EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja dla zdającego Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 8 stron (zadania ) Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym W rozwiązaniach zadań przedstaw tok rozumowania prowadzący do ostatecznego wyniku 4 Pisz czytelnie Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem 5 Nie używaj korektora, a błędne zapisy przekreśl 6 Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie 7 Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, którą możesz uzyskać za jego poprawne rozwiązanie 8 Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora 9 Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datę urodzenia i PESEL Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla egzaminatora Za rozwiązanie wszystkich zadań można otrzymać łącznie 50 punktów Życzymy powodzenia! Wypełnia zdający przed rozpoczęciem pracy PESEL ZDAJĄCEGO KOD ZDAJĄCEGO

Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (4 pkt) Wielomian f, którego fragment wykresu przedstawiono na poniższym rysunku spełnia warunek f (0) = 90 Wielomian g dany jest wzorem g( x) = x 4x + 6x 90 Wykaż, że g( x) = f ( x) dla x R f y -6-5 - 0 x Z rysunku odczytuję miejsca zerowe funkcji f i zapisuję jej wzór w postaci iloczynowej f ( x) = a( x+ 6)( x+ 5)( x+ ) Funkcja spełnia warunek f (0) = 90, czyli a (0 + 6)(0 + 5)(0 + ) = 90 Obliczam współczynnik a: a = i zapisuję wzór funkcji f: f ( x) = ( x+ 6)( x+ 5)( x+ ) Wzór funkcji f zapisuję w postaci: ( ) ( ) ( ) ( ) f x = x + 4 x + 6 x + 90 = = x + 4x 6x+ 90 = = + = f( x) = x + 4x + 6x+ 90 ( ) x 4x 6x 90 g x Zatem f ( x) = g( x) dla x R

Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (4 pkt) Rozwiąż nierówność x + x 6 < x x 6 = x, więc nierówność przyjmuje postać: 4 x < x Rozwiązanie nierówności: W przedziale (,0) ( x ) x x ( ) ( x ) x x ) ( x ) < x x ) 4 < gdy,0 4 < gdy 0, 4 gdy, 8 x> gdy x,0 8 x> gdy x 0, ) 5 8 x< gdy x, ) ( ) nierówność nie ma rozwiązania Rozwiązaniem nierówności w przedziale 0, ) są liczby rzeczywiste należące do przedziału 8, 5, natomiast rozwiązaniem nierówności w przedziale, ) są liczby rzeczywiste należące do przedziału 8, Rozwiązaniem nierówności x + x 6 < x, jest więc przedział 8 8, 5

4 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (5 pkt) Liczby x = 5+ i 5 z niewiadomą x Oblicz wartości p i q x = są rozwiązaniami równania x ( p q ) x ( p q) + + + = 0 Zapisuję równanie kwadratowe w postaci iloczynowej: ( x ) ( x ) 5 5+ = 0 przekształcam je do postaci ogólnej ( x 5) = 0 x 0x + = 0 Porównuję odpowiednie współczynniki obu postaci równania i stwierdzam, że muszą być spełnione równocześnie dwa warunki: p + q = 0 i p + q = p + q = 0 Rozwiązuję układ równań p+ q= Dokonuję podstawienia: q= p i otrzymuję równanie kwadratowe z jedną niewiadomą: p p = 0 Rozwiązaniem tego równania kwadratowego są liczby: p = lub p = Obliczam wartości q w zależności od p: Dla p =, q =, natomiast dla p =, q =

Egzamin maturalny z matematyki 5 Zadanie 4 (4 pkt) Rozwiąż równanie 4cos x = 4sinx + w przedziale 0, π Przekształcam równanie: ( x) 4 sin = 4sin x + 4sin x + 4sinx = 0 Wprowadzam pomocniczą niewiadomą sin x = t i t,, i zapisuję równanie 4t 4t 0 + = Rozwiązaniem tego równania są liczby: t = lub t =, t, Powracam do podstawienia i otrzymuję: Rozwiązuję równanie sin x = sin x = w przedziale 0,π : π x = lub 6 5π x = 6

6 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 5 (5 pkt) Dane jest równanie + = p z niewiadomą x Wyznacz liczbę rozwiązań tego równania x w zależności od parametru p Szkicuję wykres funkcji ( ) f x = + dla x 0 x y 0 9 8 7 6 5 4-8 -7-6 -5-4 - - - 4 5 6 7 8 x - - - Z wykresu odczytuję liczbę rozwiązań równania + = p w zależności od x parametru p: dla p < 0 równanie nie ma rozwiązania, dla p = 0 lub p = równanie ma jedno rozwiązanie, dla 0< p < lub p > równanie ma dwa rozwiązania

Egzamin maturalny z matematyki 7 Zadanie 6 ( pkt) Udowodnij, że jeżeli ciąg ( a, b, c ) jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny, to a = b= c Stosuję związki między sąsiednimi wyrazami ciągów arytmetycznego i geometrycznego do zbudowania układu równań: a+ c = b a c= b Podstawiam do drugiego równania w miejsce b wyrażenie a+ c równanie: ac = Wykonuję równoważne przekształcenia: 4ac = a + ac + c a ac+ c = 0 ( a c) 0 Korzystając z równości a =, a stąd otrzymuję równość a= c a+ c i otrzymuję = c i z pierwszego równania układu otrzymuję: c = b, stąd otrzymuję równość c= b Ponieważ zachodzi a = c i b = c, więc a = b = c, co należało udowodnić

8 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 7 (4 pkt) Uzasadnij, że każdy punkt paraboli o równaniu y = x + jest równoodległy od osi Ox i od 4 punktu F = (0, ) y P= x, x + 4 F = ( 0,) 0 Px = ( x,0) x Wybieram dowolny punkt P leżący na paraboli i oznaczam jego współrzędne w zależności od jednej zmiennej P= x, x + 4 Punkt Px = ( x,0) jest rzutem punktu P na oś Ox Odległość punktu P od osi Ox jest równa PPx = x + 4 x + > 0 dla każdego x R 4, więc PPx = x + = x + 4 4 Wyznaczam odległość punktu P od punktu F: PF x x 4 = + + PF x x 6 4 = + + Zatem PPx = PF PF = x + = x + = x + 4 4 4

Egzamin maturalny z matematyki 9 Zadanie 8 (4 pkt) Wyznacz współrzędne środka jednokładności, w której obrazem okręgu o równaniu ( ) x 6 + y = 4 jest okrąg o równaniu ( x 6) + ( y 4) = 6, a skala tej jednokładności jest liczbą ujemną Środkiem okręgu ( ) x 6 + y = 4 jest punkt ( ) S = 6, 0, a promień r = Środkiem okręgu ( x 6) + ( y 4) = 6 jest punkt ( ) y S = 6, 4, a promień r = 4 0 9 8 7 6 5 4 S S x 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 S - - - -4-5 -6 Na płaszczyźnie każde dwa okręgi są jednokładne W tym przypadku stosunek długości promieni danych okręgów jest równy, więc szukam punktu = ( x, y), który jest środkiem jednokładności o skali ( ) S Z własności jednokładności wynika równanie: SS = SS, SS = [ 6 x,4 y], SS = [ 6 x, y] [ 6 x,4 y] = [ 6 x, y] [ 6 x,4 y] = [ + x,y]

0 Egzamin maturalny z matematyki Obliczam odciętą punktu S: 6 x = + x, stąd Obliczam rzędną punktu S: 4 y= y, stąd Odp Środkiem jednokładności jest punkt 4 y = 8 x = 8 4 S =,

Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 9 (4 pkt) Wyznacz dziedzinę i najmniejszą wartość funkcji f ( x) log ( 8x x ) = Korzystam z faktu, że funkcja logarytmiczna dla podstawy równej jest malejąca Oznacza to, że funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość dla największego argumentu Wyznaczam dziedzinę funkcji f: Wyrażenie 8x x x > 8 0 ( x) x 8 > 0 x ( 0, 8) x osiąga największą wartość dla 4 x = i jest ona równa 6 Najmniejszą wartością funkcji f ( x) = log ( 8x x ) jest liczba ( ) log 6 Obliczam wartość funkcji f dla argumentu 6, korzystając z definicji logarytmu: ( ) log 6 = y = 6 y y = 4 y = 4, więc y = 8 Odpowiedź: Liczba ( 8) jest najmniejszą wartością funkcji f

Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 0 (4 pkt) Z pewnej grupy osób, w której jest dwa razy więcej mężczyzn niż kobiet, wybrano losowo dwuosobową delegację Prawdopodobieństwo tego, że w delegacji znajdą się tylko kobiety jest równe 0, Oblicz, ile kobiet i ilu mężczyzn jest w tej grupie Oznaczam: n liczba kobiet, n liczba mężczyzn i n Zdarzeniem elementarnym jest każdy dwuelementowy podzbiór zbioru n - elementowego Wyznaczam moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych Ω: ( ) n n n Ω= = A zdarzenie polegające na tym, że w delegacji znajdują się tylko kobiety Wyznaczam liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzenia A: ( ) n nn A = = Obliczam prawdopodobieństwo zdarzenia A: ( ) P A ( ) nn n = = n n n ( ) ( ) Zapisuję równanie wynikające z warunków zadania : n = 0 ( n ) 0n 0 = 9n n = 7 Odpowiedź: W grupie jest 7 kobiet i 4 mężczyzn

Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (5 pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym dane są: H wysokość ostrosłupa oraz α miara kąta utworzonego przez krawędź boczną i krawędź podstawy ( 45 < α < 90 ) 4 H a) Wykaż, że objętość V tego ostrosłupa jest równa tg α b) Oblicz miarę kąta α, dla której objętość V danego ostrosłupa jest równa 9 H Wynik podaj w zaokrągleniu do całkowitej liczby stopni S H h D O α E C A a B Wprowadzam oznaczenia: a długość krawędzi podstawy ostrosłupa, h wysokość ściany bocznej ostrosłupa h a a) Z trójkąta prostokątnego BES wyznaczam h: = tgα, stąd h = tgα a Stosuję twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym SOE i otrzymuję: H a + = h a Podstawiam wyrażenie tgα w miejsce h, otrzymuję a a H + = tgα

4 Egzamin maturalny z matematyki Wyznaczam a : H a a a + = tg α, H = ( tg α ), 4 4 4 a = 4H tg α Obliczam objętość ostrosłupa: podstawiam do wzoru V = a H wyznaczoną wartość a = 4H ; tg α V 4H 4 H = H = tg α tg α co należało wykazać b) Zapisuję równanie: 4 H H = 9 tg α 9 Mnożę obie jego strony przez H 6 i otrzymuję równanie: = tg α Stąd tg α = 7 czyli tgα = 7 (odrzucam równość tgα = 7, bo α jest kątem ostrym) 7,6458 Z tablic funkcji trygonometrycznych odczytuję szukaną miarę kąta α : α = 69

Egzamin maturalny z matematyki 5 Zadanie (4 pkt) W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości: BC = 9, CA = Na boku AB wybrano punkt D tak, że odcinki BC i CD mają równe długości Oblicz długość odcinka AD B E D C A Rysuję wysokość CE poprowadzoną z wierzchołka C trójkąta ABC Jest ona jednocześnie wysokością trójkąta równoramiennego BCD, co oznacza, że BE = DE Trójkąt BEC jest podobny do trójkąta ABC (oba trójkąty są prostokątne, kąt EBC jest ich kątem wspólnym) Z podobieństwa trójkątów wynika proporcja BE BC = BC AB Obliczam długość odcinka AB: AB = 9 + = 5 i korzystając z wyznaczonej proporcji obliczam długość odcinka BE: BE BC 7 = = AB 5 Wyznaczam długość odcinka AD: Odpowiedź: Odcinek AD ma długość równą 7 AD = 5 = = 4 5 5 5 4 5

6 Egzamin maturalny z matematyki BRUDNOPIS