II Matematyka 2 stopnia( 3W). Modele i podstawy matematyki. Janusz Czelakowski. Wykład 1. Języki pierwszego rzędu i modele

II Matematyka 2 stopnia( 3W). Modele i podstawy matematyki Janusz Czelakowski Wykład 1. Języki pierwszego rzędu i modele Czy moŝna odkryć wszystkie prawa arytmetyki, tzn. wszystkie zdania prawdziwe dotyczące liczb naturalnych?. Podobne pytania moŝemy stawiać myśląc o liczbach rzeczywistych, zespolonych, czy jakimkolwiek innym godnym uwagi obiekcie matematycznym. Od razu nasuwa się tu uwaga pytania formułujemy w określonym języku. Język ten posiada określony słownik i strukturę gramatyczną. Język zmienia się, jest płynny, jak np. język chemii. Podobnie jest z językiem matematyki. Formułujemy w nim twierdzenia i dowody oraz definiujemy nowe pojęcia. Z punktu widzenia matematyka (jak i przedstawiciela kaŝdej innej dyscypliny naukowej) istotna jest perspektywa językowa, w której lokujemy przedmiot badań. Specyfiką matematyki jest to, Ŝe przedmiot ten nie jest odseparowany od języka. Jest on określony w takim stopniu, w jakim określony jest język i przyjęta w tym języku teoria. Np. zbiór liczb rzeczywistych z jego strukturą porządkową, topologiczną i algebraiczną nie jest tym samym przedmiotem z punktu widzenia róŝnych teorii mnogości, mimo, Ŝe z perspektywy jakiejkolwiek ustalonej, dostatecznie bogatej teoria mnogości istnieje tylko jeden, z dokładnością do izomorfizmu, zbiór liczb rzeczywistych wyposaŝony w znaną strukturę porządkowo-algebraiczną. Z punktu widzenia teorii Zermelo-Fraenkla ZF z dołączonym aksjomatem wyboru, odcinek [0, 1] zbioru liczb rzeczywistych posiada podzbiory niemierzalne w sensie Lebesgue a, tzw. zbiory Vitaliego. Natomiast z perspektywy teorii ZF z przyjętym aksjomatem determinacji, kaŝdy podzbiór odcinka [0, 1] jest mierzalny. Zasób leksykalny, składnia języka determinują sposób opisu pola badawczego, po którym się poruszamy, ale teŝ narzucają oczywiste ograniczenia nie moŝna wyjść poza określony język w rozpoznaniu, opisie i identyfikacji przedmiotu, który pragniemy badać. Przedmiot matematyczny staje się poprzez język. Języki NajwaŜniejszy dla matematyki jest zbiór liczb naturalnych: 0, 1, 2, W najprostszej perspektywie językowej, z jakiej ujmujemy zbiór liczb naturalnych, do opisu liczb naturalnych potrzebujemy pewnych symboli, takich jak: symbol operacji dodawania + symbol operacji mnoŝenia symbol operacji następnika S symbol stałej 0, oznaczający liczbę zero (Liczby naturalne liczymy od zera.) Jest to język ubogi, ale absolutnie centralny. Rzecz jasna, matematyka bada liczby naturalne z punktu widzenia duŝo bardziej zaawansowanych języków i teorii - takich jak teoria mnogości, analiza matematyczna, geometria algebraiczna itd. Współczesna teoria liczb dostarcza tu bardzo obszernego materiału do przemyśleń. 1

Odkrywamy coraz to nowe fakty tyczące liczb naturalnych. W pierwszej połowie lat 90-tych Andrew Wiles udowodnił tzw. Wielkie Twierdzenie Fermata: Równanie x n + y n z n nie posiada rozwiązań w dodatnich liczbach naturalnych dla kaŝdego n 3. Dowód jest trudny i odwołuje się do zaawansowanych technik i dyscyplin matematycznych, mimo, Ŝe samo twierdzenie jest wysłowione w prostym języku. Pytanie jednak pozostaje czy dojdziemy do kresu, czy odkryjemy wszystkie fakty dotyczące liczb naturalnych, tj. wszystkie zdania prawdziwe (z jakiegokolwiek sensownego języka) prawdziwe w dziedzinie liczb naturalnych? Kwestiom tym będą poświecone najbliŝsze wykłady. W polu widzenia mieć będziemy twierdzenia Gödla o niezupełności i niesprzeczności arytmetyki oraz twierdzenie Goodsteina. Język jest zbiorem symboli, który oznaczamy literą L. W najprostszym przypadku języków, przyjmuje się, Ŝe ich symbole dzielą się na trzy kategorie: symbole relacyjne (inaczej symbole predykatów), symbole funkcyjne (inaczej symbole operacji), symbole stałych indywiduowych (krótko: symbole stałych). Symbole relacyjne języka oznaczamy duŝą literą P dodając ewentualnie indeksy. Symbole relacyjne są nazwami relacji. Symbole funkcyjne oznaczamy duŝą literą F wprowadzając indeksy w razie potrzeby. Analogicznie, kaŝdy symbol funkcyjny jest nazwą działania na zbiorze. Stałe oznaczamy literą c ewentualnie z indeksami. Symbole stałych są nazwami określonych elementów z uniwersów modeli. Z kaŝdym symbolem relacyjnym P związana jest pewna liczba naturalna n 1, zwana arnością symbolu P, lub teŝ liczbą jego argumentów. JeŜeli P jest n-arny, to oznacza on zawsze n-argumentowa relację. Podobnie, z kaŝdym symbolem fumkcyjnym F jest stowarzyszona pewna liczba m 0, zwana arnością symbolu F. m zaleŝy od F. KaŜdy m-arny symbol funkcyjny F oznacza (denotuje) m argumentową operację (działanie) na zbiorach. Przyjmuje się, Ŝe arność symboli stałych wynosi 0; są to symbole nullarne. Arność symbolu zwana jest teŝ argumentowością lub liczbą jego argumentów. Symbole stałych traktuje się jako nullarne symbole funkcyjne. Symbole stałych pełnia rolę nazw własnych, tj, oznaczają one ustalone elementy zbioru. Np. symbol π jest nazwą pewnego elementu w zbiorze liczb rzeczywistych liczby pi. Przyjmuje się, Ŝe kaŝdej liczbie naturalnej n jest przyporządkowany zbiór n-arnych symboli funkcyjnych języka L. Zbiory te są parami rozłączne i niektóre z nich lub wszystkie mogą być puste. Podobnie, kaŝdej dodatniej liczbie naturalnej n jest przyporządkowany zbiór n-arnych predykatów. Zakłada się jak wyŝej, Ŝe zbiory te są parami rozłączne i niektóre z nich lub wszystkie mogą być puste. JeŜeli język L jest skończony (jako zbiór), to piszemy L = {P 0, P 1,, P m, F 0, F 1,, F n, c 0, c 1,, c q }. Zajmując się jednocześnie kilkoma językami, uŝywać będziemy liter L, L, L itd. 2

JeŜeli symbole języka są standardowe, takie jak + (dodawanie), (częściowy porządek), (mnoŝenie), (odejmowanie), czy 0 (zero), to piszemy L = { }, L = {, +,, 0}, L = {, +,,, 0}. Arność poszczególnych symboli z powyŝszych list pokrywa się ze standardową, przyjętą w powszechnym uŝyciu. Np. arność + oraz wynosi 2. Mówimy, Ŝe + i są symbolami binarnymi. Symbol jest unarny, jeŝeli jego arność wynosi 1. Symbol jest tertiarny, gdy jego arność równa się 3. Moc (albo: kardynalność) języka L, to moc języka jako zbioru. Oznaczamy ją przez L. Język jest skończony, jeŝeli jego moc jest skończona, tzn. posiada on skończenie wiele elementów. Język L jest przeliczalny (odp. nieprzeliczalny), gdy moc L jest przeliczalną (odp. nieprzeliczalną) liczbą kardynalną. Z danego języka L moŝna przejść do innego, bogatszego języka L, posiadającego więcej symboli niŝ L. Język L jest zatem podzbiorem L. Stosujemy standardową notację L L i mówimy, Ŝe L jest rozszerzeniem (lub ekspansją) języka L. Język L zwie się wtedy redukcją (lub ograniczeniem) języka L. Piszemy L = L X, gdy L jest rozszerzeniem L i X jest nowym zbiorem symboli (dowolnych kategorii) dołączonych do L. Język L jest prostym rozszerzeniem języka L, gdy L róŝni się od L jedynie zbiorem symboli stałych, tj. L oraz L maja te same symbole relacyjne i funkcyjne, natomiast L posiada więcej symboli stałych. Modele Modelem dla języka L jest para (1) A = A; I, gdzie A jest niepustym zbiorem, zwanym uniwersum (lub nośnikiem) modelu, natomiast I jest funkcją, zwaną interpretacją języka L. Dziedziną funkcji I jest język L. Ponadto I posiada następujące własności: jeŝeli P jest n-arnym symbolem relacyjnym, to wartość I (P) jest n-argumentową relacją określoną na uniwersum A, tj. I (P) A n (= A A A; A n razy); jeŝeli F jest m-arnym symbolem funkcyjnym, to wartość I (F) jest n-argumentową funkcją (operacją) na A o wartościach w A, tj. I (F) : A n A.; jeŝeli c jest symbolem stałej, to I (c) jest ustalonym elementem zbioru A, tj. I (c) A. Innymi słowy, w dowolnym modelu (1), kaŝdemu n-arnemu symbolowi relacyjnemu P odpowiada n-argumentowa relacja na A, kaŝdemu m-arnemu symbolowi funkcyjnemu F odpowiada n-argumentowa operacja na A, a kaŝdemu symbolowi stałej odpowiada pewien element uniwersum. Odpowiedniość tę ustala interpretacja I. Nie zakłada się, Ŝe I jest róŝnowartościowa. JeŜeli język L jest skończony, L = {P 0, P 1,, P m, F 0, F 1,, F n, c 0, c 1,, c r } oraz 3

R 0 = I (P 0 ),, R m = I (P m ), G 0 = I (F 0 ),, G n = I (F n ), a 0 = I (c 0 ),, a r = I (c r ), to model (1) zapisujemy teŝ (2) A = A; R 0,, R m ; G 0,, G n ; a 0,, a r, opuszczając literę I. Modele będziemy oznaczać literami A, B, C itd., stosując ewentualnie dodatkowe indeksy. ZałóŜmy, Ŝe A = A; I i B = B; J są modelami dla języka L. KaŜdy z nich jest wyposaŝony w zbiory relacji, operacji i stałych. JeŜeli relacja R w modelu A oraz relacja Q w B są interpretacjami tego samego symbolu predykatu, to mówimy, Ŝe relacja R w A odpowiada relacji Q w B. Znaczy to, Ŝe R = I (P) oraz Q = J (P) dla pewnego symbolu relacyjnego P. Odpowiadające sobie relacje maja tę samą arność. Podobną umowę rozszerzamy na symbole funkcyjne i stałe. Gdy mowa o kilku modelach dla języka jednocześnie, powiedzmy A i B, dogodna jest niekiedy inna notacja. Interpretacje danego symbolu relacyjnego P w A i B zapisuje się odpowiednio jako P A oraz P B. (Zatem relacji P A w modelu A odpowiada relacji P B w B.) Podobna notację przyjmuje się dla symboli pozostałych kategorii. JeŜeli model A ma postać (2), to zapisuje się go wtedy jako (3) A = A; P 0 A,, P m A ; F 0 A,, F n A ; c 0 A,, c r A, a odpowiadający mu model B jako B = B; P 0 B,, P m B ; F 0 B,, F n B ; c 0 B,, c r B. NaleŜy podkreślić, Ŝe na danym niepustym zbiorze A poszczególne symbole języka moŝna interpretować na wiele sposobów. W efekcie język L dopuszcza szereg interpretacji I, I, I itd. w tym samym uniwersum A. Otrzymuje się w ten sposób róŝne modele dla L, tj. A = A; I, A = A; I, A = A; I, itd. o identycznym nośniku A; róŝnią się one jedynie interpretacjami. Niech A = A; I będzie modelem dla L i niech L = L X będzie rozszerzeniem języka L. (Zakładamy oczywiście, Ŝe zbiór symboli X jest rozłączny z L.) Model A moŝna rozszerzyć do modelu języka L poprzez zadanie stosownej interpretacji dla kaŝdego symbolu z X w uniwersum A. (Symbole z L są interpretowane zgodnie z I.) JeŜeli zatem J jest dowolną interpretacją symboli z X, to zbiór I := I J jest interpretacją dla języka L. W efekcie para A := A; I jest modelem dla L. Mówimy wtedy, Ŝe model A jest rozszerzeniem (ekspansją) modelu A do L, natomiast A jest redukcją modelu A do L. Model A zwany jest teŝ fragmentem modelu A. Proces tworzenia rozszerzeń i redukcji nie zmienia uniwersum modelu; zasadniczo wpływa jednak na własności wyjściowego modelu. 4

Rozszerzenie L = L X języka jest proste, gdy X jest zbiorem symboli stałych i nie zawiera symboli innych kategorii. Mówiąc krótko, rozszerzenie proste powstaje przez dołączenie nazw przedmiotów. Mocą (lub kardynalnością) modelu A = A; I jest liczba kardynalna A (= moc uniwersum). Model A jest skończony, przeliczalny, albo nieprzeliczalny, gdy jego moc jest liczba skończoną, przeliczalną, albo nieprzeliczalną. Na skończonym zbiorze A istnieje skończenie wiele relacji i operacji o ustalonej arności. Ponadto jest, co najwyŝej A stałych. Uwagi terminologiczne Fragment dowolnego modelu A zawierający jedynie interpretacje symboli funkcyjnych i stałych z języka L (z pominięciem interpretacji predykatów) nazywamy algebrą modelu A i oznaczamy przez Alg(A). Ogólnie, jeŝeli język L nie zawiera symboli predykatów (a tylko symbole funkcyjne i symbole stałych), to modele dla L nazywamy algebrami w sensie ogólnym JeŜeli język L nie zawiera symboli funkcyjnych, a jedynie predykaty i stałe), to modele dla L nazywamy systemami relacyjnymi. W tym przypadku, jeŝeli to kaŝdy model dla L ma postać L = {P 0, P 1,, P m, c 0, c 1,, c r }, A = A; R 0,, R m ; a 0,, a r,. gdzie R 0,, R m są relacjami i stałymi a 0,, a r, stanowiącymi interpretację języka. W szczególności, jeŝeli język L jest pusty, to modelami dla języka L są wszystkie zbiory niepuste, bez wyróŝnionych relacji, operacji i stałych. Podstawowe własności modeli Modele A = A; I, A = A ; I są izomorficzne, gdy istnieje bijekcja f : A A taka, Ŝe (1) dla kaŝdej n-argumentowej relacji R z A i odpowiadającej jej relacji R z A, R (a 1,, a n ) w A R (f (a 1),, f (a n )) w A, dla dowolnych a 1,, a n A; (2) dla kaŝdej m-argumentowej operacji G z A i odpowiadającej jej relacji G z A, f (G(a 1,, a m )) = G (f (a 1),, f (a m )) dla dowolnych a 1,, a m A; (3) dla kaŝdej stałej c z A i odpowiadającej jej stałej c z A, f (c) = c. 5

KaŜda funkcja f spełniająca powyŝsze 3 warunki, o ile istnieje, nazywa się izomorfizmem modeli A i A. Piszemy gdy f jest izomorfizmem oraz gdy model A jest izomorficzny z A. Zatem f : A A, A A, A A df ( f ) f : A A. ZauwaŜmy, Ŝe relacja zachowuje moce uniwersów modeli, tj. jeŝeli A A, to A = A. A = A ; I nazywamy podmodelem modelu A = A; I, gdy A A oraz wartości interpretacji I są ograniczeniami do zbioru A odpowiadających wartości interpretacji I, tj. (i) (ii) (iii) kaŝda n-argumentowa relacja R w A jest ograniczeniem do A odpowiadającej jej relacji R z A, tzn. R = R (A ) n ; kaŝda m-argumentowa operacja G w A jest ograniczeniem do A odpowiadającej jej operacji G z A, tzn. G = G (A ) m ; kaŝda stała w A jest identyczna z odpowiadającą jej stałą z A; w efekcie A i A maja dokładnie te same stałe. Piszemy A A, gdy A jest podmodelem modelu A. Model A nazywamy wtedy nadmodelem modelu A. A jest zatem podmodelem A wtedy i tylko wtedy, gdy Alg(A ) jest podalgebrą algebry Alg(A ) oraz relacje w modelu A są ograniczeniami (do A ) odpowiadających im relacji z A. jest relacją częściowego porządku na modelach dla L. Ponadto A A implikuje A A. Powiemy, Ŝe model A jest izomorficznie zanurzony w modelu B, gdy A jest izomorficzny z podmodelem modelu B, tj. istnieje podmodel C B oraz izomorfizm f : A C. Funkcję f nazywamy wtedy izomorficznym zanurzeniem modelu A w model B. Zapis A B znaczy, Ŝe model A zanurza się izomorficznie w model B, tj. A B df ( C)( f) C B f : A C. 6

Wykład 2. Formalizacja języka Niech L będzie dowolnym językiem. Zdefiniujemy dwa zbiory: zbiór termów Te(L) i zbiór formuł zdaniowych For(L) języka L. Definiując te zbiory, dokonujemy formalizacji języka L. Z uwagi na sposób, w jaki definiujemy zbiór formuł, mówimy o formalizacji pierwszego rzędu języka L. W logice definiuje się teŝ formalizacje drugiego rzędu i rzędów wyŝszych. Nie będziemy ich tu omawiać. UŜywa się często terminu język pierwszego rzędu. Jest on wygodnym skrótem przyjętym na oznaczenie omówionej niŝej formalizacji. Potrzebne będą dwa dodatkowe zbiory symboli: zbiór symboli logicznych oraz zbiór symboli pomocniczych. Zbiór symboli pomocniczych obejmuje: nawiasy: ), ( (prawy i lewy nawias) zmienne indywiduowe: v 0, v 1,, v n, Zmiennych indywiduowych jest nieskończenie, lecz przeliczalnie duŝo. Var jest zbiorem wszystkich zmiennych indywiduowych języka L. PowyŜszy porządek, w jakim zapisano zmienne ze zbioru Var nazywamy porządkiem alfabetycznym zmiennych. Zbiór symboli logicznych obejmuje: spójniki logiczne: (koniunkcja), (negacja) kwantyfikator ogólny: (dla wszystkich) binarny predykat równości:. Zakładamy, Ŝe symbole języka L nie występują na powyŝszej liście, tzn. zbiór L jest rozłączny ze zbiorem symboli pomocniczych oraz zbiorem symboli logicznych. Definiujemy rekurencyjnie zbiór termów Te(L) języka L. Termy są pewnymi skończonymi ciągami symboli. Przyjmujemy, Ŝe: Definicja 2.1. (i) (ii) (iii) (iv) KaŜda zmienna indywiduowa jest termem. KaŜdy symbol stałej jest termem. JeŜeli F jest m-argumentowym symbolem funkcyjnym z L oraz t 1,, t m sa termami, to ciąg F(t 1 t m ) jest termem. śaden inny ciąg symboli nie jest termem. Zatem ciąg symboli jest termem, gdy moŝna go otrzymać stosując skończoną liczbę razy warunki (i) (iii). W drugim kroku definiujemy atomowe formuły zdaniowe języka L. Przyjmujemy, Ŝe: 7

Definicja 2.2. (i) (ii) L. JeŜeli s i t są termami, to ciąg s t jest formułą atomową. JeŜeli P jest n-argumentowym symbolem relacyjnym oraz t 1,, t n są termami, to ciąg P(t 1 t n ) jest formuła atomową. AFor(L) oznacza zbiór formuł atomowych języka L. W ostatnim, trzecim kroku definiujemy formuły zdaniowe (pierwszego rzędu) języka Definicja 2.3. (i) (ii) (iii) (iv) (v) KaŜda formuła atomowa jest formułą zdaniową. JeŜeli ϕ i ψ są formułami, to ciąg (ϕ ψ ) jest formułą. JeŜeli ϕ jest formułą, to ciąg ( ϕ ) jest formułą. JeŜeli x jest dowolną zmienną indywiduową i ϕ jest formułą, to ciąg (( x)ϕ) jest formułą. śaden inny ciąg symboli nie jest formułą zdaniową. KaŜdą formułę języka L moŝna zatem otrzymać stosując skończoną liczbę razy warunki (i) (iv). For(L) oznacza zbiór formuł języka L. PowyŜsze definicje zbiorów Te(L) i For(L) są równowaŝne następującym. Zbiór termów języka L jest najmniejszym zbiorem T zawierającym wszystkie stałe języka L i wszystkie zmienne indywiduowe takim, Ŝe dla kaŝdego m-argumentowego symbolu funkcyjnego F i dowolnych t 1,, t m T, ciąg F(t 1 t m ) naleŝy do T. Podobnie, zbiór formuł zdaniowych jest najmniejszym zbiorem Σ zawierającym wszystkie formuły atomowe takim, Ŝe jeŝeli ϕ, ψ Σ i x jest dowolną zmienną indywiduową, to wyraŝenia (ϕ ψ ), ( ϕ ) oraz ( x)ϕ naleŝą do Σ. Formułę ( x)ϕ czytamy: Dla kaŝdego x zachodzi ϕ. Przyjmujemy, Ŝe litery s i t (ewentualnie zaopatrzone w indeksy) przebiegają zbiór termów, natomiast litery ϕ i ψ (ewentualnie z indeksami) przebiegają zbiór formuł zdaniowych. Uwaga. MoŜna wykazać, Ŝe dla dowolnego przeliczalnego języka L, zbiory Te(L) i For(L) są językami bezkontekstowymi w sensie formalnej lingwistyki. Przyjmujemy pewne umowy i skróty. Opuszczać będziemy nawiasy, gdy nie prowadzi to do utraty czytelności. W szczególności, formuły (ϕ ψ ), ( ϕ ) oraz (( x)ϕ) będziemy zapisywać krócej bez nawiasów zewnętrznych jako ϕ ψ, ϕ i ( x)ϕ. Ponadto, 8

opuszczając nawiasy, stosować będziemy standardowe konwencje dotyczące siły wiązanie przez poszczególne spójniki, zarówno pierwotne,, jak i określone definicyjnie poniŝej. (ϕ ψ ) jest skrótem dla formuły ( (( ϕ ) ( ψ))). (ϕ ψ ) jest skrótem dla formuły (( ϕ ) ψ). (ϕ ψ ) jest skrótem dla formuły ((ϕ ψ ) (ψ ϕ)). Kwantyfikator egzystencjalny (mały kwantyfikator) jest wprowadzany definicyjnie. Przyjmujemy, Ŝe (( x)ϕ) jest skrótem dla formuły ( ( x)( ϕ)). ( x)ϕ czytamy: Istnieje x takie, Ŝe ϕ. (Jak zwykle, opuszczamy tu nawiasy zewnętrzne.) Definiujemy ponadto rekurencyjnie następujące skróty: ϕ 1 ϕ 2 ϕ n jest formułą (ϕ 1 (ϕ 2 ϕ n)), n 2, ϕ 1 ϕ 2 ϕ n jest formułą (ϕ 1 (ϕ 2 ϕ n)), n 2, ( x 1 x 2 x n)ϕ jest formułą ( x 1 )( x 2 ) ( x n)ϕ n 1, ( x 1 x 2 x n)ϕ jest formułą ( x 1 )( x 2 ) ( x n)ϕ n 1. Przykłady 1 JeŜeli język jest zbiorem pustym, L =, zbiór termów pokrywa się ze zbiorem zmiennych indywiduowych, tj. Te( ) = {v n : n = 0,1, }. Zbiór formuł atomowych AFor( ) pokrywa się ze zbiorem równości v m v n, gdzie m, n przebiegają liczby naturalne. Formuły zdaniowe powstają zatem z równości v m v n poprzez stosowanie warunków (ii) (iv) Definicji 3. Zbiór For( ) nazywamy zbiorem czystych formuł dla równości. Formuły te naleŝą do zbioru formuł kaŝdego języka L. 2 Niech L = {+,, S, 0}, gdzie + oraz są binarnymi symbolami funkcyjnymi (symbolami dodawania i mnoŝenia), S jest unarnym symbolem funkcyjnym (symbol operacji następnika), natomiast 0 jest symbolem stałej (cyfrą zero). L nazywamy językiem arytmetyki. Zbiór termów Te(L) jest zatem najmniejszym zbiorem skończonych ciągów symboli z L o własnościach: (i) kaŝda zmienna indywiduowa jest termem, (ii) zero 0 jest termem, (iii) jeŝeli s i t są termami, to ciągi + (s t) oraz (s t) są termami, (iv) jeŝeli t jest termem, to S (t) jest termem. Termy języka L nazywa się teŝ wyraŝeniami arytmetycznymi. Zgodnie z ustaloną od lat tradycją, termy + (s t) oraz (s t) zapisuje się zazwyczaj jako (s + t) oraz (s t), umieszczając symbol operacji pomiędzy symbolami argumentów. Formułami atomowymi języka L są ciągi postaci s t, gdzie s i t są termami. 9

Zbiór formuł For(L) arytmetyki jest zatem najmniejszym zbiorem skończonych ciagów symboli o własnościach: (a) (b) (c) (d) jeŝeli s i t są termami, to s t jest formułą, jeŝeli ϕ i ψ są formułami, to ciąg (ϕ ψ ) jest formułą, jeŝeli ϕ jest formułą, to ciąg ( ϕ ) jest formułą, jeŝeli x jest dowolną zmienną indywiduową i ϕ jest formułą, to ciąg (( x)ϕ) jest formułą. For(L) nazywamy zbiorem formuł arytmetycznych pierwszego rzędu. Elementy zbioru For(L) nazywa się teŝ elementarnymi formułami arytmetyki. Termy 0, S0, SS0, SSS0 itd. nazywamy liczebnikami (opuszczamy tu nawiasy). Liczebniki pełnią rolę nazw kolejnych liczb naturalnych. Twierdzenie 2.4. Dla kaŝdego języka L, For(L) = א) max 0, L ). Wynika z powyŝszego, Ŝe jeŝeli język L jest przeliczalny, to zbiór formuł For(L) jest przeliczalny, lecz nieskończony. Przydatne pojęcia Niech L będzie językiem. Var(t) jest zbiorem zmiennych indywiduowych występujących w termie t. Zbiory Var(t), t Te(L) są zdefiniowane rekurencyjnie. (v1) JeŜeli t jest zmienną indywiduową x, to Var(t) = {x}. (v2) JeŜeli t jest symbolem stałej, to Var(t) =. (v3) JeŜeli t jest postaci F(t 1 t m ), to Var(t) = Var(t 1) Var(t m). Var(t) jest skończonym zbiorem zmiennych indywiduowych, dla kaŝdego t Te(L). Definiujemy pojęcie podformuły formuły zdaniowej. Zbiór podformuł Subfor(σ ) formuły zdaniowej σ jest zdefiniowany przez rekursję względem długości formuły σ: (s1) JeŜeli σ jest formułą atomową, to Subfor(σ ) = {σ }, (s2) JeŜeli σ jest formułą ϕ ψ, to Subfor(σ ) = Subfor(ϕ ) Subfor(ψ ) {σ }, (s3) JeŜeli σ jest formułą ϕ, to Subfor(σ ) = Subfor(ϕ ) {σ }, (s4) JeŜeli σ jest formułą ( x)ϕ, to Subfor(σ ) = Subfor(ϕ ) {σ }. Subfor(σ ) jest, dla kaŝdej formuły σ, skończonym podzbiorem zbioru For(L). 10

Niech L = {+, 1}, gdzie + jest binarnym symbolem funkcyjnym, a 1 stałą. Niech σ będzie formułą (1) x 1 ( x)( x y + 1). Mamy: Subfor(σ ) = {x 1, x y + 1, ( x)( x y + 1), σ}. Definiujemy pojęcia wolnego i związanego występowania zmiennej indywiduowej w formule. W tym celu definiujemy najpierw zbiory wolnych zmiennych indywiduowych FreeVar(σ ) i związanych zmiennych BoundVar(σ) występujących w formule σ. (fb1) JeŜeli σ jest formułą atomową postaci s t, to FreeVar(σ ) = Var(s ) Var(t ) oraz BoundVar(σ ) =. (fb2) JeŜeli σ jest formułą atomową postaci P(t 1 t n ), to FreeVar(σ ) = Var(t 1 ) Var(t n) oraz BoundVar(σ ) =. (fb3) JeŜeli σ jest formułą ϕ ψ, to FreeVar(σ ) = FreeVar(ϕ ) FreeVar(ψ ) oraz BoundVar(σ ) = BoundVar(ϕ ) BoundVar(ψ ).. (fb4) JeŜeli σ jest formułą ϕ, to FreeVar(σ ) = FreeVar(ϕ ) oraz BoundVar(σ ) = BoundVar(ϕ ). (fb5) JeŜeli σ jest formułą ( x)ϕ, to FreeVar(σ ) = FreeVar(ϕ ) {x} oraz BoundVar(σ ) = BoundVar(ϕ ) {x}. Zbiory FreeVar(σ ) i BoundVar(σ) mogą nie być rozłączne, bowiem dana zmienna moŝe wystąpić w σ zarówno jako zmienna wolna, jak teŝ (w innym miejscu) jako zmienna związana. Następujące przykłady to wyjaśnią. Przykłady. Niech L = {+, 1} będzie jak wyŝej i niech σ będzie zdefiniowana jak w (1). x jest zmienną wolną w σ, poniewaŝ jest zmienną wolną w pierwszym składniku powyŝszej alternatywy. x jest teŝ zmienną związaną w σ, bo jest zmienną związaną w drugim składniku alternatywy. Natomiast zmienna y jest zmienną wolną w σ i nie jest zmienną związaną. Niech teraz σ będzie formułą ( y)(x + y y) ( x y)( x + y y + x) x jest zmienną wolną w σ, poniewaŝ jest zmienną wolną w pierwszym czynniku powyŝszej koniunkcji. (Powiemy, Ŝe x występuje w σ jako zmienna wolna w miejscu podkreślonym.) x jest teŝ zmienną związaną w σ, bo jest zmienną związaną w drugim czynniku koniunkcji. Natomiast zmienna y jest zmienną związaną w σ i nie jest zmienną wolną. Termy i formuły są skończonymi ciągami symboli. Zatem moŝna mówić o wystąpieniu, czyli miejscu danego symbolu w termie lub formule. Dany symbol moŝe wystąpić w wielu miejscach. Te wystąpienia zmiennej w formule, w których zmienna jest wolna nazywamy wolnymi wystąpieniami zmiennej. Pozostałe wystąpienia tej zmiennej w tejŝe formule nazwiemy wystąpieniami związanymi. Będziemy zatem mówić o wolnym i związanym występowaniu zmiennej indywiduowej w formule. 11

Ogólnie, jeŝeli formuła σ zawiera podformułę postaci ( x)ϕ oraz x FreeVar(ϕ), to mówimy, Ŝe x jest w zasięgu kwantyfikatora w podformule ( x)ϕ ; mówimy teŝ, Ŝe wiąŝe zmienną x w podformule ϕ. Podobnie mówimy w przypadku kwantyfikatora egzystencjalnego. Jeszcze jeden przykład. ( z)( x y + 1) jest poprawnie zbudowaną formułą. W występuje w niej zmienna z tylko przy kwantyfikatorze. Mimo, Ŝe z nie występuje podformule x y + 1, to zgodnie z warunkiem (fb5) zmienna z jest związana w ( z)( x y + 1). Notacja JeŜeli t jest termem oraz x 1,, x n są róŝnymi zmiennymi indywiduowymi, to zapis t (x 1,, x n ) znaczy, Ŝe Var(t) {x 1,, x n }, tzn. kaŝda zmienna indywiduowa występująca w termie t jest na liście zmiennych x 1,, x n. Podobnie, jeŝeli ϕ jest formuła, to zapis ϕ (x 1,, x n ) znaczy, Ŝe FreeVar(ϕ) {x 1,, x n }, tzn. kaŝda wolna zmienna indywiduowa w ϕ jest ujęta na liście x 1,, x n. Omówimy pojęcie podstawienia termu za zmienną indywiduową w danej formule zdaniowej. Niech ϕ będzie formułą, t termem, natomiast x zmienna indywiduową. Przez ϕ (x/t) oznaczamy formułę otrzymaną z ϕ przez jednolite podstawienie za zmienną x termu t w kaŝdym miejscu w ciągu ϕ w którym x występuje jako zmienna wolna. Jest jasne, Ŝe jeŝeli x nie naleŝy do FreeVar(ϕ), to powyŝsze podstawienie nie zmienia formuły ϕ. Ogólniej, jeŝeli x 1,, x n sa róŝnymi zmiennymi i t 1,, t n są termami (niekoniecznie róŝnymi), to ϕ (x 1 / t 1,, x n / t n ) jest formułą otrzymaną z ϕ przez jednolite i jednoczesne podstawienie za zmienną x i termu t i w kaŝdym miejscu w ϕ w którym x i występuje jako zmienna wolna dla i = 1,, n. Przykład. Niech ϕ będzie formułą ( y)( x y + 1). x jest zmienną wolną w ϕ. Niech t będzie zmienną y. Wtedy ϕ (x/t) jest formułą ( y)( y y + 1). W ϕ (x/t) nie ma zmiennych wolnych. 12

Podstawienie termu t za x w ϕ nazywamy wolnym, gdy Ŝadna zmienna y z termu t nie występuje jako zmienna związana w ϕ (x/t) w miejscu, gdzie jest wprowadzona. W powyŝszym przykładzie, podstawienie y za x w ϕ nie jest wolne, bo po dokonaniu podstawienia zmienna y zostaje związana przez w formule ϕ (x/t). JeŜeli t jest termem x + z, to ϕ (x/t) jest formułą ( y)( x + z y + 1). Podstawienie x + z za x w ϕ jest wolne, bo ani zmienna x, ani z nie jest wiązana przez w ϕ (x/t). 13

Wykład 3. Logika klasyczna w języku Zdaniem jest dowolna formuła ϕ nie posiadająca wolnych wystąpień zmiennych, tj. taka, Ŝe FreeVar(ϕ) =, tj. wszystkie zmienne w ϕ, o ile występują, są związane Najprostszymi zdaniami są formuły atomowe postaci c d, gdzie c i d są stałymi. Formuła ( x) (x 1) ( x)( y)(x y + 1) jest zdaniem. Zdefiniujemy pojęcie systemu formalnego w języku. W tym celu wprowadzimy pojęcia aksjomatu logiki oraz reguły wnioskowania. Niech L będzie ustalonym językiem Aksjomaty logiki dzielą się na 3 grupy: 1. Aksjomaty zdaniowe KaŜda formuła zdaniowa języka L, otrzymana z tautologii klasycznego rachunku zdań α (p 1,, p n) poprzez jednoczesne i jednolite podstawienie za kaŝdą zmienna zdaniową p i dowolnej formuły zdaniowej ϕ i języka L, dla i = 1,, n, jest aksjomatem logiki. Otrzymany w ten sposób aksjomat zapisujemy jako α (p 1 /ϕ 1,, p n /ϕ n), lub krótko α (ϕ 1,, ϕ n). Na przykład, biorąc tautologię p p oraz formułę ( y)( x y + 1), otrzymujemy, po powyŝszym podstawieniu, aksjomat zdaniowy ( y)( x y + 1) ( y)( x y + 1). 2. Aksjomaty kwantyfikatorów (i) JeŜeli ϕ i ψ są formułami języka L oraz x jest zmienną indywiduową, to formuła jest aksjomatem logiki. ( x)(ϕ ψ) (( x)ϕ ( x)ψ ) (ii) JeŜeli ϕ jest formułą języka L, x jest zmienną indywiduową, a t jest termem oraz podstawienie t za x w formule ϕ jest wolne, to formuła ( x)ϕ ϕ (x/t) jest aksjomatem logiki. ZauwaŜmy, Ŝe w szczególności aksjomatami są formuły postaci ( x)ϕ ϕ, bowiem podstawienie identycznościowe zmiennej x za zmienną x w ϕ jest wolne. Aksjomaty logiki są prawdziwe w kaŝdym modelu dla języka. Nie dysponujemy jeszcze precyzyjną definicja pojęcia prawdy dla formuł języka. Powiemy o nim później. Następujący przykład wskazuje dlaczego załoŝenie, iŝ podstawienie t za x w ϕ jest wolne, jest konieczne dla zachowania prawdziwości aksjomatów z grupy (ii). 14

Niech L = {< }, gdzie < jest binarnym symbolem relacyjnym. Symbol ten interpretujemy w zbiorze R liczb rzeczywistych jako relację ścisłego porządku. Niech ϕ będzie formułą ( y) y < x i niech t będzie zmienną y. Formuła ( x)ϕ ϕ (x/t) jest identyczna z (*) ( x)( y) y < x ( y) y < y. Poprzednik implikacji (*) jest prawdziwy w powyŝszym modelu, natomiast następnik fałszywy. Zatem zdanie (*) jest fałszywe. Fałszywe zdanie nie jest wszakŝe aksjomatem logiki. Wyjaśnienie jest proste podstawienie y za x w ϕ nie jest oczywiście wolne, poniewaŝ zmienna y jest związana w ϕ (x/t). Przyjęcie załoŝenia o wolności podstawienia w (II) gwarantuje, Ŝe formuła ( x)ϕ ϕ (x/t) jest uniwersalnie prawdziwa. (iii) JeŜeli ϕ jest formułą języka L, a x jest zmienną nie występującą jako zmienna wolna w ϕ, tzn. x FreeVar(ϕ ), to formuła ϕ ( x)ϕ jest aksjomatem logiki. Aksjomaty (i) noszą nazwę aksjomatów rozdzielczości kwantyfikatora ogólnego względem implikacji. Aksjomaty (ii) nazywają się aksjomatami podstawienia, natomiast (iii) - to aksjomaty dołączania zbędnego kwantyfikatora. oraz 3. Aksjomaty równości Niech t (x 1,, x n ) będzie termem i ϕ (x 1,, x n ) formułą atomową. Wtedy x x, x y t (x 1,, x i 1, x, x i + 1,, x n ) t (x 1,, x i 1, y, x i + 1,, x n ) x y (ϕ (x 1,, x i 1, x, x i + 1,, x n ) t (x 1,, x i 1, y, x i + 1,, x n )) dla kaŝdego i (1 i n) są aksjomatami logiki. Uwaga. Formuły x y y x, x y y z x z są konsekwencjami powyŝszych aksjomatów, o czym w ćwiczeniach. Przyjmujemy ponadto dwie pierwotne reguły wnioskowania (inaczej: reguły inferencji). 4. Reguła odrywania (inaczej: Modus Ponens) Z formuł ϕ oraz ϕ ψ wnioskuj ψ. 15

5. Reguła generalizacji Z formuły ϕ wnioskuj ( x)ϕ, gdzie x jest dowolną zmienną indywiduową. Dysponując aksjomatami logiki i powyŝszymi dwiema regułami definiujemy pojęcie twierdzenia logiki (inaczej: tezy logiki). Zgodnie ze standardową definicją, formuła ϕ jest twierdzeniem (tezą) logiki wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończony ciąg formuł (*) ϕ 1,, ϕ n taki, Ŝe formuła ϕ n jest identyczna co do kształtu z ϕ oraz, dla kaŝdego i (i = 1,, n) ϕ i jest aksjomatem logiki lub ϕ i jest wnioskiem z wcześniejszych formuł powyŝszego ciągu otrzymanym przez zastosowanie jednej z powyŝszych reguł. Ciag (*) nazywamy dowodem formuły ϕ na gruncie aksjomatów logiki z uŝyciem reguły odrywania oraz reguły generalizacji. CL jest zbiorem wszystkich tez logiki. (Fraza CL to inicjały słów classical logic.) Przez logikę klasyczną będziemy rozumieć powyŝszy zbiór CL tez logiki. (Jest to jedno ze znaczeń logiki klasycznej.) Reguła generalizacji słuŝy jedynie do zdefiniowania zbioru tez CL. RównowaŜne określenie zbioru CL jest następujące. CL jest najmniejszym zbiorem formuł zawierającym wszystkie aksjomaty logiki i zamkniętym na reguły odrywania oraz generalizacji. Definicja 3.1. JeŜeli Σ jest zbiorem formuł i σ jest formułą, to zapis Σ σ znaczy, Ŝe istnieje dowód formuły σ ze zbioru formuł Σ, tj. istnieje skończony ciąg formuł (**) ϕ 1,, ϕ n taki, Ŝe formuła ϕ n jest identyczna co do kształtu z σ oraz, dla kaŝdego i (i = 1,, n) bądź ϕ i jest tezą logiki (tj. elementem zbioru CL), bądź ϕ i jest elementem zbioru Σ, bądź teŝ ϕ i jest wnioskiem z wcześniejszych formuł w ciągu (*) otrzymanym przez zastosowanie reguły odrywania. Określoną wyŝej relację, zachodzącą pomiędzy zbiorami formuł a pojedynczymi formułami, nazywamy relacją wynikania inferencyjnego logiki klasycznej. WaŜna uwaga. W powyŝszym pojęciu dowodu (**) nie jest stosowana reguła generalizacji. Reguła ta jest niezbędna jedynie do zdefiniowania pojęcia tezy logiki. JeŜeli zbiór Σ jest skończony, Σ = {σ 1,, σ n}, to piszemy teŝ zamiast Σ σ. σ 1,, σ n σ 16

JeŜeli Σ σ, to mówimy teŝ, Ŝe istnieje dowód formuły σ na gruncie Σ. Mówimy teŝ, Ŝe σ daje się wydedukować ze zbioru Σ. JeŜeli Σ =, to σ znaczy, Ŝe istnieje dowód (**) formuły σ taki, Ŝe kaŝda formuła występująca w (**) jest bądź tezą logiki, bądź jest wnioskiem z wcześniejszych przez zastosowanie reguły odrywania. W efekcie, wszystkie formuły występujące w (**) są tezami logiki. Wynika stad natychmiast, ze σ znaczy tyle, Ŝe σ jest tezą logiki, tj.σ. CL. Zamiast σ będziemy pisać σ. Zbiór formuł Σ nazywamy sprzecznym, gdy kaŝda formuła języka posiada dowód na gruncie Σ. W przeciwnym przypadku mówimy, Ŝe zbiór Σ jest niesprzeczny. Formułę σ nazywamy sprzeczną (odpowiednio: niesprzeczną), gdy zbiór {σ } jest sprzeczny (niesprzeczny). Zbiór zdań Σ nazywamy maksymalnym niesprzecznym, gdy jest niesprzeczny i kaŝdy zbiór zdań języka L zawierający Σ jako właściwy podzbiór jest sprzeczny. Innymi słowy, zbiór zdań Σ jest maksymalny niesprzeczny, gdy jest niesprzeczny i dla dowolnego zbioru zdań, jeŝeli Σ, to jest sprzeczny. ( jest symbolem właściwej inkluzji.). Twierdzenie 3. 2. Niech Σ będzie zbiorem formuł języka L. Następujące warunki sa równowaŝne: (1) Σ jest sprzeczny. (2) Dla kaŝdej formuły ϕ, Σ ϕ ϕ. (3) Istnieje formuła ϕ taka, Ŝe Σ ϕ ϕ. Dowód. (1) (2). Oczywiste, bo jeŝeli Σ jest sprzeczny, to dla kaŝdej formuły σ mamy, Ŝe Σ σ. W szczególności zaleŝność ta zachodzi dla wszystkich formuł postaci ϕ ϕ. (2) (3). Oczywiste. (3) (1). ZałóŜmy, Ŝe dla pewnej formuły ϕ zachodzi Σ ϕ ϕ. Zatem niech ϕ 1,, ϕ n 1, ϕ ϕ będzie dowodem formuły ϕ ϕ na gruncie Σ. Niech ψ będzie dowolną formułą. ZauwaŜmy, Ŝe formuła ϕ ϕ ψ jest zdaniowym aksjomatem logiki (bo formuła p p q jest tautologią klasycznego rachunku zdań). Utwórzmy dłuŝszy ciąg formuł ϕ 1,, ϕ n 1, ϕ ϕ, ϕ ϕ ψ, ψ. Ciąg ten jest dowodem formuły ψ na gruncie Σ. (W ostatnim kroku zastosowano regułę odrywania.) Zatem Σ ψ. Wykazaliśmy, Ŝe kaŝda formuła zdaniowa posiada dowód na gruncie Σ. Zbiór Σ jest sprzeczny. Uwagi. W warunkach (2) i (3) powyŝszego twierdzenia, moŝna równowaŝnie twierdzić, Ŝe ϕ jest zdaniem. ZauwaŜmy, dalej, Ŝe formuła σ jest sprzeczna wtedy i tylko wtedy, gdy σ jest tezą logiki. Piszemy C(Σ ) := {σ For(L) : Σ σ}. 17

C(Σ ) nazywamy zbiorem konsekwencji zbioru formuł Σ ( w przyjętym powyŝej aksjomatyczno-regułowym ujęciu logiki klasycznej). Sama zaś funkcję C, określoną jak wyŝej na zbiorach formuł, nazywamy operacją konsekwencji logiki klasycznej. (W drugim ze znaczeń terminu logika klasyczna, logikę klasyczną identyfikuje się nie ze zbiorem formuł CL, lecz z operacją konsekwencji C (lub, równowaŝnie, z relacją wynikania inferencyjnego).) Jest to tzw. konsekwencyjne ujęcie logiki klasycznej.) ZauwaŜmy, Ŝe CL = C( ). Odnotujmy jeszcze następujące własności operacji C: dla dowolnych zbiorów formuł Σ, Σ 1, Σ 2, Σ C(Σ ) JeŜeli Σ 1 Σ 2, to C(Σ 1) C(Σ 2) C(C(Σ )) = C(Σ ) zwrotność). (monotoniczność) (idempotencja) JeŜeli σ C(Σ ), to istnieje skończony podzbiór Σ f Σ taki, Ŝe σ C(Σ f ) (finitystyczność). (Dowody podamy na ćwiczeniach. Odnotujmy tu jedynie, Ŝe finitystyczność wynika z faktu, Ŝe w dowolnym dowodzie formuły σ na gruncie zbioru Σ występuje jedynie skończenie wiele formuł z Σ.) Twierdzenie 3.3. NiechΣ będzie zbiorem formuł oraz σ, τ - dowolnymi formułami. (i) Σ jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy kaŝdy skończony podzbiór zbioru Σ jest niesprzeczny. (ii) (Twierdzenie o dedukcji) Σ {σ } τ Σ σ τ. (iii) Zbiór Σ {σ }jest sprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy Σ σ. Stąd Σ {σ }jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy σ nie posiada dowodu na gruncie Σ. (iv) JeŜeli x jest zmienną nie występującą jako zmienna wolna w formułach z Σ (w szczególności, jeśli Σ jest zbiorem zdań) oraz Σ σ, to Σ ( x)σ. Uwagi. 1. Z warunku (iv) wynika w szczególności, Ŝe jeŝeli Σ jest zbiorem zdań oraz Σ σ, to Σ ( x)σ. 2. JeŜeli ϕ (x 1,, x n ) jest formułą, to przez uniwersalne domknięcie tej formuły rozumieć będziemy zdanie ( x 1,, x n )ϕ. Wynika z powyŝszego, Ŝe jeŝeli Σ jest zbiorem zdań, to Σ ϕ wtedy i tylko wtedy, gdy Σ ( x 1,, x n )ϕ. Z faktu tego często korzysta się dowodząc twierdzeń matematycznych np. w algebrze Podobnie definiuje się egzystencjalne domknięcie formuły. 18

Łatwo pokazać, Ŝe ϕ (x 1,, x n ) jest niesprzeczna wtedy i tylko wtedy, gdy ( x 1,, x n )ϕ (Dowód jako ćwiczenie). 3. Niech Σ będzie zbiorem zdań, a σ zdaniem. JeŜeli Σ σ, to zgodnie z określeniem relacji, zdanieσ posiada dowód ϕ 1,, ϕ n na gruncie Σ, w którym mogą wystąpić formuły nie będące zdaniami. Z warunku (iv) wynika silniejszy fakt, Ŝe jeŝeli Σ σ, to σ posiada teŝ dowód ϕ 1,, ϕ n na gruncie Σ, w którym wszystkie formuły ϕ i (i = 1,, n) są zdaniami. Zatem σ C Sent (Σ ) wtedy i tylko wtedy, gdy σ posiada dowód ϕ 1,, ϕ n na gruncie Σ, w którym występują tylko zdania. Ogólniej, niech X będzie zbiorem zmiennych indywiduowych, Σ zbiorem formuł, a σ formułą, w których występują co najwyŝej zmienne wolne z X, tj. FreeVar(Σ ) FreeVar(σ ) X. Wtedy zachodzi równowaŝność: Σ σ σ posiada dowód ϕ 1,, ϕ n na gruncie Σ taki, Ŝe FreeVar(ϕ i ) X dla kaŝdej formuły ϕ i (i = 1,, n). 4. W pewnych formalizacjach operacji konsekwencji stowarzyszonych z CL dopuszcza się dodatkowo regułę generalizacji jako pierwotną regułę inferencji i dozwala się na jej stosowanie we wszelkich dowodach wraz z regułą odrywania. Zdefiniowana w ten sposób operacja nazywana jest inwariantną operacją konsekwencji stowarzyszoną z CL. Oznaczamy ją przez C inv. Dla dowolnej formułyϕ (x 1,, x n ) zachodzi wtedy równość C inv (ϕ (x 1,, x n )) = C inv (( x 1,, x n )ϕ (x 1,, x n )). Natomiast w przypadku operacji C zachodzi jedynie inkluzja C(ϕ (x 1,, x n )) C(( x 1,, x n )ϕ (x 1,, x n )), którą otrzymujemy na podstawie aksjomatów podstawiania i reguły odrywania.. Inkluzja ta jest na ogół właściwa. Operacja C inv jest od C silniejsza, tj., C(Σ ) C inv (Σ ) dla dowolnych zbiorów formuł i inkluzja ta moŝe być właściwa. Natomiast obie operacje pokrywają się na zbiorach zdań, tj. C(Σ ) = C inv (Σ ) dla kaŝdego zbioru zdań Σ.. W szczególności C( ) = C inv ( ).. 5. Powiemy, Ŝe formuły ϕ iψ są dedukcyjnie równowaŝne (inaczej: logicznie równowaŝne), gdy formuła ϕ ψ jest tezą logiki.ϕ iψ są dedukcyjnie równowaŝne wtedy i tylko wtedy, gdy C(ϕ) = C(ψ). ϕ iψ są dedukcyjnie równowaŝne na gruncie zbioru formuł Σ, gdy Σ ϕ ψ. Warunek ten jest równowaŝny równości zachodzeniu C(Σ, ϕ) = C(Σ, ψ). Dowód Twierdzenia 3.3. (i). ( ). ZałóŜmy, Ŝe Σ jest niesprzeczny. Przypuśćmy nie wprost, Ŝe pewien skończony podzbiór Σ f Σ jest sprzeczny. Zatem C(Σ f ) = For(L). Inkluzja Σ f Σ pociąga, 19

na podstawie monotoniczności C, Ŝe C(Σ f ) C(Σ ). Stąd For(L) = C(Σ f ) C(Σ ) For(L), co daje, Ŝe For(L) = C(Σ ). Zatem zbiór Σ jest teŝ sprzeczny, wbrew załoŝeniu. ( ). Zakładamy, Ŝe kaŝdy skończony podzbiór Σ f Σ jest niesprzeczny i przypuśćmy, Ŝe Σ jest sprzeczny. W myśl Twierdzenia 3.1, istnieje formuła ϕ taka, Ŝe Σ ϕ ϕ, tzn. ϕ ϕ posiada dowód na gruncie Σ. Na podstawie finitystyczności konsekwencji C, istnieje skończony podzbiór Σ f Σ taki, Ŝe ϕ ϕ C(Σ f ). A zatem, stosując raz jeszcze Twierdzenie 3.1, skończony podzbiór Σ f Σ jest sprzeczny, wbrew załoŝeniu. (ii). ( ). ZałóŜmy, Ŝe Σ σ τ. Na podstawie reguły odrywania mamy teŝ, Ŝe σ, σ τ τ. Lecz Σ {σ } σ oraz, na podstawie załoŝenia, Σ {σ } σ τ. Łącząc te trzy zaleŝności otrzymujemy, Ŝe Σ {σ } τ. ( ). Dowód tej implikacji jest trudniejszy. ZałóŜmy, Ŝe Σ {σ } τ. Niech zatem skończony ciąg σ 1,, σ n będzie dowodem formuły τ na gruncie Σ {σ }. Dowodzi się przez indukcję po i = 1,, n, Ŝe Σ σ σ i dla i = 1,, n. W szczególności dla i = n otrzymujemy, Ŝe Σ σ σ n, tj. Σ σ τ, poniewaŝ formuła σ n jest identyczna z τ. (iii). ( ). ZałóŜmy, Ŝe zbiór Σ {σ }jest sprzeczny. Zatem, w szczególności, Σ {σ } σ. Stąd, na podstawie (ii) otrzymujemy, Ŝe Σ σ σ. Niech σ 1,, σ n 1, σ σ będzie dowodem formuły σ σ na gruncie Σ. Formuła (σ σ ) σ jest aksjomatem zdaniowym (jako podstawienie tautologii (p p ) p). Tworzymy ciąg σ 1,, σ n 1, σ σ, (σ σ ) σ, σ. Jest on dowodem formuły σ na gruncie Σ. (W ostatnim kroku dowodowym zastosowano regułę odrywania.) Zatem Σ σ. ( ). ZałóŜmy, Ŝe Σ σ. Stąd Σ {σ } σ oraz, trywialnie, Σ {σ } σ, co daje Σ {σ } σ σ. Zatem Σ {σ } jest sprzeczny. (iv). Niech (++) σ 1,, σ n będzie dowodem formuły σ na gruncie Σ. WykaŜemy najpierw przez indukcję względem i, Ŝe Σ ( xσ i ) dla kaŝdego i (1 i n). JeŜeli i = 1, to σ i naleŝy do CL lub jest elementem Σ. JeŜeli σ i CL, to teŝ ( x)σ i CL, na podstawie reguły generalizacji. JeŜeli σ i Σ, to wobec faktu, Ŝe σ i ( x)σ i jest aksjomatem logiki z grupy 2.(iii) (bo x, z załoŝenia, nie występuje w σ i ). Stąd, stosując regułę odrywania, dostajemy, Ŝe Σ ( x)σ i. ZałóŜmy teraz, Ŝe i > 1 oraz, dla wszystkich j < i jest Σ ( x)σ j. Mamy, Ŝe σ i naleŝy do CL lub jest elementem Σ lub jest wnioskiem z wcześniejszych formuł poprzez zastosowanie reguły odrywania. Dwa pierwsze składniki alternatywy dają Σ ( x)σ i (rozumujemy jak wyŝej). ZałóŜmy, Ŝe σ i jest wnioskiem z przesłanek σ j i σ k (1 j, k) reguły odrywania. Zatem dla pewnych formuł ϕ, ψ mamy, Ŝe σ j jest identyczna z ϕ, σ k jest identyczna z ϕ ψ oraz σ i pokrywa się z ψ. Z załoŝenia indukcyjnego mamy, Ŝe Σ ( x)σ j oraz Σ ( x)σ k, tj. Σ ( x)ϕ oraz Σ ( x)(ϕ ψ ). PoniewaŜ formuła ( x)(ϕ ψ ) (( x)ϕ ( x)ψ ) jest aksjomatem logiki, drugi z powyŝszych warunków, poprzez zastosowanie reguły odrywania, daje, Ŝe Σ ( x)ϕ ( x)ψ. Ostatnia zaleŝność wraz z Σ ( x)ϕ implikują, Ŝe Σ ( x)ψ, jeszcze raz przez zastosowanie reguły odrywania. Zatem Σ ( x)σ i, co kończy dowód indukcyjny. 20

W szczególności dla i = n, otrzymujemy, Ŝe Σ ( x)σ n, tj.σ ( x)σ, co było do okazania. Odnotujmy jeszcze kilka faktów: Twierdzenie 3.4. 1. JeŜeli zmienna y nie występuje w formule σ (ani jako zmienna wolna, ani jako zmienna związana), to ( x)σ ( y)σ (x/y) oraz ( x)σ ( y)σ (x/y) tzn. ( x)σ oraz ( y)σ (x/y) są formułami logicznie równowaŝnymi; podobnie ( x)σ oraz ( y)σ (x/y). 2. Niech σ będzie formułą oraz x FreeVar(σ). Wtedy σ ( x)σ oraz σ ( x)σ. 3. Niech ϕ, ψ będą formułami i x, y dowolnymi zmiennymi. a. ϕ ψ implikuje ( x)ϕ ( x)ψ oraz ( x)ϕ ( x)ψ. b. ϕ ψ implikuje ( x)( y)ϕ ( y)( x)ψ oraz ( x)( y)ϕ ( y) ( x)ψ. 4. Niech t będzie termem języka L i x zmienna taką, Ŝe x Var (t). Wtedy ( x)(t x). 5. Niech x i y będą róŝnymi zmiennymi indywiduowymi. Formuły x y oraz ( x y) nie są tezami logiki. Formuła σ jest otwarta, jeŝeli nie występują w niej kwantyfikatory. OFor(L) jest zbiorem wszystkich otwartych formuł pierwszego rzędu języka L. Łatwo jest sprawdzić, Ŝe OFor(L) jest najmniejszym zbiorem formuł zawierającym formuły atomowe i domkniętym na stosowanie spójników koniunkcji i negacji. Formula jest normalna (inaczej preneksowa), gdy ma postać (Q 1 x 1 ) (Q k x k )ϕ, gdzie ϕ jest otwarta, Q 1, Q k oznaczają kwantyfikatory lub i zmienne x 1,, x k są parami róŝne. Innymi słowy, formuła jest normalna, gdy powstaje z formuły otwartej ϕ przez dopisanie z przodu bloku kwantyfikatorów lub w róŝnej kolejności. (Kwantyfikatory nie musza wiązać wszystkich zmiennych wolnych występujących w ϕ.) Twierdzenie 3.5. KaŜda formuła jest logicznie równowaŝna formule normalnej. Dowody powyŝszych faktów na ćwiczeniach. Rozbudować poniŝej: prawa wprowadzania kwantyfikatorów. 21

Twierdzenie 3.6. α i β będą dowolnymi formułami. Niech x i y będą zmiennymi takimi, Ŝe y FreeVar(α) oraz y nie występuje w β. JeŜeli to α β (x/y), α ( x)β. Dowód. Zakładamy, Ŝe α β (x/y). Stosując regułę generalizacji otrzymujemy, Ŝe ( y)(α β (x/y)). Stąd, stosując prawo rozdzielności kwantyfikatora ogólnego względem implikacji i regułę odrywania, dostajemy, Ŝe (a). ( y)α ( y)β (x/y). Lecz α ( y)α, na podstawie aksjomatu dołączania zbędnego kwantyfikatora (bo y nie jest wolna w α). Stąd i z (a), wobec przechodniości implikacji, otrzymujemy (b) α ( y)β (x/y). Lecz ( y)β (x/y) ( x)β, na podstawie Twierdzenia 3.4.(1) (bo zmienna y nie występuje w β). Stąd i z (b) otrzymujemy, Ŝe α ( x)β. Niech X będzie zbiorem zmiennych indywiduowych języka L. For(X, L) oznacza zbiór wszystkich formuł σ For( L) takich, Ŝe wszystkie zmienne wolne występujące w σ naleŝą do X, tj., FreeVar(σ ) X. JeŜeli X = {x 1,, x n }, to piszemy For(x 1,, x n ; L). W świetle Uwagi 3 powyŝej, jeŝeli Σ For(X, L) i σ For(X, L), to Σ σ jest równowaŝny warunkowi, Ŝe σ posiada dowód ϕ 1,, ϕ n na gruncie Σ, w którym występują tylko formuły z For(X, L), tj., ϕ i For(X, L), dla i = 1,, n. Zbiór formuł Σ For(X, L) jest zamknięty w For(X, L), gdy Σ σ Σ Γ, dla kaŝdej formuły σ For(X, L). RównowaŜnie, Σ For(X, L) jest zamknięty w For(X, L) wtedy i tylko wtedy, gdy Σ = C(Σ) For(X, L). Zbiór formuł Σ For(X, L) jest maksymalny niesprzeczny w For(X, L), gdy jest niesprzeczny i nie zawiera się w istotnie większym od Σ niesprzecznym zbiorze formuł zawartym w For(X, L). Innymi słowy, Σ jest maksymalny niesprzeczny w For(X, L), gdy jest niesprzeczny (tj. C(Σ) jest właściwym podzbiorem zbioru For(L)) i dla dowolnego zbioru formuł For(X, L), jeŝeli Σ, to jest sprzeczny. ( jest symbolem właściwej inkluzji.). 22

KaŜdy zbiór formuł maksymalnie niesprzeczny w For(X, L) jest zamknięty w For(X, L). Przypadek graniczny to, gdy X jest zbiorem wszystkich zmiennych indywiduowych, tzn. For(X, L) jest zbiorem wszystkich formuł For(l). W efekcie, zbiór formuł zamknięty w For( L) jest nazywany po prostu zamkniętym zbiorem formuł. Zatem zbiór formuł Σ jest zamknięty, gdy C(Σ) = Σ, tj. dla kaŝdej formuły σ Σ σ Σ Γ. Zbiór formuł Σ jest maksymalny niesprzeczny (w For(L)) gdy jest niesprzeczny i nie zawiera się w istotnie większym niesprzecznym zbiorze formuł. RównowaŜnie, zbiór formuł jest maksymalny niesprzeczny, gdy C(Σ) jest właściwym podzbiorem zbioru For(L) oraz Σ nie zawiera się właściwie w większym niesprzecznym zbiorze formuł. Następujące twierdzenie charakteryzuje zbiory formuł maksymalne niesprzeczne w For(X, L). Twierdzenie 3.7. Niech X będzie zbiorem zmiennych indywiduowych i niech Σ będzie niesprzecznym i zamkniętym zbiorem formuł w For(X, L). Następujące warunki są równowaŝne: (i) Σ jest maksymalny niesprzeczny w For(X, L). (ii) Dla dowolnej formuły σ For(X, L), σ Σ lub σ Σ. (iii) Dla dowolnej formuły σ For(X, L), σ Σ σ Σ, (iv) Dla dowolnych formuł σ, τ For(X, L), σ τ σ Σ lub τ Σ. Otwarta jest dotąd kwestia istnienia maksymalnych niesprzecznych zbiorów formuł. Rozstrzyga ją następujący, podstawowy dla logiki, fakt: Twierdzenie 3.8 (Lindenbaum). Niech X będzie zbiorem zmiennych indywiduowych. KaŜdy niesprzeczny zbiór formuł z For(X, L) jest zawarty w zbiorze maksymalnym niesprzecznym w For(X, L). Zdania a logika Praktyka matematyczna w duŝej części polega na dowodzeniu twierdzeń, tj. zdań na podstawie innych zdań (załoŝeń). W myślowym skrócie powiada się, Ŝe matematyka jest kolekcją twierdzeń i ich dowodów. Zdania, z uwagi na niewystępowanie w nich zmiennych wolnych, są najmniejszymi jednostkami językowymi niosącymi jednoznaczną, zamkniętą informację. Stąd teŝ istotna w praktyce matematycznej jest nie pełna relacja, lecz jej ograniczenie do zbioru zdań. Niech 23

Sent(L) oznacza zbiór wszystkich zdań pierwszego rzędu języka L. Zbiór zdań Sent(L) jest granicznym przypadkiem zbiorów formuł For(X, L) zdefiniowanych wyŝej, mianowicie X =, tj. Sent(L) = For(, L). W efekcie, podane wyŝej fakty dotyczące formuł zdaniowych zachowują waŝność po ich przeformułowaniu w terminach zdań, tj. zachodzą w odniesieniu do zbioru Sent(L). W szczególności, warunki (i) (iii) Twierdzenia 3.3 zachodzą, jeŝeli Σ jest zbiorem zdań, a σ, τ zdaniami. Przez C Sent oznaczamy ograniczenie konsekwencji C do zbioru Sent(L). Zatem, dla dowolnego zbioru Γ Sent(L), C Sent (Γ ) := {σ Sent(L) : Γ σ}. W myśl powyŝszej uwagi 3, σ C Sent (Γ) wtedy i tylko wtedy, gdy σ posiada dowód ϕ 1,, ϕ n na gruncie Γ, w którym występują tylko zdania. Zgodnie z definicją, zbiór zdań Γ jest niesprzeczny, gdy C(Γ ) jest właściwym podzbiorem zbioru For(L). RównowaŜnie, jak łatwo pokazać, Γ jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy C Sent (Γ ) jest właściwym podzbiorem zbioru Sent(L). Zbiór zdań Γ jest maksymalny niesprzeczny, gdy jest niesprzeczny i nie zawiera się w istotnie większym niesprzecznym zbiorze zdań. RównowaŜnie, zbiór zdań jest maksymalny niesprzeczny, gdy C Sent (Γ) jest właściwym podzbiorem zbioru Sent(L) oraz Γ nie zawiera się właściwie w większym niesprzecznym zbiorze zdań. Zbiór zdań Γ jest zamknięty, gdy C Sent (Γ) = Γ, tj. dla kaŝdego zdania σ Γ σ σ Γ, KaŜdy maksymalny niesprzeczny zbiór zdań jest zamknięty (w sensie C Sent ). JeŜeli Σ jest maksymalnym niesprzecznym zbiorem formuł, to Σ Sent(L) jest maksymalnym niesprzecznym zbiorem zdań. Następujący wniosek z Twierdzenia 3.7 charakteryzuje maksymalne niesprzeczne zbiory zdań. Wniosek 3.9. Niech Σ będzie niesprzecznym i zamkniętym zbiorem zdań. Następujące warunki są równowaŝne: (v) Σ jest maksymalnym niesprzecznym zbiorem zdań. (vi) Dla dowolnego zdania σ, σ Σ lub σ Σ. (vii) Dla dowolnego zdania σ, σ Σ σ Σ, (viii) Dla dowolnych zdań σ, τ, σ τ σ Σ lub τ Σ. 24

. Wniosek 3.10. (Lindenbaum). KaŜdy niesprzeczny zbiór zdań języka L jest zawarty w maksymalnym niesprzecznym zbiorze zdań. Niech Γ będzie zbiorem zdań. Jakie są zaleŝności pomiędzy zbiorami C(Γ ) i C Sent (Γ)? Inkluzja C Sent (Γ) C(Γ ) jest oczywista. MoŜna powiedzieć więcej: C(Γ ) = {ϕ (x 1,, x m ) For(L) : ( x 1,, x m )ϕ (x 1,, x m ) C Sent (Γ )}, tj. C(Γ ) jest zbiorem wszystkich formuł, których uniwersalne domknięcia są konsekwencjami Γ w sensie C Sent (równowaŝnie, w sensie C> Dowód jest natychmiastowy w świetle Uwagi 2 powyŝej i uwag dotyczących C Sent : ϕ (x 1,, x m ) C(Γ ), tj. Γ ϕ (x 1,, x m ), Γ ( x 1,, x m )ϕ (x 1,, x m ) ( x 1,, x m )ϕ (x 1,, x m ) C Sent (Γ ). Niech Γ będzie zbiorem zdań. Powiemy, Ŝe zdanie σ jest (logicznie) niezaleŝne od Γ, gdy ani σ, ani negacja σ nie posiadają dowodu na gruncie Γ. W myśl Twierdzenia 3.2.(iii), zdanie σ jest niezaleŝne od Γwtedy i tylko wtedy, gdy zbiory zdań Γ {σ }oraz Γ { σ } są niesprzeczne. Język z algebraicznej perspektywy Na zbiory termów Te(L) oraz formuł pierwszego rzedu For(L) moŝna spojrzeć jak na algebry. KaŜdemu m-arnemu symbolowi funkcyjnemu F języka L odpowiada m-argumentowa operacja F* określona na Te(L) w sposób następujący: dla dowolnego ciągu termów t 1,, t m długości m, definiujemy: F*( t 1,, t m ) := F(t 1,, t m ). Operacja F* przyporządkowuje kaŝdemu ciągowi t 1,, t m term F(t 1,, t m ).W rezultacie zbiór termów Te(L) staje się algebrą absolutnie wolną Te(L), w której absolutnie wolnymi generatorami są zmienne indywiduowe ze zbioru Var. JeŜeli język L zawiera symbole stałych, algebra Te(L) jest wyposaŝona w wyróŝnione stałe c, traktowane jako operacje o arności 0, dla kaŝdego symbolu stałej c.. Podobnie, zbiór formuł For(L) jest algebrą wyposaŝoną w operację binarną *, w operacje unarną * oraz, dla kaŝdej zmiennej indywiduowej x, operację unarną *x> Definiuje je się następująco: dla dowolnej pary formuł ϕ, ψ dla dowolnej formuły ϕ, *(ϕ, ψ) := (ϕ ψ); *(ϕ ) := ( ϕ); 25