewka z rdzeniem E, zawierającym kolumnę ze szczeliną powietrzną 3,52 3,15 1,76 1,88 Cewka z rdzeniem E p, umieszczona nad materiałem zawierającym otwór powierzchniowy 2,94 2,32 1,65 1,04 Cewka z rdzeniem E p, umieszczona nad materiałem zawierającym otwór podpowierzchniowy 3,18 2,92 1,76 1,72 Wyniki obliczeń dla wszystkich autorskich modeli matematycznych wykazały bardzo dobrą zgodność, a błąd wyznaczania zmian składowych impedancji cewki nie przekroczył 2 % (podczas gdy dla metody elementów skończonych osiągał nawet 3,5 % ). Zaproponowane rozwiązania zweryfikowano dodatkowo dla zakresu częstotliwości od 10 Hz do 2 MHz. W żadnym z przypadków nie stwierdzono wzrostu wartości błędu wyników końcowych, w zależności od zmian częstotliwości prądu zasilającego cewkę. Potwierdzono w ten sposób, iż modele matematyczne opracowane w niniejszej pracy mogą być z powodzeniem stosowane dla częstotliwości pracy sondy w zakresie od kilku Hz do kilku MHz, co praktycznie w całości pokrywa zakres częstotliwości stosowany w badaniach wiroprądowych. Jednocześnie warto podkreślić, iż dla rozwiązań zaproponowanych w niniejszej pracy wyniki końcowe otrzymywane były w czasie znacznie krótszym niż w przypadku metody elementów skończonych, w szczególności w najbardziej istotnych z praktycznego punktu widzenia obliczeniach, składających się z wielu iteracji. 15
Wyniki obliczeń, uzyskane za pomocą metody TREE, jednoznacznie potwierdzają słuszność postawionych w niniejszej pracy tez, podczas dowodzenia, których osiągnięto następujące cele: Stworzenie analitycznych modeli matematycznych dla rdzeni typu I p oraz rdzeni kubkowych E p. Implementacja analitycznych modeli matematycznych w środowisku Matlab. Stworzenie modeli komputerowych w programie COMSOL, wykorzystującym metodę elementów skończonych, w celu weryfikacji otrzymanych wyników. Zaprojektowanie i wykonanie stykowej sondy wiroprądowej oraz utworzenie stanowiska do badań eksperymentalnych, składającego się z sondy wiroprądowej, miernika składowych impedancji oraz próbek materiałowych, zawierających wady powierzchniowe i podpowierzchniowe. Porównanie rezultatów uzyskanych za pomocą analitycznych modeli matematycznych z wynikami otrzymanymi w badaniach eksperymentalnych oraz wynikami obliczeń przeprowadzonych za pomocą metody elementów skończonych. W toku weryfikacji otrzymanych wyników końcowych uzyskanie akceptowalnego błędu obliczeń, nieprzekraczającego 2 %, umożliwiającego zastosowanie stworzonych modeli matematycznych w konstruowaniu sond wiroprądowych oraz w pomiarach wykonywanych w czasie rzeczywistym. Do najważniejszych osiągnięć zrealizowanych w ramach pracy doktorskiej należy zaliczyć opracowanie sześciu autorskich modeli matematycznych. Na uwagę zasługuje fakt, iż w niniejszej pracy po raz pierwszy przedstawiono w postaci analitycznej wzory, opisujące zmianę impedancji cewki z rdzeniem, po zbliżeniu jej do materiału przewodzącego zawierającego wadę. Zaproponowane rozwiązania mogą znaleźć szeroki zakres zastosowań, począwszy od projektowania sond wiroprądowych i doboru wartości parametrów układów pomiarowych, aż po weryfikację wyników badań nieniszczących, przeprowadzanych metodą prądów wirowych. Zwiększenie skuteczności i zakresu stosowania tych właśnie badań można uzyskać poprzez rozwijanie zaproponowanych w niniejszej pracy autorskich modeli matematycznych. 16
Literatura 1. Theodoulidis T.P.: Model of ferrite-cored probes for eddy current nondestructive evaluation. Journal of Applied Physics, vol. 93, no. 5, 2003, pp. 3071 3078. 2. Theodoulidis T.P., Kriezis E.E.: Eddy current canonical problems (with applications to nondestructive evaluation). TechScience Press, 2006. 3. Lu Y., Bowler J.R., Theodoulidis T.P.: An analytical model of a ferrite-cored inductor used as an eddy current probe. Journal of Applied Physics, vol. 111, no. 10, 2012, pp. 103907 103907-10. 4. Sakkaki F., Bayani H.: Solution to the problem of E-cored coil above a layered half-space using the method of truncated region eigenfunction expansion. Journal of Applied Physics, vol. 111, no. 7, 2012, pp. 07E717-1 07E717-3. 5. Dodd C.V., Deeds W. E.: Analytical solutions to eddy-current probe-coil problems. Journal of Applied Physics, vol. 39, 1968, pp. 2829 2838. 6. Theodoulidis T.P., Bowler J.R.: The truncated region eigenfunction expansion method for the solution of boundary value problems in eddy current nondestructive evaluation. Review of Progress in Quantitative Nondestructive Evaluation, vol. 24A, 2004, pp. 403 408. 7. Li Y., Theodoulidis T.P., Tian G.Y.: Magnetic field-based eddy current modelling for multilayered specimens. IEEE Transactions on Magnetics, vol. 43, no. 11, 2007, pp. 4010 4015. 8. Li Y., Tian G.Y., Simm A.: Fast analytical modelling for pulsed eddy current evaluation. NDT&E International, vol. 41, 2008, pp. 477 483. 9. Wrzuszczak M.: Modelowanie przetworników wiroprądowych. Wybrane zagadnienia. Oficyna Wydawnicza Politechniki Opolskiej, Studia i Monografie, z. 289, Opole 2011. 10. Tytko G., Dziczkowski L.: E-Cored Coil With a Circular Air Gap Inside the Core Column Used in Eddy Current Testing. IEEE Transactions on Magnetics, vol. 51, no. 9, 2015, pp. 6201804. 17