Rozszerz swoje horyzonty MATEMATYKA dla dociekliwych licealistów Zadania i nie tylko FUNKCJE
Spis treści Część I Wstęp... 4 1. LICZBY... 5 2. FUNKCJE... 23 3. CIĄGI... 37 4. KOMBINATORYKA... 54 5. GEOMETRIA PŁASKA... 59 6. TRYGONOMETRIA... 69 7. GEOMETRIA ANALITYCZNA... 81 Rozwiązania zadań... 126 Część II 8. STEREOMETRIA 9. PRAWDOPODOBIEŃSTWO I STATYSTYKA 10. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY Rozwiązania zadań
Wstęp - - - - - - - Autor
1. LICZBY Liczby naturalne N {0, 1, 2, 3, } Z { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } p Q q : p, q q Z Z i 0 to te i z y, kt re nie a z si rze stawi w osta i a ka aj e o i w i znik, i w ianownik i z a kowit. i z y wy ierne i niewy ierne raze tworz z i r i z R. o r znika szko ny i z y a kowite ozna zane s rzez C, wy- ierne rzez W, a e w ksi ka aka e i ki wy ierne s Q, a a kowite Z, tak jak w a ej wiatowej iterat rze. Liczby całkowite. Dzielenie z resztą Twierdzenie 1.1 o zie eni z reszt a owo ny w i z a kowity a i b, b 0, istnieje ok a nie je na i z a a kowita q i ok a nie je na i z a a kowita r, 0 r b, e a q b r. i z a q jest a rzez b, a i z r nazywa y z te o zie enia. e i r 0, to wi y, e a zie i si rzez b ez reszty. akt, e i z a a kowita a zie i i z a kowit b ez reszty, za- is je y a b. a i z reszt z zie enia 14 rzez 3. i z reszt z zie enia 14 rzez 3. i z reszt z zie enia 14 rzez 3. i z reszt z zie enia 14 rzez 3. a 14 4 ( 3) 2. oraze jest 4, reszt 2. 14 4 3 2. oraze jest 4, a reszt 2. 14 5 3 1. oraze jest 5, a reszt 1. 14 5 ( 3) 1. oraze jest 5, a reszt 1.
6 Matematyka dla dociekliwych licealistów. Część I W W 2 a b a b. W 3 a b jest q a b jest q. W 4 a b a b. W 5 a c jest r 1 b c jest r 2, c a b i r 1 r 2 a b i r 1 r 2 ab i r 1 r 2 W r a b r b. W 2 i W 3 a qb r, to a q( b) r. W 4 ka qb r, to a kb (q k) b r. W 5 a q 1 c r 1, b q 2 c r 2. a b q 1 c q 2 c r 1 r 2 (q 1 q 2 )c r 1 r 2 a b q 1 c q 2 c r 1 r 2 (q 1 q 2 )c r 1 r 2 a b (q 1 c r 1 )(q 2 c r 2 ) q 1 q 2 c 2 q 1 r 2 c q 2 r 1 c r 1 r 2 (q 1 q 2 c q 1 r 2 q 2 r 1 )c r 1 r 2 c. 100 3 100 100 3 100 16 25 81 25 W 3 W, 100 2 100 a i b c a c b. 1.1. 101 2 101 102 2 102 103 2 103 104 2 104 105 2 105
Dzielniki i wielokrotności. Indukcja matematyczna 1. Liczby 7 - - - 1 1 1,,,... 2 3 Twierdzenie 1.2 A - m - a i b m ab. a i b m m m - a, i b m
8 Matematyka dla dociekliwych licealistów. Część I m- A - Twierdzenie 1.3 A N A (0 A) k A k A A N. B A B - m m A m A, to i m A m A i B B A n 3, 4, 5, A jest {3, 4, 5, }. 2n 13 2n n 0, 1, 2, 3, An 2n 13 2n 2 jest 1. n 0 41 2 0 13 2 0 2 1 1 2 A. k A 41 2(k 1) 13 2(k 1) 2 41 2 41 2k 13 2 13 2k 2 13 2 41 2k 13 2 13 2k 13 2 2 13 2 2 (41 2 13 2 ) 41 2k 2 13 2 (41 2k 13 2k 2) 13 2 2 (41 2 13 2 ) 41 2k 2 13 2 (41 2k 13 2k 2) 2 (13 2 1) (41 13)(41 13) 41 2k 13 2 (41 2k 13 2k 2) 2 12 14 28 (41 13) 41 2k 13 2 (41 2k 13 2k 2) 28 (12 54 41 2k ) 13 2 (41 2k 13 2k 2) 28 6 (2 9 41 2k ) 13 2 (41 2k 13 2k 2) 168 (2 9 41 2k ) 41 2k 13 2k k A. 168 (2 9 41 2k ) 2(k 1) 13 2(k 1) 2 jest k 1 A.
1. Liczby 9 A Nn 0, 1, 2, wyra- 2n 13 2n Twierdzenie 1.4 A N A (0 A) k k 1 - A, to k A A N. B A B mm 2, m A m A m A i B - B A a n, n a 1 1, a 2 3, a 3 n a n a n 1 a n 2 a n 3 - An, n a n 1. a 1, a 2, a 3 A. k a 1, a 2,, a k 1 - A a k a k 1 a k 2 a k 3 k A. A - a n, n - p p}.
10 Matematyka dla dociekliwych licealistów. Część I {1, 2, 3, }. a i b a i b. NWD(a, b). a 0. NWD(0, 0) nie istnieje. NWD(a, b) NWD(b, a) NWD(a, 0) a NWD(a, a) a a b, to NWD(a, b) a. a a a i b a a b- a i b. a i b a i b a i b NWD(a, b) 1. Twierdzenie 1.5 1 a, b Z a b NWD(a, b) NWD(a b, b). - 1
1. Liczby 11 NWD(a, b) NWD(a kb, b), ka b. Twierdzenie 1.6 a, b oraz a b k NWD(a, b) NWD(a k b, b). a i b a kb i b. a i b jest zawarty a kb i b c i a, i b a kb a, b i a kb i ba kb i b. a kb i b jest zawarty a i b c a kb i b(a kb) kb a a, i b, i a kba i b a i b. a i b b i a kb NWD(a, b) i NWD(a kb, b). a i b a b d NWD(a, b). b 0, to d a b - a i b NWD(437, 323) NWD(323, 437 323) NWD(323, 114) NWD(114, 323 2 114) NWD(114, 323 228) NWD(114, 95) NWD(95, 114 95) NWD(95, 19) NWD(19, 95 5 19) NWD(19, 0) 19 a 5775 i b a i b.
12 Matematyka dla dociekliwych licealistów. Część I NWD(5775, 2015). a 5775, b 2015. a 5775 2015 b a 2b 2015 2 2015 1745 2015 b a 2b 1745 2015 1745 270 b (a 2b) a 3b a 2b ( a 3b) 7a 20b 1745 270 125 270 a 3b 7a 20b 125 270 2 125 20 a 3b 2(7a 20b) 15a 43b 7a 20b ( 15a 43b) 97a 278b 125 20 5 20 15a 43b a b 5 20 4 5 0 15a 43b 4 (97a 278b) 403a 1155b NWD(5775, 2015) NWD(5775, 2015) 5775 2015. a i b xa yb x i y NWD(5775, 2015) NWD(a, b) a i b jest NWD(a, b). NWD(5776, 2016) jest NWD(5776, 2016). a 5776 2016 b a 2b 5776 2 2016 1744 2016 b a 2b 1744 2016 1744 272 b (a 2b) a 3b a 2b ( a 3b) 7a 20b 1744 272 112 272 a 3b
1. Liczby 13 7a 20b 112 272 2 112 48 a 3b 2(7a 20b) 15a 43b 7a 20b 2 ( 15a 43b) 37a 106b 112 2 48 16 48 15a 43b 37a 106b 16 48 3 16 0 15a 43b 3 (37a 106b) 126a 361b NWD(5776, 2016) 16 i NWD(5776, 2016) 37 5776 106 2016. Twierdzenie 1.7 a owo ny w nie je ny i z a i b, z kt ry rzynaj niej je na jest o atnia, istniej takie i z y a kowite x i y, e NWD(a, b) xa yb. o ejny krok a oryt k i esa zast je wyj iow ar i z a i b rzez niejsz ar i z a i b, zie a a i b b i rzynaj niej je na z ty nier wno i jest ostra, rzy zy i a, i b s ko ina ja i iniowy i a i b. ast ny krok zast je ar a i b niejsz ar a i b, rzy zy i a, i b s ko ina ja i iniowy i a i b. o ina ja iniowa ko ina ji iniowy i z a i b jest ko ina j iniow i z a i b, wi i a, i b s ko ina ja i iniowy i a i b. state znie NWD(a, b) jest ko ina j iniow i z a i b. ie i z y a i b nie je ne i rzynaj niej je na ni nie zie o atnia. a y ws ny zie nik i z a i b zie i r wnie NWD(a, b). s ny zie nik i z a i b zie i r wnie owo n ko ina j iniow i z a i b, a wi tak e i z NWD(a, b), kt ra jest ewn ko ina j iniow i z a i b. i r wszystki zie nik w i z y NWD(a, b) jest ty sa y z iore, o z i r ws ny zie nik w i z a i b. niosek 1 wi, e ws ny zie nik a i b zie i NWD(a, b). ato iast NWD(a, b) zie i i a i b i je i jaka i z a zie i NWD(a, b), to zie i i a, i b, zy i jest ws ny zie nikie a i b. Twierdzenie 1.8 twier zenie zo ta ie a i b wie a nie je ny i i z a i a kowity i, z kt ry rzynaj niej je na jest o atnia. aj niejsza o atnia ko ina ja iniowa o a kowity ws zynnika i z a i b jest r wna NWD(a, b).
14 Matematyka dla dociekliwych licealistów. Część I a i b - a 1 b a b - a i b a i b a i b xa yb xa yb a a 0, to xa yb a a xa yb a a xa ybr, 0 r xa yb ka k(xa yb) r. r r (1 kx) a ky b, r a i b - xa yb a xa by b xa yb i a, i b a i b xa yb NWD(a, b) NWD(a, b)a i b xa yb NWD(a, b) xa yb xa yb NWD(a, b). Twierdzenie 1.9 a bc i NWD(a, b) 1, to a c. NWD(a, b) - a i b x i y NWD(a, b) 1 xa yb c c 1 c (xa yb) cx a y bc a c. - - Twierdzenie 1.10 - a a p 1 p 2 p n i a q 1 q 2 q m kie p i i q j p i q j a p i a p 1, p 2,, p n } {q 1, q 2,, q m } a p 1 p 1 q 1 q 2 q m 1 q m p 1 i q m - p 1 q 1 q 2 q m 1 p 1 q 1
1. Liczby 15 a i b to naj- a b NWW(a, b). Twierdzenie 1.11 a c i b c, to NWW(a, b) c. NWW(a, b) c q i r, 0 r NWW(a, b)c k NWW(a, b) r a c i b c, to i a r, i b r NWW(a, b)- a i b NWW(a, b) c. Twierdzenie 1.12 a, b i c NWD(ac, bc) c NWD(a, b) NWW(ac, bc) c NWW(a, b) NWD(ac, bc) xac ybc ac i ab xac ybc c(xa yb) xa bc a i b - NWW(ac, bc) ac bc c. NWW ( ac, bc) NWW ( ab, ac) = c ac a NWW ab, ac i bc NWW ac, bc c b ( ) = ( ) ( ) ( ) NWW(ac, bc) c NWW(a, b). NWW ac, bc NWW a, b c c NWW(a, b) acbc c NWW(a, b) NWW(ca, cb). Twierdzenie 1.13 a i b NWD(a, b) 1, to NWW(a, b) ab. 1.2. (NWD) NWD(882, 735) NWD(1000001, 1000000)
16 Matematyka dla dociekliwych licealistów. Część I NWD(2(1 2 3 n), n 1) NWD(2(1 2 3 n) 1, n 1) NWD(2n 2 3n 1, n 1) 1.3. NWW(12, 28) NWW(47, 3) NWW(7 13, 13) NWW(n, n 1) NWW(2n 2 3n 1, n 1) 1.4. NWD(a, b, c) NWD(a, b, c) NWD(NWD(a, b), c) NWD NWD(234, 567, 890). 1.5. a bcd i NWD(a, c) 1 i NWD(a, d) 1, to a b. Algorytm Euklidesa i odcinanie kwadratów m na n m n - - m l 2 l 1 n m 2n n n - n na n l 1 - n n na n l 2 m na n -
1. Liczby 17 - n na m 2n NWD(m, n). NWD(36, 21). NWD(36, 21) NWD(15, 21), NWD(15, 21) NWD(15, 6), NWD(15, 6) NWD(6, 3) - NWD(6, 3) NWD(0, 3) 3. - - 1 na 1. -
1. Liczby Rozwiązania zadań 1.1. 4 25 1 2 4 25 1 5 3 (3 4 ) 25 2 (2 4 ) 25 5 3 81 25 2 16 25 5 5 3 (1 4 ) 25 2 (1 4 ) 25 5 102 2 102 5 3 2 (3 4 ) 25 2 2 (2 4 ) 25 5 9 81 25 4 16 25 5 4 1 25 4 1 25 5 0 103 2 103 5 3 3 (3 4 ) 25 2 3 (2 4 ) 25 5 27 1 25 8 1 25 5 2 3 5 1 5 4 104 2 104 5 3 4 (3 4 ) 25 2 4 (2 4 ) 25 5 81 1 25 16 1 25 5 1 1 5 0 105 2 105 5 3 5 2 5 5 81 3 32 5 3 2 5 1 1.2. NWD(882, 735) NWD(735, 147) NWD(147, 0) 147 NWD(1000001, 1000000) NWD(1000000, 1) NWD(1, 0) 1 NWD(n(n 1), n 1) NWD(n 1, 0) n 1 NWD(2(1 2 3 n) 1, n 1) NWD(n(n 1) 1, n 1) NWD(1, n 1) NWD(1, 0) 1 NWD((2n 1)(n 1), n 1) NWD(n 1, 0) n 1 1.3. NWW(12, 28) 4 NWW(3, 7) 4 3 7 84 NWW(47, 3) 47 3 NWW(7 13, 13) 13 NWW(7, 1) 13 7 91 NWW(n, n 1) n(n 1) NWW((2n 1)(n 1), n 1) (n 1) NWW(2n 1, 1) (n 1)(2n 1)] 1.4. D(a) a, D(b) b i D(c)c. NWD(a, b, c)d(a) D(b) D(c). D(a) D(b) D(c). D(c) - NWD(a, b) - NWD(a, b) a i b D(a) D(b) (D(a) D(b)) D(c) D(a) D(b) D(c) a b, to NWD(a, b, c) NWD(a, b a, c) - D(a) D(b) D(a) D(b a). D(a) D(b)) D(c) D(a) D(b a)) D(c) - NWD(a, b, c) a i b a, b, c. NWD(234, 567, 890) NWD(234, 567 2 234, 890 3 234) NWD(234, 99, 188) NWD(99, 234 2 99, 188 99) NWD(99, 36, 89) NWD(36, 99 2 36, 89 2 36) NWD(36, 27, 17) NWD(17, 10, 2) NWD(2, 0, 1) NWD(1, 0, 0) 1