Egzamin w klasie III gimnazjum Część matematyczna Szkice rozwiązań zadań Zadanie 1. Ponieważ harcerze zaczęli marsz o 13:00, a skończyli o 15:30 więc rzeczywiście maszerowali 2,5 godziny Z autobusu do obozu było 6 km, po godzinie marszu byli oddaleni od obozowiska o 2 km. Oznacza to, że przeszli ciągu tej godziny 4 km. Odpoczynek w czasie marszu trwał 30 minut (poziomy fragment wykresu). Godzina 14:15 zastała ich w trakcie postoju, który zrobiono 2 km przed obozem. Fałszywa jest odpowiedź B. Zadanie 2. Odległość jest zawsze liczbą dodatnią więc odpadają odpowiedzi A i Odległość jest równa różnicy między prawym końcem przedziału, a lewym, czyli D. Zadanie 3. Jeżeli w utworzonej liczbie w rzędzie jedności będzie 2 to liczba będzie parzysta. Odpowiedź A odpada. Można między innymi utworzyć liczbę 532. Jest ona większa od 530, więc odpada odpowiedź B. Liczba jest podzielna przez 5, gdy w rzędzie jedności jest cyfra 0 lub 5. Takie liczby mogą być akurat dwie: 235 i 325.
Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3. W naszym przypadku cyframi tej liczby są 2; 3; 5. Suma tych cyfr wynosi 10 i nie dzieli się przez 3 Zadanie 4. Tak, więc, spośród liczb I; II i IV największa jest liczba IV. Największa jest liczba IV D. Zadanie 5. D. Zadanie 6. W sezonie zimowym bilet kosztuje W sezonie letnim bilet kosztuje A.
Zadanie 7. Gdy liczba b jest ujemna to. Stwierdzenie pierwsze jest fałszywe Gdy od liczby mniejszej odejmiemy większą to wynik będzie ujemny. Stwierdzenie drugie też jest fałszywe. FF Zadanie 8. to więcej niż połowa, czyli dziewcząt jest na pewno więcej niż chłopców. Jeżeli dziewcząt jest klasy, to chłopców jest klasy., czyli dziewcząt jest o 100% więcej niż chłopców Stosunek 1:3 oznacza, że klasy, to chłopcy i klasy to dziewczęta. Zadanie 9. Jeżeli 8% to 120 zł, to 4% wynosi 60 zł, 2% - 30 zł i 1% - 15 zł. Całość, czyli 100% t0 będzie 1500 zł. B. Zadanie 10. Niech jeden robotnik w ciągu dnia maluje n detali. W ciągu 12 dni pomaluje on 12n detali. Ponieważ robotników jest x, więc w ciągu 12 dni pomalują oni detali.
Dwóch więcej pracowników, to. A trzy dni mniej, to 9 dni. Otrzymujemy równość Dzieląc przez n otrzymujemy B. Zadanie 11. Największą wartość funkcja przyjmuje dla argumentu -1 i osiąga wtedy wartość 4. Pierwsze stwierdzenie jest fałszywe. Wykres funkcji przecina oś ox w czterech miejscach, czyli ma cztery miejsca zerowe. Stwierdzenie drugie jest prawdziwe. FP Zadanie 12. Sześciokąt foremny powstaje z 6 trójkątów równobocznych. Punkt k leży na wysokości środka tego sześciokąta, czyli jego odległość od osi poziomej równa się wysokości trójkąta równobocznego. Ponieważ bok trójkąta ma 2 więc wysokość wynosi Punkt A. Zadanie 13. Trójkąt między sześciokątem pierwszym a drugim jest równoboczny o boku 2, więc pierwsza współrzędna punktu M wynosi rzeczywiście 6. Pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe.
Gdy za n we wzorze wstawimy 1 otrzymamy 2, gdy wstawimy 2 otrzymamy 6. Stwierdzenie 2 jest więc prawdziwe PP Zadanie 14. Ponieważ średnia wieku Ani i Pawła wynosi 12, to w sumie Ania z Pawłem maja 24 lata. Gdy dodamy do tego wiek Kasi otrzymujemy 30 lat. Dzieląc przez ilość dzieci, czyli 3 otrzymujemy, że średnia wszystkich dzieci wynosi 10 lat Zadanie 15. Są trzy ścianki z jednym oczkiem; dwie z dwoma oczkami i jedna ścianka z jednym oczkiem. Oznacza to, że na czterech ściankach jest nieparzysta liczba oczek, a na dwóch parzysta. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wypadnie parzysta liczba oczek wynosi Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wypadnie nieparzysta liczba oczek wynosi. Stwierdzenie pierwsze jest więc prawdziwe. Na pięciu ściankach jest liczba oczek mniejsza od pięciu, więc prawdopodobieństwo zdarzenia, że wypadnie liczba oczek mniejsza od trzy wynosi. Stwierdzenie drugie jest więc prawdziwe. PP Zadanie 16. Ponieważ promień łączący środek okręgu z punktem styczności jest prostopadły do stycznej, takim razie kąt SBK jest kątem prostym, czyli trójkąt MKB jest trójkątem prostokątnym o kącie prostym w wierzchołku B. Ponieważ suma kątów w trójkącie wynosi zawsze 180 o, więc kąt AKB = 180 o -(90 o +42 o )=48 o.
Zadanie 17. Trójkąty DBC i FEC są podobne o skali podobieństwa k=2, więc pole mniejszego trójkąta jest cztery razy mniejsze od pola większego trójkąta. Ponieważ pole trójkąta DBC jest połową pola kwadratu ABCD więc pole trójkąta FEC jest równe pola kwadratu ABCD. Stwierdzenie pierwsze jest prawdziwe. Jeżeli pole trójkąta FEC jest pola trójkąta DBC, to zamalowana figura ma pole trzy razy większe od pola trójkąta FE W takim razie czworokąt DBEF stanowi pola kwadratu ABCD. Stwierdzenie drugie jest prawdziwe. PP Zadanie 18. Trójkąt OAB jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnej OA równej ( i przyprostokątnej OB. Równej (. Na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy Odległość punktów A od B wynosi A. Zadanie 19. Niech bok kwadratu ma długość x, wówczas cztery boki ośmiokąta będą miały długości. Zauważmy, że odcięte narożniki są trójkątami prostokątnymi równoramiennymi o przyprostokątnych długości. Przeciwprostokątna będzie więc wynosiła
Cztery pozostałe boki maja więc długość. Nie jest to więc ośmiokąt foremny, bo nie wszystkie boki mają taką samą długość, ale wszystkie kąty wewnętrzne maja taka samą rozwartość. Suma wszystkich kątów ośmiokąta wynosi 1080 0, więc jeden kąt wewnętrzny ma 135 o. Już na rysunku widać, że obwód ośmiokąta jest mniejszy od obwodu kwadratu. Zadanie 20. Popatrz na rysunek
Zadanie 21. Wśród 11 kolejnych liczb jest aż 6 liczb nieparzystych. Tak więc przy wyjątkowym pechu wyciągając 6 piłeczek, można natrafić na wszystkie piłeczki nieparzyste, ale już wśród 7 piłek przynajmniej jedna musi być parzysta. Trzeba wyciągnąć co najmniej 7 piłeczek Zadanie 22. Niech p ilość zajętych przez uczniów przedziałów. Wówczas uczniów było 8p. Gdyby w każdym przedziale siedziało tylko 6 uczniów, to przedziałów było by wówczas 6(p+3). Otrzymujemy równanie 8p=6(p+3) 8p=6p+18 2p=18 p=9 Przedziałów było 9, a uczniów 72. Na wycieczkę pojechało 72 uczniów Zadanie 23. Objętość walca Objętość półkuli Stosunek objętości walca do objętości półkuli wynosi Objętość półkuli jest cztery razy mniejsza niż objętość walca.