SttSft Plk, tl. ( 4843, (6 445, if@ttft.pl,.ttft.pl ANALIZA DANYCH W UBEZPIECZENIACH Wd Rk-Chmilic Akdmi Ekmicz Wrcł, Ktdr Itycji Fiych i Ubzpiczń E Pprk Akdmi Ekmicz Wrcł, Ktdr Itycji Fiych i Ubzpiczń Wprdzi W trii kturilj ryzyk ubzpiczi jt frmliz i mdl. W prktyc ubzpiczij d piu ryzyk ubzpiczig przydt jt zmi l, któr przyjmuj rtci iujm. Uzdi jt t tym, ż tępując zmi piując ryzyk ubzpiczi iz ą ubzpiczycili i ytępują l: Wrtci zkód, Liczby zkód, Mmty cz, których ytępują zkdy lub trty. D piu liczby zkód zti zjdują zmi l kk, któr mją kńczy lub przliczly zbiór rtci pchdzących z zbiru liczb turlych, d piu rtci zkód łużą zmi l ciągł, któr mgą przybirć dl rtci rzczyit z pg przdziłu liczbg. Z zmią lą ziąz jt jj fukcj rzkłdu prdpdbińt, z dytrybutą, któr dbrz chrktryzuj ryzyk ubzpiczi. Stąd dbrymi mirmi ryzyk ubzpiczig tymi prktyc ą tępując prmtry rzkłdu prdpdbińt: Wrtć czki, Odchyli tdrd, Wricj, Wpółczyik zmici, Wpółczyik kci. Jżli ryzyk jt mirzl i yiku brcji zbr dttczi dużą liczbę dych ttytyczych, t ócz mż tć mpirycz mtdy mdli, któr ykrzytują ttytykę pią. Wócz jk mirę ryzyk mż ykrzytć prmtry pzycyj, tki jk krtyl, złzcz mdię, dmitę, dchyli ćirtk i i. Cpyright SttSft Plk, 3 75
SttSft Plk, tl. ( 4843, (6 445, if@ttft.pl,.ttft.pl Rzkłdy prdpdbińt ykrzyty d chrktryzcji liczby zkód W klyczym ujęciu przyjmuj ię, ż dbrym mdlm piującym liczbę zkód jt zmi l dykrt, którą zczymy ymblm K. Wócz zkłd ię, ż zmi l K przyjmuj rtci,,,..., któr zczją liczby zkód ygr przz jd ryzyk lub prtfl ryzyk bdym kri, z dpidimi prdpdbińtmi p, p, p,.... W prktyc kturilj d chrktryzcji zmij lj K zjdują zti tępując rzkłdy prdpdbińt: Dumiy, Pi, Ujmy dumiy, Lgrytmiczy. W przypdku, gdy prtfl ubzpiczń zir N jdrdych rdzjó ryzyk, prdpdbińt ytąpii zkdy kżdym z ich ciągu rku jt tki m i yi p, prdpdbińt i ytąpii zkdy yi q=-p, t zmi K piując liczbę zkód ciągu rku tym prtflu jt zmią lą rzkłdzi dumiym gdzi: k N k N k ( K = k = p q p = P, k dl k =,,,...,N. Przciętą liczbę przidyych zkód ciągu rku dl pyżzg prtfl złżg z N rdzjó ryzyk mż zcć z pmcą rtci czkij zmij lj K, któr dl rzkłdu dumig przyjmuj rtć: E(K=Np. Ntmit hi rczj liczby zkód kół tj przciętj ci ię pdti dchyli tdrdg lub ricji, którj rtć krl zór: Vr(K=Npq. W prktyc ubzpiczij gół ytępują duż prtfl ryzyk, ubzpiczich mjątkych przżi prdpdbińt ytąpii zkdy pjdyczym ryzyku jt brdz mł. W tkij ytucji pdti zych tirdzń griczych z rchuku prdpdbińt przyjmuj ię, ż zmi l K m rzkłd Pi ptci: gdzi λ =Np., k=,,,.... p k k λ λ = k!, 76 Cpyright SttSft Plk, 3
SttSft Plk, tl. ( 4843, (6 445, if@ttft.pl,.ttft.pl W tym przypdku rtć czki i ricj zmij K krl ą tępującymi zrmi: E(K=λ, Vr(K=λ. Pdt prktyc ubzpiczij mgą pjić ię ytucj, gdy ricj liczby zkód przkrcz rdią, i ócz lpzym mdlm piującym zmią K jt zmi l rzkłdzi ujmym dumiym tępującj ptci α + k k α pk = q p k gdzi: <α <, p (,, p prdpdbińt ytąpii zkdy, q=-p, p k prdpdbińt ytąpii α -tj kljj zkdy p k bzzkdch. Dl tg rzkłdu pdt prmtry mją ptć: q q E( K = α, Vr( K = α p p. Przykłd Zkłd ubzpiczń pym rku przdł 4 pli tg mg typu dl przdiębirt. Zmi l K piuj liczbę zkód pchdzących z pjdyczj pliy ciągu rku. D liczb zti tbli. Tbl. Liczb zkód k 3 4 5 6 Liczb pli 6 5 8 6 5 Oczki liczb zkód pchdzących z jdj pliy yii E(K=,596, ricj Vr(K=3,875. Jt t przykłd zmij, dl którj dpidim mdlm będzi rzkłd ujmy dumiy. Zgdć rzkłdu mpiryczg i trtyczg mż prdzić z pmcą ttu χ. Iym rzkłdm tym d chrktryzcji zmij lj K jt rzkłd lgrytmiczy tępującj ptci: k k p p =, k l( p dl k=,,..., gdzi p (,, q=-p. Cpyright SttSft Plk, 3 77
SttSft Plk, tl. ( 4843, (6 445, if@ttft.pl,.ttft.pl Pdt prmtry mją tępującą ptć: p p E( K =, Vr( K = ( l q p. l q q l q q Ittą prą, którą lży uzględić, lizując liczbę zkód lub liczbę ypdkó ubzpicziych pchdzących bądź z pjdyczj pliy, bądź z prtfl pli, jt fkt, ż prktyc ubzpiczij ytępuj zmić ityci ytępi ypdkó ubzpicziych, tym mym zkód. Nt tym mym bdym kri ytępują lpz i grz kry dl pzczgólych rdzjó ubzpiczń, p. ul dzcz i grdbici kri i-ltim, łmi d mizkń czi kcji, tłuczki mchd kri ji-zimym i i. Pdt zmią piującą liczbę zkód lży trktć jk pi zmiijący ię czi prc, gdyż pd t mż być pymi urukimi zętrzymi, tkimi jk mtdy zpbigi pżrm, zmiy rukó hdlych, zmiy tchlgicz, iękz prcj i i. Ztm d piu prcu ytępi ypdkó ubzpicziych rz zkód lży brć pd ugę tępując lmty: trdy, cykl, krótkkr hi, fluktucj czyt l i i. Uzględijąc zmić ityci ytępi ypdkó ubzpicziych, prdz ię zmią lą mizjącą i ttczi zmi l piując liczbę zkód m rzkłd prdpdbińt mizy Pi lub mizy rzkłd ujmy dumiy, zy rzkłdm Ply g. Rzkłdy prdpdbińt ykrzyty d chrktryzcji rtci dzkdń Zmi piując ilkci dzkdń chrktryzuj ię tępującymi cchmi: Wilkci zkód ą jczęcij mł i rdi, tąd liczb dych brlych jt duż, Wilki dzkdi ytępują rzdk, czyli z młymi prdpdbińtmi, i tąd mł jt dych, Wilkci zkód lży lizć ktkci czym i prztrzym, gdyż mgą być zmią czu i ytępć z zróżicymi rtcimi różych rgich, W przypdku dych z pprzdich i dlgłych mmtó czych lży uzględić iflcję, Wrtci dzkdń ą ziąz z umą ubzpiczi, czyli górą gricą dpidzilci ubzpiczycil lub z dcyzjmi rkurcyjymi, któr utlją udził ły ubzpiczycil i utmtyczi krlją górą gric zbiru brcji, 78 Cpyright SttSft Plk, 3
SttSft Plk, tl. ( 4843, (6 445, if@ttft.pl,.ttft.pl Rzkłd prdpdbińt rtci tj zmij jt przżi ymtryczy i przypdku dużych rzczń chrktryzuj ię tk zym yciągiętym gm. Wilkci zkód przyjmują rtci rzczyit i dltg piują j zmi l ciągł. Ztm d mdli ykrzyty jt zmi l ciągł pj dytrybuci F(x, przd zytkim rtcich X>, jk róiż rtci czkij E(X kńczj, gdyż przciym przypdku tki ryzyk i jt ubzpiczl. Wkz jt róiż clu uzyki ubzpiczlci, by ricj tkż był kńcz. Pdty prblm, jki tutj ptj, t krli ptci tj dytrybuty lub zlzii pdtych prmtró tj dytrybuty. W tym clu tuj ię tępując mtdy: Ktrukcj mpiryczj ptci dytrybuty pdti brcji z pprzdig kru ztiych zrgi cz, Szuki lityczj ptci dytrybuty yrżj zrm i tym clu ykrzyti ttytyczych ttó ittci typu χ lub α-kłmgr lub Kłmgr- Smir d zryfiki hiptzy ptci dytrybuty, Obliczi pdti dych mpiryczych pdtych prmtró rzkłdu bz zuki ptci dytrybuty. W ztich kturilych ptyk ię jczęcij tępując typy rzkłdó: Gmm, Prt, Bt, Lgrytmicz-rmly, Nrmly. Pirzy typ rzkłdó t rzkłdy gmm tępującj fukcji gętci: γ x / µ f ( x = x, x>, γ µ Γ( γ z dm prmtrmi, gdzi µ >, fukcj gmm Γ zd jt zrm: γ x Γ( γ = x dx dl γ >. Dl tg rzkłdu rtć czki i ricj mją ptć: E (X = µγ, Vr ( X = µ γ. Jli γ =, t trzymmy zczgóly przypdk, zy rzkłdm ykłdiczym tępującj ptci fukcji gętci: f ( x = µ x / µ. Cpyright SttSft Plk, 3 79
SttSft Plk, tl. ( 4843, (6 445, if@ttft.pl,.ttft.pl Iym rzkłdm tym d piu zmij X jt rzkłd Prt. Dytrybut tg rzkłdu krl jt zrm: F( x =, α ( + x dl x i <α <. Pdt prmtry dl tg rzkłdu mją ptć: E ( X = dl α >, α E ( X = dl α >. ( α ( α W prktyc ubzpiczij ty jt róiż ucięty rzkłd Prt tępującj ptci dytrybuty: F( x = ( + x α dl x < M < dl x M gdzi M zy ię mkymlą mżlią trtą. Fukcj gętci rzkłdu Prt jt krl zrm: α f ( x = ( + x α dl x < M < dl x M Iym rzkłdm łużącym d piu rtci zkdy jt rzkłd bt. Fukcj gętci m tdy tępującą ptć: Γ( α + β α β f ( x = x ( x, Γ( α Γ( β którj ytępują d prmtry α i β, płijąc iróci <α <, < β <. D pdt prmtry tg rzkłdu mją tępującą ptć: α E (X =, α + β E ( X α( α + = ( α + β ( α + β +. D piu rtci zkód ubzpicziych jt ykrzytyy róiż rzkłd lgrytmicz-rmly tępującj ptci fukcji gętci: 8 Cpyright SttSft Plk, 3
SttSft Plk, tl. ( 4843, (6 445, if@ttft.pl,.ttft.pl (l x µ f ( x = xp(, πσ σ gdzi <y< rz - < µ <, < σ <. Pdt prmtry tg rzkłdu mją ptć: E ( X = σ µ +, Vr(X= µ+ σ σ ( -. W iktórych ytucjch, gdy prtfl ubzpiczń zir brdz duż pli i duż jt dych, t pdti ctrlg tirdzi griczg d piu rtci ypłcych dzkdń lub idczń pchdzących z tg prtfl mż być róiż ykrzyty rzkłd rmly. Fukcj gętci m ptć: ( y µ f ( x = σ dl > σ. πσ Wrtć czki i ricj dl tg rzkłdu yi: E(X=µ i Vr(X=σ. Przykłd Pi zkłd ubzpiczń przdj trzy rdzj ubzpiczń d kztó lczi. N pdti dych z pprzdich lt zkłd ubzpiczń przcięti ciągu rku z jdj pliy ypłc dl pirzj grupy ubzpiczń 5 ur z dchylim tdrdym ur, dl drugij grupy ubzpiczń 5 ur z dchylim tdrdym 8 ur, dl trzcij grupy 36 ur z dchylim tdrdym 4 ur. W biżącym rku zkłd ubzpiczń przdł 34 pli z pirzj grupy, 65 pli z drugij grupy rz 3 pli z trzcij grupy. D liczb zti tbli. Tbl. Rdzj ubzpiczi d kztó lczi 3 Liczb pli 34 65 3 Oczki idczi z pjdyczj pliy 5 5 36 Odchyli tdrd dl pjdyczj pliy 8 4 Z zcz cłkitą rtć ypłcych idczń z prtfl. E(Z=34 5+65 5+3 36=93, Vr(Z=34 44+65 64+3 576=6544, czyli σ=467,43. Cpyright SttSft Plk, 3 8
SttSft Plk, tl. ( 4843, (6 445, if@ttft.pl,.ttft.pl Zkłd ubzpiczń chc mić ifrmcję, jki jt prdpdbińt, ż cłkit kt idczń z tytułu ubzpiczń d kztó lczi dym rku przkrczy 4 ur. Aby dpidzić t pyti, krzytmy z ctrlg tirdzi griczg, c zpiujmy zrm: P(Z>4 =-P(Z 4 =-F Z (4, gdzi x 93 F z ( x = Φ 467,43 rz Φ jt dytrybutą rzkłdu rmlg tdryzg. Krzytjąc z tblic rzkłdu rmlg, trzymmy: - F Z (4=-Φ(,63=,43. D mdli rtci zkód pchdzących z zdrzń kttrflych ykrzyty ą rzkłdy rtci ktrmlych. Pdmy tutj przykłd trzy jczęcij t rzkłdy: rzkłd Frcht tępującj dytrybuci: dl x F( x = α xp( x dl x > gdzi prmtr α >, rzkłd Wibull tępującj dytrybuci: xp F( x = α ( ( x dl dl x, x > gdzi prmtr α >, rzkłd Gumbl tępującj dytrybuci F(x=xp(-xp(-x. W przypdku ryzyk kttrflg pjiją ię tępując prblmy ziąz z jg cą i pmirm: ipróylć dych piujących zdrzi kttrfl z pdu zmiijącg ię tczi, zmiijącj ię rtci ubzpiczg mjątku, przyrtu lub pdku ppulcji ludzi zmizkujących zgrży tr, zmi klimtyczych, zmiijącj ię tchlgii, ytępującj iflcji i iych, mł liczb dych zdrzich kttrflych, któr ytępują rzdk, i tąd zbyt krótki hitrycz zrgi cz, któr i mgą dć płj ifrmcji dym zjiku kttrflym, 8 Cpyright SttSft Plk, 3
SttSft Plk, tl. ( 4843, (6 445, if@ttft.pl,.ttft.pl ykrzytyi dych z iych dzidzi, zczgóli dych jmiczych, mtrlgiczych, kmiczych i iych d mdli zdrzń kttrflych, ykrzyti mtd ymulcyjych d cy rzkłdó prdpdbińt i ich prmtró zmiych lych piujących zdrzi kttrfl. Szuki lityczj ptci dytrybuty - przykłd Przykłd dbru rzkłdu ykci zkdy prty jt dych umych ( brcji, ygrych z rzkłdu Prt, którym prmtry i ą tłymi, lcz róiż ą zmiymi lymi ( rzkłdzi Gmm. Wprdzi zmiych mizjących mił clu uzyki dych, któr będą ymulć zchi prtfl zkód ijdrdych, ziązych p. z ytępim zjik kttrflych. D tk przygtych dych będą dpy rzkłdy, któr jczęcij t ą d mdli ykci dzkdń. Są t rzkłdy: ykłdiczy, gmm, lgrytmicz-rmly, Prt, Wibull, Burr. W pkici STATISTICA pirz trzy z ymiiych zjdują ię ród rzkłdó, jki mż dbirć d dych. Rzkłd Wibull zlźć mż tmit Alizi przżyci. Dbór pztłych mżliy jt przy ykrzytiu Etymcji iliij, gdzi mżli jt dpyi dlj fukcji prdzj przz użytkik. Kztłt hitgrmu czętci lizych dych (ryuk., przd zytkim ytępi brcji brdz ykich próiu z rtcią czkią i ricją, mż kzyć, ż kicz będzi dpi rzkłdu chrktryzującg ię tz. ciężkim gm. Prmtry rzkłdu mpiryczg ą tępując: rdi br: 35,37; ricj br: 6978,8. 45 Hitgrm czętci zględych 4 35 Czętci zględ (% 3 5 5 5 5 5 5 3 35 4 ilkć zkdy [x] Ry.. Hitgrm czętci zględych Cpyright SttSft Plk, 3 83
x x SttSft Plk, tl. ( 4843, (6 445, if@ttft.pl,.ttft.pl Ntmit piżz ykry, przdtijąc prói dytrybuty mpiryczj z dytrybutmi zciu lizych rzkłdó, pzlją tępy ybór łcig rzkłdu. Zró rzkłd ykłdiczy, jk i gmm rz Wibull idzcują prdpdbińt ytąpii zkód ykich, czyli tych, któr dużym tpiu płyją ykć rtci czkij, któr z kli ti pdtę zci kłdki ubzpiczij. Ntmit rzkłd lgrytmicz-rmly przzcuj t prdpdbińt, c kutkuj zyżim kłdki ubzpiczij. Z tg zględu rt przlizć pztł d rzkłdy: Burr i Prt (prmtry tych rzkłdó ztły dbr mtdą jiękzj irygdci przy użyciu Etymcji iliij. Zmi: Zm, Rzkłd: Wykłdiczy Tt chi-kdrt = 58,85, df = 4 (dp., p =, Rzkłd: Gmm Tt chi-kdrt = 9,8998, df = 6 (dp., p =, 9 Zmi: Zm, Rzkłd: Lgrml 9 8 8 8 (% 7 d lę g 6 z i c 5 t ę z 4 C 3 5 5 5 3 35 4 x C z ę t c i z g lę d (% 6 4 5 5 5 3 35 4 Ktgri (gór gric C z ę t c i z g lę d (% 7 6 5 4 3 5 5 5 3 35 4 ilkć zkdy [x] Rzkłd Wibull, Rzkłd Burr, Prt,,8,8,8 F (,6,4 F (,6,4 F (x,6,4,,,, 5 5 5 3 35 4 ilkć zkdy [x], 5 5 5 3 35 4 ilkć zkdy [x], 5 5 5 3 35 ilkć zkdy [x] Ry.. Prói dytrybuty mpiryczj z dytrybutmi dbirych rzkłdó Aby dkć ybru mdlu, który jlpij piuj d, rt przlizć ykry ktyl-ktyl. Rzkłd: Gmm(,,5,75,9,95,99 4 Rzkłd: Wykłdiczy,,5,75,9,95,99 4 Rzkłd: Lgrmly(,,9,99 4 35 35 35 3 5 r b ć rt 5 W 3 5 r b ć rt 5 W 3 5 r b ć rt 5 W 5 5 5 3 4 5 6 7 8 Ktyl trtyczy 3 4 5 6 7 8 Ktyl trtyczy 5 5 5 3 Ktyl trtyczy Rzkłd: Wibull( Rzkłd Burr Rzkłd Prt,,5,75,9,95,99 4 4 4 35 35 35 3 3 3 5 r b ć rt 5 W 5 c z i c r t 5 5 c z i c r t 5 5 5 5 3 4 5 6 7 8 Ktyl trtyczy 5 5 5 3 35 4 Ktyl trtyczy 5 5 5 3 35 4 Ktyl trtyczy Ry. 3. Wykry ktyl-ktyl dl dpyych rzkłdó 84 Cpyright SttSft Plk, 3
SttSft Plk, tl. ( 4843, (6 445, if@ttft.pl,.ttft.pl Wykry ktyl-ktyl pzlją tirdzić, dl jkich ilkci zkód rzkłdy trtycz dbigją d dych, dl jkich dbrz j piują. Dl rzkłdó dbrz piujących d, pukty ykri piy ukłdć ię zdłuż prtj. Dl rzkłdó tkich jk ykłdiczy, gmm czy Wibull, któr idzcują prdpdbińt ytąpii ykich zkód, pukty dpidjąc ktylm mpiryczym dchylją ię górę. Aby dkć ttczg ybru rzkłdu, trzb przttć dpi rzkłdó d dych. W tym ypdku płuż ię ttytyką λ-kłmgr. Tbl 3. gmm Wibull ykłdiczy Prt lgrytmiczrmly Burr α, θ,7 θ 5,4 α 6,97 µ 4,8 α,93 θ 5,3 τ,95 θ 543,8 σ,58 θ 33,9 γ,96 λ,58,5,57,9,9,44 Źródł: bliczi ł N pzimi ittci róym,5 tylk dl rzkłdu Burr i przyjmuj rtci z zbiru krytyczg, c ttczi pzl rztrzygąć, który z lizych mdli jlpij piuj d. Wyzczi kłdki ubzpiczij mtdą jiękzj irygdci Wyjcią zdą tą przy klkulcji kłdki ubzpiczij jt zd różci kłdki i ypłcych przyzłci dzkdń i idczń, z zdą czytg ryzyk. Skłdk ubzpiczi tt zcz ymblm P pi płić tępującą róć: P = E(X. W prktyc ubzpiczij zd t jt trkt jk pdt i jt gół mdyfik różymi pbmi zpijącymi rógę fią prcji ubzpicziych prtflch, któr ppriją bzpiczńt fi. Ztm dl zkłdu ubzpiczń ittą prą jt krli kłdki dpidim pzimi, który będzi zkcpty przz bi try ktrktu ubzpiczig, czyli ubzpiczjącg i ubzpiczycil. Ubzpiczycil ykć przyzłj kłdki krl pdti przzłych brcji, gół dl cłj hmgiczj grupy ryzyk. Zużyć jdk lży, ż p pirz grup mż być zróżic, ztm lżłby brć brcj dl pzczgólych pli, p drugi pzczgóli ubzpiczjący mgą Cpyright SttSft Plk, 3 85
SttSft Plk, tl. ( 4843, (6 445, if@ttft.pl,.ttft.pl mić róiż ł brcj dtycząc ubzpiczg ryzyk, któr mż uzględić. W tkich ytucjch zjduj zti tri irygdci. Ptj tutj pdt pyti: jką dć irygdć brcjm dtyczącym j-tg ryzyk, jką brcjm przzłym pchdzącym z cłg prtfl. Aby krlić kłdkę tt ktrkci, lży bliczyć tępującą ilkć: z j E(X j + (-z j E(X, gdzi X j piuj ryzyk ptci dzkdi pchdząc z j-tj pliy lub z pj j-tj grupy jdkych pli tkich mych rukch ktrktu, X piuj ryzyk ygr przz cły prtfl pli. Ntmit z j jt półczyikim irygdci płijącym tępującą iróć z. j Pdtym prblmm, jki trzb rziązć przypdku ti tg typu pdjci, jt yzczi półczyik irygdci z j. Wpółczyik t pii płić tępując ruki: im ięcj jt dtępych brcji dtyczących dj pdgrupy ryzyk, tym iękz jt g tych brcji - yżzy półczyik irygdci; im iękz ą różic pmiędzy pzczgólymi pdgrupmi ryzyk, tym iękz pi być g brcji dtyczących tych grup; im brdzij jdrdy jt prtfl pli, tym mij zróżic piy być kłdki, iękzym tpiu prt czkij ykci zkdy dl cłg prtfl; im iękz ą hi ykci zkód brębi dj pdgrupy czi, tym iękz pi być g przypiy czkij ykci zkdy dl cłg prtfl (brcj pchdząc yłączi z krlj pdgrupy pli tją ię mł użytcz dl klkulcji kłdki. Jdym z jprtzych mdli, jki mją zti d rziązi tg zgdii jt zróży mdl Buhlm. W tym mdlu zkłd ię, ż prtfl pli ubzpicziym mż pdzilić J pdgrup, z których kżd zir jdką liczbę pli (mż róiż przyjąć, ż kżd z pdgrup kłd ię tylk z jdj pliy. Pdt dtęp jt tk m liczb brcji dtyczących zkód ytępujących kżdj z grup - dl kżdj z pdgrup dtęp ą d dtycząc T kró. Czyli X jt zcz ykć zkdy ptłj j-tj pdgrupi kri t. Dl grup kłdjących ię z pli X jt mż być itrprt jk um zkód ptłych kri t grupi j lub tż ich rdi. Kżdą z brcji mż rzdzilić umę trzch izlżych lmtó: X jt = m + Ξ j + Ξ gdzi: m - rdi ykć zkdy dl cłg prtfl pli ubzpicziych; Ξ j - dchyli d tj rdij, któr chrktryzuj pliy lżąc d j-tj kly; jt 86 Cpyright SttSft Plk, 3
SttSft Plk, tl. ( 4843, (6 445, if@ttft.pl,.ttft.pl Ξ jt - dchyli d rdij zkdy dl dj kly, któr jt ziąz z czm (chrktryzuj dbr i zł kry pidczy pli ubzpicziych. Zkłd ię, ż Ξ j rz Ξ jt ą izlżymi zmiymi lymi, tkimi ż E( Ξ = E( Ξ =, Vr( Ξ = α, Vr( Ξ j jt j jt = czyli α chrktryzuj różic pmiędzy pzczgólymi plimi lub grupmi pli. Rzkłd zmij lj Ξ j piuj trukturę ryzyk prtflu. Pdbi rzkłd zmij lj Ξ jt piuj zmiy ryzyk czi, tąd prmtry α i mgą być itrprt jk prmtry ryzyk. Mż ykzć, ż jlpz i miimlg rdig błędu kdrtg E [{ X g X g X } ] j, T +... JT JT prgz ykci zkdy dl grupy j kri T+, któr jt kmbicją liią brcji zkód, jt ró kłdc irygdj: z X j + ( z X gdzi αt z = α T + Wpółczyik irygdci dl prtfli pli ubzpicziych jt jdky dl zytkich yróżiych pdgrup, czyli g idyidulg didczi dl kżdj grupy jt tk m. Pdt: rz X = JT X J j= T t=. X T j = X jt T t = Wrtć półczyik irygdci z izbędg d klkulcji kłdki zlż jt d rtci prmtró ryzyk, chrktryzujących prtfl pli ubzpicziych, rz liczby dtępych brcji zkód dtyczących dj pdgrupy. Ztm tymtr półczyik irygdci pii pirć ię czijzj tymcji tych prmtró. Klkulcj półczyik z mż być dk prciu tępując ttytyki: MSB (m-qur-bt: MSB = J j= T ( X j J jt X Cpyright SttSft Plk, 3 87
SttSft Plk, tl. ( 4843, (6 445, if@ttft.pl,.ttft.pl MSW (m-qur-ithi: MSX = J j = T t = ( X X j jt J ( T Sttytyk krl jk F = MSB / MSW m rtć czkią róą α T +, tmit ttytyk MSW m rtć czkią róą. Stąd ttytyk ró / F mż być tymtrm półczyik irygdci z. Ztm klkulcj kłdki irygdj prt jt tuk prtych bliczich jprtzych ttytykch, tkich jk rtć czki zmiych X j, czy ricj blicz dl dych. Piżj przdti ą yiki bliczń irygdj kłdki dl iilkig prtfl pli ubzpiczń dmó. Pliy ztły pdzil pdgrup z zględu di ktgri: ik budyku (pdził 3 ktgri: - budyki młdz iż lt, tr - pyżj 3 lt, pztł rz płżi (pdził 4 ktgri. Kżd z yróżiych pdgrup zir jdką liczbę pli ubzpicziych. W tbli przdti ą d dtycząc rdij ykci zkdy kżdj z pdgrup. Dtęp d bjmują kr lt. Tbl 4. Śrdi ykci zkód pdgrupch pli. X X X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X X X rk 98,88 85,4 94,55 94,3 94,45,59 85,4 98,7 96,67 3, 4,74 89, rk 9,83 8,7 97,4,48 97,89 7,87 99,65 9,6,,73 6,8,46 rk 3 8, 96,89 9,48 85,36 8,44 97,5 96,3 5,36 5,93 95,68 97,67 6,7 rk 4 4,4 99,88 96,43 99,5 97,46,93 5,4,75 86,5 9,,93 8,6 rk 5 9,9 85,95 3,8 98,7 9,46 8,6 97,68, 95,74 86,5 7,9 96,45 rk 6,4 85,4 9,9 9,49 9,33 4,8 87,44,6 5,4 98,76, 6,77 rk 7 9, 5,99,34 86,48,36 98,93,69 93,79 6,66 9,6,93 98, rk 8 4,9 94,9 9,43 8,9 98,,75,86 94,6 9,34 9,73 5,33,3 rk 9 99,89 5,86 99,39 99, 9,8,96,9 5,8 89,7 4,,63,34 rk 97, 99,9 93,9 98,5,4 97,87 87,33 7,66 3,96 6,4 7,49 9,4 Źródł: bliczi ł Dl lizg przykłdu rtci ymiiych yżj ttytyk ą tępując: MSB = 6,43 MSW = 68,55 F =,3549 Wrzci rtć półczyik irygdci yi z =,575353. Wpółczyik t jt jdky dl zytkich yróżiych pdgrup. Wykć kłdki irygdj rz izbęd bliczi przdti ą tbli. Śrdi zkd prtflu yi,34. 88 Cpyright SttSft Plk, 3
SttSft Plk, tl. ( 4843, (6 445, if@ttft.pl,.ttft.pl Tbl 5. Obliczi irygdj kłdki Grup pli Śrdi zkd grupi Wricj zkód grupi Skłdk 7,9 48,469 4,8 94,3 78,3 96,76 3 98,67 54,843 99,38 4 98,7 63,49 99,3 5 98, 5,475 98,99 6 3,3,774,94 7 98,9 96,79 99,4 8 3,9 86,865,9 9,5 3,5773,3 97,9 46,489 98,53 7,9 67,636 4,8 99,8 76,33 99,67 Źródł: bliczi ł Zti t brdz prtych bliczń pzl dpidi zróżici ykci kłdki ubzpiczij dl tg typu ijdrdych pli ubzpicziych. Oczyici mżli jt róiż zti mtd prtych lizi ricji ANOVA czy tż rgrji, bądź rzci ugóliych mdli liiych (GLM. Litrtur. Rk-Chmilic W. (3: Mdli ryzyk ubzpiczich. Wybr zgdii. Wyd. AE Wrcliu.. Bily A. (95: Crdibility prcdur, Prcdig f th Culty Acturil Scity, XXXVII, 7-3, 94-5. 3. Bühlm H. (967: Expric rtig d crdibility, ASTIN Bullti 4, 99-7. 4. Dyki C.D., Ptikäi T., P M. (996: Prcticl Rik Thry fr Acturi, Chpm & Hll, Ld. 5. K R., Gvrt M., Dh J., Duit M. (: Mdr Acturil Rik Thry, Klur Acdmic Publihr, Bt. 6. Klugm S., Pjr H.H., Willmt G.E. (998: L mdl: Frm Dt t Dcii, Jh Wily & S, N Yrk. 7. Nldr J.A., Vrrll R.J. (997: Crdibility thry d grlid lir mdl, ASTIN Bullti 7 N, 7-8. Cpyright SttSft Plk, 3 89