Algorytmy w arytmetyce szkolnej Patricia Baggett Dept. of Math Sci, New Mexico State Univ. Las Cruces, NM 88003-8001 Andrzej Ehrenfeucht Computer Science Dept. University of Colorado Boulder, CO 80309-0430 andrzej@cs.colorado.edu http://www.math.nmsu.edu/~breakingaway/ Joint Mathematics Meetings Baltimore January 15-18, 2014
Spis treści 1. Krótki wstęp historyczny 2. Oryginalne liczydło Napier a (wg Rabdologiæ, 1617) 3. Zmodyfikowane liczydło i sposoby jego użycia 4. Wnioski końcowe
1. Krótki wstęp historyczny Można zapytać: dlaczego mamy w szkole właśnie te algorytmy, a nie inne? Czy są łatwiejsze do nauki i bardziej efektywne niż inne?
Hindu-arabska arytmetyka była znana w Europie już około roku 1200, (Fibonacci, 1170-1250). Około roku 1400 wyraźnie zaczęła wypierać poprzednio stosowane metody kamyczkowe na liczydłach, oparte na rzymskich abakach. Około roku 1700 już prawie całkowicie zdominowała nauczanie szkolnej arytmetyki.
Czyli od bardzo dawna.
Ale dlaczego mamy właśnie te algorytmy w szkole, a nie inne? Czy są łatwiejsze do nauki i bardziej efektywne niż inne? Historia mówi, nie. Przyczyny były inne.
To jest mit, że notacja hindu-arabska i związane z nią algorytmy, ciągle obecne w naszych szkołach, dlatego zastąpiły te stare algorytmy w Europie, ponieważ
1 były łatwiejsze, i do stosowania, i do nauki 2 były bardziej wydajne
Nauka pisemnego wykonywania działań arytmetycznych była i jest bardzo czasochłonna ponieważ wymaga mechanicznego zapamiętania tabliczki dodawania i mnożenia i wielu innych skojarzeń i faktów. Ta nowa metoda stworzyła liczną profesję rachmistrzów, siedzących i chodzących komputerów, których jedynym zadaniem było rachowanie.
Były po temu dwie przyczyny: przyczyna 1 Pojawienie się handlu opartego na kredycie, a nie na przekazie pieniędzy, przez banki włoskie. Ta zmiana opierała się na podwójnym zapisie w księgach (Pacioli, 1445-1517).
Ta metoda księgowania (Hutton, 1807) wymagała zapisu atramentem rachunków, które były częścią prawnego dokumentu tranzakcji, dla ochrony przed fałszerstwem.
przyczyna 2 Wprowadzenie ułamków dziesiętnych (Stevin, 1548-1620), wynalazek logarytmów (Napier, 1550-1617), konstrukcja tablic logarytmicznych i suwaków (Oughtred, 1575-1660), zastąpiło liczydła w obliczeniach dla rzemiosła i techniki, ponieważ potrzebne były tylko przybliżone wyniki.
W wieku XIX i w pierwszych dwóch trzecich XX wieku, w powszechnej edukacji wymagano, aby uczniowie opanowali zwykłe algorytmy rachunkowe w ciągu pierwszych ośmiu lat i żeby nauczyli się logarytmów w ciągu końcowych czterech lat (jeżeli dobrnęli do tego).
Pojawienie się komputerów sprawiło, że te żmudne obliczenia stały się przeżytkiem. Zamiast mechanicznej biegłości w rachunkach pojawiła się potrzeba rozumienia. Ale szkoła ciągle wymaga biegłości w zwykłych tradycyjnych rachunkach, chociaż w szczątkowej formie, kosztem rozumienia. Uczniowie tracą setki godzin na nabywaniu wprawy w tradycyjnych rachunkach.
Uważamy, że są inne algorytmy, które nie wymagają wstępnie dużego pamięciowego wysiłku ani tabliczki mnożenia. Te algorytmy łatwo i szybko prowadzą do rozumienia arytmetyki.
Algorytmy, które polecamy wykonuje się na pewnej modyfikacji tabliczki, którą wynalazł John Napier i opisał ją w roku 1617 w księdze pod tytułem Rabdologia. Nie zostało to zauważone. Dopiero Martin Gardner (1914-2010), poznał się na tym w roku 1986 i wyraził swoje uznanie.
2. John Napier i jego oryginalne liczydło, deska do rachowania (1617)
Tabliczka do rachowania Napiera wygląda jak szachownica rozmiarów n na n. Każdemu kwadracikowi przypisana jest wartość. Te wartości tworzą postęp geometryczny o czynniku 2 w każdym wierszu i każdej kolumnie. Napier nie używał układu dwójkowego. Utworzył swój własny, gdzie a = 1, b = 2, c = 2 2, d = 2 3, itd. i np, eca = 2 4 + 2 2 + 1 = 21.
Każdy żeton ma tu swoją lokalną wartość i ich suma = 38:
Reguły przesuwania były proste Dwa żetony w kwadraciku mogą być zamienione na jeden z lewej lub jeden u góry.. Każdy żeton na przekątnej nachylonej dodatnio może być przemieszczony do innego kwadracika na tej przekątnej Napier opisał jak przetłumaczyć zapis dziesiętny liczby na jego zapis na tabliczce.
Pokazał jak obliczyć sumę, różnicę, iloczyn i iloraz na tabliczce. Wikipedia sugeruje, że używał notacji dwójkowej, ale raczej miał inne skojarzenia. To było raczej przeniesienie jego logarytmów na tabliczkę, bo do mnożenia na jego tabliczce używa tej samej zasady co na suwaku, a że to prowadzilo do postępu geometrycznego o czynniku 2 było raczej nieistotne.
3. Zmodyfikowana tabliczka Zrobiliśmy trzy zmiany w oryginalnym projekcie : 1. Zostawiliśmy czynnik 2 w kolumnach, ale w wierszach wprowadziliśmy czynnik 5. Zatem na przekątnej nachylonej ujemnie są potęgi liczby 10 i rachunki mogą być prowadzone w bazie 10.
2. Dopuszczamy wartości ujemne, n i m, dla lokalnych wartości kwadracików 2 n 5 m. W ten sposób mamy możliwość zapisu dowolnej liczby dziesiętnej ułamkowej, (dowolnego skończonego dziesiętnego ułamka)
3. Żetony są dwóch kolorów (biały i czerwony). Czerwone oznaczają cyfry ujemne. To pozwala zapisywać liczby ujemne i redukuje odejmowanie do dodawania liczby przeciwnej.
Są trzy zasady przemieszczania żetonów Zasada 1. Można położyć dwa żetony różnego koloru na dowolny kwadracik lub je jednocześnie zabrać. To odpowiada x + -x = 0.
. Zasada 2 Żeton może być wymieniony na dwa żetony poniżej. To odpowiada 2x = x + x.
Zasada 3 Żeton może być wymieniony na trzy żetony: jeden z prawej i dwa z prawej i górę To odpowiada 5x = x + 2*(2x).
Na takiej deseczce można wykonywać wiele różnych algorytmów (włączając w to standardowe). Opiszemy krótko tylko trzy algorytmy.
Wszystkie trzy poniżej opisane algorytmy są elastyczne, w tym sensie, że kolejność redukowania żetonów jest dowolna. Jaki zrobić ruch, użytkownik decyduje sam. Jednak każde takie postępowanie może być zastąpione przez sztywny algorytm, który dokładnie opisuje, krok po kroku co zrobić.
Dodawanie i odejmowanie Jednocyfrowa liczba dziesiętna może być zapisana jednym lub dwoma żetonami. Zatem dodawanie dodatnich lub ujemnych liczb może być wykonane tak: Ułóż wszystkie liczby na desce i przesuwaj żetony wg trzech reguł aż w każdej kolumnie będą tylko co najwyżej dwa żetony odpowiadające jednej dziesiętnej cyfrze.
Przykład: 124 + 71 28 = 167
Mnożenie Jest dużo różnych algorytmów mnożenia. Opiszemy tylko jeden, który jest inny od standardowego i inny od tego który opisał Napier
Mnożenie liczby x, reprezentowanej przez żetony na desce 2 n 5 m (gdzie n i m są dodatnie) wykonuje się przez przesunięcia wszystkich żetonów tej liczby x n pozycji do góry i m pozycji w lewo, wskazanych przez żetony y. Zatem aby pomnożyć x przez y, ustawiamy jeden egzemplarz x, przesunięty o 2 n 5 m, co odpowiada żetonom liczby y i redukujemy żetony otrzymanego zapisu.
Każdy żeton liczby x przesuwamy tak, jak wskazują żetony liczby y Można powiedzieć krótko: Żetony mnożymy każdy przez każdy obojętnie w jakiej kolejności i redukujemy wynik
Dzielenie Są dwa algorytmy dzielenia: dzielenie z resztą dzielenie przybliżone, gdzie wynik podany jest z wybraną dokładnością. Podamy algorytm przybliżony, który opisał Brahmagupta (597-668 ne)
Aby obliczyć x/y, trzeba znaleźć z and t = 2 n 5 m takie, że y*z = 2 n 5 m -1. Zatem, x/y = (x*z)/(y*z) = x*z/(2 n 5 m -1) = x*z*t -1 + x*z*t -2 + x*z*t -3 + Każdy wyraz tego szeregu jest po prostu kopią x*z przesuniętą w dół i na prawo!
Dzielenie x przez 40:
Dzielenie x przez 13: x /13 = x *3 /(40-1) = x *3 /40 + x *3 /40^2 + x *3 /40^3 + x *3/ 40^4 +...
4. Wnioski końcowe Uważamy, że zmodyfikowane deski Napiera, różnych rozmiarów, zależnie od wieku i zaawansowania dzieci, mają wiele zalet zarówno przy nauczaniu jak i uczeniu się dzieci elementarnej arytmetyki.
a. Potrzebna jest tylko umiejętność odczytywania i zapisywania liczb dziesiętnych i oswojenie z liczbami nie przekraczającymi liczby 12. Zatem nie wymaga to zaawansowanej umiejętności zapamiętywania liczb.
b. Ta deska daje jednolity sposób postępowania zarówno dla liczb całkowitych dodatnich i ujemnych, jak i dla ułamków dziesiętnych (skończonych). Zatem te liczby i działania na nich podlegają tym samym regułom.
c. Można wykonywać wiele rozmaitych algorytmów na takiej desce.
d. Algorytmy wykonywane na tych deskach są elastyczne, tzn. szczegółowy sposób ich wykonania może być pozostawiony wykonawcy, który jednak musi myśleć o tym co robi, a nie tylko wykonywać zapamiętany ciąg ruchów.
e. Stosowanie tych algorytmów jest efektywne. Ta zmodyfikowana deska pozwala wykonywać nawet skomplikowane i interesujące obliczenia w nieoczekiwanie prosty sposób.
Zapytania można kierować po adresem: baggett@nmsu.edu andrzej.ehrenfeucht@cs.colorado.edu Dziękujemy!
Algorytmy w arytmetyce szkolnej Patricia Baggett New Mexico State Univ. Las Cruces, NM 88003-8001 Andrzej Ehrenfeucht University of Colorado Dept. of Math Sci. Computer Science Dept. Boulder, CO 80309-0430 baggett@nmsu.edu andrzej@cs.colorado.edu http://www.math.nmsu.edu/~breakingaway/ Joint Mathematics Meetings Baltimore January 15-18, 2014