STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.

Podobne dokumenty
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Statystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych

Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

Hipotezy statystyczne

Hipotezy statystyczne

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość

Statystyka matematyczna

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Statystyka matematyczna dla leśników

VII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY

TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas

Weryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1

Uwaga. Decyzje brzmią różnie! Testy parametryczne dotyczące nieznanej wartości

Testowanie hipotez statystycznych.

WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

Testowanie hipotez statystycznych

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Testowanie hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji

Statystyka matematyczna i ekonometria

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

Testowanie hipotez statystycznych cd.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

Prawdopodobieństwo i statystyka

166 Wstęp do statystyki matematycznej

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. Testowanie hipotez Estymacja parametrów

Testowanie hipotez statystycznych.

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

Weryfikacja hipotez statystycznych

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

Wnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez. Statystyka

Weryfikacja hipotez statystycznych

Badanie zgodności dwóch rozkładów - test serii, test mediany, test Wilcoxona, test Kruskala-Wallisa

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA wykład 8. Wnioskowanie. Weryfikacja hipotez. Wanda Olech

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Testowanie hipotez statystycznych

LABORATORIUM 3. Jeśli p α, to hipotezę zerową odrzucamy Jeśli p > α, to nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

1. szereg wyliczający (szczegółowy) - wyniki są uporządkowane wyłącznie według wartości badanej cechy, np. od najmniejszej do największej

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd.

STATYSTYKA

Testowanie hipotez. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25

Weryfikacja hipotez statystycznych

Zad. 4 Należy określić rodzaj testu (jedno czy dwustronny) oraz wartości krytyczne z lub t dla określonych hipotez i ich poziomów istotności:

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

Statystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )

Weryfikacja hipotez: Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji. o prawdziwości którego

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

weryfikacja hipotez dotyczących parametrów populacji (średnia, wariancja)

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH

... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).

Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej. średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym

Zadania ze statystyki cz.8. Zadanie 1.

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski

Testowanie hipotez statystycznych.

Zawartość. Zawartość

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

Statystyka i opracowanie danych - W 4: Wnioskowanie statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2

Porównanie modeli statystycznych. Monika Wawrzyniak Katarzyna Kociałkowska

TESTY NIEPARAMETRYCZNE. 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa.

Testowanie hipotez statystycznych

Statystyka matematyczna. Wykład V. Parametryczne testy istotności

Zadania ze statystyki cz. 8 I rok socjologii. Zadanie 1.

Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/

dr hab. Dariusz Piwczyński, prof. nadzw. UTP

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności

Kolokwium ze statystyki matematycznej

LABORATORIUM Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz.

WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

a. opisać badaną cechę; cechą X jest pomiar średnicy kulki

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

Transkrypt:

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.

Wysuwamy hipotezy: zerową (podstawową H ( θ = θ i alternatywną H, która ma jedną z następujących postaci H ( θ >, H θ <, H θ θ ( θ ( θ

Postępowanie przy weryfikacji powyższych hipotez jest następujące. Wybieramy pewną statystykę U n o rozkładzie zależnym od parametru θ oraz pewną liczbę α z przedziału (, i wyznaczamy podzbiór K zbioru liczb rzeczywistych tak by spełniony był warunek P n θ = θ = α ( U K czyli aby prawdopodobieństwo, iż statystyka U n przyjmie wartość ze zbioru K, przy założeniu, że prawdziwa jest hipoteza zerowa było równe α. 3

. Pobieramy próbę i obliczamy wartość un statystyki 3. Podejmujemy decyzje gdy gdy odrzucenia H. u n K odrzucamy H, u n K przyjmujemy H (nie ma podstaw do U n 4

Uzasadnienie: Hipotezę H odrzucamy gdy u n K bowiem prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia U n K jest bardzo małe przy założeniu, że prawdziwa jest hipoteza H i skoro takie zdarzenie dla pobranej próby zaszło, należy sądzić, że założenie o prawdziwości hipotezy H było niesłusznie przyjęte. 5

Terminologia. U n - sprawdzian, (statystyka testowa K zbiór krytyczny (zbiór odrzuceń, α - poziom istotności (typowe wartości α :,;,5;,. αˆ - krytyczny poziom istotności (poziom istotności przy którym następuje zmiana decyzji. 6

Błędy decyzji w teście sprawdzającym hipotezę H. Decyzja Przyjmujemy H Odrzucamy H H - prawdziwa Decyzja właściwa Błąd I rodzaju H - fałszywa Błąd II rodzaju Decyzja właściwa Prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju wynosi: P( U n K H = α Prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju wynosi: P( U n K H = β 7

Testy do weryfikacji hipotez o wartości oczekiwanej I. Cecha X populacji ma rozkład normalny N(m, σ, σ jest znane Hipoteza zerowa H ( m = m H H ( m > m X σ / U Zbiór kryt. K Wyznaczanie n liczby k Φ = α m H ( m < m ( ; k > n < k ; H m ( ; k > < k ; ( m Nr testu (k Φ(k = α α Φ ( k = II. Cecha X populacji ma rozkład normalny N(m, σ, σ nie jest znane. Hipoteza zerowa H ( m = m H U n Zbiór kryt. K Wyznaczanie liczby k H ( m > m < k ; ( T k = α H ( m < m X m ( ; k > P( Tn k = α 5 H ( S / n m m ( ; k > < k ; P( Tn k = α 6 III. Cecha X populacji ma dowolny rozkład, próba jest liczna n >. Hipoteza zerowa H ( m = m H U Zbiór kryt. K Wyznaczanie n liczby k 3 Nr tes tu P n 4 Nr test u H ( m > m X m < k ; Φ(k = α 7 H ( m < m ( ; k > Φ(k = α S / n 8 H ( m m ( ; > < k ; α k Φ ( k = 9 8

Test do weryfikacji hipotezy o prawdopodobieństwie sukcesu Cecha X populacji ma rozkład zerojedynkowy P ( X = = p, P( X = = p, p (; Hipoteza zerowa H ( p = p Próba liczna n> H Nr testu (k U n Zbiór kryt. K Wyznaczanie liczby k p < k ; Φ = α H ( p > p W n H p ( p ( p < p ( ; k > Φ(k = α H W średnia ( p p ( ; k > < k ; α Φ( k = częstość sukcesu k W = n 9

H Test do weryfikacji hipotez o odchyleniu standardowym Cecha X populacji ma rozkład normalny N(m, σ. Hipoteza zerowa H ( σ = σ H ( σ > σ Nr testu U n Zbiór kryt. K Wyznaczanie liczb k i l < k ; P( Y n k = α 3 ns ( ; k P( Y n k = α 4 σ ( ; k > < l ; P( Y n l = α / 5 H ( σ < > σ H ( σ σ P n ( Y k = α / Uwaga: dla n>3 można stosować statystykę U o rozkładzie N(,. ns = ( n σ

Testy do porównywania wartości oczekiwanych Badane są dwie cechy X i Y różnych populacji. Zakładamy, że cechy te są zmiennymi losowymi niezależnymi. Z populacji, w której badana jest cecha X pobrano próbę n elementową, natomiast z drugiej populacji pobrano próbę n elementową.. Cechy X i Y mają rozkłady normalne odpowiednio N ( m, σ, N( m, σ, przy czym odchylenia standardowe σ i σ są znane. Hipoteza zerowa H ( m = m H U n n Zbiór kryt. K Wyznaczanie liczby k Nr testu H ( m > m X Y < k ; Φ(k = α 6 H ( m < m ( ; k > Φ(k = α σ σ 7 H ( + m m ( ; k > < k ; α n n Φ( k = 8

. Cechy X i Y mają rozkłady normalne odpowiednio N ( m, σ, N( m, σ, przy czym odchylenia standardowe obu cech są sobie równe i nie są znane. Hipoteza zerowa H ( m = m H U Zbiór kryt. Wyznaczanie n n K liczby k H ( m > m X Y < k ; ns + ns n + n H ( m < m n + n nn ; k > H( m m ( ; k > Wielkość P( T = α + n k Nr testu n 9 ( P( T + n k = α < k ; n P( Tn + n k = α ns + ns n + n S p = n + n nn nazywamy wariancją połączonych populacji. 3. Cechy X i Y mają rozkłady dowolne o wartościach oczekiwanych m, m, przy czym próby są liczne, n >. H m = n, H H ( m > m U n n X Y ( m Zbiór kryt. K Wyznaczanie liczby k Nr testu < k ; Φ(k = α S S + H ( m < m n n ( ; k > Φ(k = α 3 H ( m ( ; k > < k ; m α Φ( k = 4

Test do porównywania prawdopodobieństw sukcesu. Badane są dwie cechy X i Y różnych populacji o rozkładach zerojedynkowych, P X = = p, P( X = =, P ( p ( Y = = p, P( Y = = p, Z populacji, której badana jest cecha X pobrano próbę n elementową, natomiast z drugiej populacji pobrano próbę n elementową. Obie próby są liczne n, n >. Hipoteza zerowa: H ( p = p H U n n Zbiór kryt. K Wyznaczanie liczby k Nr testu H ( p > p W W < k ; Φ(k = α 5 H ( p < p ( ; k > Φ(k = α n + n 6 H ( W( W p p ( ; k > < k ; α nn Φ( k = 7 W, W średnie częstości sukcesów w poszczególnych próbach, W = k / n, W = k / n, W k + k /( n + = ( n - średnia częstość sukcesu w połączonych próbach, n n W = W + W n + n n + n 3

Test do weryfikacji hipotez o porównywaniu wariancji Cechy X i Y mają rozkłady normalne odpowiednio N ( m, σ, N( m, σ. Z populacji, w której badana jest cecha X pobrano próbę n elementową, natomiast z drugiej populacji pobrano próbę n elementową. Tak dobieramy oznaczenia populacji aby Sˆ n S n ˆ Hipoteza zerowa H ( σ = σ H H( σ > σ U ˆ Sˆ n n n n Zbiór kryt. K S < k ; Wyznaczanie liczby k P ( Fn ; n k (F - rozkład Snedecora = α Nr testu 8 4

Przykłady Przykład. Według danych producenta, określony typ samochodu zużywał l/km. Po dokonaniu pewnych usprawnień w tym typie samochodu oczekuje się, że zużycie paliwa spadnie. Aby to sprawdzić dokonano pomiaru zużycia paliwa w 5 losowo wybranych samochodach tego typu po modernizacji i otrzymano wynik x = 9, 5 3 l/km. Zakładając, że zużycie paliwa ma rozkład normalny N(m, sprawdzić czy modernizacja istotnie zmniejszyła zużycie paliwa. Przyjąć α =,5. 5

Rozwiązanie. Zastosujemy test. H ( m =, H( m <, α =,5 zatem Φ(k = α =,95 stąd k =,64 Zbiór krytyczny K = (- ; -,64> Wartość statystyki 9,3 u = 5 =,75 interpretacja graficzna:,5 -,75 --,64 Ponieważ u K to hipotezę H odrzucamy. Zatem zmiany konstrukcyjne istotnie zmniejszyły zużycie paliwa. 6

Obliczymy dla jakich wartości średniej z próby 5 - elementowej decyzja byłaby taka sama: x < 9, 5 <,64 x < 9, 34 Zatem dla x 34 wartość U należy do zbioru krytycznego. 7

Wyznaczymy krytyczny poziom istotności αˆ. Φ (,75 = αˆ,96 stąd αˆ,4. Zatem dla α <,4 podjęlibyśmy inną decyzję. Zauważmy, że odrzucając hipotezę H narażamy się na popełnienie błędu I rodzaju (prawdopodobieństwo jego popełnienia wynosi,5. 8

Przykład. Dla sytuacji z poprzedniego przykładu niech x = 9,44 5. Rozpatrzmy hipotezy H ( m =, H( m = 9, Zastosujemy test. 9

Zbiór krytyczny jak poprzednio K = (- ; -,64> Wartość statystyki 9,44 u = interpretacja graficzna: 5 =,4,5 -,64 -,4 Ponieważ u K to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H. Przyjmując hipotezę H narażamy się na popełnienie błędu II rodzaju. Wyznaczymy krytyczny poziom istotności αˆ. Φ (,4 = αˆ,9 stąd αˆ,8. Zatem dla α >,8 podjęlibyśmy inną decyzję.

Obliczymy prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju. X β = P( U K m = 9 = P 5 >,64 m = 9 = = ( > 9,344m = 9 P X = X 9 9,344 9 P 5 > 5 = Φ(,86, Zatem przyjmując hipotezę H możemy zakwalifikować około % samochodów mających zużycie 9 l/km jako samochody o zużyciu l/km.

Interpretacja powyższych wyników na wykresie gęstości rozkładów N(9, /5 i N(, /5. 9,5 9,44, Uwaga. Z powyższego wykresu widać, że gdy n rośnie (wykresy są bardziej smukłe to maleje p-stwo popełnienia błędu II rodzaju dla danego zbioru krytycznego, gdy maleje p-stwo popełnienia błędu I rodzaju to rośnie p-stwo popełnienia błędu II rodzaju

Moc testu Niech H ( θ = θ, H( θ = θ, K = zbiór krytyczny, określamy moc testu w punkcie θ = θ jako M ( θ = P( U K θ = θ Jest to prawdopodobieństwo odrzucenia hipotezy H, gdy θ = θ Uwaga M ( θ = α θ β = ( M (im większa moc testu tym mniejsze prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju 3

Uwaga Test dla weryfikacji hipotez H ( θ = θ, H ( θ = θ, jest nazywany testem najmocniejszym, jeśli jego moc dla θ = θ jest największa w porównaniu z innymi testami (poziom istotności ten sam. Dla testu najmocniejszego prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju jest najmniejsze. 4

Przykład Wyznaczymy funkcję mocy testu z poprzedniego przykładu. Rozpatrzmy hipotezy H ( m =, H( m = 9, α =,5, zbiór krytyczny K = ( ;, 64>. 5

X M ( m = P 5 = P <,64 m = m 9,344 m ( X < 9,344 m = m = Φ 5 = 6

Wartości funkcji zestawiamy w tabeli: 8, 8,5 9, 9,5, 9,344 m m' 5 Wykres funkcji M (m 3,36,,86,39,64 M(m',9996,98,85,348,5 7

Przykład Dwie brygady produkują detale. Z partii detali wyprodukowanych przez I brygadę wylosowano szt. i wśród nich było braków. Z partii detali wyprodukowanych przez II brygadę wylosowano 9 szt. i wśród nich było 3 braków. Na poziomie istotności α =, sprawdzić hipotezę, że odsetek braków w I brygadzie jest niż niższy niż w II brygadzie. 8

Rozwiązanie. Zastosujemy test 6. H ( p = p, H( p < p, α =, Zbiór krytyczny K = ( ;,33> Obliczamy: w ; w = 3/ 9 = / w = 5 /9 Wartość statystyki u =,8 9

interpretacja graficzna:, --,33 -,8 Ponieważ u K to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H. Oznacza to, że w granicach błędu statystycznego obie brygady mają ten sam odsetek braków. 3

Wyznaczymy krytyczny poziom istotności αˆ. Φ (,8 = αˆ,96485 stąd αˆ,35. Zatem dla α >,35 podjęlibyśmy inną decyzję. 3

Przykład. Dokładność pracy obrabiarki sprawdza się wyznaczając odchylenie standardowe średnicy toczonego detalu, powinno ono wynosić σ =,. Zmierzono średnice (mm losowo wybranych detali i otrzymano:,6; 99,6;,;,;,3;,; 99,9;,;,4;,6;,5. Zakładając, że średnice detali mają rozkład normalny, sprawdzić na podstawie powyższych danych, że obrabiarka ma pożądaną dokładność. Przyjąć poziom istotności,5. 3

Rozwiązanie. Zastosujemy test 5. H ( σ =,, H( σ >,, α =,5 Zbiór krytyczny K = <8,37; Obliczamy: x =, s, 9 = Wartość statystyki u = interpretacja graficzna:,9,4 = 5,5 8,37 5 Ponieważ u K to hipotezę H odrzucamy. Zatem należy sądzić, że obrabiarka ma gorszą dokładność niż pożądana. Wyznaczymy krytyczny poziom istotności αˆ. Y (5 = αˆ,5 Zatem dla α <,5 podjęlibyśmy inną decyzję. 33