4 Cálculo Diferencial (Soluções)

4 Cálculo Diferencial (Soluções). a) ( tg ) = = cos tg, b) ( ) +cos cos (+cos ) sen = +, ( sen ) c) (e arctg ) = earctg +, d) ( e ) log = e log log, para > 0, e) ( sen cos tg ) = (sen ) = sen cos = sen, para π + kπ, f) ( ( + log ) ) = 3 + log, g) (cos arcsen ) = sen(arcsen ) =, h) ( (log ) ) = ( e ) log((log ( ) ( ) ) = e log(log ) = (log ) log(log ) + log ), i) ( sen ) = ( e sen log ) ( ) = sen cos log + sen.. a) (arctg 4 (arctg ) 4 ) = 43 4 arctg3. + 8 + b) ((sen ) ) = (e log sen ) = (log sen + cos sen = (log sen + cos )(sen sen ). c) (log log ) = d) ( sen sen sen log. ) = cos(sen ) cos sen sen(sen ) cos sen. )e log sen e) ( (arctg ) arcsen ) = (arctg ) arcsen ( log arctg + arcsen arctg (+ )). 3. a) f () = é diferenciável em R \ {0} por ser o produto de duas funções diferenciáveis em R \ {0}. Em = 0, temos f 0 d (0) 0 + f e (0) 0 0 0 0 8 0 + = 0 = 0. 0 +

Como f d (0) = f e (0), a função é também diferenciável para = 0, ou seja é diferenciável em R, com derivada f () =, se > 0, f (0) = 0, f () =, se < 0. b) f () = e é diferenciável em R \ {0} por ser dada pela composição da função eponencial que é diferenciável em R e, que é diferenciável em R \ {0}. Em = 0, tem-se f e (0) = e f (0) = (justifique!), logo f não é diferenciável em 0. d c) f () = log é diferenciável no seu domínio, R\{0}, por ser dada pela composição de log, que é diferenciável no seu domínio R + e que é diferenciável em R\{0}. d) f () = e é diferenciável em R\{0} (como em b)). Em = 0, f (0) = 0, f d e (0) = (justifique!), logo f não é diferenciável em 0. 4. a) log( sh ): domínio R\{0}, domínio de diferenciabilidade R\{0}, (log( sh )) = sh + ch. sh b) arcsen(arctg ): domínio [ tg, tg ], domínio de diferenciabilidade ] tg, tg [, (arcsen(arctg )) = (+ ) arctg. e c) e : domínio R \ { }, domínio de diferenciabilidade R \ { }, ( + + ) = e. (+) 5. f d (0) 0 + f () f (0) 0 0 + f () f (0) 0 = 0; +e / f e (0) 0 0 =. +e / (Nota: Logo f é contínua mas não diferenciável em 0.) 6. Para calcularmos as derivadas laterais, é necessário determinar primeiro f (0). Como f é contínua em 0, f (0) 0 f (). Temos e = +, e 0 + 0 = 0, logo e portanto f (0) = 0. (Também podíamos calcular: f () + e 0 0 + e = 0 = 0, Agora, f () + e 0 + 0 + + e f () f (0) f d (0) 0 + 0 0 + e + e 0 + + e + e + = 0 = 0.) e + 0 + e + =, 83

f e (0) 0 f () f (0) 0 + e 0 + e (Nota: De novo, f é contínua mas não diferenciável em 0.) =. 7. f : R R definida por: sen ( f () = ), se 0, 0, se = 0. a) Para 0, f é dada pelo produto de duas funções diferenciáveis: que é uma função polinomial, e sen que é a composta de uma função trigonométrica, diferenciável em R, com, diferenciável em R \ {0}. Logo f é diferenciável em R \ {0}. Temos para 0: ( ( f () = sen + ) cos ) Não eiste 0 f () porque não eiste ( ) cos 0 (e uma vez que 0 sen ( ) = 0 (justifique!)). b) 0 sen( ) 0 sen ( ) = 0. Logo f é diferenciável em = 0 e f (0) = 0. = sen ( ) ( cos. ) 8. Usando o teorema da derivação da função composta, uma vez que f é diferenciável em R e sen também: g () = f (sen ) cos + cos( f ()) f (). Logo, dado que f (0) = f (π) = 0, temos g (0) = f (sen 0) cos 0 + cos( f (0)) f (0) = f (0) + f (0) = f (0) e g (π) = f (sen π) cos π + cos( f (π)) f (π) = f (0) + f (π). Então, g (0) + g (π) = f (0) f (0) + f (π) = f (0) + f (π). 9. Usando o teorema da derivação da função composta, uma vez que f é diferenciável em R e arctg também, (arctg f () + f (arctg )) = + f () f () + f (arctg ) +. 84

0. Do teorema de derivação da função composta, para ]0, + [, ϕ () = e g(log ) ( g(log ) ) = e g(log ) g (log ). Logo, Derivando ϕ, temos ϕ () = e g(0) g (0). ϕ () = e g(log ) ( (g (log ) ) g (log ) + g (log ) ). Logo, ϕ (e) = e g() ( ( g () ) g () + g () ).. (g f ) () = g ( f ()) f () = g ( 4 e )(4 3 e 4 e ) = g ( 4 e ) 3 e (4 ).. a) arcsen é diferenciável em ], [ e g é diferenciável em R, logo em ], [, f é dada pela composição de funções diferenciáveis e é assim diferenciável. Temos f () = g (arcsen ) f (0) = g (0) =. b) Como g é estritamente monótona e arcsen é injectiva, temos que f também será injectiva. Pelo Teorema de derivação da função inversa, ( f ) () = f ( f () ), se f ( f () ) 0. Como f (0) = g(0) =, temos f () = 0, e f (0) = 0, logo ( ) f () = =. 3. a) Uma vez que arcos é diferenciável em ], [ e f é diferenciável em R com contradomínio ], [, a função composta será também diferenciável em R. Por outro lado, f é bijectiva, em particular injectiva, e arcos é também injectiva. Conclui-se que a composta será uma função injectiva. Temos g () = f () f (). 85

Logo g () = f () f () =. Do Teorema de derivação da função inversa, temos agora que ( ) π (g ) = ( ( )). g g π Como g() = arcos( f ()) = arcos(0) = π, temos g ( π =. g () ) =, ou seja (g ) ( π ) = b) O domínio de g é o contradomínio de g. Como f é sobrejectiva, f (R) =], [ e D g = g(r) = arcos(], [) =]0, π[. Uma vez que g é injectiva e contínua, será monótona, e portanto g (0 + ) < g () < g (π ) e g não terá máimo nem mínimo. Aliás, o contradomínio de g é o domínio de g, ou seja, R, e assim g não é itada. 4. a) i) ch sh = (e +e ) 4 (e e ) 4 = (e ++e ) (e +e ) iv) sh ch = (e e )(e +e ) 4 = e e = sh ; v) De i) e iv), temos ch = + sh sh = b) Resulta directamente da definição. 4 = ; ch. Logo, sh ( ) = ch. c) + sh = +, sh =, + ch ch = +. d) sh e ch são contínuas e diferenciáveis no seu domínio R, uma vez que a função eponencial o é. Tem-se ( e (sh ) e ) = = e ( e ) = ch, ( e (ch ) + e ) = = e + ( e ) = sh. e) (sh ) = ch > 0 para qualquer R, logo sh é estritamente crescente em R, e não tem etremos. (ch ) = sh > 0 para > 0 e (ch ) = sh < 0 para < 0. Logo ch é decrescente em ], 0] e crescente em [0, + [, tendo um ponto de mínimo absoluto em 0, ch 0 =. f) Temos sh : R R estritamente crescente, logo a sua inversa argsh : R R é dada por, para, y R, argsh = y = ey e y e y e y = 0 e y e y = 0 e y = ± 4 + 4. 86

Como e y > 0, temos e y = + 4 + 4 = + + y = log( + + ). Para argch, é semelhante, sendo que temos de restringir ch y a y 0. 5. a) Verdadeira, uma vez que f sendo diferenciável em ]0, [ será também contínua em qualquer intervalo [ n+, n], para n. Logo, pelo Teorema de Weierstrass tem máimo e mínimo no intervalo fechado [ n+, n]. b) Falsa: por eemplo, a função f () = sen π verifica f ( n+) = 0 e f não é itada (justifique!). c) Verdadeira: para n, f é contínua em [, ] e diferenciável em ], n+ n n+ n[, com f ( ) ( ) n = f n+. Logo, do Teorema de Rolle, f tem um zero em ], n+ n[, para cada n N. 6. Note-se primeiro que o gráfico de f cruza a recta y = em três pontos sse a equação f () = tem três soluções. Seja g : R R dada por g() = f (). Então, g tem três zeros. Logo, do Teorema de Rolle, g tem pelo menos dois zeros e g tem pelo menos um zero. Mas Logo f tem pelo menos um zero. g () = f () g () = f (). 7. Seja f () = 3 e. Então f é contínua e diferenciável em R. Uma vez que f () = +, f (0) = conclui-se do Teorema do Valor Intermédio que f tem um zero em ], 0[. Por outro lado, f () = 3 e > 0, f () = + logo, de novo pelo Teorema do Valor Intermédio, f tem um zero em ]0, [ e também terá um zero em ], + [. Conclui-se que f tem pelo menos 3 zeros. Para vermos que não pode ter mais do que 3 zeros, calculamos as suas derivadas: f () = 6 e, f () = 6 e. Como e é injectiva, f tem um único zero. Logo, do Teorema de Rolle, f terá no máimo três zeros. 87

8. Se f (n) = ( ) n, então f (n + ) f (n) = ( ) n+ ( ) n = ( ) n+. Agora, como f é diferenciável em R +, é contínua em [n, n + ] e diferenciável em ]n, n + [, para cada n N. Do Teorema de Lagrange temos então que eiste c n ]n, n + [ tal que f (n + ) f (n) (n + ) n = f (c n ) f (c n ) = ( ) n+ e concluimos que f (c n ) é uma sucessão divergente (tem dois subites, e ). Como n < c n < n +, temos que c n +, logo f não tem ite no infinito (se tivesse, f (c n ) seria convergente). 9. A função g será diferenciável em R\{0} e portanto será crescente em R + se g () 0 para > 0. Temos g () = f () f () 0 f () f () f () f () (note-se que > 0). Agora, aplicando o Teorema de Lagrange à função f no intervalo [0, ], temos que, como f (0) = 0, f () = f (c) para algum c ]0, [. Como f é crescente, c < f (c) f (). 0. Se a < 0 e b > 0 são as soluções não-nulas de f () =, temos f (b) = b, f (a) = a e também f (0) = 0. Aplicando o Teorema de Lagrange nos intervalos [a, 0] e [0, b], temos que eistem c ]a, 0[, c ]0, b[ tais que f (a) a = f (c ), f (b) b = f (c ), ou seja, f (c ) = a < 0 e f (c ) = b > 0. Como f é contínua ( f é de classe C ), temos do Teorema do Valor Intermédio que eiste d ]c, c [ tal que f (d) = 0.. a) : (estritamente) + crescente em [, ], (estritamente) decrescente em ], ] e em [, + [, ponto de mínimo em, ponto de máimo em, que são absolutos uma vez que ± + = 0, f ( ) = / e f () = /; b) + : crescente em [, 0[, decrescente em ], ] e em ]0, + [, ponto de mínimo em, que é absoluto, uma vez que + + = 0 e + 4 = 4 < 0. Neste e noutros esboços de solução dos eercícios aplica-se, geralmente sem eplicações adicionais, o seguinte raciocínio muito útil: se f é uma função diferenciável num intervalo aberto, com derivada positiva (resp. negativa), e contínua no respectivo intervalo fechado então f é estritamente crescente (resp. decrescente) no intervalo fechado. Além disso o advérbio estritamente será omitido pois do conteto tal é geralmente óbvio. 88

c) 5 + 6 : crescente em [, 5 ] e em [3, + [, decrescente em ], ] e em [ 5, 3], pontos de mínimo em, 3, absolutos uma vez que 5 + 6 > 0, para, 3, e ponto de máimo em 5, local uma vez que ± 5 + 6 = +. (Nota: 5 + 6 não é diferenciável em e 3.) d) log : crescente em [e, + [, decrescente ]0, e ], ponto de mínimo em e, absoluto. e) e : crescente em ], 0], decrescente em [0, + [, ponto de máimo em 0, absoluto. f) e : crescente em [, + [, decrescente em ], 0[ e em ]0, ], ponto de mínimo em, relativo uma vez que 0 e =. g) e : crescente em ], ], decrescente em [, + [, ponto de máimo em que é absoluto. h) arctg log + : crescente em ], ], decrescente em [, + [, ponto de máimo em, que é absoluto.. f : R R definida por f () = e. a) f () e é uma indeterminação do tipo 0. Escrevendo e = e, ficamos com uma indeterminação do tipo, que podemos resolver usando a Regra de Cauchy: e ( ) e ( ) e = 0. Como a função é par, + f () f () = 0. b) A função e é diferenciável em R e é diferenciável em R \ {0}. Logo, para 0, f é dada pelo produto de duas funções diferenciáveis, sendo portanto diferenciável. Para = 0: e 0 + e 0 + e =, 0 + e e e =. 0 0 0 + Logo, f (0) f d e (0) e f não é diferenciável em 0. Conclui-se que o domínio de diferenciabilidade de f é R \ {0} e neste caso ( ) e = e ( ), se > 0, f () = ( ) e = e ( ) se < 0. 89

c) Usamos a alínea anterior. Para > 0: f () > 0 e ( ) > 0 < < > 0 0 < <, f () = 0 =, logo f é crescente em [0, ] e decrescente em [, + [. Para < 0: f () > 0 e ( ) > 0 ( < > ) < 0 < f ( ) = 0 logo f é crescente em ], ] e decrescente em [, 0]. Conclui-se que e são pontos de máimo, absolutos uma vez que f ( ) = f (). Como f é decrescente em [, 0] e crescente em [0, ], temos também que 0 é ponto de mínimo, absoluto uma vez que f (0) = 0 e f () > 0, para 0. d) Temos da alínea anterior que f tem um máimo absoluto em, com f () = e e um mínimo absoluto em 0 com f (0) = 0, logo f (R) [0, e ]. Como f é contínua em [0, ], temos também, do Teorema do Valor Intermédio, que [0, e ] f (R). Logo o contradomínio de f é f (R) = [0, e ]. 3. g : R R definida por: e + α + β se 0, g() = arctg (e + e ) se > 0, onde α e β são constantes reais. a) Se g tem derivada finita em 0, será contínua em 0, logo g(0) = g(0 + ) = g(0 ), ou seja, g(0) = + β 0 + arctg (e + e ) = arctg = π 4, logo β = π. Por outro lado, g é diferenciável em 0 logo 4 g e(0) = g (0) e temos d e + α + π g e(0) π 4 4 0 e + α = α +, 0 arctg (e + e ) π g 4 d (0) 0 + e e 0 + + (e + e ) = 0 (onde se usou a Regra de Cauchy na indeterminação 0 ) logo α =. 0 90

b) (Justifique!). g() e + π 4 = + g() arctg + + (e + e ) = π c) g é diferenciável em R (justifique) e e se 0, g () = e e se > 0. +(e +e ) d) Temos para 0: g () = e < 0 para qualquer < 0 e g (0) = 0. Logo g é decrescente em ], 0]. Para > 0: g e () = e > 0 e > e e > > 0. Logo g é +(e +e ) crescente em ]0, + [. Conclui-se que 0 é um ponto de mínimo, absoluto usando a continuidade de g em 0. e) Da alínea anterior temos que g(0) = π 4 é um mínimo absoluto, logo g() π 4 para qualquer e g(r) [ π 4, + [. Por outro lado, g() = + e g é contínua em ], 0]. Conclui-se do Teorema do Valor Intermédio que [ π 4, + [ g(r). Logo o contradomínio de g é g(r) = [ π 4, + [. 4. f () = e. a) f () e é uma indeterminação do tipo 0. Escrevendo e = temos uma indeterminação do tipo a que podemos aplicar a e Regra de Cauchy: = 0. e e Da mesma forma, f () + + e + + e + = 0. e b) A função é diferenciável em R \ {0, } por ser dada nesse conjunto pelo produto de duas funções diferenciáveis: diferenciável em R \ {0} e e diferenciável em R \ {} (por ser a composta de duas funções: eponencial diferenciável em R e diferenciável em R \ {}). Em = : e + e + + + e + ( ) = 0 9

(onde se usou a Regra de Cauchy para levantar a indeterminação 0 ) e da mesma 0 forma, e e e ( + ) =. Logo, f () = 0 f d e () = e f não é diferenciável em. No ponto 0, pode ver-se (justifique!) que f (0) = d e f e (0) = e, logo f não é diferenciável em 0, e o seu domínio de diferenciabilidade é R \ {0, }. (e + ) = e + ( ), se >, f () = (e ) = e ( + ), se 0 < <, ( e ) = e ( + ), se < 0. c) Temos (justifique!): f () = 0 =, estudando o sinal de f e usando a continuidade de f, f crescente em ], ] e em [0, ], f decrescente em [, 0] e em [, + [. Logo, é ponto de máimo, 0 é ponto de mínimo e é ponto de máimo. Como f (0) = 0 e f () > 0 para 0, 0 é mínimo absoluto. Por outro lado, f () = e f ( ) = e <, logo é ponto de máimo absoluto, e consequentemente, é ponto de máimo relativo. d) Da alínea anterior, temos que 0 = f (0) é mínimo absoluto de f e = f () é máimo absoluto de f. Logo f (R) [0, ]. Como f é contínua em [0, ], do Teorema do Valor Intermédio, [0, ] f (R). Logo o contradomínio de f é f (R) = [0, ]. 5. f () = + arctg. a) f () + arctg + π =. + f () + + arctg + + π = +. b) A função arctg é diferenciável em R e a função é diferenciável em R \ {0}. Logo, para 0, arctg é dada pela composição de funções diferenciáveis, e é portanto diferenciável em R \ {0}, e também o será f (). Quanto a = 0: + arctg f d (0) 0 + 0 + + arctg = + 0 + + = 3 (onde se usou a Regra de Cauchy para levantar a indeterminação do tipo 0 0 arctg resultante de 0 +.) Por outro lado, + arctg f e (0) 0 0 + arctg( ) 9 = + 0 + =.

Logo, como f (0) f d e (0), f não é diferenciável em 0. Conclui-se que o domínio de diferenciabilidade é R \ {0}. Temos f +, se > 0, + () =, se < 0. + c) Para > 0, f () = + > 0 para qualquer, logo f é crescente em ]0, + [. + Para < 0, f () = =. Temos + + f () = 0 = 0 < 0 =, e, como + > 0, f () > 0 para <, ou seja, f é crescente em ], ], e f () < 0 para < < 0, ou seja f é decrescente em ], 0[. Conclui-se assim que é ponto de máimo, relativo uma vez que + f () = +. Por outro lado, como f é contínua e decrescente em ], 0[, crescente em ]0, + [, temos que 0 é ponto de mínimo, de novo relativo uma vez que f () =. d) Temos f () = e f (0) = 0, e temos um máimo relativo em com f ( ) = + arctg = + π > 0. Como f é crescente e contínua em ], ] temos que, pelo Teorema do Valor Intermédio, f (], ]) = ] ], + π. Por outro lado, como f é decrescente e contínua em [, 0] temos que f ([, 0]) = [ 0, + π ]. Logo f (], 0]) = ], + π ]. 6. Do teorema de derivação da função composta, ( ϕ() ) = ( tg ( g() ) g() ) = ( + tg ( g() ) )g () g () = g ()( tg ( g() ) + ). Logo ϕ (0) = 0. Como g (0) = 0 e g é estritamente monótona, temos que g muda de sinal numa vizinhança de 0 (se g é crescente, g () < g (0) = 0, para < 0 e g () > 0 para > 0) e portanto, como tg ( g() ) + > 0 para qualquer, ϕ também muda de sinal numa vizinhança de 0. Conclui-se que ϕ(0) é etremo de ϕ (mínimo, se g for crescente). 7. a) Como f () > 0 para 0, temos que para > 0, f () > 0, ou seja f é crescente em ]0, ɛ[, e para < 0, f () < 0, ou seja f é decrescente em ] ɛ, 0[. Como f é contínua em 0, 0 é um ponto de mínimo local. Se f é diferenciável em 0 então f (0) = 0, uma vez que 0 é ponto de etremo. b) Por eemplo, a função f : ], [ R tal que + se 0, f () = se > 0. 93

é diferenciável em R \ {0}, com f () =, e satisfaz f () > 0 para 0. Mas 0 não é ponto de etremo, uma vez que para < 0, f () > f (0) e para > 0, f () < f (0). 8. a) 0 a b log(+e b) ) + vezes): é uma indeterminação do tipo 0. Pela Regra de Cauchy: 0 a b 0 0 log a a log b b = log a log b = log a b. (4.) é uma indeterminação do tipo. Pela Regra de Cauchy (duas log( + e ) + + e + + e e + + e =. c) (log log log ) é uma indeterminação do tipo 0. Escrevendo log log log log log temos uma indeterminação do tipo, e pela Regra de Cauchy, log log log log log log log = 0. d) 0 + e / é uma indeterminação do tipo 0 0. Escrevendo e / 0 + 0 + e, / temos uma indeterminação do tipo, e pela Regra de Cauchy, 0 + e/ = 0. e/ e/ 0 + 0 + (Nota: a Regra de Cauchy aplicada directamente a 0 + e / questão... ) e) 0 e / 0 e / = + =. (Note que a Regra de Cauchy não é aplicável!) f) + log log é uma indeterminação do tipo. Temos não simplifica a log log elog(log log ) + + elog log log = e + log log log. + Agora, de c), + log log log = 0 logo log log = e 0 =. + 94

g) + é uma indeterminação do tipo 0. Temos + Agora, + log + aplicando a Regra de Cauchy, ( e log ) e log = e + log. + + log é uma indeterminação do tipo e Logo, log + + = 0. = e 0 =. + 9. a) 0 0 5 = log (ver 4.). b) 0 + sen sen 0 + (Note que não eiste 0 + sen = 0 = 0. sen ( sen ) (sen ) logo a Regra de Cauchy não é aplicável.) 30. a) + é uma indeterminação do tipo. Aplicando a Regra de Cauchy (duas vezes): + log + b) = 0 0 = 0. + (log ) 3. a) 0 + (sen ) sen é uma indeterminação do tipo 0 0. Temos (sen 0 )sen = e 0+ sen log sen. + = +. Temos que 0 + sen log sen 0 + tipo. Aplicando a Regra de Cauchy log sen sen é uma indeterminação do log sen 0 + sen 0 + cos sen cos sen sen = 0. 0 + Logo (sen 0 )sen = e 0 =. + b) + ( log ) é uma indeterminação do tipo 0. Temos ( ) log = e + log log. + 95

Agora + log log + temos log log + logo + ( log ) =. 3. a) + sen = (justifique!). b) π 4 ( tg ) tg = e (justifique!). log log é uma indeterminação do tipo e + log = 0 33. 0 sen é uma indeterminação do tipo 0 0. Temos que sen e sen log = e 0 sen log. 0 0 Vamos calcular 0 sen log, que é uma indeterminação do tipo 0. Escrevendo sen log = log ficamos com uma indeterminação do tipo e podemos sen usar a Regra de Cauchy: log 0 sen 0 cos sen sen 0 cos sen sen 0 cos = 0 = 0. Logo, 0 sen = e 0 =. Pela definição de ite, como n 0, temos agora ( ) sen n =. n 34. a) f () = e : f () = e, f () = 4e, f () = 8e. Logo a fórmula de Taylor de ordem relativa ao ponto 0 será f (0) + f (0) + f (0) + f (ξ) 3 = + + + 4 3! 3 eξ 3, em que ξ está entre 0 e. A fórmula de Taylor, de ordem, relativa ao ponto será f () + f ()( ) + f () ( ) + f (ξ) ( ) 3 3! = e + e ( ) + e ( ) + 4 3 eξ ( ) 3, 96

em que ξ está entre e. f () = log( + ): f () = +, f () = (+), f () = (+) 3. Logo a fórmula de Taylor de ordem relativa ao ponto 0 será f (0) + f (0) + f (0) + f (ξ) 3 = 3! + 3 ( + ξ) 3 3, em que ξ está entre 0 e. A fórmula de Taylor de ordem relativa ao ponto será em que ξ está entre e. f () + f ()( ) + f () ( ) + f (ξ) ( ) 3 3! = log + ( ) 8 ( ) + ( )3 3 ( + ξ) 3 f () = cos(π): f () = π sen(π), f () = π cos(π), f () = π 3 sen(π). Logo a fórmula de Taylor de ordem relativa ao ponto 0 será f (0) + f (0) + f (0) + f (ξ) 3 = π 3! + π3 6 sen(πξ)3, em que ξ ]0, [ ou ξ ], 0[. A fórmula de Taylor de ordem relativa ao ponto será f () + f ()( ) + f () ( ) + f (ξ) ( ) 3 3! em que ξ está entre e. = + π ( ) + π3 sen(πξ)( )3 6 b) f () = e : para ]0, [, temos também ξ ]0, [ e 4 3 eξ 3 4e 3. f () = log( + ): para ]0, [, temos também ξ ]0, [ e 3 ( + ξ) 3 3 3. f () = cos(π): para ]0, [, temos também ξ ]0, [ e π 3 6 sen(πξ)3 π3 6. 97

36. A fórmula de MacLaurin da função eponencial, de ordem é dado por e = + + + r (), R, em que r () = eξ 3! 3, com ξ entre 0 e. Então, para [0, ] temos ( ) e + = r () = e ξ 3! 3 3! = 6. 37. Sendo a eponencial uma função indefinidamente diferenciável, em R, temos que g é uma função de classe C num vizinhança de 0 com g() = f (e ), g () = f (e ) e, g () = f (e ) e + f (e ) e. Em particular temos g(0) = f (), g (0) = f (), g (0) = f () + f (). Atendendo ao polinómio de Taylor de f, de ordem, relativo ao ponto obtemos f () =, f () =, f () = 4 e consequentemente g(0) + g (0) + g (0) é o polinómio de Maclaurin de g, de ordem. = + 3 38. Nas condições dadas, f C n (R). A fórmula de MacLaurin de f, de ordem n é dada por f () = f (0) + f (0) + f (0) + + f (n ) (0)! (n )! n + r n (), R. Sendo f (n) () = 0, para qualquer R, a fórmula do resto de Lagrange permite concluir que r n () = f (n) (ξ) n = 0, para qualquer R, n! em particular que f é um polinómio de grau menor que n. 39. Dado que f C (I) a fórmula de Taylor de f, de ordem, relativa a um ponto a I é f () = f (a) + f (a)( a) + f (ξ) ( a), I, 98

em que ξ está entre a e. Tomando h > 0 temos, para = a + h, f (a + h) f (a) h = f (a) + f (ξ ) e para = a h f (a h) f (a) = f (a) + f (ξ ) h h em que ξ, ξ ]a h, a + h[\{a}. Resulta da igualdade f (a + h) f (a) + f (a h) = f (ξ ) + f (ξ ), h do facto de ξ, ξ a, quando h 0, e da continuidade de f no ponto a, o ite f (a + h) f (a) + f (a h) = f (a). h 0 h 4. Dado que f C (R) temos h f () = (arctg ) = +, f () = ( 4 + ) = ( 34 ) 4 ( + 4 ) f () = 8 3 3 4 5 ( + 4 ) 3. Sendo 0 o único ponto crítico de f, ou seja solução de f () = 0, a segunda derivada f (0) = > 0 mostra que f tem um mínimo no ponto 0. Atendendo a que f (0) = 0 e f é não negativa 0 é um mínimo absoluto. Os pontos de infleão de f são as soluções da equação f () = 0, neste caso ± 4 3. Tal facto decorre de f (± 4 ) 0. 3 4. Dado que f C (R) temos f () = ( 4 e ) = 3 (4 ) e, f () = ( 8 + ) e, f () = (4 36 + 3 ) e, f (4) () = (4 96 + 7 6 3 + 4 ) e. Os pontos críticos de f, i.e. as solução de f () = 0, são 0 e 4. A função é estritamente crescente no intervalo ]0, 4[ e estritamente decrescente nos intervalos ], 0[ e ]4, + [ porque, em tais intervalos, a função f é, respectivamente, positiva e negativa. 99

A segunda derivada f (4) = 64 e 4 < 0 mostra que f tem um máimo local no ponto 4, enquanto que as derivadas de ordem 3 e 4, f (3) (0) = 0, f (4) (0) = 4 > 0 revelam que f tem um mínimo local no ponto 0. Os pontos de infleão de f são soluções da equação f () = 0, neste caso em e 6. Tal facto decorre de f (3) () = 6e 0 e f (3) (6) = 48e 6 0. Os ites de f em ± eistem, em R, e são dados por f () 4 e 4 = + e f () + + e = 0. O gráfico de f pode agora ser esboçado: 0 6 4 00