JOANNA DĘBICKA 1, BEATA ZMYŚLONA 2 MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ UBEZPIECZEŃ ŻYCIOWYCH Z OPCJĄ ADBS X OGÓLNOPOLSKA KONFERENCJA AKTUARIALNA ZAGADNIENIA AKTUARIALNE TEORIA I PRAKTYKA WARSZAWA, 22-24 WRZEŚNIA 2014 1 Praca finansowana z grantu 2013/09/B/HS4/00490 2 Praca finansowana z grantu 2011/01/B/HS4/05924
PLAN WYSTĄPIENIA I. OPCJA ADBS W KONTEKŚCIE WTÓRNEGO RYNKU UBEZPIECZEŃ II.MODEL WIELOSTANOWY UBEZPIECZEŃ Z OPCJĄ ADBS III. MACIERZOWA REPREZENTACJA SKŁADEK UBEZPIECZENIOWYCH IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU V. PRZYKŁADY NUMERYCZNE
II. OPCJA ADBS W KONTEKŚCIE WTÓRNEGO RYNKU UBEZPIECZEŃ Rezygnacja Ubezpieczony Wartość wykupu Ubezpieczyciel Odsprzedaż Wartość odsprzedaży RYNEK UBEZPIECZENIOWY zerwanie umowy ubezpieczenia Wartość wykupu < Wartość odsprzedaży < Suma ubezpieczenia Inwestor RYNEK FINANSOWY Rynek wtórny ubezpieczeń (viatical market) odsprzedanie umowy ubezpieczenia
II. OPCJA ADBS W KONTEKŚCIE WTÓRNEGO RYNKU UBEZPIECZEŃ Ubezpieczony Rezygnacja Wartość wykupu Ubezpieczyciel Odsprzedaż Inwestor Life settlement RYNEK Wartość wykupu < Wartość odsprzedaży < Accelerated Death Benefit RYNEK FINANSOWY tzw. rynek wtórny opcja ADBs = możliwość wzięcia świadczenia z tytułu śmierci przez ciężko chorego ubezpieczonego
II. MODEL WIELOSTANOWYCH UBEZPIECZEŃ Z OPCJA ADBS UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE UBEZPIECZONY: 1 żyje 2 nie żyje 1 2
UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE + ADBS 1a 1b 1c 1d żyje zdrowy żyje chory (oczekiwany przyszły czas trwania życia > 4 lata) żyje ciężko chory (oczekiwany przyszły czas trwania życia < 4 lata) żyje ciężko chory + ADBs 2 nie żyje 1a 1b 2 1c 1d
UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE + ADBS 1a 1b 1c 1d (i) żyje zdrowy żyje chory żyje ciężko chory i- ty rok żyje ciężko chory + ADBs 2 nie żyje 1a 1b 2 1c (1) 1d 1c (2) 1c (3) 1c (2)
III. MACIERZOWA REPREZENTACJA SKŁADEK UBEZPIECZENIOWYCH UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE + ADBS ZMODYFIKOWANY MODEL WIELOSTANOWY 1a 1b 2 2+ 1c (1) 1d+ 1d 1c (2) nie żyje świadczenie z tytułu śmierci jest wypłacane 1c (3) 1c (2) żyje ciężko chory wcześniejsze świadczenie z tytułu śmierci jest wypłacane (opcja ADBs)
III. MACIERZOWA REPREZENTACJA SKŁADEK UBEZPIECZENIOWYCH S, T UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE + ADBS ZMODYFIKOWANY MODEL WIELOSTANOWY ( * * ) 1 2 8 7 3 9 10 4 5 6
Twierdzenie 1 (macierzowa reprezentacja składek) Dębicka (2013) Załóżmy, że spełniona jest zasada równoważności. Ponadto dla modelu wielostanowego * * S, T macierz przepływów pieniężnych określona jest dla funduszu strat ubezpieczyciela, a ( ) * składki płacone są, gdy ( ) X t = 1 dla. Wówczas a) jednorazowa składka netto, płatna na początku okresu ubezpieczenia, gdy b) stała okresowa składka netto p płatna przez pierwszych jednostek czasu trwania umowy ubezpieczenia ( ), gdy
Twierdzenie 2 (macierzowa reprezentacja składek ubezpieczenie z opcją ADBs) Załóżmy, że spełniona jest zasada równoważności. Ponadto dla modelu wielostanowego * * S, T macierz przepływów pieniężnych określona jest dla funduszu strat ubezpieczyciela, a ( ) składki płacone są, gdy for. Wówczas stała okresowa składka netto p płatna przez pierwszych jednostek czasu trwania umowy ubezpieczenia ( ) jest postaci, gdzie
IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU - DANE Rak płuc w liczbach najczęstszy nowotwór złośliwy oraz pierwszy pod względem umieralności u mężczyzn (w Polsce i na świecie) pierwszy pod względem umieralności, drugi pod względem zapadalności po raku piersi u kobiet (w Polsce) występuje kilka razy częściej u mężczyzn niż u kobiet od połowy lat osiemdziesiątych ubiegłego wieku obserwuje się zahamowanie zachorowalności wśród mężczyzn, wśród kobiet liczba zachorowań nadal rośnie najwięcej zachorowań na raka płuc występuje w wieku około 60-70 lat, głównie wśród osób palących papierosy zapadalność i śmiertelność na raka płuc jest zróżnicowana w zależności od płci, wieku, miejsca zamieszkania
IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU - DANE Dane dla mężczyzn Dane dla kobiet Współczynnik zachorowalności: 20,2% (mężczyźni) 8,7% (kobiety) Współczynnik śmiertelności: 31% (mężczyźni) 15,4% (kobiety) Czas przeżycia: 1-roczny: 34,7% (mężczyźni) 41,6% (kobiety) 5-letni: 10,8 % (mężczyźni) 15,7% (kobiety)
IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU - DANE Polskie Tablice Trwania Życia z 2008 roku Zbiór danych dotyczących pojedynczych hospitalizacji we wszystkich szpitalach na terenie Dolnego Śląska, dane z Dolnośląskiego Oddziału NFZ (2006-2011) Dane z Krajowego Rejestru Nowotworów dla Dolnego Śląska (2006-2010) Województwo Dolnośląskie Polska
IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU - DANE historie hospitalizacji pacjentów z roku 2008 (horyzont czasowy od 2006 do 2011) rozpoznanie: nowotwór złośliwy płuca i oskrzela: kod C33-C34 (na podstawie międzynarodowej klasyfikacji ICD-10) dane o pacjencie: płeć, wiek, miejsce zamieszkania, rozpoznanie główne, choroby współistniejące (przerzuty do węzłów chłonnych i przerzuty tzw. odległe) identyfikacja pacjenta na bazie kodu będącego zaszyfrowanym numerem PESEL dane o hospitalizacji: długość hospitalizacji, zastosowane procedury, szpital
UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE + ADBS ZMODYFIKOWANY MODEL WIELOSTANOWY W PRZYPADKU UBEZPIECZENIA OD RYZYKA ZACHOROWANIA NA NOWOTWÓR ZŁOŚLIWY PŁUC: 1 2 8 7 3 9 10 4 5 6 Stan 1: osoba ubezpieczona nie choruje na złośliwy nowotwór płuc Stan 2: osoba ubezpieczona choruje na złośliwy nowotwór płuc bez przerzutów odległych Stan 3: osoba ubezpieczona choruje na złośliwy nowotwór płuc ze zdiagnozowanymi przerzutami odległymi Stan 4-6: osoba ubezpieczona z przerzutami odległymi żyje dłużej niż rok, dwa lub trzy lata. Stan 7: osoba ubezpieczona umarła Stan 9: osoba ubezpieczona skorzystała z opcji ADBs
IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU Q ( k ) ( ) ( ) ( ) ( ) q22 ( k ) q23 ( k ) q24 ( k ) q27 ( k ) q34 ( k ) q37 ( k ) q39 ( k ) q45 ( k ) q47 ( k ) q49 ( k ) q ( k ) q ( k ) q ( k ) q11 k q12 k q13 k 0 0 0 q17 k 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 56 57 59 = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 T P(0) = (1,0,0,...,0) R Q(k)= q ( k) R ij i, j= 1 gdzie q ( k) = Ρ ( X( k + 1) = j X( k) = i) ij k 1 T T P ( k) = P (0) Q( t) N t= 0 N N N D T P (0) T P (1) = R P T ( n) N ( n+ 1)
IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU 1 2 Badana kohorta: pacjenci, którzy w 2008 roku zachorowali na nowotwór złośliwy płuc 7 3 średni wskaźnik umieralności na raka płuc na 100 000 osób (2006-2010) ( ) ( ) q k = q t c 11 1 x+ k x+ k x+ k ( ) = ( ) q k c b 12 x+ k 1 x+ k ( ) q k = c b 13 x+ k x+ k ( ) q k = q t 17 x+ k x+ k średni współczynnik zapadalności na raka płuc na 100 000 osób (2006-2010) proporcja pacjentów, którzy zachorowali w roku 2008 i pierwsza diagnoza wskazywała na istnienie przerzutów (do węzłów chłonnych, mózgu, kości i innych organów)
IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU 1 2 7 3 Kobiety Mężczyźni WIEK
IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU 7 2 3 Badana kohorta: pacjenci, którzy w w ciągu 2008 roku chorowali na raka płuc i podczas pierwszej diagnozy w 2008 roku nie mieli przerzutów ( ) q k = q a 22 1 x+ k x+ k ( ) q k = a + 23 x k ( ) q k = q + 27 x k odsetek pacjentów z rakiem płuc w roku 2008, u których w ciągu roku 2008 stwierdzono przerzuty
IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU 2 7 3 Kobiety Mężczyźni 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 20 40 60 80 100 120
IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU 7 3 4 9 Badana kohorta: pacjenci, którzy zachorowali na nowotwór złośliwy płuc w roku 2008 i u których w 2008 roku zdiagnozowano tzw. przerzuty odległe 5 Niech α 1 będzie prawdopodobieństwem, że ubezpieczony zdecyduje się wykorzystać opcję ADBs, gdy X ( k ) = 3. Wtedy q k = ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( k ) 33 0 ( ) ( 1 ) ( 1 ) q k = q k α 39 37 1 q k = q k α q 34 37 1 37 6 Analogicznie: α 2 - dla X ( k ) = 4 α 3 - dla X ( k ) = 5 Dla stanu 6 zakładamy, że: q67 ( k ) = 1
MĘŻCZYŹNI IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU 7 3 9 4 5 6 Wartości estymatorów modelu regresji logistycznej dla danych porządkowych: Parametr estymator p-value Badana kohorta: mężczyźni u których w ciągu 2008 roku zdiagnozowano przerzuty odległe Y - liczba lat, które pacjent przeżyje (Y=0,1,2,3). Stała 3 2,943034 0,001708 Wiek (x) 0,039978 0,000725
IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU P( Y 3) = 1 ( 2) P Y ( + x) ( x) exp 2,943034 0,039978 = 1 + exp 2,943034 + 0,039978 ( 1) P Y ( x) ( x) exp 0,039978 = 1 + exp 0,039978 ( 0) ( 1) P Y w P Y = = 0, gdzie 0 w oznacza odsetek mężczyzn, którzy nie przeżyli roku spośród żyjących do dwóch lat ( 1) ( 1) P Y w P Y = = 1, gdzie 1 przeżyli rok spośród żyjących do dwóch lat w oznacza odsetek mężczyzn, którzy
MĘŻCZYŹNI IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU 7 3 9 4 5 6 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100
KOBIETY IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU 7 3 9 4 5 6 Wartości estymatorów modelu regresji Poissona z identycznościową funkcją wiążącą: Parametr estymator p-value Badana kohorta: kobiety, u których w ciągu 2008 roku zdiagnozowano przerzuty odległe Y - liczba lat, które pacjent przeżyje (Y=0,1,2,3). Stała 0,552179 0,001556 Wiek (x) -0,005435 0,039798
KOBIETY IV. MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ MODELU 7 3 9 4 5 6
V. PRZYKŁADY NUMERYCZNE MACIERZ FUNKCJI DYSKONTUJĄCEJ Dla stałej stopy procentowej For constant interest rate: 2 3 n 1 υ υ υ υ 1 2 n 1 υ 1 υ υ υ 2 1 n 2 υ υ 1 υ υ Λ= 3 2 1 n 3 υ υ υ 1 υ n ( n 1) ( n 2) ( n 3) υ υ υ υ 1
V. PRZYKŁADY NUMERYCZNE MACIERZE PRZEPŁYWÓW PIENIĘŻNYCH n+1 Składka jednorazowa Składka okresowa m
V. PRZYKŁADY NUMERYCZNE PRZYKŁAD 1
V. PRZYKŁADY NUMERYCZNE PRZYKŁAD 2
V. PRZYKŁADY NUMERYCZNE PRZYKŁAD 3
LITERARTURA 1. Dębicka J. (2013) An approach to the study of multistate insurance contracts, Applied Stochastic Models in Business and Industry, Volume 29, Issue 3, pages 224 240, May/June 2013 2. Haberman S., Pitacco E. (1999) Actuarial Models for Disability Insurance. Chapman & Hall CRC, Londyn. 3. Kim H.S. (2009) Life settlement in US. Research report in KIDI 4. Wojciechowska U., Didkowska J. Zachorowania i zgony na nowotwory złośliwe w Polsce. Krajowy Rejestr Nowotworów, Centrum Onkologii - Instytut im. Marii Skłodowskiej - Curie. Dostępne na stronie http://onkologia.org.pl/raporty/ dostęp z dnia 10.04.2014.
DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ