Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych

Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Politechnika Śląska, Gliwice Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych Przykłady analizy. Część 1. dr inż. Jacek Ptaszny Rzeszów, 15-16.04.2011 dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 1/46

Plan prezentacji 1 Program komputerowy 2 Rura grubościenna 3 Tarcza z otworem 4 Tarcze perforowane 5 Materiał porowaty 6 Materiał kompozytowy 7 Literatura dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 2/46

Program komputerowy Charakterystyka Analiza statyczna płaskich układów liniowosprężystych. Obciążenie siłami powierzchniowymi lub objętościowymi. Oliczanie naprężeń na brzegu i wewnątrz obszaru. Dyskretyzacja: brzeg: trójwęzłowe izoparametryczne elementy brzegowe z kwadratowymi funkcjami kształtu, obszar: sześciowęzłowe izoparametryczne komórki wewnętrzne z kwadratowymi funkcjami kształtu. Dla modeli z komórkami wewnętrznymi: wykorzystanie programu MSC.Patran do generowania siatki. Pre- i postprocesor dla modeli MEB. dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 4/46

Program komputerowy Schemat działania MSC.Patran dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 5/46

Rura grubościenna Parametry modelu i metody a=1 m, b=2 m E = 200 GPa, ν=0.3 p = 10 8 Pa PSO Kwadratowe elementy brzegowe Liczba stopni swobody: 128-14 440 Liczba składników szeregu: w = 5, 10, 15 Liu Y.J., A new fast multipole boundary element method for solving large-scale two-dimensional elastostatic problems, Int J Numer Meth Eng, 65, 863-881, 2006. dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 7/46

Dokładność przemieszczeń Średnie przemieszczenia promieniowe na brzegu wewnętrznym 0.518 0.519 Rozwiazanie analityczne SWMEB, elementy stale, w=20, Liu MEB, elementy kwadratowe SWMEB, elementy kwadratowe, w=5 SWMEB, elementy kwadratowe, w=10,15 u r E/pa 0.52 0.521 0.522 10 2 10 3 10 4 Liczba stopni swobody Największy błąd przemieszczeń jest wielkością rzędu 0.1%. dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 8/46

Dokładność naprężeń Średnie naprężenia obwodowe na brzegu wewnętrznym 0.997 0.998 0.999 Rozwiazanie analityczne SWMEB, elementy stale, w=20, Liu MEB, elementy kwadratowe SWMEB, elementy kwadratowe, w=5 SWMEB, elementy kwadratowe, w=10,15 σ θ /p 1 1.001 1.002 10 2 10 3 10 4 Liczba stopni swobody Największy błąd naprężeń jest wielkością rzędu 0.1%. dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 9/46

Względny czas analizy 10 0 Wzgledny czas obliczen 10 1 10 2 10 3 SWMEB, w=5 SWMEB, w=10 SWMEB, w=15 MEB MEB, regresja 10 2 10 3 10 4 Liczba stopni swobody Czas analizy SWMEB może być o rząd wielkości mniejszy względem czasu analizy konwencjonalną MEB. dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 10/46

Wymagana pamięć komputera 10 10 10 9 SWMEB, w=5 SWMEB, w=10 SWMEB, w=15 MEB MEB, regresja Pamiec, B 10 8 10 7 10 6 10 5 10 2 10 3 10 4 Liczba stopni swobody Pamięć wymagana do analizy SWMEB może być o dwa rzędy wielkości mniejsza względem pamięci w przypadku konwencjonalnej MEB. dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 11/46

Tarcza z otworem Parametry modelu i metody a=1 m, r = 0.1 m, E = 200 GPa, ν = 0.3, PSN Kwadratowe elementy brzegowe 6 wariantów dyskretyzacji brzegu Liczba stopni swobody: 424-880 Liczba składników szeregu: w = 5, 10, 15 Liu Y.J., A new fast multipole boundary element method for solving large-scale two-dimensional elastostatic problems, Int J Numer Meth Eng, 65, 863-881, 2006. dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 13/46

Względne naprężenia obwodowe w punkcie A dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 14/46

Względne naprężenia obwodowe w punkcie B Największy błąd SWMEB z elementami kwadratowymi, dla największego układu, przy w=5 jest rzędu 0.1%. dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 15/46

Program komputerowy Rura grubościenna Tarcza z otworem Tarcze perforowane Materiał porowaty Kompozyt Literatura Tarcze perforowane Geometria układu i warunki brzegowe Tarcze z różnym rozmieszczeniem otworów i różnymi warunkami brzegowymi dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 17/46

Tarcze perforowane Geometria układu, warunki brzegowe i parametry metody Promień otworów: r = 0.1 m Liczba otworów: 4, 16, 36, 64, 100, 144, Porowatość: 12.56% E = 200 GPa ν = 0.3 PSN Liczba stopni swobody 14 720 w = 5, 10 κ = 20 GMRES, tol = 10 6 dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 18/46

Tarcze perforowane Zastępczy moduł Younga przy równomiernym rozmieszczeniu otworów Model analityczny: Kachanov M., On the effective moduli of solids with cavities and cracks, Int J Fracture, 59, R17-R21, 1993. dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 19/46

Tarcze perforowane Zastępczy moduł Younga przy losowym rozmieszczeniu otworów Model analityczny: Kachanov M., On the effective moduli of solids with cavities and cracks, Int J Fracture, 59, R17-R21, 1993. dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 20/46

Tarcze perforowane Liczba iteracji GMRES dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 21/46

Tarcze perforowane Względny czas obliczeń Linia MEB - wykres funkcji regresji z przykładu 1. dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 22/46

Tarcze perforowane Pamięć Linia MEB - wykres funkcji regresji z przykładu 1. dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 23/46

Tarcze perforowane Wpływ parametru κ na czas analizy dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 24/46

Tarcze perforowane Wpływ parametru κ na pamięć dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 25/46

Tarcze perforowane Wartości optymalne parametru κ Przedział dominacji obszaru odległego Przedział dominacji obszaru odległego T M T κ opt Przedział dominacji obszaru bliskiego κ O(N 2 ) Przedział dominacji obszaru bliskiego M κ opt κ O(N 2 ) w κ T opt κ M opt Szacowana Rzeczywista Szacowana Rzeczywista 5 16 13 2 6 10 29 13 3 6 dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 26/46

Materiał porowaty Spiekany korund (Al 2 O 3 ) Obraz złomu próbki spiekanego korundu uzyskany za pomocą elektronowego mikroskopu skaningowego (SEM) Morfologia porów Deng Z.Y., Fukusawa T., Ando M., Microstructure and mechanical properties of porous alumina ceramics fabricated by the decomposition of aluminium hydroxide, J Am Ceram Soc, 84, 11, 2638-2644, 2001. dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 28/46

Reprezentatywny element objętości 8 modeli o różnej porowatości Długość boku kwadratu: 2 µm Liczba otworów: 200 Porowatość: V = 0.1 0.4 E = 400 GPa ν = 0.23 p = 100 MPa PSN Dyskretyzacja: 160 elementów kwadratowych na każdy z boków 16 elementów kwadratowych na każdy z otworów Liczba stopni swobody: 15 360 Liczba składników szeregu: 5 Reprezentatywny element objętości (ang. representative volume element, RVE) dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 29/46

Zastępczy moduł Younga - homogenizacja Średnie odkształcenia: ε ij = 1 u in jdγ 0 (1) A Γ 0 Zastępczy moduł Younga: E = p ε 11 (2) Odkształcony układ o największej porowatości V = 0.4 dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 30/46

Porównanie wyników analizy z innymi modelami Model analityczny, Kachanov, 1993: E = E 1 V 1 + 2V, (3) Model empiryczny 1, Deng i inni, 2001: E = E(1 V ) 2.8, (4) Model empiryczny 2, Cannillo i inni, 2003 E = E exp( bv ). (5) dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 31/46

Wyniki homogenizacji Względny zastępczy moduł Younga 1 0.9 0.8 0.7 Kachanov Model empiryczny 1. Model empiryczny 2., b=3.19 Model empiryczny 2., b=3.56 SWMEB E /E 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 V Wyniki analizy SWMEB zgadzają się z wynikami uzyskanymi przez innych autorów za pomocą modelu analitycznego oraz modeli empirycznych. dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 32/46

Materiał kompozytowy Kompozyt o osnowie z żywicy epoksydowej wzmacniany włóknami szklanymi National Institute of Standards and Technology, USA http://www.bfrl.nist.gov/nanoscience/gallery dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 34/46

Reprezentatywny element objętości Parametry modeli i metody Długość boku kwadratu: 0.5 mm Liczba wtrąceń: 105 Udział objętościowy włókien: F = 0.1 0.4 Osnowa: E m = 3.6 GPa, ν m = 0.35 Włókna: E f = 72 GPa, ν f = 0.2 p = 50 MPa PSO Dyskretyzacja: 160 elementów kwadratowych na każdy z boków 18 elementów kwadratowych na każdy z otworów Liczba stopni swobody: 10 120 Liczba składników szeregu: 5 Reprezentatywny element objętości dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 35/46

Zastępczy moduł Younga Porównanie wyników analizy z innymi modelami: 1 Odwrotna zasada mieszanin: E 2 = 2 Model półempiryczny Halpina-Tsaia: E f E m FE m + (1 F )E f. (6) E 2 = E m 1 + ζηf 1 ηf, ζ = 2 + 40F 10, η = 3 Analiza numeryczna komórki elementarnej za pomocą konwencjonalnej MEB (Eischen i Torquato, 1993). E f E m 1 E F E m + ζ. (7) dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 36/46

Wyniki homogenizacji Względny zastępczy moduł Younga E 2 /E m 5 4 3 2 Odwrotna zasada mieszanin Halpin Tsai MEB, Eischen i Torquato SWMEB 1 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 V f Wyniki analizy SWMEB zgadzają się z wynikami uzyskanymi za pomocą pozostałych modeli. dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 37/46

Liczba iteracji Tarcza perforowana: 100 otworów równomiernie, 10 400 stopni swobody. dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 38/46

Czas analizy Tarcza perforowana: 100 otworów rozmieszczonych równomiernie, 10 400 stopni swobody. dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 39/46

Pamięć Analiza materiału kompozytowego jest mniej efektywna w porównaniu z analizą tarcz perforowanych. dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 40/46

Literatura Cannillo V., Leonelli C., Manfredini T., Montorsi M., Boccaccini A.R., Computational simulations for the assessment of the mechanical properties of glass with controlled porosity, J Porous Mat, 10, 189-200, 2003. Deng Z.Y., Fukusawa T., Ando M., Microstructure and mechanical properties of porous alumina ceramics fabricated by the decomposition of aluminium hydroxide, J Am Ceram Soc, 84, 11, 2638-2644, 2001. Dyląg Z., Jakubowicz A., Orłoś Z., Wytrzymałość materiałów. Tom II, WNT, Warszawa, 1997. Eischen J.W., Torquato S., Determining elastic behavior of composites by the boundary element method, J Appl Phys, 74, 1, 159-170, 1993. German J., Podstawy mechaniki kompozytów włóknistych, Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki, Kraków, 1996. dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 42/46

Literatura Halpin J.C., Kardos J.L., The Halpin-Tsai equations: A review, Polym Eng Sci, 5, 344-352, 1976. Hu N., Wang B., Tan G.W., Yao Z.H., Yuan W.F., Effective elastic properties of 2-D solids with circular holes: numerical simulations, Compos Sci Technol, 60, 1811-1823, 2000. Kachanov M., On the effective moduli of solids with cavities and cracks, Int J Fracture, 59, R17-R21, 1993. Kouznetsova V.G., Computational homogenization for the multi-scale analysis of multi-phase materials, PhD thesis, Technische Universiteit Eindhoven, 2002. Liu Y.J., A new fast multipole boundary element method for solving large-scale two-dimensional elastostatic problems, Int J Numer Meth Eng, 65, 863-881, 2006. dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 43/46

Literatura Ptaszny J., Fedeliński P., Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych dla dwuwymiarowych zagadnień elastostatyki, Modelowanie Inżynierskie, 32, 1, 407-414, 2006. Ptaszny J., Fedeliński P., Fast multipole boundary element method for the analysis of plates with many holes, Arch Mech, 59, 4-5, 385-401, 2007. Yao Z., Kong F., Wang H., Wang P., 2D Simulation of composite materials using BEM, Eng Anal Bound Elem, 28, 927-935, 2004. Liu Y.J., Nishimura N., The fast multipole boundary element method for potential problems: A tutorial, Eng Anal Bound Elem, 30, 371-381, 2006. Nishimura N., Fast multipole accelerated boundary integral equation methods, Appl Mech Rev, 55, 4, 299-324, 2002. dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 44/46

Literatura Rokhlin V., Rapid Solution of Integral Equations of Classical Potential Theory, J Comput Phys, 60, 187-207, 1983. Wang H., Yao Z., Wang P., On the preconditioners for fast multipole boundary element methods for 2D multi-domain elastostatics, Eng Anal Bound Elem, 29, 673-688, 2005. Yamada Y., Hayami K., A multipole boundary element method for two dimensional elastostatics, Tech. Report, METR 95-07, Math. Eng. Section, Dept. Math. Eng., Information. Phys., Univ. Tokyo, 1995. dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 45/46

Dziekuję za uwagę LaTeX Template based on Oxygen, http://www.kde.org/kdeslides/ dr inż. Jacek Ptaszny Przykłady analizy. Część 1. 46/46