Cálculo III-A Módulo 4 Tutor

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1 Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Cálculo III-A Módulo 4 Tutor Eercício : Calcule a integral iterada Solução: Temos, e ddd. 3 e e ddd e dd ) / )dd e )d 3 [ ] 3 e e 3 ). 3 e 3 e ) / dd [ ) ] 3/ d Eercício : Calcule e ddd, onde é o conjunto, e. Solução: Temos e ddd e ddd e dd onde : { é a projeção de sobre o plano. Então, e ddd e dd [ e ] e e ) e ). e d e )d

2 Cálculo III-A Módulo 4 Tutor Eercício 3: Escreva as seis integrais triplas iteradas para o volume do sólido limitado pelos planos +,, e. Calcule uma das integrais. Solução: Esboço do sólido : Esboçando os planos + e, vemos que A,,) e B,,) são comuns aos dois planos. Então, ligando-os temos a reta interseção. Considerando que é também limitado pelos planos e, temos o esboço de na figura que se segue. A plano plano plano + plano B Temos, V) ddd. Limites de integração nas ordens ddd e ddd: Projetando o sólido sobre o plano, encontramos o triângulo.

3 Cálculo III-A Módulo 4 Tutor 3 sai em entra em entra em sai em Temos : { { tipo I) ou : tipo II). A reta que passa por,) e é paralela ao eio entra em em e sai de em. Então,. sai em entra em,) Logo, Portanto: V) ddd. a) V) ddd

4 Cálculo III-A Módulo 4 Tutor 4 b) V) ddd Limites de integração nas ordens ddd e ddd: Projetando o sólido sobre o plano encontramos o triângulo.,) entra em sai em sai em sai em + entra em entra em Temos : { { tipo I) ou : tipo II). A reta que passa por,) e é paralela ao eio entra em em e sai de em

5 Cálculo III-A Módulo 4 Tutor 5. Então,. Logo, Portanto: V) ddd. c) V) ddd d) V) Limites de integração nas ordens ddd e ddd Projetando o sólido sobre o plano, temos o triângulo. ddd entra em,) sai em sai em sai em + entra em entra em

6 Cálculo III-A Módulo 4 Tutor 6 Temos : { { tipo I) ou : tipo II). A reta que passa por,) e é paralela ao eio entra em em e sai de em. Então,. Logo, Portanto: V) ddd. e) V) ddd f) V) ddd Usemos o item a) para calcular o volume de. V) [ ) u.v. ddd )] d )dd ) + d ] [ d [ ] Eercício 4: Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada I e reescreva na ordem ddd. ddd Solução: Temos, I ddd onde {,,) R 3 ;,), } e : sobre o plano. { é a projeção de

7 Cálculo III-A Módulo 4 Tutor 7 e vemos que é limitado superiormente pelo cilindro parabólico e inferiormente pelo plano. Assim o esboço de está representado na figura que se segue. cilindro cilindro parabólico plano plano Para epressar { a integral I na ordem ddd, devemos projetar sobre o plano. Temos que :.

8 Cálculo III-A Módulo 4 Tutor 8 entra em sai em,) entra em sai em Além disso, a reta que passa por,) e é paralela ao eio entra em em e sai de em. Logo,. Então, I ddd ddd. Eercício 5: Use a integral tripla para encontrar o volume do sólido a) limitado pelo cilindro e os planos e + ; b) limitado pelos planos + 8, 8,, 4 e. Solução: a) Esboçando o cilindro e o plano +, vemos que A,,), B,,) e C,,) são comuns. Ligando-os temos a curva interseção. Considerando que é também limitado pelo plano, temos o esboço de e sua projeção sobre o plano representados na figura que se segue.

9 Cálculo III-A Módulo 4 Tutor 9 sai em plano + B entra em cilindro sai em A,) C entra em Temos {,,) R 3 ;,) e } e : temos: V) dv )dd ddd )dd ] [ [ d ) ) [ ] + 4 d ) u.v. {. Portanto )] 4 d

10 Cálculo III-A Módulo 4 Tutor b) O esboço do sólido está representado na figura que se segue. 8 plano 8 8 plano { 4 Projetando sobre o plano temos o retângulo :. A reta que passa por 8,) e é paralela ao eio entra em em 8 e sai de em 8. Então 8 8. Portanto temos: V) dv 8 )dd )d 3 4 ddd 8 )dd 8 +8)dd 4 d u.v. [8 ] 8 d Eercício 6: Calcule a massa do sólido no primeiro octante limitado por, 9,, e + 9 se a densidade é dada por δ,,). Solução: Esboçando o cilindro e o plano + 9 vemos que A 3,9,) e B,,9) são pontos comuns. Ligando-os temos a curva interseção. Considerando que é limitado pelos planos e, temos o esboço de e a sua projeção sobre o plano na figura que se segue.

11 Cálculo III-A Módulo 4 Tutor 9 9 sai em 9 cilindro sai em 9 plano plano 9 entra em entra em 3 A reta que passa por,) e é paralela ao eio entra em em e sai de em 9. { Então, 9. Logo, {,,) R 3 ;,) e 9 } onde 3 :. A massa de é dada por 9 M δ,,)dv 9 )dd [ 8 8 ) 9 dv 9 )dd )] 9 4 d 9 ) [ d u.m. ddd ] 9 [9 d ) d Eercício 7: Seja um sólido limitado pelo cilindro +, com, e pelos planos e com função densidade δ,,). Calcule: a) A massa de. b) O momento de inércia em relação ao eio. ] 3 Solução:

12 Cálculo III-A Módulo 4 Tutor a) Esboçando o cilindro +, com e o plano vemos que A,,), B,,) e C,,) são comuns às superfícies. Ligando-os temos a curva interseção. Considerando que é limitado pelo plano, temos o sólido e a sua projeção sobre o plano representados na figura que se segue. sai em B C entra em, ) A A reta que passa por,) e é paralela ao eio entra em em e sai de em. Logo,. Assim, {,,) R 3 ;,) : +, e }. Então, M δ,,)dv dv ddd dd dd. Passando para coordenadas polares temos rsenθ, dd rdrdθ e rθ : M r sen θrdrdθ rθ π π r 3 sen θdθdr [ [ r 4] 4 π 8 u.m. rθ r 3 sen θdrdθ θ senθ ] π r 3 dr { r θ π. Então,

13 Cálculo III-A Módulo 4 Tutor 3 b) Temos, I + ) δ,,)dv + ) dv + ) ddd r r sen θ rdrdθ rθ π r 5 sen θdθ [ θ senθ + ) dd rθ r 5 sen θdrdθ ] π r 5 dr π [ r 6] π 6. Eercício 8: Um sólido tem a forma de um cilindro circular reto de raio de base a e altura h. etermine o momento de inércia do sólido em relação ao eio de simetria, se a densidade no ponto P é proporcional à distância de P até a base do sólido. Solução: Vamos escolher os eios coordenados de tal maneira que o eio de simetria seja o eio e a base esteja no plano. Então a equação da superfície ciĺındrica sobre o plano é + a, com h. h a a Então {,,) R 3 ;,) : + a e h}. Como a densidade em P,,) é proporcional à distância de P à base do sólido, a função densidade é δ,,) k, onde k é a constante de proporcionalidade.

14 Cálculo III-A Módulo 4 Tutor 4 Portanto, o momento de inércia em relação ao eio eio de simetria) é: I + ) δ,,)dv k + ) dv k k h + ) ddd k + )[ ] h kh + ) h ddd + ) dd. Passando para coordenadas polares, temos + r, dd rdrdθ e rθ : Logo, I kh rθ r rdrdθ kh r 3 drdθ rθ { r a θ π. kh kh a 4 8 π a π r 3 drdθ kh dθ kπh a 4 4. π [ r 4] a 4 dθ