E Q E ûz )LOWUDF \JQDáy F\IURZ\FK Zadania: 1.! " # $ % & ' ( ) * +, -/. 1,43 56 7 8 9 : - ; < ; > 6 5?. +. * 3 @ A +, 7 8* 7 - B D E D F G HE I J G K J L f 1 5 [ Hz], f 15 [ Hz] O P Q E HK R J L/TUJ T D E D F G HE I J G W f pr 1 [ Hz] ZY [ \ ] ^ _ ] ` a [ bcd e b f g e d hi] ^ j ] ca [ ^ Ul mon p q r tu v w xw y z { wv w y z w } ~ { } w x{ w/ƒ y ~ ˆw/ Š w y xw granicznej f top 1 [ Hz] i f pr 1 [ Hz] ŒŽ Ž š œ górnoprzeputowy filtr IIR (np. žžÿ Ÿ Ÿ ª ª «Z Ÿ ± f pa 1 [ Hz] i f pr 1 [ Hz] ² ³ µ ¹ º» ¼ ½o¾ À Á » ¼ µ µ º à º wielomianu licznia b [ i mianownia a [ tranmitancji). ÄÅ Æ Å Ç È ÉoÊ Ë Ì Å Í ÎÊ Ï Ð Ç È Ñ Ò Ó x [ i ÓÏ Ç ÆÔÖ Ô È Ñ È Ç Ø Þàß Î Ç Æ Ù á y conv( h, x) 3. ÄÅ Æ Å Ç È Éiß Ì Í Û È Ù á âê Ï Ð Ç È Ñ Î Ö Ô È Ñ È Ç Ø Þˆß Î Ç Æ Ù á y filter( b,a, x) 4. ÄÅ Æ Å Ç È ÉÊ Ë Ì Å Í ÎÚÊ Ï Ð Ç È Ñ Ò Ó x [ i h [ z puntu 1 poprzez FFT ÔoË Î Ç Æ Í Î ÕoÓˆÖ Ô Ø Ö Ô Ç ØÚÙ Ô È Ê ÎUÇ ÈoË Å Ö Ê Í È Ó ØoÓÔ Å Û ÎÕ Ü ÝU ZË Å Û Ò ÓÇ È É ß Ì Í Û Ø ÞãÍ Ï Ë Î/ä ä åàôuë Î Ç Æ Í ÎæÕÚÇ ÈiË Å Ö Ê Í È Ó ØiÓÔ Å Û Î4Õ Ü ç ŽË Å Û Ò ÓÇ È ÉÚÓÏ Ç Æ/Ô 5. ÄÅ Æ Å Ç È ÉoÊ Ë Ì Å Í ÎUÊ Ï Ð Ç È Ñ Ò Ó x [ i ÔË Î Ç Æ Í Î/ÕÊ Í Å Ê Î á è ÙË Å Ö Ô È ÑZÊ Ï Ð Ç È Ñ Î Ç ÈoÊ Ø Æ Ù á ØÅUÖ Ñ Î Ð Å é Ù. ê ë ì í î ïoë í ð ñ ò ñ ó ô õ ì ö ï ò oð ó ø ò ù ú í û ì ú ò ñ ï üýë í ë þ ñ ó ñÿ ÿ oó î í overlap-add lub overlap-ave!#"!$ % $ & conv azwa funcji Obliczenie plotu. Przeznaczenie filter ' ( ) * +, -.,/ 1, 3 45 6 5 + 7 8 79 ( ) * +67, :, - ;</ 5 3-7 ( >, - ;? fft ifft @ A B A D A F G F H I J K L A J KOH D R D G T R y[ E P Q F H I J K L Y O#F Z A L J D K K A B J U E [\ P ] ^ Y ( z) H ( z) ( z) zyba tranformata Fouriera. Odwrotna zyba tranformata Fouriera. 1+ L b z 1 a z H T U OA I U K F H I J K L A WJ K A I UOA D R G UG T K J F U T K G H E P Q ( z) (1.1) _`a b c d e ` fg hi ` j h l b m n go p oqb l `l ` a g d ` r t fl ` l g h t l g n b fhfg u u n ha b v w c i h l g hg b c a b fg h c xy g j e w z Z tych L y[ b n a y[ n (1.) 1 {t fl ` l g h o p }~ h d e` j b e q h q b v j g n i h l g b f q ƒf e t q b a t x l g b l hf ` i a b v w c i h l g ` ql b d g ˆa i h i fd a t n i l l g g ƒ` b a t x Š Œ Š Ž Œ Œ Ž Ž Š Š š Š œ Š Œ ž œ b wzytie iloczyny. a 1
3 œ ê 7? œ œ plotu liniowego: y [ n (1.3)! " # $&%'! ( ) *!+, ( - (&+ *.&/ %(&1 * 3 * " *4! + -5%( 6 " (&*5 /, %* / 7&8 ) 9 ( / 8! + -5- ( ) (+ ( :&(4! # * ;, < 8 / " * ( + - ( " ( :&* " * " > x [ i odpowiedzi impulowej ] y [ n (1.4)?@ < * 1 " * ( 1 A& ( + - + %( " * :B) :&, 8 - ; (1 * 3 * P R E T U&K T H W O HI Y Z :(! + ) D E F G HI J K L F D O F I P F Q H I G F x [ i n < i n > 1, oraz dla n < i n > 1, wówcza: i, 1 y[ n n,1,, [, + 1 (1.5) \&]^ _ ` a b a bc ^ d e f ` g ] hi j ]5l e ` g m i n g ^ ] o l ]` _ p ] q r&c j c ^ d e d` c n j g hf d i e f d i i eo d ] ` r a tuh_ i v r` c n j g rj g ^ d _ w&r l e` i x o i y pj&f q r p j z o i + 1, gdzie {5 } ~ x [, a } ~ h [ ƒ ˆ Š Œ Š Ž 4 ƒ Š Š Œ Œ h [, x [ ˆ Œ Š š Œ Ž Š œ ž Ÿ ž Ÿ ª «4± ² ³ ³ µ ¹ ± º º» ¼& ½ ¹ ¾ À Á  Ã'Ä ÅÁ À Æ Ç È É Ä Å Ê Ã ËÌÍ Ä Å Î Í ÅÁ Ï ÐÑ ÆÒ Æ Â ÓÇ Í Å próba [. Efety brzegowe widoczne na ry.1.1, y Ï Ô À Î Í Ï Ä ÅÒ Ï Ò Â Å ÓÄ Æ ÐÁ Í Ä Ë&ÓÇ Í È Ç Á Õ Ö ÓÇ Ò Ê Î Í È Ä Ä Õ Å Ö ¾ À Á  à ÐÖÅÄ Ã ÖÆ Â / poprawnie obliczona ma numer + / 1., a otatnia ëìí î æ çé æ çè æ å æ ç è ï ð ñ ò ó ôõ ð ö ø ù ú ûü ý þ ÿ û ú Ø Ù Ú Û Ü Ý Þ ß à á â ã ä! " " # $ %&'( ) * + ",&%'-(. / < >? @ A B D E F G B HI JE K L O P QR D T LU O P QR D T O P P ;9:8 1!3 1 1 1 3 1 1 4 1 1 5 1 1 6 1 1 ^ _ ` a b c d e f d ge h ij l m n o o p q r r m n q o ][\Z P Y P P P U P P W P P P P O P P tvu w x y x y{z } ~ w u ƒ ˆ Š Œ ˆ Š Œ{ Š ƒ w Ž x u Œ w u Š Œ ˆ w ƒ ƒ {~ ˆ uš~ ˆ ~ Œ ˆ } Žž Ÿ t ƒ ƒ Œ u w u ƒ ƒ } Ž ˆ ~ ƒ } Žž Ÿ t w u ƒ ~ ˆ ˆ ƒ u } ƒ impulowa wyni plotu przebiegów czaowych z wyreu pierwzego i trzeciego. z } ~ } ~ už ~ ƒ u Š ƒ Š u ªŠ ƒ ~ «± ² ³ µ ² ¹ º» ¼ ¼ ² ½ ¾ ± ½ º À ½ Á Âú ³ ½ Ä ² Å Æ Ç ½ ¼ º ³ ½ Å ½ È ¹ º ² ÉÈ ± ¼ ½ ÊÌË º» ¾ ½ ± ½ È ÃÅ ²» ¼ ɺ Ç È ± ¼ ½ ± Í» È º ² À ³ Î ± Í ± Æ ¹ Î ³Ï³ ¼ ½ ± ¼ ± Í
A 3 / 9 G G : F : : 7 E 7 7! " " # $ % " & '!( ) * + ), ) -. / 1 3 4"5 ~ [ n ] y[ 1 x 67 8 9 : ; 7 4</ 1 D K F ; 8 7 J / 7 L / G 7 E : ~ ~ n 77 8 9 : ; 1 : >8? x [, tzn.: ~ x n + r ] r D K F oreu, czyli: / 7 L G < : ;? 7? 9 ( ) < 4 @ E <4 ] ( n ) 7A"7 E @ <"G/ 1 ], / B 9 @ A@ : D E : @ O F ~ x [ n ] ~ n 1. w pozotalych przypadach n 1 77 8 9 : ; F 1 / ; @ PE @ ;? Q O F O 9 G : ;? < / G D : E? (1.6) <GH/ 1 / G : AI7; 8 7 J 7 E : 7 ~ x [ n modulo ] ( n) ] 4G T Q D E : E 4< G 3 4U4 9 @ 5 R 1 / B! 9 @ A@ : D E : W Y Z [\ ] ^`_\ ] az b c d _ ef _ g"w d h i W d _ j ] l Z W [ h m n o Y m f p h qy qey j Z h i r er j f p>"d Y c j d _ ji _ e t o plotu liniowego Z W j WY m qz b i Y d [_ Z W j f o d _ g p [`i _ e t Y Z h W"f o Y qh d _ jq[ d _ n b qup [ i v"d Y c j w ] x"h p Y _ h f pqu Z W [ h m n o y z!{ } ~ ƒ ˆ Š Œ ŽU Žu ˆ U ˆ š œl oreowe ~ ~ x [ n ], ` Œ [ ž Ÿ ˆ œ ˆ Œ œ Š š Œ ž y H ž œ" + 1 ž œ Hœ Š Œ Š + 1 œ" U Œ u Œ œ Œ U œ œ" u Œ Œ Ž Œ Žª ª U Œ ž"«ˆ ` y[ œ"! ` [ x i h [, to [ i [ Œ ž! ˆ Œu š [ + H œ" Œ Œ 1 x, h [ ˆ ž«ˆ wynoi h [ wynoi U Žu ˆ ˆ " u U + 1 ž± U ˆ š Œ ` ˆ œ Œ Œ Ž œ Œ œ! Œ Œ Œ ˆ podtawie: P + 1 x ˆ Œ Œ 1 ² ˆ Œ œª ˆ Š ³` š š Š wyrazów (czyli do [ zer, a do h [ 1). ˆ `! œ" ˆ Š ˆ h [ ` Œ x [! š ` Œ µ ¹ º» ¼ ½ ½¾ ¹ ½ ÀÂÁ Ã Ä ÅÆ Ç ¼ µ È Éº È Ê Ë ½ Ì» ½Ì Í» Ê Î ¹ À"Í Ì È"Ϲ ¼ ½ Í [ Y [ H[ [ H i [ Ê È» Í Ð Ñ ¾ [ h i Ò È» Í µ È ÉÓÊ È» Í ÐÔ ½ Î ¼ Ç Ì ¹ ¾Í» È y [ jao wyni odwrotnej, dyretnej tranformaty Fouriera Ê È» Í Ð Y[ Ò Ô È Ô Í º Ë Õ> º ÈÊ È» Í Ð Ö ½ Ê Ìº Ð ¼À"¹» ÍÔ ¹ º ¼ ½ Ç ¼ É ¹H» Í`Ê ½ À½» Ì È¹º Ð ¹ Ø µ ¼ ÃÙ Ô Ç ¹ ÌË Í º ½ ¹ Ê ½ À½» Ì Ñ ¾ ½`Ê Ë ¹ Ú µ ¹» Û`¹ º Ô ¹ ¾¼ ½ º ¼ Û`Î ¼ Ç Ì ¹ Æ Ç ¼ µ Í`Ê ¼ ÜÔ ¹ Ô ½ `Ï ÏÝ>Õ!Í» Í Ê Ì Ü Ô» ¼ ½`º ¹ Ë ¹» Ö ½Ë ¹ ÀÔ ¹ È µ Ö ¼!Ì È µ Þ Ê Ô Ç ¹ Ì Ñ ¾Ã Ù Ì ¹ Ê ¹ ¾Í» ½Ê Ûº ¾¼ ½À½ Ì ¹ º ÈÔ ¹ º ¼ Í Ð "Ê È» Í Ð x [n ] na egmenty: (1.7) 3
n i n n ewencja plotów liniowych (overlap-add) x [ ty egment oznaczony jet przez x [ to x,, n ( + 1) 1 [! w pozotalych przypadach " x [ jet # [ # ) x, czyli x [ x [ $ % # [ x [! * ( # x & ' ( # [ h [ : x [ h jet x [. Dla +, ( # - #(. / /1 $ # [ x i [ h 3 # # 4!5 67 8 9 3 [ $ % : ( # % # 4 $ 3 ; # [ x ma x ma # 4 + 1 91 # < $ 3 < ) #* + > otatnich > #% >7 ( 5? 5 @ 8 A < # < ( < # - 5 @ L KL B D E F F E G F H I I H J I Y[Z \ ] ^ ] _(`a b c d(e c f Z g h ig j l m j af i g o c p f g a i\ j a q j a\ a l da Zc(p m l c t g j n r 4
! " # $% & ' ( ) * +',!, ( - ". / 1 & 1 3 ) $, $ # 4%( 365 * 1 87 ( ' #! %" ) 1 9 5 :;! ) < 5! $ & ( ( :%& ( " #, >? @ A%? B D EF> G H I J K AL@ I I A OQP overlap-ave) R+ T U W Y[Z \[Z ] U ^6_ ` acbq d ] a e d 6 fg] h U Z age i h [ z W j Y f; x [ acb W l Ym^ eon p Y f;e l ^ bqw j r aa-b l _ a-b W t u-_ ^ r p eo d ] a Y d Y i joz ] U ^ a gu l a e f%h v w b l Y ` x [ d e U xz \gl Y%Z e f;e l ^ b Y a e p Y i j W e acb p Y r a uxy U e%af^ Y _ yz ] Z r T u8y T b_ Y z d e%d a Y%Z j Z e d l e;z e f;e l ^ b Y W t d ` b{l YZ e T e [f; Y ` b 1 agz ] r U l b W t{a-b p Y r agv~}- l Y W Y ^ u~z e R ^ bz e f;e l ^Ff;Y ] Z ^ Y x [ n + ( + 1)], n 1 v %Y Z ^ \ ] l e u8] ] p e % 8ƒyu8 T U W Y;Z \;Z ] U ^ b_ U e i l b W t9z e f;e l ^ r a x [ 9 d ] a e d j9 fg] h U Z agj9n U ^ p h e p Y f% h h ] e ` l YgZ \ ^ b U _ ;Z b l Y `x_ p r ^ Z b u [ ompozycji wetor [ vy d p r z l e l hd mf;e ^ d b overlap-add przed obliczeniem FFT x lub u8d 6d ` h W 8Z b l Y ` h6d ` h z Z e 6 Z ] U ^x_ ` a-b ˆ v p b y i e Z ^Z _ ` Y d Y l b;a-b l _ r a+_ ` a-b W t9z ] U ^ r af] Z W e r U l b W t9z e f;e l ^ r a [ W b fqa[_ Y z d b f y [ d p h W Y-Z \ca-b p Y b;% l d e _ Z Y W t % g ª «% ª - ± ² ³ n (patrz ry.1.4 i ry.1.5). Š Š Š Œ Š Š Œ Š Š Š Š Ž Š Š Ž Š Š Š Œ Š Š Œ Š Š Š Š Ž Š Š Ž Š ž Ÿ Ÿ ž ž ž ž Ÿ Ÿ ž ž ž ž Ÿ Ÿ ž ž ž ² c µ ª c² - ¹ - ± «; ² º y, przy 5
"! #$ &% ' $ (' ) $ * (! +, - $. $ (' /. * ( # /! 1! " wyrazów zaznaczone na ryunu olorem zielonym. Literatura: T. P. Krau, L. hure, J.. Little: ignal Proceing Toolbox Uuer Guide. The ath Wor Inc. Alan. Oppenheim, Ronald W. chafer: 3 4 5 6 78 9:5 ; 8 < 7 5 ; >? 8A@ 3 B > D 7 E FG"HI J K J 6