TRANSFORMACJE OSNÓW POMIAROWYCH

SERIA GEOMATYKA 1 TRANSFORMACJE OSNÓW POMIAROWYCH ZASTOSOWANIE TRANSFORMACJI W PROCESIE ODNOWIENIA OSNOWY POMIAROWEJ PODCZAS MODERNIZACJI ZBIORÓW ZINTEGROWANEGO SYSTEMU INFORMACJI O NIERUCHOMOŚCIACH dr inż. Paweł Wysocki ISBN 978-83-930010-9-5 2011

2

Wydawnictwo Polskiego Internetowego Informatora Geodezyjnego seria GEOMATYKA - wydanie 2011 wydawca: I-NET.PL Sp.J. ul. Kołobrzeska 14b/90, 10-443 Olsztyn tel. 89 6 70 11 00 faks 89 6 70 11 11 www.i-net.pl office@i-net.pl Autor: Paweł Wysocki e-mail pawel.wysocki@wilis.pg.gda.pl afiliacja i redakcja: Zakład Geodezji Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska Politechnika Gdańska 3 Praca Recenzowana w ramach procedury wydawniczej redaktor prowadzący serii: dr inż. Jakub Szulwic Nakład: druk na żądanie Dostępny on-line w serwisie www.geomatyka.eu: http://www.geomatyka.eu/publikacje/isbn9788393001095/isbn9788393001095.pdf

Spis treści Wstęp... 6 ROZDZIAŁ I TRANSFORMACJA WSPÓŁRZĘDNYCH 1.1 Ogólne zasady transformacji... 7 1.2 Dwuwymiarowa transformacja podobieństwa... 12 1.3 Transformacja konforemna... 14 1.4 Transformacja Helmerta... 16 1.5 Korekta posttransformacyjna Hausbrandta... 19 1.6 Transformacja współrzędnych pomiędzy układami odwzorowawczymi różnych elipsoid... 20 4 ROZDZIAŁ II BADANIA NAD WYKORZYSTANIEM TRANSFORMACJI WSPÓŁRZĘDNYCH W PROCESIE MODERNIZACJI EWIDENCJI 2.1 Cel doświadczenia... 23 2.2 Występujące problemy... 23 2.3 Proponowane rozwiązanie wykorzystanie transformacji współrzędnych... 24 2.4 Faza I wykorzystanie transformacji konforemnej... 25 2.5 Autorski program AFIKON 5... 28 2.6 Faza II zastosowanie transformacji konforemnej, afinicznej i korekty Hausbrandta... 30 2.7 Faza III wirtualny obiekt testowy... 33 ROZDZIAŁ III PODSUMOWANIE 3.1 Zestawienie otrzymanych wyników... 50 3.2 Interpretacja uzyskanych wyników... 51 3.3 Wnioski końcowe... 54 Literatura... 56

5

WSTĘP Dane zawarte w ewidencji gruntów i budynków oraz sieci uzbrojenia terenu, razem z centralną bazą danych ksiąg wieczystych i ewidencją podatkową nieruchomości, stanowią podstawę do utworzenia Zintegrowanego Systemu Informacji o Nieruchomościach (ZSIN). Głównym celem utworzenia ZSIN-u jest zapewnienie obywatelom, przedsiębiorcom i organom administracji publicznej dostępu przy pomocy środków komunikacji elektronicznej, do wiarygodnych i aktualnych informacji o nieruchomościach gromadzonych w rejestrach publicznych. Zasoby ZSIN-u (w tym ewidencji gruntów i budynków) warunkują bowiem m.in. planowanie gospodarcze, planowanie przestrzenne, wymiar podatków, oznaczanie nieruchomości w księgach wieczystych, gospodarkę nieruchomościami oraz ewidencję gospodarstw rolnych. W związku z tym nieodzowne jest, aby dane te były jak najbardziej dokładne, pełne, zgodne ze stanem faktycznym oraz spełniały wymogi zawarte w regulacjach prawnych. Osiągnięciu tego ma służyć przeprowadzenie modernizacji ewidencji gruntów i budynków i przekształcenie jej w pełny kataster nieruchomości. 6 W trakcie prac modernizacyjnych należy w maksymalnym stopniu wykorzystać istniejącą dokumentację geodezyjno-kartograficzną, a następnie określić niezbędne działania pomiarowe, a także obliczeniowe, mające na celu korektę i optymalizację dokładności danych zawartych w państwowym zasobie geodezyjnym i kartograficznym. Podstawowym elementem ewidencji gruntów i budynków jest mapa ewidencyjna. Podczas czynności mających na celu przekształcenie jej dotychczasowej formy do postaci numerycznej musimy dokonać odnowienia osnowy pomiarowej, wykorzystanej kiedyś do pomiaru przebiegu linii granicznych działek. Dlatego też konieczne jest opracowanie algorytmu, który pozwoli przy niskich nakładach finansowych, bazując na istniejących materiałach, uzyskać jak najlepszą poprawę dokładności mapy. Prezentowane rozwiązanie będzie polegało na wykorzystaniu transformacji współrzędnych do wyznaczania położenia zniszczonych, utraconych punktów starej osnowy pomiarowej w układzie nowej mapy. Celem prowadzonych badań będzie znalezienie odpowiedzi na pytanie: jaki rodzaj i stopień transformacji (lub też korekt post-transformacyjnych) zastosować, aby uzyskać jak najkorzystniejsze efekty.

ROZDZIAŁ I TRANSFORMACJA WSPÓŁRZĘDNYCH 1. Ogólne zasady transformacji Zacznijmy od omówienia podstawowych zagadnień dotyczących transformacji współrzędnych. Transformacja współrzędnych jest to przeliczenie współrzędnych z jednego układu (zwanego pierwotnym) na drugi układ (zwany wtórnym). W ogólnym znaczeniu pojęcie transformacji może dotyczyć różnych układów np. układu współrzędnych prostokątnych, sferycznych, geograficznych geodezyjnych, geograficznych astronomicznych. Przeprowadzenie transformacji jest możliwe, jeśli znane są związki między współrzędnymi punktów wyrażonymi w dwóch branych pod uwagę układach. Związki te muszą być przedstawione w postaci formuły matematycznej zwanej równaniem transformacyjnym. Takie równanie zawsze zawiera współrzędne w obu układach oraz inne wielkości, czyli parametry transformacji. Transformacja oparta na n parametrach nazywana jest transformacją n-parametrową. Przed dokonaniem transformacji trzeba wybrać jej rodzaj, czyli ustalić postać równania transformacyjnego. Jeśli nie są znane parametry transformacji należy je wyznaczyć na podstawie współrzędnych punktów łącznych (punktów dostosowania). Punkty te, są punktami o znanych współrzędnych w układach pierwotnym i wtórnym. Liczba parametrów wpływa na niezbędną minimalną ilość punktów o znanych współrzędnych. Większa ilość punktów łącznych umożliwia wyznaczenie parametrów metodą najmniejszych kwadratów. Dzięki podstawieniu wartości parametrów do równania transformacyjnego obliczymy współrzędne pozostałych punktów z układu pierwotnego na wtórny. 1 7 Układ ortokartezjański posiada trzy osie wzajemnie prostopadłe, które przecinają się w punkcie zwanym początkiem układu, oraz jednakową skalę wzdłuż tychże osi. Transformacja między układami współrzędnych tego samego typu jest to transformacja podobieństwa. Podobieństwo układów polega na tym, że kąty figur geometrycznych nie ulegają zmianie przy przejściu od starego układu do nowego. W takim wypadku transformacja zachowuje geometryczne podobieństwo obu układów. Transformacja podobieństwa jest na ogół siedmioparametrowa: trzy parametry przesunięcia (translacji), trzy parametry obrotu (rotacji) i jeden parametr zmiany skali (rys. 1.1). 2 1 J. Lamparski, NAVSTAR GPS od teorii do praktyki, Wydawnictwo U W-M, Olsztyn 2001, s. 247 2 Tamże, s. 248

Parametry transformacji podobieństwa Rysunek 1.1 Z W α w V T tz α v 8 tx Y ty X α u U Źródło: J. Lamparski, NAVSTAR GPS od teorii do praktyki, Wydawnictwo U W-M, Olsztyn 2001, s. 248 Ogólna postać równania transformacyjnego F wygląda następująco: gdzie: F (u, v, w, x, y, z, tx, ty, tz, μ, α u, α v, α w ) = 0 u, v, w zestaw współrzędnych w układzie pierwotnym, x, y, z - zestaw współrzędnych w układzie wtórnym, tx, ty, tz składowe wektora translacji T wyrażające przesunięcie układu U, V, W względem X, Y, Z wzdłuż odpowiednich osi X, Y, Z. Równanie 1.1 Wektor T jest zaczepiony w początku układu X, Y, Z. Przesunięcia są dodatnie, jeśli następują w dodatnim kierunku danej osi (np. wzdłuż osi X). Jeśli oba układy różnią się tylko jednym przesunięciem to między współrzędnymi zachodzą następujące zależności: x = u + tx; y = v; z = w Równanie 1.2 Przesunięcie tylko wzdłuż osi x przedstawia rys. 1.2.

Geometryczna interpretacja przesunięcia układu Rysunek 1.2 W Z P T w=z x Y 9 X v=y u V U Źródło: J. Lamparski, NAVSTAR GPS od teorii do praktyki, Wydawnictwo U W-M, Olsztyn 2001, s. 249 Dla dwóch przesuniętych względem siebie układów zachodzi zależność: X = U + T W układzie macierzowym zależność ta będzie wyglądać następująco: x u tx y v ty z w tz Równanie 1.3 Parametry rotacji α u,v,w są kątami obrotu wokół odpowiednich osi U, V, W układu pierwotnego. Jeśli następują przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (od początku rozpatrywanej osi) to uważa się je za dodatnie (rys.1.3).

Geometryczna interpretacja obrotu układu współrzędnych Rysunek 1.3 Z wsinα u W α u P z α u w z 10 w α u U X α u vcosα u Y v wsinα u Źródło: J. Lamparski, NAVSTAR GPS od teorii do praktyki, Wydawnictwo U W-M, Olsztyn 2001, s. 250 V Jeśli różnica w orientacji obu układów polega tylko na skręceniu wokół osi U o kąt α u to związek między współrzędnymi x, y, z oraz u, v, w przedstawia się następująco: Równanie 1.4 y = v cosα u + w sinα u z = -v sinα u +w cosα u Prawe strony powyższych równań są rzutami współrzędnych v, w na osie Y, Z. Jako, że obrót następuje wokół osi U(X) to x = u. X = R(α u ) U Równanie 1.5 x 1 y 0 z 0 0 cos u sin u 0 u sin u v cos w u gdzie: R(α u ) macierz obrotu o kąt α u wokół osi U.

Macierze obrotu wokół osi V i W wyglądają analogicznie: cos v 0 sin v cos w sin w R( v ) 0 1 0 R( w) sin w cos w sin v 0 cos v 0 0 Równanie 1.6 0 0 1 Jeśli złoży się trzy obroty, na których opiera się transformacja, R(α u ), R(α v ), R(α w ), to otrzymamy macierz rotacji R. Macierze obrotu R(α u ), R(α v ), R(α w ) są ortogonalne i ortonormalne. cos v cos w R R( w ) R( v ) R( u ) cos v sin w sin v cos sin sin sin cos u cos cos sin sin sin u w w sin cos u u u v v v w w Równanie 1.7 sin u sin w cos u sin v cos w sin u cos w cos u sin v sin w cos u cos v 11 Podczas transformacji układów prawie równoległych można uprościć macierz R. Wartości funkcji trygonometrycznych małych kątów α u, α v, α w zastępuje się ich przybliżeniami: sinα = α; cosα = 1 Dzięki temu, po pominięciu wyrazów wyższego rzędu, będzie można uzyskać macierz małych obrotów: 1 R w v 1 w u v u 1 Równanie 1.8 Powyższą macierz można też przedstawić jako sumę macierzy jednostkowej E i antysymetrycznej Q: 0 Q w v 0 w u v u 0 Równanie 1.9 Parametr μ wyraża zmianę skali między układami U, V, W i X, Y, Z czyli koryguje skalę układu pierwotnego w odniesieniu do wtórnego: X = (1 + μ)u Równanie 1.10 Po wprowadzeniu współczynnika skali λ = 1 + μ otrzymamy X = λu. Tak, więc równanie transformacyjne oparte na siedmiu parametrach wygląda następująco:

X = (1 + μ) RU + T Równanie 1.11 Powyższy wzór przedstawia transformację przestrzenną podobieństwa. Możliwe są jeszcze trzy formy równania transformacyjnego: X = (1 + μ) (RU + T) X = (1 + μ) R (U + T) X = R [(1 + μ) U + T] Równanie 1.12 Można tworzyć złożone modele transformacji, które będą obejmowały więcej niż dwa układy współrzędnych. Takie modele są kombinacją modeli prostych. W niektórych przypadkach przestrzenna transformacja podobieństwa może opierać się na niepełnym zestawie parametrów, np. z powodu małej liczby punktów łącznych. Jeśli pominie się trzy parametry rotacji, transformacja będzie czteroparametrowa. W równaniu transformacyjnym X = (1 + μ) RU + T zastępuje się macierz obrotów R macierzą jednostkową E: X = (1 + μ) U + T Równanie 1.13 12 Jeśli kąty obrotu są małe (R E), to parametry translacji dla transformacji siedmioparametrowej i czteroparametrowej przyjmują zbliżone wartości. Ponadto pomija się też parametr zmiany skali μ. Tak, więc transformacja trójparametrowa opiera się tylko na parametrach translacji. Do równania transformacyjnego transformacji siedmioparametrowej wprowadza się R = E oraz μ = 0 przez co otrzymujemy: X = U + T Równanie to można stosować, jeśli zmiana skali między układami jest niewielka. Równanie 1.14 1.2 Dwuwymiarowa transformacja podobieństwa Obok transformacji przestrzennej (trójwymiarowej) istnieje też transformacja dwuwymiarowa. Transformacja dwuwymiarowa odnosi się do współrzędnych płaskich x, y i u, v. Stosuje się przy niej cztery parametry, a nie występują obroty wokół osi U i V oraz przesunięcie wzdłuż osi Z. Parametry translacji tx i ty tworzą wektor T II i mają znaczenie analogiczne do wektora występującego przy transformacji przestrzennej. Parametr rotacji wyraża obrót w płaszczyźnie XY. Macierz obrotu ma więc postać: R II cos R( ) sin sin cos Równanie 1.15

Parametry dwuwymiarowej transformacji podobieństwa Rysunek 1.4 Y V T tx ty α U 13 X Źródło: J. Lamparski, NAVSTAR GPS od teorii do praktyki, Wydawnictwo U W-M, Olsztyn 2001, s. 253 Parametr zmiany skali μ II interpretuje się jak w transformacji przestrzennej. Równanie transformacyjne wygląda następująco: lub w postaci macierzy: X II = (1 + μ II ) R II U II + T II x ( 1 y II ) R II u tx v ty Po wprowadzeniu parametrów pomocniczych C i S (zamiast μ i α) wynoszących: C = (1+ μ) cosα oraz S = (1+μ) sinα Równanie 1.16 równanie 1.16 można przedstawić w formie: X II = P II U II + T II x C S u tx y S C v ty Równanie 1.17 Ponownie z wyrażeń otrzymamy 3 : 2 2 (1 ) C S S arc tg C Równanie 1.18 3 Tamże, s.250-254

1.3 Transformacja konforemna Jeśli dwa układy współrzędnych płaskich powstały poprzez użycie odwzorowań równokątnych elipsoidy, to należy zastosować transformację, która nie zdeformuje kątów. Transformacja ta jest odwzorowaniem równokątnym płaszczyzny na płaszczyznę. Współrzędne punktów w układzie pierwotnym i w układzie wtórnym są parami współrzędnych izometrycznych. Funkcję odwzorowawczą, która zapewni, że kąty nie zostaną zdeformowane można przedstawić za pomocą następującego szeregu potęgowego: Równanie 1.19 X + iy = (a 0 + ib 0 ) + (a 1 +ib 1 ) (U + iw) + (a 2 + ib 2 ) (U + iw) 2 + (a 3 + ib 3 ) (U + iw) 3 + + (a n + ib n ) (U + iw) n 14 gdzie: U, W współrzędne w układzie pierwotnym, X, Y współrzędne w układzie wtórnym (docelowym), a 0, b 0, a 1, b 1, a 2, b 2, - współczynniki liczbowe, n najwyższy wykładnik potęgi (stopień transformacji). Następną czynnością jest rozdzielenie równania 1.19, na część urojoną i rzeczywistą. Otrzymamy wtedy: Równanie 1.20 X = a 0 + a 1 U b 1 W + a 2 (U 2 W 2 ) b 2 (2UW) + a 3 (U 3 3UW 2 ) b 3 (3U 2 W W 3 )+ Y = b 0 + a 1 W + b 1 U + a 2 (2UW) + b 2 (U 2 W 2 ) + a 3 (3U 2 W W 3 )+ b 3 (U 3 3UW 2 )+ Współczynnik a 1 ma na ogół wartość bliską jedności, gdyż oś U tworzy z osią X nieduży kąt, ponadto jednostki stosowane w obu układach są bardzo podobne. Wtedy po wprowadzeniu wyrażenia 1 + a 1 zamiast a 1 powstaną takie funkcje odwzorowawcze: Równanie 1.21 X = a 0 + U + a 1 U b 1 W + a 2 (U 2 W 2 ) b 2 (2UW) + a 3 (U 3 3UW 2 ) b 3 (3U 2 W W 3 )+ Y = b 0 +W + a 1 W + b 1 U + a 2 (2UW) + b 2 (U 2 W 2 ) + a 3 (3U 2 W W 3 )+ b 3 (U 3 3UW 2 )+ Jednak, aby ułatwić obliczenia za pomocą powyższych wzorów (kolejne iloczyny współczynników a i lub b i i wyrażeń w nawiasach będą iloczynami bardzo małych i bardzo dużych liczb) należy wprowadzić nowe układy współrzędnych u, w oraz x, y według wzorów:

u w ( U U ) 0 k ( W W ) 0 k Równanie 1.22 x = X X 0 y = Y Y 0 15 gdzie: U 0, W 0 współrzędne wybranego punktu w układzie pierwotnym (leżącego w pobliżu środka ciężkości transformowanego zbioru punktów), k współczynnik liczbowy wybrany tak, aby średnia wartość u i w była najbliżej jedności, X 0, Y 0 współrzędne wybranego punktu w układzie wtórnym (nie musi on być odpowiednikiem punktu o współrzędnych U 0,W 0 ). Związek współrzędnych x, y oraz u, w postaci macierzowej wygląda tak: x ku a0 R1 y kw b0 S1 S1 a ' R 1 b1 1 R S 2 2 S R 2 2 a2 R b2 S 3 3 S3 a3 R... R 3 b3 S n n Równanie 1.23 S R n n a b n n gdzie: R 1 = u S 1 = w R 2 = u 2 w 2 S 2 = 2uw R 3 = u 3 3uw 2 S 3 = 3u 2 w w 3 R 4 = u 4 6u 2 w 2 + w 4 S 4 = 4u 3 w 4uw 3 R 5 = u 5 10u 3 w 2 + 5uw 4 S 5 = 5u 4 w 10u 2 w 3 + w 5 R 6 = u 6 15u 4 w 2 + 15u 2 w 4 w 6 S 6 = 6u 5 w 20u 3 w 3 + 6uw 5 R 7 = u 7 21u 5 w 2 + 35u 3 w 4 7uw 6 S 7 = 7u 6 w 35u 4 w 3 + 21u 2 w 5 w 7 Aby obliczyć współczynniki liczbowe a 0, b 0, a 1, b 1 należy wziąć punkty łączne (te, które mają znane współrzędne w układzie pierwotnym i w układzie wtórnym). Dla każdego punktu łącznego (nazywanego także punktem dostosowania) możliwe jest ułożenie dwóch równań w postaci przedstawionej w równaniu 1.23. Niewiadomymi w tych równaniach będą szukane współczynniki liczbowe. Jeśli jednak liczba punktów łącznych

jest większa niż (n + 1) 2, gdzie n jest to stopień transformacji, to współczynniki oblicza się za pomocą metody najmniejszych kwadratów. Równania poprawek dla każdego punktu łącznego mają postać: gdzie: V V x y a b 0 0 R S ku x oraz kw y to wyrazy wolne 1 1 S1 a' 1 Rn... R 1 b1 Sn S R n n a b n n ku x kw y Równanie 1.24 Stopień transformacji jest dobierany na podstawie błędu średniego pojedynczej obserwacji m 0. Na stopień transformacji wpływa wielkość obszaru, na którym znajdują się transformowane punkty im większy jest ten obszar tym większy jest też stopień transformacji. 4 16 Wykres błędów średnich m 0 dla przykładowego zbioru punktów łącznych. Rysunek 1.5 m 0 0,2m 1 2 3 4 5 Źródło: I. Gajderowicz, Kartografia matematyczna dla geodetów, Wydawnictwo ART, Olsztyn 1999, s.187 n 1.4 Transformacja Helmerta Transformacja Helmerta (przez podobieństwo lub liniowa transformacja konforemna), jako transformacja konforemna I stopnia posiada 4 parametry: przesunięcie po osi X, przesunięcie po osi Y, obrót oraz zmianę skali. Może zostać ona zrealizowana na podstawie równań 1.20 1.24, przy zastosowaniu parametrów a 0,b 0,a 1,b 1 lub też opisanym dalej następującym sposobem. Aby wyznaczyć współczynniki transformacji na podstawie współrzędnych punktów dostosowania najpierw obliczamy współrzędne środków ciężkości zbiorów punktów w obu układach pierwotnym {(x i, y i ) : i = 1, 2,,n} oraz wtórnym {(X i, Y i ) : i = 1, 2,,n}: 5 4 I. Gajderowicz, Kartografia matematyczna dla geodetów, Wydawnictwo ART, Olsztyn 1999, s.185-188 5 R. Kadaj, Zasady transformacji współrzędnych pomiędzy różnymi układami kartograficznymi na obszarze Polski (4). Osnowy a układy., Geodeta nr 12(67) grudzień 2000, s.31

x 0 n x i y 0 n y i X 0 n X i Y 0 n Y i Równanie 1.25 gdzie: n - liczba punktów dostosowania dla wszystkich i = 1, 2, n. Kolejnym krokiem jest centrowanie współrzędnych (przesunięcie układów do środków ciężkości): 6 Równanie 1.26 17 x i = x i -x 0 y i = y i -y 0 X i = X i -X 0 Y i = Y i -Y 0. Po zastosowaniu metody najmniejszych kwadratów, otrzymamy następujące wzory służące do obliczenia parametrów transformacyjnych C i S: 7 Równanie 1.27 C W1 W S W W 2 gdzie: W = Σ (x 2 i + y 2 i ) i = 1 n W 1 = Σ (X i x i + Y i y i ) i = 1 n W 2 = Σ (X i y i - Y i x i ) i = 1 n Następnie przekształcamy współrzędne z układu pierwotnego do wtórnego czyli dokonujemy transformacji według poniższych wzorów: gdzie: X = X 0 + C x + S y Y = Y 0 + C y - S x x = x-x 0 y = y-y 0 x, y współrzędne punktu w układzie pierwotnym X, Y współrzędne punktu po transformacji. Równanie 1.28 Poprawki (odchyłki punktów dostosowania) do tak otrzymanych współrzędnych z transformacji obliczamy następująco 8 : 6 Wytyczne Techniczne G-1.10 Formuły odwzorowawcze i parametry układów współrzędnych, GUGiK Warszawa 2001, s. 78 7 Tamże, s.78

gdzie: i wskaźnik punktu dostosowania 9 V xi = X i X i V yi = Y i Y i Równanie 1.29 Dzięki otrzymanym poprawkom można obliczyć błąd średni transformacji jako błąd średni przeliczanej pozycji punktu dostosowania: Równanie 1.30 t ( V 2 xi V n 2 2 yi ) 1 2 18 Wzór ten wynika z następujących zależności: t m 2 xt m 2 yt m 0 2 gdzie: m xt =m yt =m 0, n liczba równań, 4 liczba parametrów. 2 ( V 2 xi V 2n 4 2 yi ) ( V 2 xi V n 2 2 yi ) Odchyłki oraz błąd transformacji są niezbędne do oceny poprawności współrzędnych punktów dostosowania. Błąd transformacji nie powinien przekraczać wielkości dopuszczalnego błędu położenia punktu µ p w danej klasie sieci (np. dla punktów II klasy państwowej błąd nie może być większy niż 0,05 m) pod warunkiem, że współrzędne punktów dostosowania nie są obarczone błędami systematycznymi lub grubymi. Wielkości odchyłek współrzędnych na punktach dostosowania nie mogą wynosić więcej niż wartość k µ p, gdzie k przyjmuje wartości między 2 i 3, co zależy od liczby punktów dostosowania lub od szczególnych ograniczeń ujętych w warunkach technicznych roboty. 10 Współczynniki transformacji C, S mają następującą interpretację: C = m cos(α) oraz S = m sin(α), Równanie 1.31 gdzie: 1 m = (C 2 + S 2 ) 2 - współczynniki zmiany skali przekształcenia. S α kąt skręcenia osi układu współrzędnych: tg α = C Jeśli stosuje się transformację Helmerta jako transformację korekcyjną to kąt skręcenia α będzie przeważnie kątem małym i można tu przyjąć, że cos(α) 1, a sin(α) α. W celu 8 Tamże, s.79 9 R. Kadaj, Zasady transformacji współrzędnych pomiędzy różnymi układami kartograficznymi na obszarze Polski (4). Osnowy a układy., Geodeta nr 12(67) grudzień 2000, s.32 10 Wytyczne Techniczne G-1.10 Formuły odwzorowawcze i parametry układów współrzędnych, GUGiK Warszawa 2001, s. 79

skontrolowania transformacji Helmerta można sprawdzić równość miar kątów obliczanych najpierw ze współrzędnych pierwotnych oraz ze współrzędnych po transformacji. Odpowiadające miary długości powinny spełniać proporcje stosownie do skali m. 11 1.5 Korekta post-transformacyjna Hausbrandta Współrzędne, które otrzymane zostały w wyniku zastosowania transformacji nie zawsze pokrywają się z posiadanymi współrzędnymi archiwalnymi tych punktów. Różnice te są odchyłkami transformacji, które obrazuje wzór 1.29. Aby nie było konieczne zmienianie współrzędnych archiwalnych, stosuje się korektę post-transformacyjną Hausbrandta. Współrzędne punktów dostosowania w układzie wtórnym pozostają bez zmian (wraca się do wartości współrzędnych katalogowych), a pozostałym punktom nadaje się poprawki wyznaczone za pomocą wzorów interpolacyjnych 12 : 19 Równanie 1.32 V xj 1 [ Vxi ( dij 1 ( ) 2 d ij 2 )] V yj [ V yi 1 ( d 1 ( d 2 ij 2 ij ) )] gdzie: Σ oznacza sumowanie po i = 1, 2,, n j wskaźnik punktu transformowanego. Powyższe wzory są podobne do wzorów na obliczanie średnich ważonych. Wagi są tu odwrotnościami kwadratów odległości danego punktu o wskaźniku j od punktu dostosowania o wskaźniku i. Przedstawia to rysunek 1.6 poniżej. Długość d ij jest obliczana na podstawie współrzędnych pierwotnych. Do punktów transformowanych dodaje się poprawki otrzymane ze wzoru 1.32. 11 Tamże, s. 79-80 12 R. Kadaj, Zasady transformacji współrzędnych pomiędzy różnymi układami kartograficznymi na obszarze Polski (4). Osnowy a układy., Geodeta nr 12(67) grudzień 2000, s.32

Rysunek 1.6 2 d 2j 3 d 3j d ij Punkty dostoso dostosowania Wektor poprawek (V xi, V yi ) 1 d 1j d nj n Szukany wektor poprawek (V xj, V yj ) 20 Punkt transformowany Źródło: R. Kadaj, Zasady transformacji współrzędnych pomiędzy różnymi układami kartograficznymi na obszarze Polski (4). Osnowy a układy., Geodeta nr 12(67) grudzień 2000, s.32 1.6 Transformacja współrzędnych pomiędzy układami odwzorowawczymi różnych elipsoid. Transformacja pomiędzy płaskimi układami współrzędnych (np. układem 1965 a 2000 ) mającymi inne elipsoidy odniesienia właściwie powinna odbywać się poprzez obliczenie na podstawie funkcji odwzorowawczych współrzędnych geodezyjnych B,L,H lub współrzędnych kartezjańskich centrycznych X,Y,Z i dopiero wówczas transformację do drugiego systemu odniesienia. A ponieważ układy elipsoid GRS-80 i Krasowskiego nie są dokładnie koncentryczne i równoodległościowe toteż trzeba tu zastosować transformację poprzez podobieństwo o 7 parametrach: 3 przesunięcia wzdłuż osi X,Y,Z + 3 obroty wokół tych osi + współczynnik zmiany skali. Wartości parametrów obliczono w GUGiK-u mając dane współrzędne punktów sieci POLREF w obu układach odniesienia. Czy jednak można bezpośrednio przeliczyć współrzędne płaskie np. z układu 1965 do 2000? Przekształcenie takie ignorujące wpływ wysokości elipsoidalnej z formalnego punktu widzenia nie jest prawidłowe i za takie nie może zostać uznane. Zobaczmy jednak jaki wpływ ma wysokość elipsoidalna na wynik przeprowadzanej międzyelipsoidalnej transformacji. Jeśli ta wysokość zostanie wyznaczona z określonym błędem δ H, błąd ten wpłynie na transformowane współrzędne płaskie, co ilustruje rysunek 1.7.

Rysunek 1.7 Wpływ błędu wysokości na poziome przesuniecie punktu przy przejściu pomiędzy układami elipsoidalnymi δ H H G 21 H K ω δ r Elipsoida Krasowskiego [K] Elipsoida GRS-80 [G] Źródło: R.Kadaj, Polskie układy współrzędnych. Formuły transformacyjne, algorytmy i programy, www.geonet.net.pl, Rzeszów 2002, s. 10 Maksymalna kątowa rozwartość normalnych do obu elipsoid Ziemi (Krasowskiego i GRS-80) ma wartość 5 tak, więc wpływ błędu wysokości na przesunięcie poziome punktu wynosi: '' H r 206265 Równanie 1.33 Z powyższego wzoru wynika, że przesunięcie poziome punktu wynosi ok. 0,24 mm na 10 m błędu wysokości. Tak więc jeśli prace geodezyjne nie dotyczą osnów wyższych klas, wielkości tej można nie brać pod uwagę także wtedy, gdy punkt transformowany leży na elipsoidzie H = 0. Przy takim warunku można rozpatrywać bezpośrednie przejście transformacyjne między układami odwzorowawczymi odmiennych elipsoid, trzeba mieć jednak świadomość popełniania pewnego błędu systematycznego, którego wielkość zależy od wymiarów transformowanego obszaru. 13 13 R.Kadaj, Polskie układy współrzędnych. Formuły transformacyjne, algorytmy i programy, www.geonet.net.pl, Rzeszów 2002, s. 10

Ciekawy eksperyment numeryczny, dotyczący tego zagadnienia, przeprowadził w 2000 roku prof. Gajderowicz. Równomiernie rozmieszczone punkty na obszarze o wymiarach 111 km x 106 km transformowano z jednego odwzorowania na drugie w przypadku, gdy oba odwzorowania są równokątne, lecz przedstawiają obrazy różnych elipsoid odniesienia. W takim wypadku sieć geodezyjna zrzutowana na pierwszą elipsoidę odniesienia będzie miała nieco inny kształt niż ta sama sieć zrzutowana na drugą elipsoidę. W eksperymencie zamiast dwóch etapów tzn. obliczania na podstawie funkcji odwzorowawczych współrzędnych geodezyjnych B,L,H (lub współrzędnych kartezjańskich centrycznych X,Y,Z) a później zastosowania transformacji do drugiego systemu odniesienia wykonano jeden krok polegający na wykorzystaniu odpowiednio dobranego stopnia transformacji równokątnej. Obliczenia wykonano dla czterech przypadków dla różnych wysokości transformowanych punktów. Dobierając optymalny stopień transformacji, (jakim okazał się stopień trzeci) uzyskano następujące wnioski wynikające z eksperymentu: 22 1. Błędy, których transformacja równokątna nie potrafi usunąć zależą głównie od różnic wysokości punktów; 2. Na obszarach równinnych można stosować transformację równokątną bez obaw błędy współrzędnych, spowodowane różnicami wysokości, nie przekraczają 1mm; 3. Na obszarach pagórkowatych (różnice wysokości między punktami sięgające 200-300m) transformację równokątną można stosować nawet do przeliczania sieci III klasy błędy współrzędnych, spowodowane różnicami wysokości, mieszczą się w granicach 5 mm. 14 14 I.Gajderowicz, Zastosowanie transformacji równokątnej wyższego stopnia do wiązania układu 1965 z układem XY2000, Archiwum Fotogrametrii, Kartografii i Teledetekcji vol. 10, 2000

ROZDZIAŁ II BADANIA NAD WYKORZYSTANIEM TRANSFORMACJI WSPÓŁRZĘDNYCH W PROCESIE MODERNIZACJI EWIDENCJI 2.1 Cel doświadczenia Dane mające być podstawą do utworzenia Zintegrowanego Systemu Informacji powinny być jak najbardziej dokładne, pełne, zgodne ze stanem faktycznym oraz spełniać wymogi zawarte w regulacjach prawnych. Osiągnięciu tego ma służyć przeprowadzenie modernizacji ewidencji gruntów i budynków. Podczas kompleksowej modernizacji ewidencji należy posłużyć się istniejącymi materiałami i danymi państwowego zasobu geodezyjnego i kartograficznego, także wówczas gdy nie spełniają one wymagań obowiązujących standardów technicznych. W trakcie tworzenia numerycznego opisu granic działek ewidencyjnych przeprowadzić należy pomiar punktów załamania linii granicznych jedynie w przypadku gdy: - brak jest danych określających przebieg granic działek ewidencyjnych, - nie można określić położenia tych punktów (na bazie istniejących materiałów oraz uzupełniającego pomiaru ograniczonej liczby punktów granicznych zidentyfikowanych w terenie i na mapie), z dokładnością względem najbliższych elementów szczegółowej poziomej osnowy geodezyjnej większą niż 3,0 m w obrębach wiejskich i 0,60 m w obrębach miejskich. 15 Tak więc, w trakcie prac modernizacyjnych należy w maksymalnym stopniu wykorzystywać istniejącą dokumentację geodezyjno-kartograficzną, także wtedy, gdy nie spełnia ona dzisiejszych standardów dokładności. W takim przypadku, w projekcie modernizacji ewidencji należy określić niezbędne działania pomiarowe, a także obliczeniowe, mające na celu korektę i optymalizację dokładności danych zawartych w państwowym zasobie geodezyjnym i kartograficznym. Największe koszty wiążą się z przekształceniem mapy ewidencyjnej do postaci numerycznej. Konieczne jest wobec tego opracowanie rozwiązania, które pozwoli przy niskich nakładach finansowych, bazując na istniejących materiałach, uzyskać jak najlepszą poprawę dokładności mapy. W wielu przypadkach praktycznych istnieje możliwość obliczenia współrzędnych nieistniejących już punktów osnowy pomiarowej w nowym układzie metodą transformacji starych współrzędnych. 23 2.2 Występujące problemy Po przeprowadzeniu analizy archiwalnej dokumentacji geodezyjno-kartograficznej oraz dokonaniu przeglądu osnowy, najczęściej okazuje się, że znaczna część zbioru punktów osnowy, wykorzystywanych do pomiarów stanu władania, uległa dewastacji. Ciągi były z reguły usytuowane wzdłuż szlaków komunikacyjnych, dlatego wiele osnów zostało 15 Rozporządzenie Ministra Rozwoju Regionalnego i Budownictwa z dnia 29 marca 2001 r. w sprawie ewidencji gruntów i budynków. Dz.U. 2001 Nr 38 poz. 454

utraconych podczas przebudowy dróg lub modernizacji ich nawierzchni. Ponadto wiele punktów zniszczono podczas wykonywania prac polowych. Inne natomiast nie były trwale zastabilizowane. Uniemożliwia to wykonanie ponownego pomiaru tych punktów celem uzyskania ich współrzędnych w nowym układzie. Tym samym nie możemy dokonać analizy całego zbioru na podstawie poprawek na punktach łącznych uzyskanych podczas transformacji między układami, aby zlokalizować błędy grube popełnione podczas dawnego pomiaru. Jak zatem uzyskać współrzędne? Czy słuszne i uzasadnione ekonomicznie jest odtwarzanie stabilizacji zniszczonych punktów? Wcześniejszy pomiar stanu władania miał miejsce kilkadziesiąt lat temu, a zatem jego dokładność nie odpowiada dzisiejszym normom i wymaganiom. Szczególnie ówczesna nieprecyzyjna metoda pomiaru długości spowodowała powstanie dużych błędów położenia punktów osnowy pomiarowej. Odtwarzanie ich położenia, zwłaszcza w przypadku braku 2-3 i więcej kolejnych punktów w ciągu, na podstawie starych, obarczonych dużym błędem miar archiwalnych na pewno nie przyczyni się do zwiększenia ich dokładności. Kolejną komplikacją jest brak wzajemnej widoczności między punktami zakładanych kilkadziesiąt lat temu starych ciągów, spowodowany zaistniałymi zmianami w ich otoczeniu m.in. przyrostem drzew, umiejscowieniem infrastruktury, wykonaniem robót ziemnych, lokalizacją nowych inwestycji itp. Pokrycie terenu punktami osnowy szczegółowej III klasy (wyznaczonymi metodami GPS) jest już na dzień dzisiejszy wystarczające do realizacji wszystkich pomiarów sytuacyjno-wysokościowych, wobec tego odtworzenie i powtórna trwała stabilizacja starej osnowy pomiarowej jest stratą czasu i środków, ponieważ i tak ze względu na ww. zaistniałe zmiany w terenie nie zostanie ona w pełni wykorzystana. Jak zatem uzyskać współrzędne zniszczonych punktów w nowym układzie? 24 2.3. Proponowane rozwiązanie zastosowanie transformacji współrzędnych Prezentowane przeze mnie rozwiązanie będzie polegało na wirtualnym odtworzeniu położenia punktów starej osnowy pomiarowej w nowym układzie. Aby tego dokonać należy przeprowadzić następujące czynności: 1) zarejestrować nowe obserwacje na zachowanych punktach, metodami klasycznymi (total station) lub GPS, z dowiązaniem do osnowy I, II i III klasy, 2) przeprowadzić wyrównanie ścisłe dla tak powstałej sieci w nowym układzie, 3) obliczyć parametry transformacji współrzędnych ze starego układu na nowy, z wykorzystaniem nowopomierzonych punktów jako punktów łącznych, 4) na podstawie otrzymanych parametrów, transformować stare współrzędne zniszczonych punktów osnowy, uzyskując w ten sposób współrzędne tych punktów w nowym układzie. Przedstawiony algorytm dotyczy transformacji lokalnej pomiędzy jakimś układem pierwotnym a układem 2000. Jednak jeśli znamy parametry układu pierwotnego np. realizujemy transformację współrzędnych z układu 1965 do 2000 to zadanie to wykonujemy w dwóch etapach: 1.transformacja matematyczna w oparciu o znane funkcje odwzorowawcze i znane parametry transformacji przestrzennej (plus ewentualnie korekta globalna strefy układu 1965 ),

2.transformacja Helmerta plus korekty post-transformacyjne Hausbrandta (przeprowadzone już na płaszczyźnie układu 2000 ). Zagadnienie transformacji współrzędnych pomiędzy układami odwzorowawczymi różnych elipsoid szerzej opisano w rozdziale I pkt 1.6. W przypadku, gdy nie znamy parametrów układu pierwotnego a obręb zawierający transformowane punkty, w swej rozciągłości nie przekracza kilku kilometrów, wówczas w wyniku opisanych zabiegów otrzymamy dane o położeniu całej osnowy pomiarowej. W konsekwencji będziemy mogli, korzystając z zapisów zawartych w operatach archiwalnych, obliczyć współrzędne punktów granicznych działek ewidencyjnych w nowym układzie. 25 2.4 Faza I wykorzystanie transformacji konforemnej Badania przeprowadzono na terenie trzech obrębów powiatu suwalskiego (Mauda, Użmauda, Gawrych Ruda) obejmujących prawie 900 ha. Wykorzystano dane uzyskane w wyniku wykonania modernizacji operatu ewidencji gruntów i budynków. Dokładniej rzecz ujmując, wykorzystano wyniki przeprowadzonej renowacji osnowy pomiarowej, z której uzyskano nowe, dokładniejsze współrzędne punktów. Z operatów archiwalnych pobrano stare współrzędne punktów ciągów osnowy pomiarowej. Zarówno stare jak i nowe współrzędne zostały obliczone w układzie 65. Do badań zostały wzięte tylko te punkty, których stabilizacja została dobrze zachowana oraz ich identyfikacja nie budziła wątpliwości. Następnie założono, że kilka punktów zostało zdewastowanych i ich współrzędne zostały utracone. Eksperyment polegał na próbie odtworzenia współrzędnych w nowym układzie poprzez ich transformację. Współczynniki transformacji równokątnej zostały wyznaczone na podstawie pozostałych, zachowanych punktów osnowy. Do obliczeń wykorzystano program Trakon autorstwa prof. Gajderowicza. Uzyskane w ten sposób współrzędne porównano z wcześniejszymi, otrzymanymi w wyniku dokonania nowych obserwacji oraz ich wyrównania, co miało miejsce podczas prac modernizacyjnych. Wartości odchyłki obliczonej na podstawie różnic pomiędzy współrzędnymi otrzymanymi z pomiaru a uzyskanymi poprzez transformację, zaprezentowano w tabelach 2.1 2.3. Ponieważ każda współrzędna punktu jest traktowana jako równoważna obserwacja i przyjmujemy, że wagi P i =1, dlatego też otrzymana z wyrównania wartość m 0 będzie równa błędowi średniemu obserwacji.

Wyniki uzyskane na obiekcie Mauda. Tabela 2.1 T r a n s f o r m a c j a k o n f o r e m n a Nr punktu I stopnia m 0 = 0.15m II stopnia m 0 = 0.14m III stopnia m 0 = 0.06m IV stopnia m 0= 0.06m V stopnia m 0 = 0.05m VI stopnia m 0 = 0.02m Δ Δ Δ Δ Δ Δ 2222 0.18 0.13 0.17 0.13 0.08 0.10 2227 0.27 0.31 0.20 0.24 0.23 0.23 2200 0.09 0.07 0.03 0.02 0.03 0.03 2208 0.09 0.05 0.04 0.06 0.05 0.04 2223 0.23 0.18 0.23 0.20 0.12 0.17 2206 0.09 0.06 0.02 0.01 0.01 0.02 2203 0.06 0.11 0.11 0.10 0.10 0.11 Średnie: 0.15 0.13 0.12 0.11 0.09 0.10 26 Wyniki uzyskane na obiekcie Użmauda. Tabela 2.2 T r a n s f o r m a c j a k o n f o r e m n a Nr I stopnia II stopnia III stopnia IV stopnia V stopnia VI stopnia punktu m 0 = 0.11m m 0 = 0.08m m 0 = 0.08m m 0= 0.06m m 0 = 0.09m m 0 = 0.07m Δ Δ Δ Δ Δ Δ 2134 0.18 0.21 0.24 0.23 0.22 0.23 2145 0.18 0.20 0.21 0.23 0.26 0.20 2142 0.15 0.19 0.17 0.16 0.18 0.19 2147 0.09 0.16 0.15 0.15 0.17 0.21 2148 0.17 0.23 0.23 0.23 0.25 0.29 2283 0.02 0.10 0.13 0.10 0.13 0.14 Średnie: 0.13 0.18 0.19 0.19 0.20 0.21

Wyniki uzyskane na obiekcie Gawrych Ruda. Tabela 2.3 T r a n s f o r m a c j a k o n f o r e m n a Nr punktu I stopnia m 0 = 0.10m II stopnia m 0 = 0.08m III stopnia m 0 = 0.08m IV stopnia m 0= 0.06m V stopnia m 0 = 0.05m VI stopnia m 0 = 0.06m Δ Δ Δ Δ Δ Δ 2028 0.14 0.18 0.22 0.22 0.22 0.21 2029 0.20 0.15 0.12 0.12 0.12 0.12 2096 0.06 0.10 0.11 0.13 0.10 0.11 2007 0.11 0.07 0.04 0.05 0.05 0.04 2008 0.10 0.12 0.15 0.13 0.15 0.15 2059 0.11 0.08 0.07 0.09 0.10 0.10 2057 0.17 0.18 0.15 0.17 0.20 0.21 Średnie: 0.13 0.13 0.12 0.13 0.13 0.14 27 Oznaczenia zastosowane w tabelach: m 0 błąd średni typowej obserwacji, Xp,Yp współrzędne uzyskane z pomiaru, Xtr,Ytr współrzędne otrzymane z transformacji, Xp Xtr 2 Yp Ytr 2 Wnioski wynikające z I fazy (wykorzystanie transformacji konforemnej) Na badanych obiektach, przy zastosowaniu metody wyznaczania współrzędnych zniszczonych punktów osnowy pomiarowej za pomocą transformacji konforemnej, średnia wartość odchyłek od współrzędnych uzyskanych poprzez nowy pomiar wyniosła 13-15 cm. Znaczący wpływ na ten błąd miała mała dokładność dawnego pomiaru (zwłaszcza długości), który zadecydował o jakości transformowanego układu. Zaprezentowana metoda okazała się skutecznym i niskonakładowym sposobem wyznaczania współrzędnych zniszczonych punktów osnowy pomiarowej. Osiągnięte w przedstawionych przykładach dokładności są zadowalające, jednak niezbędna wydała się być kontynuacja badań w szerszym zakresie z wykorzystaniem transformacji afinicznej oraz wiernokątnej z korektą Hausbrandta. W tym celu, na potrzeby tego eksperymentu, stworzono program komputerowy o nazwie AFIKON 5 umożliwiający wykorzystanie podanych typów transformacji.

2.5 Autorski program AFIKON 5 Program AFIKON 5 realizuje transformacje równokątną lub afiniczną 1 5 stopnia (opartą na szeregach potęgowych), z możliwością zastosowania korekty post-transformacyjnej Hausbrandta. Kolejne etapy działania programu: 1) Wczytanie danych o numerach i współrzędnych (U,W) punktów łącznych w układzie pierwotnym (plik w formacie tekstowym o nazwie weuw.txt ) 2) Wczytanie danych o numerach i współrzędnych (X,Y) punktów łącznych w układzie wtórnym (plik w formacie tekstowym o nazwie wexy.txt ) 28 3) Wprowadzenie dwóch nowych układów pomocniczych (zgodnie z opisem w rozdziale I pkt. 1.3, równanie 1.22) a) obliczenie średnich wartości współrzędnych U,W i X,Y b) szukanie największej odległości w zbiorze punktów od punktu leżącego w pobliżu środka ciężkości transformowanego układu c) obliczenie małych u,w i x,y w pomocniczych układach dla punktów łącznych 4) Ustalenie na podstawie ilości punktów łącznych maksymalnego, możliwego do zrealizowania stopnia transformacji 5) Obliczenie współczynników transformacji a) Ułożenie równań poprawek b) Każda współrzędna punktu jest traktowana jako równoważna obserwacja i przyjmujemy, że wagi P i =1, dlatego też otrzymana z wyrównania wartość m 0 będzie równa błędowi średniemu obserwacji c) Wyrównanie metodą parametryczną d) Obliczenie poprawek i m 0 e) Wyświetlenie wyników obliczeń w postaci informacji o rodzaju transformacji, jej stopniu i otrzymanym m 0 dla wszystkich możliwych do zrealizowania stopni transformacji 6) Wybór przez operatora odpowiedniego rodzaju i stopnia transformacji 7) Wczytanie danych o numerach i współrzędnych (TU,TW) punktów do transformacji (plik w formacie tekstowym o nazwie twe.txt ) 8) Wykonanie transformacji wybranego rodzaju i stopnia z wykorzystaniem parametrów obliczonych na podstawie współrzędnych punktów łącznych 9) Wybór (lub zaniechanie) przez operatora opcji zastosowania korekty post-transformacyjnej Hausbrandta 10) Zapis wyników obliczeń do zbioru tekstowego (plik wynik.txt ) w postaci: a) Wykazu danych dotyczących punktów łącznych (1) numer punktu

(2) wsp. X przeliczona wg parametrów transformacji (3) poprawka VX (4) wsp Y przeliczona wg parametrów transformacji; (5) poprawka VY b) Wykazu danych dotyczących punktów transformowanych (1) numer punktu (2) wsp. X w nowym układzie (3) poprawka post-transformacyjna Hausbrandta dot. wsp. X (4) wsp. X po uwzględnieniu poprawki post-transformacyjnej Hausbrandta (5) wsp. Y w nowym układzie (6) poprawka post-transformacyjna Hausbrandta dot. wsp. Y (7) wsp. Y po uwzględnieniu poprawki post-transformacyjnej Hausbrandta 29 Podczas wyrównania realizowanego w programie AFIKON 5 do transformacji współrzędnych, każda współrzędna punktu jest traktowana jako równoważna obserwacja, dlatego też zajmiemy się teraz zagadnieniem błędu średniego wyniku pomiaru o jednostkowej wadze. Jeżeli wyniki pomiarów opracujemy metodą najmniejszych kwadratów to jednym z wyników jest błąd średni typowej obserwacji (błąd średni obserwacji o wadze P=1) oznaczany zwykle m 0. Jeśli przyjęto, że waga każdej obserwacji P i =1 to otrzymana wartość m 0 jest błędem średnim takiej obserwacji. Jeżeli wagę obliczano ze wzoru: 1 P i w 2 Równanie 1.34 gdzie w jest odchyleniem standardowym a priori, to z wyrównania otrzymamy błąd średni obserwacji o wadze P=1, który w tym przypadku oznaczymy m 0W. 16 Zachodzi zależność: m 0 Równanie 1.35 w m W 0 W ogólności zależność tę można zapisać następująco: co można zapisać w postaci reguły: m 0 = m 0W1 w 1 = m 0W2 w 2 = Równanie 1.36 Iloczyn odchylenia standardowego a priori (w) i otrzymanej wartości błędu średniego typowej obserwacji m 0W jest dla danego zbioru obserwacji jednorodnych wielkością stałą. Jeżeli założymy, że błąd średni a priori typowej obserwacji wynosi 1 (w=1) to z wyrównania otrzymamy m 0, (bo m 0 = m 0W w a zatem m 0W =m 0 ). I jeśli przyjmiemy, że w=m 0 to z wyrównania otrzymamy m 0W =1, ponieważ m 0 = m 0W m 0. 16 I.Gajderowicz, Jednoetapowo trudniej a nie lepiej, Geodeta nr 12 grudzień 2004, s.23-24

Wniosek 1: Jeśli do wagowania obserwacji jednorodnych wykorzystamy błąd średni a priori równy rzeczywistej wartości błędu średniego obserwacji (w=m 0 ) to z wyrównania otrzymamy m 0W =1. Wniosek 2: Jeżeli przyjmiemy, że wagi obserwacji jednorodnych P i =1 (to znaczy, że przyjmujemy w=1) to z wyrównania otrzymamy wartość m 0W =m 0, która jest równa błędowi średniemu każdej takiej obserwacji (m i = m 0 =m 0W ). Wniosek 3: Znając błąd średni a priori (w) użyty do obliczania wag P i obserwacji jednorodnych oraz błąd średni m 0W uzyskany z wyrównania, możemy obliczyć rzeczywisty błąd średni takich obserwacji m i = m 0 =m 0W w. Jeśli przyjęto, że błąd średni a priori (w) wynosi połowę rzeczywistego błędu 1 m0 m0 średniego obserwacji ( w m0 ) to z wyrównania otrzymamy m0 W 2. 2 w 1 m0 2 30 2.6 Faza II zastosowanie transformacji konforemnej, afinicznej i korekty Hausbrandta W fazie II do badań wybrano trzy obręby ewidencyjne (Mieruniszki, Użmauda, Mauda), na których wcześniej przeprowadzona została modernizacja ewidencji gruntów i budynków. Dwa z nich uczestniczyły już w fazie pierwszej, zmieniono jednak zbiór punktów dostosowania, na którym oparto transformację wykonywaną w drugiej fazie eksperymentu. Zakres wykorzystanych danych objął wyniki przeglądu i renowacji starej osnowy pomiarowej wykorzystanej do pomiaru stanu władania. Stąd uzyskano nowe, dokładniejsze współrzędne punktów. Natomiast stare współrzędne punktów ciągów pobrano z operatów archiwalnych. W kolejnym etapie przyjęto, że kilka z nich uległo zniszczeniu, a ich współrzędne w nowym układzie nie są znane. Eksperyment polegał na uzyskaniu współrzędnych punktów w nowym układzie, opierając się na zachowanych punktach, na podstawie których obliczono współczynniki transformacji. Na podstawie zgromadzonych danych utworzono pliki wsadowe do autorskiego programu AFIKON 5 realizującego transformację konforemną lub afiniczną 1 5 stopnia oraz dodatkowo korektę post-transformacyjną Hausbrandta. Stosowano transformację zarówno wiernokątną jak i afiniczną, pierwszego, drugiego i trzeciego stopnia. Do obliczenia współczynników transformacji wzięto tylko te punkty, których stabilizacja została nienaruszona oraz ich identyfikacja w terenie nie budziła zastrzeżeń.

Obliczone tą drogą współrzędne porównano z otrzymanymi na podstawie nowego pomiaru i wyrównania, przeprowadzonych podczas odnowienia osnowy. Wyniki porównań przeprowadzonych na trzech obiektach prezentują poniższe tabele. Wyniki uzyskane na obiekcie Mieruniszki Tabela 2.4 Transformacja I stopnia Transformacja II stopnia Transformacja III stopnia Nr punktu Konforemna m0=0.18m Afiniczna m0=0.12m Konforemna m0=0.13m Afiniczna m0=0.09m Konforemna m0=0.11m Afiniczna m0=0.06m 31 Δ1 Δ2 Δ1 Δ2 Δ1 Δ2 2020 0.26 0.28 0.29 0.29 0.29 0.31 0.33 0.30 0.32 0.29 0.30 0.30 2022 0.28 0.32 0.32 0.34 0.36 0.37 0.39 0.38 0.35 0.35 0.50 0.50 2023 0.26 0.22 0.26 0.23 0.35 0.25 0.31 0.30 0.29 0.25 0.44 0.43 2024 0.14 0.09 0.17 0.09 0.26 0.08 0.14 0.13 0.16 0.10 0.13 0.13 Średnie: 0.24 0.23 0.26 0.24 0.31 0.25 0.29 0.28 0.28 0.25 0.34 0.34 Δ1 Δ2 Δ1 Δ2 Δ1 Δ2 Wyniki uzyskane na obiekcie Użmauda II Tabela 2.5 Transformacja I stopnia Transformacja II stopnia Transformacja III stopnia Nr punktu Konforemna m0=0.11m Afiniczna m0=0.10m Konforemna m0=0.10m Afiniczna m0=0.10m Konforemna m0=0.10m Afiniczna m0=0.05m Δ1 Δ2 Δ1 Δ2 Δ1 Δ2 2134 0.20 0.23 0.17 0.22 0.20 0.22 0.17 0.22 0.22 0.23 0.21 0.22 2142 0.09 0.08 0.11 0.08 0.09 0.07 0.08 0.05 0.09 0.06 0.10 0.10 2147 0.13 0.17 0.07 0.13 0.13 0.18 0.14 0.16 0.18 0.19 0.43 0.43 2148 0.20 0.29 0.15 0.27 0.20 0.31 0.26 0.30 0.25 0.31 0.35 0.36 2283 0.05 0.05 0.08 0.06 0.05 0.06 0.08 0.05 0.10 0.06 0.42 0.41 Średnie: 0.13 0.16 0.12 0.16 0.17 0.17 0.15 0.16 0.17 0.17 0.30 0.30 Δ1 Δ2 Δ1 Δ2 Δ1 Δ2

Wyniki uzyskane na obiekcie Mauda II Tabela 2.6 Transformacja I stopnia Transformacja II stopnia Transformacja III stopnia Nr punktu Konforemna m0=0.15m Afiniczna m0=0.09m Konforemna m0=0.14m Afiniczna m0=0.06m Konforemna m0=0.08m Afiniczna m0=0.04m 32 Δ1 Δ2 Δ1 Δ2 Δ1 Δ2 2222 0.13 0.04 0.11 0.04 0.10 0.03 0.07 0.03 0.14 0.04 0.03 0.02 2227 0.18 0.10 0.12 0.07 0.20 0.08 0.05 0.05 0.12 0.13 0.21 0.21 2208 0.05 0.03 0.09 0.03 0.03 0.04 0.06 0.04 0.03 0.04 0.06 0.05 2206 0.05 0.03 0.07 0.03 0.07 0.03 0.05 0.03 0.01 0.02 0.13 0.12 2203 0.06 0.11 0.12 0.12 0.13 0.12 0.12 0.12 0.12 0.12 0.09 0.09 Średnie: 0.10 0.06 0.10 0.06 0.10 0.06 0.07 0.05 0.08 0.07 0.10 0.10 Oznaczenia zastosowane w tabelach: m 0 błąd średni typowej obserwacji Δ1 Δ2 Δ1 Δ2 2 2 Xp- Xtr Yp - Ytr Xp- Xtrhb 2 Yp - 2 1 2 Ytrhb Xp,Yp współrzędne uzyskane z pomiaru Xtr,Ytr współrzędne otrzymane z transformacji Xtrhb,Ytrhb współrzędne otrzymane z transformacji z uwzględnieniem korekty Hausbrandta Δ1 Δ2 Wnioski wynikające z II fazy (zastosowanie transformacji konforemnej, afinicznej i korekty Hausbrandta) Na wszystkich badanych obiektach uzyskano zadawalające rezultaty. Różnice między współrzędnymi uzyskanymi za pomocą pomiaru, a otrzymanymi poprzez transformację wykonaną na podstawie obliczonych parametrów, wyniosły w większości przypadków kilkanaście centymetrów. Biorąc pod uwagę niską dokładność starej osnowy pomiarowej (układu pierwotnego), należy to uznać za dobry wynik. W miarę zwiększania stopnia transformacji, konforemnej czy też afinicznej, średni błąd typowej obserwacji malał. Proces ten nie dał jednak jednoznacznego odzwierciedlenia w wartościach liczonych różnic.

Wyraźnie jednakże dało się zaobserwować korzystny wpływ korekty post-transformacyjnej Hausbrandta. Na każdym z badanych obiektów odchyłki zmniejszyły się po zastosowaniu tej poprawki. Oczywiście przy wyższym stopniu transformacji jej wpływ malał a to za sprawą mniejszych poprawek na punktach dostosowania. W świetle otrzymanych wyników nieefektywne wydaje się być stosowanie wyższych stopni transformacji, gdyż zmniejszenie średniego błędu typowej obserwacji nie idzie w parze ze zmniejszeniem różnic między współrzędnymi uzyskanymi z pomiaru, a uzyskanymi na podstawie obliczonych współczynników transformacji. Dotyczy to zarówno zastosowania przekształcenia konforemnego jak i afinicznego. 33 2.7 Faza III wirtualny obiekt testowy Aby wykluczyć przypadkowość oraz potwierdzić prawdziwość wyników otrzymanych w fazach pierwszej i drugiej, postanowiono rozszerzyć eksperyment. Na podjęcie decyzji o utworzeniu wirtualnego obiektu testowego, wpłynęły także inne czynniki. W poprzednich obliczeniach (chociaż starano się zachować reprezentatywny charakter próby) uczestniczyła niewielka ilość punktów. Należałoby równocześnie wyeliminować wpływ błędów nowych pomiarów. Znajomość popełnionych błędów podczas wykonywania starego pomiaru (symulacja starego pomiaru), mogłaby być pomocna w określeniu ich wpływu na przeliczane współczynniki transformacji, a co za tym idzie, na nowe współrzędne punktów. Ponadto przy posiadaniu całego zbioru współrzędnych, mielibyśmy sposobność dowolnego wyboru do badań interesujących nas punktów, według rozkładu symulującego różne ich umiejscowienie względem pozostałych punktów w ciągu oraz całej sieci i jednocześnie umożliwiającego analizę otrzymanych odchyłek. Zadanie będzie więc polegało na stworzeniu wirtualnego obiektu, pokryciu go siecią ciągów poligonowych, określeniu współrzędnych punktów. Na ich podstawie dokonamy obliczeń kątów i odległości, które z kolei po obarczeniu błędami pomiarowymi będą nam symulować wykonanie dawnego pomiaru. I po obliczeniu tak pomierzonych ciągów, uzyskane współrzędne porównamy ze współrzędnymi idealnymi ( udającymi wynik nowego pomiaru). Określenie wielkości i kształtu obiektu Bazując na poprzednich doświadczeniach co do wielkości obszaru badanych jednostek ewidencyjnych oraz rozmieszczenia w nich punktów ciągów poligonowych, ustalono, że obiekt testowy będzie miał powierzchnie ok. 300 hektarów. W rezultacie końcowym przedmiot testów przyjął obszar 318 ha i kształt o rozciągłości 2,7 km w kierunku wschód-zachód oraz 1,8 km w kierunku północ-południe. Pokrycie obszaru ciągami poligonizacji Sytuacja ma symulować działania podejmowane podczas prac modernizacji operatu ewidencji gruntów, czyli ponowny pomiar starych punktów osnowy pomiarowej w celu

zwiększenia jej dokładności. W tym celu badany obiekt pokryto układem ciągów poligonizacji technicznej, zgodnie z dawną technologią wykonywania pomiarów w latach 60 XX wieku. Trzymając się obowiązujących wówczas zasad utworzono 6 ciągów I rzędu oznaczonych C1,C2,C3,C4,C5,C6 a także dowiązane do nich 3 ciągi II rzędu (C7,C8,C9). Szkic rozmieszczenia oraz numerację punktów osnowy ukazuje rys. 2.1. Punkty nawiązania numeracja 1xxx ; punkty ciągów poligonowych numeracja 2xxx. Określenie współrzędnych punktów utworzonych ciągów Tak powstałą sieć umiejscowiono w północno-wschodniej części Polski tzn. nadano jej punktom współrzędne z II strefy układu 65. Powodów zastosowania tego układu było kilka. Po pierwsze, dawny pomiar stanu władania z reguły był realizowany w układzie lokalnym lub właśnie w układzie 65. Po drugie, jak się później okaże w dalszej części eksperymentu, pozwoli to na bezpośrednie porównanie współrzędnych z nowego i starego pomiaru bez konieczności wykonywania dodatkowych transformacji między układami mającymi inne elipsoidy odniesienia, również ułatwi graficzne przedstawienie wyników przesunięcia punktów w programach do edycji map. 34 Obliczenie miar kątów i odległości oraz obarczenie wyników (wygenerowanymi losowo) błędami pomiarowymi Po nadaniu współrzędnych punktom, które przyjmujemy za współrzędne idealne, przystąpiono do obliczania miar odległości i kątów nakreślonych wcześniej ciągów (raporty z wynikami obliczeń długości boków oraz miar kątów zawierają załączniki 2 i 3). Uzyskane wielkości są wartościami idealnymi, zatem, aby zasymulować ich pomiar, muszą zostać obarczone pewnymi błędami pomiarowymi. Błędy te określono kierując się metodami i dokładnościami obowiązującymi w latach 60 XX wieku. Uwzględniając kategorię terenu i długość ciągów sytuacyjnych, przyjęto maksymalne błędy pomiaru kąta 60 (0,0185 g ) i długości 0,26m (dla średniej długości boku wynoszącej 168m). Ponadto pomiarowi długości przypisano błąd systematyczny 0,02m/100m. Do symulacji przypadkowości popełnianych błędów pomiarowych wykorzystano generator liczb pseudolosowych wg rozkładu normalnego (opcja analizy danych w arkuszu kalkulacyjnym). Analizując wygenerowane wartości oraz zalecenia instrukcji sugerujące, iż wartości błędów nie powinny przekraczać maksymalnych wartości przyjęto, że błędy maksymalne (wymieniane wyżej) są 2,5 razy większe niż błędy średnie pomiaru.