NAUKOWE OSIĄGNIĘCIA MECHANIKI W WALCE 0 POSTĘP W BUDOWNICTWIE

WYDAWNICTWO MINISTERSTWA BUDOWNICTWA Nr 37 NAUKOWE OSIĄGNIĘCIA MECHANIKI W WALCE 0 POSTĘP W BUDOWNICTWIE CZĘŚĆ III, ZESZYT I z materiałów adesłaych a Zjazd Naukowy PZITB w Gdańsku 1 4 grudia 1949 r. WYDANO POD REDAKCJĄ BIURA ZJAZDOWEGO W GDAŃSKU PAŃSTWOWYCH ZAKŁADACH REPRODUKCYJNYCH»P L A N«WE WROCŁAWIU

Prof.Dr.Iż.Witold Howacki,Gdańsk. Zakład Mechaiki Budowli Politechiki Gdańskiej P r z y c z y e k do t e o r i i płyt c i ą g ł y c h. A). Zgiaie płyt ciągłych ieskończeie długich. Rozważmy płytę ieskończeie długą w kieruku osi opierającą się a iepodatych, rówoległych podporach liiowych (rys. l). Załóżmy róże rozpiętości a i róże sztywości N poszczególych przęseł. Grubość płyty przyjmujemy małą w stosuku do rozpiętości a, ugięcie zaś płyty bardzo małe w stosuku do jej grubości. Ograiczymy się do zakresu odkształceń sprężystych. Niech a płytę działa obciążeie liiowe P(y) rówoległe do osi y i symetrycze względem osi x 1 ) Jako wielkości "adliczbowe" płyty ciągłej przyjmujemy momety podporowe M y (0,y) Ozaczymy je przez M r (r- 1,2,...) Rys. 1. Zarówo obciążeie P(y) jak i omety podporowe wyrazimy przez całki Fouriera P(y) ~-ś-(p(a).cosa.y da \ p Cc() - P(A).cosa.A da, M r (y)*» I m r (a), cos a.y da ; m r (a) - j M r CA), cos a.a da. Zakładamy tu jedocześie, że P(A)dA posiada wartość skończoą. Wielkości mometów podporowych M r wyzaczymy z odpowiediej ilości rówań warukowych, rówań ciągłości płyty a podporach poprzeczych:... (1) 1 ) Szczególy wypadek postawioego zagadieia, miaowicie zgiaie płyty obustroie utwierdzoej zupełie w krawędziach r i r*i i obciążoej siłą skupioą w osi x (wypadek szczególy obciążeia liiowego P(x) ) zalazł rozwiązaie w pracy A.Nadai «"tjber die -3i e gug der rechteckige Platte durch Eizellaste", Der Bauigeieur,1921,H.ll.str.3Ol. ///-

- 2 - fmo-... (2) W rówaiu powyższym w ozacza rzęde powierzchi ugięcia płyty. Ustawieie rówań trójez łoowych poprzedzimy opracowaiem układu podstawowego płyty w kieruku y ieskończeie długiej, spoczywającej w sposób swobody a dwóch sąsiedich rówoległych podporach, obciążoych mometami podporowymi My) i obciążeiem P(y). "a). O b c i ą ż e i e u k ł a d u p o d s t a w o w e - go s y m e t r y c z y m m o m e t e m podp o r o w y m : Jako rozwiązaie rówaia różiczkowego powierzchi ugięcia A&H-O ; * - JL + dx z przyjmiemy całkę Fouriera: J2L... (3) 2 /* */ iv ="j= I -~i.(a.cosh<x.x + B.a.x.siha.x + C.sih<x.x + dy z Rys. 2 + D.a.x. cos/7 a.x). cosa.y dar... (4) Wielkości A,B,C,D fukcje parametrycze a wyliczymy z astępującch waruków brzegowych: cosay d a...(5) Wielkość N jest tzw. sztywością zgiaia płyty! 12(1- M*) W ostatim'wyrażeiu jest modułem sprężystości, ju. licztą /// -

v - 3 - Poissoa, a h grubością płyty. Z waruków brzegowych (5) otrzymamy: A~O, C = jjf(1-ctgh z v).m(or) y - a.a Powierzchię ugięcia wyrazi zatem rówaiet w - -^-. ff L a.x. sih v. cosh er. (a-x) - v. sih a.xl J. N.JT J v'.sih s v, Z ostatiego związku wyliczymy 1 a ' i (a). 4>(v).co$a.y dor # A 7 ),y dar gdzie c o s h ysthy -v V (v) ~ v-coshv- sih v...ca) V (v) ~ v. slfi 2 v v. sih* v b). O b c i ą ż e i e u k ł a d u p o d s t a w o w e - go m o m e t e m M(y) m A (m(a).cosot.y da o krawędzi x =o. Postępując podobie jak w wypadku omówioym w poprzedim ustępie uzyskamy: W- -r~- I\oc.(a~x).sih l v.coshcr.x - y.sih a.(q~x)\ N.jtJ o J. w W. cos a.y. dor ^gj v*.sih*v Nachyleie styczej do powierzchi ugięcia wyrażą rówaia: dw/ dx\.i mcoc). WCy). cos a.y. da;... (10) /// -

- 4 -,a «i m(oc). $(v). cos a.y. doc. N * J O c ). U k ł a d p o d s t a w o w y p r z y o b c i ą ż e -! i u P(y) - -./praj.cosa.y doc c y m e t r y c z - y m w z g l ę d e m p r o s t e j y = O. I 4 - I X - - a I f Jako rozwiązaie rówaia róż- iczkowego (lla) przyjmujemy całkę ysj ' K ł' - ' Płytę traktujemy jako dwie płyty podzieloe przekrojem x - C. Przy takim "ujęciu rówaia różiczkowe płyty I 1 I' są rówaiami jedorodymi. Otrzymujemy dla płyty I.- &aw =o ;...(Ho) dla płyty I': aa w'-o....(11b) a tv a.. /-t,.(a. sih ax * B. a.x. cosh a.x).costt.y doc,... (12a) 31 Ja* 2 jako rozwiązaie rówaia (llb) całkę w' ^-. /-j.(a', sih <xx' * B'.or.x'. cosh cr.x'j. cos a.y cfoc.... (I2b) Pukcje parametru a: A«x), A'fcr), B(a),B'(cx) wyzaczymy z dwóch waruków geometryczych w przekroju x» i i z dwóch waruków statyczych, miaowicie waruku rówości mpmetów zgiających M 4 w tym przekroju : oraz waruku rówości obciążeia P(y) różicy sił tących a lewo i prawo od przekroju x - Podstawieie do powyższych waruków brzegowych, wielkości w,w z rówań (I2a,b) $ ^e cztery iejedorode rówaia, z których obliczymy :

- 5-2N.v.sihv. (a. ZN.v.sihv.v.smhv, sihaą. ZN. v. sih v.c' - v * sihorą - v j ;...(13) Nachyleie styczej do powierzchi odkształceia płyty określają astępujące związki: gdzie O 7/ " JTxf pcof) ' &lfor ' Ą) ' coscry dcc ' dw I?/ - r<5r.^. sihv.cosha.ź' - v. sih v i.sih*v v z.sih z v Po tak opracowaym układzie podstawowym przystąpić możemy do ustawieia rówarf trójczłoowych. Niech więc w przęśle (r-i)-t działa obciążeie Pr(y) w przęśle r-(r + 1) obciążeie P t +i (y) w sposób symetryczy względem osi x. Ozaczmy momety podporowe M x (y)?xa podporach r-1, r, r*i przez M r -i, M r, Mf>> Waruek ciągłości (2) powierzchi odkształceia a podporze r daje! 1 U5) r. f (or). f r «x).c r * mca).[* r (a).c r a t.c r.p r «x). - O.... (16) r - 1,2,3... /// -

- 6 - W powyższym rówaiu c r ozacza stosuek -? ", gdzie A/ 0 jest dowolą porówawczą sztywością a zgiaie płyty, a a,, dowolą porówawczą rozpiętością płyty. Ilość rówań odpowiada ilości adliczbowych mca). Momety podporowe otrzymamy ze związku : M r (y). / m(a). cos or.y da. X Ja Zauważmy wreszcie, że bez trudu rozszerzyć możemy rówaie trzech mometów,w wypadku mometu zewętrzego ad podporą, ' a rówaie czterech mometów. Niech kilka prostych przykładów objaśi tok postępowaia. l). Płyta dwuprzęsłowa o jedakowych wielkościach geometryczych i sprężystych. Na zewętrzej liii podporowej działa momet M o jedostajie rozłożoy a odciku 2c (rys.4). l«i Tutaj r 2c A/ Rys. 4. a N M o - ~rj m o (c().cos a.y dat, m o (a). r c - = / M e. cos a. Je sm a.c Ustawiając rówaie (16) dla podpory 1 i zważywszy, że M 2. o otrzymamy m o ca). 9 r (Of) + 2m, (od.4>ca) «O. Otrayfliamy stąd, korzystając ze związków (8) # m rai - - Z ' cos/t v. sih v - v v a dalej. - ^ rv.coshv-sihv sffl.y c 0 5 Z P d v p * Je cosh v. sih v - v v gdzie /3~5S v <-ot.a, 2 - -. Każdej wartości y odpowiada wsćrtość Mi(y) uzyskąaa z rozwiązaia całki iewłaściwej. 2). Płyta obustroie utwierdzoa zupełie. Obciążeie Biła skupioą Q w środku płyty a osi y**0. (rys.5) /// -

- 7 - ay, p- -j-. Rówaie (16) ustawioe dla podpory 1 ( przy założeiu /V - <*» w przęsłach sąsiedich ) daje: Korzystając ze wzorów (8) i (15) otrzymamy po prostych przekształcę- Stąd O.o- sih 4 ' slhv*v ' Rys. 5. Momety podporowe wywołają w przekroju x«y cą wartość ugięcia płyty: astępują. sih v. cosh -r- - v. sih -?-. cos v.z dv ; * si/t 2 v pukcie zaczepieia siły O zajdziemy: j) =» QL. I 2L dv. & J v.(v*sihv) ' - * Całkowite ugięcie w pukcie zaczepieia siły składa z ugięcia w o w układzie podstawowym oraz z ugięcia spowodowaego mometami podporowymi. g.a* f^ i O.o* f t h 0,079 *) wyik te uzyskał a iej drodze A.Nadei w wymieioej pod l) pracy. /// -

- 8 - B). Płyta ciągła, ieskończeie długa, obciążoa układem sił P działających w jedakowych odległościach 2b (rys.6) 0 o Pr Pr y -m A f\ f y A 1 i P Pr 'r+1 opr.1 o o o I f 2b i I Z omówioym w ustępie (A) zagadieiem wiąże się wypadek zgiaia płyt ciągłych, ieskończeie długich, obciążoych układem sił P działających w jedakowych odstępach. Wyrażając momety podporowe i siły skupioe P przy pomocy szeregu Fouriera*. COS Or.r~ ~1,2,.. Rys. 6. P(y)~Y ( J + ~ L - a powierzchię ugięcia szeregiem Fouriera.- ).cos <p.y spełimy waruki brzegowe zagadieiavp'rostyc ł h y=-b a miaowicie: dw 0 ; 0. dy dy 3 Zaim przystąpimy do właściwego zagadieia, opracować wiiśmy dwa zadaia pomocicze. a ). P a s m o p ł y t o w e, i e s k o ń c z e i e d ł u g i e, o b c i ą ż o e m o m e t e m ; M l_m.cos<p.y >.*-*, Rówaie różiczkowe Aa w* O, przy założeiu, że w prostej y= tb zachodzi dw Q d*w ^ Q t dy óy^ spełia astępująca fukcja. w - / "55. (A.cosh <p.x + B.ę.x. sih <p.a + C. sih <px + / 55-1,2,.. 0.q>.x.cQSh<p.x).cos <p.y. (.17) l/l - id

1 -i - 9 - Stałe całkowaia A... D określimy z waruków brzegowych: * - O ; w = O i V -N *= / m. ax 2 L. Wyliczymy kolejo: 4-? - O B Rys. 8 powierzchi ugięcia (l?) przyjmuje'zatem postać: 2fil h*. siffa L - A. si<p.xj. cos <p.y.... (W) Machyleie powierzchi odkształceia w proetych x-o i x~a wyzaczą astępujące rówaia: I* ^/ - ^ Pm 0(A) cosq>.y- * mo...(19) b 6w gdzie IJL I I. sib A - A A.coshA- siha ' A. $lh*ą ftys. 7. Jeśli momet x-a to: działa w krawędzi

- 10 - w r<p.(a-x).siha.cosh<p.x -A.si<pXa-x)j.cos<p.y.,, (fsa) b)> P a s m o p ł y t o w e i e s k o ń c z e i e d ł u g i e, o b c i ą ż o e s i ł a m i P w p r o s t e j x**. Siły P w jedakowych odległościach 2b. (rys. 8) Pasmo traktujemy jako dwie płyty (I i II) oddzieloe przekrojem x»ą. Jako rozwiązaie rówań różiczkowych odkształceia płyty I i II przyjmiemy dla płyty I: w. / -ł-.( A.sih <p.x * B.<p.x.cosh<p.x).cos<p.y ; (I9a) /_,<p dla płyty II: ^' = y-± (A'.sih ę.x'-8:<p.x'.coshctx).cos<p.y. (19b) L-JP Stałe całkowaia A,B,A\B' wyliczymy z waruków brzegowych w przekroju x- Ą.... dw dx' ' Stąd dx 3 dx' 3) -1-Ycos b Z sihę.f -A. ZN..sih ^ ^ siha. ^ł-,a//-,. <<?? cosh cpą * sihq>ą -Ą. % $ *f 2N.A. siha słpba B M P t.sihcp.f i 8 ' P 2N.A. siha Nachyleie styczej do powierzchi odkształceia w prostych X"O i x-a określą astępujące rówaiadw IH - 20

- 11 - gdzie 9» - 2. ( <p. K- L > A. smh ~Ą cosh <p.$'-a.sih &.$.), (20o) 9 - > f \ 3 (<P-$' s ih * cosb<p. - A. si/) $. '). (20b) A. smh A. Po tak opracowaym w puktach a) i b) układzie podstawowym przystąpimy do ustawieia rówań trójczłoowych płyty ciągłej, ieskończeie długiej* obciążoej układem sił P w jedakowych odstępach 2b (rys.6). Z waruku ciągłości płyty a podporze r tj. z waruku dw r i _ ó> w rt1. dxlx-a r " d* L otrzymamy, wyrażając kąty achyleia styczej odkształcoej przez momety podporowe m r _ f, m r, m r+1 i obciążeie P r, P r +i astępujący układ rówań. m,,.,. C rt1 J Y/7-1,2... o-; ; r- 1,2,.. c Rówaie (21) przedstawia xikład rówaa liiowych iejedorodych, odpowiadający ilości "adliczbowych" mometów podporowych. Rozwiązując powyższy układ kolejo dla - 1,2,,. otrzymamy koleje wartości m r (»1,2,..) a stąd wielkość mometów podporowych. Zajomość mometów podporowych pozwoli a wyzaczeie powierzchi odkształceia płyty, a tym samym a wyzaczeie wszelkich wielkości statyczych* mometów zgiających i skręcających, sił poprzeczych i reakcji podporowych. Rówaia (21) pozwolą a rozwiązaie szeregu układów płytowych; dwa wypadki szczególie proste omówimy poiżej* /// -2*

- 12 - a) Pasmo płytowe w prostych podporowych.r- O, utwierdzoe zupełie. Z rówaia (21) otrzymamy: o, h a m. -P. * po wstawieiu <*=> - do wzoru (20a) i po prostych przekształceiach : A * si/} /? 2 ' / > * sih A Powierzchię odkształceia spowodowaą mometami podporowami otrzymamy z rówaia 18 i 18a. Ugięcie pod siłą P uzyskamy z dodaia ugięcia w p,spowodowaego siłą p w układzie podstawowym (wzór I9a dla * * %) oraz ugięcia w M spowodowaego mometem podporowym M. F Z 5. coih * (siha 0) Pasmo płytowe w prostej x**o utwierdzoe zupełie, w pfostej x*>a swobodie podparte (rys. 10). Z rówaia (21) : m. <b + P. &J; - o otrzymamy dla $* -: sih * Vh coshv.sihv-v - P.. cos<p.y. Powierzchię odkształceia spowodowaą memetem podporowym określa rówaie(18), powierzchię odkształceia układu podstawowego wskutek ohciąfceia siłami (ń* O) rówaie (I9e i 19b). I tak pod siłą P zajdziemy: - 22

- 13 - /i P.a* '/. t (cosh A. sih *- C). Rozwiązaie zagadieia płyty ciągłej, obciążoej układem sił P w odległościach stałych 2b pozwoli a rozwiązaie szeregu układów,płytowych, zaych w budowictwie pod azwą stropów grzybkowych. Omówimy tu trzy wypadki szczególe. a). S t r o p g r z y b k o w y według rys.11. Powierzchię ugięcia w płyty składamy z d#óch części, z powierzchi odkształceia przedstawiającej powierzchię zgięcia walcowego pasma płytowego, obustroie Utwierdzoego, jedostajie obciążoego wielkością p oraz z powierzchi M/ f spowodowaej układem sił X. Powierzchia ugięcia «v<> jest fukcją jedyie zmieej x. w 4,* * 4*., Wielkość X uzyskamy z przyrówaia do zera ugięcia w puktach działaia x. III - 23

- 14 "Waruek te daje: 384A/ 6N sihh 4 -A tgh ż Zajoiaośd reakcji podporowych pozwoli już a wyzaczeie X = p.a* 48/1/ ' /L SihA Ą wielkości statyczych płyty. Momety zgiające otrzymamy przeto z rówaii: A wiąc ; y=*o zajdziemy: 12 Z ' /. A + sih b). S t r o p g r z y b k o w y według rys. 2b 2b "W tym wypadku w o przyjmuje po3tać O Korzystając z rozwiązaia zadaia (B/3) zajdziemy wielkość ^ z rówaia: Tum A P albo fi.a 2 192N A.. X.a 8N 2 \ (COS/? A.sii) A $/, A s. cosh** -A ) 77777? Xys. 12. a wielkośd mometu utwierdzeia w pukcie x<*0, y**o /// -

- 15 - po 2 8 '/ y sih s cos/f h. siha - c). S t r o p g r z y b k o w y według rys 13. /w/ 77777 7/777 Rys. 13 77777 m. M Momet te wywoła w pukcie 2 ugięcie -. 2b Ozaczmy przez w Vj ugięcie płyty ciągłej dwu-, przęsłowej w pukcie 1. spowodowae układem sił X-= i i przez w i2 ugięcie płyty ciągłej dwuprzęsłowej w pukcie 1, spowodowae układem X z = 1 ; wreszcie przez t^to^so ugięcia płyty dwuprzęsłowej w puktach 112, wywołae obciążeiem P- Niech a płytę działa jedyie układ sił X i^1. Z rówaia (21) obliczymy wartość mometu podporowego: Q± y_.(cosh A.siha -A) * 1 ' Dodając do powyższej wielkości ugięcie spowodowae układem sił X A "1 w systemie podstawowym (M-O) uzyskamy: _2? Y -i '* - an ' l_^ a*.cosh z; h. " 16N *Z Niech a płytę dwuprzęsłową działa jedyie obciążeie p. pukcie 2 otrzymamy: W a w pukcie 1: " " 256N ' w 10 3B4' N 256AI 7 768' A/

- 16 - Wielkości X t i X z zajdujemy z rozwiązaia okładu rówań; X,.w 21 D). Płyta w krawędzi x-0 zupełie utwierdzoaj w krawędzi x=a podparta puktowo w stałych odstępach Zb. Obciążeiepjedostajie rozłożoe.(rys.14.) Jako rozwiązaie rówaia różiczkowego zagadieia i J_ - w o (x) + w, (x.y) F (x).cos<p.y, gdzie s F. (A.cosh<p.x. sih<p.x Rys. H. Stałe Ą... C + C 5/>?/f <p.x + D. <p. x. cosh q>. x). zajdziemy z astępujących waruków "brzegowych. 4$ 1) dla W, -O ', dx 2) dla -A/.f AI r cos <p.y *) W dwu ostatich warukach brzegowych (momet akcja podporowa rówa wielkości X) przyjęte //-o. przyjmujemy fukcję.- re- /// - 26

- 17 - OtrzymujemyJ A-O B =- * siłią*.cosh/i C«D ^ 2cos/)Ą*Ą.si/)A H.A ' J Wielkość reakcji podporowej X wyzaczymy z waruku: Stąd i 16 T^JL coshji.siha.~fi Momet utwierdzeia ft x w pukcie x<:0,y<*0 rówaiem i wyraai y Podae rozwiązaia, dotyczące stropów grzybkowych, uważać ależy jako przybliżoe; wpływ zgrubieia płyty u asady słupów jak i wpływ podpory o skończoym przekroju ie został w powyższych rozważaiach uwzględioy. /// -