Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym Wrocław, 08.03.2017r
Model 1 Testowanie hipotez dla średniej w rozkładzie normalnym ze znaną wariancją Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) oznacza próbę z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 ), zakładamy, że σ 2 jest znane. Testujemy hipotezę: Przy możliwych alternatywach: H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 H 2 : µ < µ 0 H 3 : µ > µ 0
Model 1 Statystyka testowa Statystyka testowa postaci: Z = X µ 0 n, σ ma standardowy rozkład normalny N(0, 1).
Model 1 Obszar odrzucenia hipotezy zerowej Zbiór krytyczny przyjmuje postać (w zależności od alternatywy): C 1 : (, u 1 α 2 ] [u 1 α 2, ) dla alternatywy H 1 C 2 : (, u 1 α ] dla alternatywy H 2 C 3 : [u 1 α, ) dla alternatywy H 3
Przykład 3.1 W pewnym dużym zakładzie cukierniczym norma techniczna przewiduje średnio 85s. na spakowanie do kartonu 50 zajączków wielkanocnych. Wiadomo, że czas wykonywania tego zadania jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z odchyleniem standardowym równym 15s. W związku z częstymi skargami robotników na zbytnie zaniżanie norm fabrycznych, wykonano pomiary czasu pakowania zajączków u 200 losowo wybranych robotników, otrzymując średni czas pakowania na poziomie 87s. Czy na poziomie istotności 0.05 można przyznać rację pracownikom? Dane: σ = 15 X = 87 n = 200
Przykład 3.1 - c.d Testujemy H 0 : µ = 85 H 1 : µ > 85 Statystyka testowa przyjmuje wartość: Z = X µ 0 σ 87 85 n = 200 = 1.885618 15 Zbiór krytyczny jest postaci: C : [u 0.95, ) = [1.64, ) Wartość statystyki testowej mieści się w zbiorze krytycznym, a zatem odrzucamy hipotezę zerową, zatem pracownicy mają rację.
Przykład 3.2 Dla danych z przykładu 3.1 wyznaczyć moc testu. Przy prawdziwości alternatywy statystyka testowa: Z = X µ 0 σ n = X µ 1 σ µ 1 µ 0 n+ n σ
Przykład 3.2 Dla danych z przykładu 3.1 wyznaczyć moc testu. Przy prawdziwości alternatywy statystyka testowa: Z = X µ 0 σ Stąd n = X µ 1 σ n+ µ 1 µ 0 σ ( ) µ1 µ 0 n N n, 1 σ ( β(µ 1 ) = P µ1 (Z > u 1 α ) = P X µ 1 µ1 σ n + µ 1 µ 0 ) σ n u1 α = ( 1 Φ u 1 α µ 1 µ 0 ) ( σ n = 1 Φ u 0.95 87 85 ) 15 200 = 1 0.404 = 0.596
Model 2 Testowanie hipotez dla średniej w rozkładzie normalnym z nieznaną wariancją Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) oznacza próbę z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 ), gdzie parametry µ i σ 2 są nieznane. Testujemy hipotezę: Przy możliwych alternatywach: H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 H 2 : µ < µ 0 H 3 : µ > µ 0
Model 2 Statystyka testowa Statystyka testowa postaci: T = X µ 0 n 1, S przy prawdziwości H 0 ma rozkład studenta z n 1 stopniami swobody.
Model 2 Obszar odrzucenia hipotezy zerowej Zbiór krytyczny przyjmuje postać (w zależności od alternatywy): C 1 : (, t 1 α 2 (n 1)] [t 1 α 2 (n 1), ) dla alternatywy H 1 C 2 : (, t 1 α (n 1)] dla alternatywy H 2 C 3 : [t 1 α (n 1), ) dla alternatywy H 3
Przykład 3.3 Szacuje się, że dzieci w wieku 3-5 lat przesypiają w trakcie doby około 12 godzin. W celu zweryfikowania tej hipotezy przeprowadzono badania na grupie 240 dzieci mierząc ich dobowy czas snu. W wyniku eksperymentu otrzymano, że średnia z czasu snu w badanej grupie wyniosła 11.2 h z odchyleniem standardowym S = 1.5h. Czy na poziomie istotności 0.01 możemy obalić hipotezę o średnim czasie snu, na rzecz alternatywy, że dzieci sypiają krócej? Dane: X = 11.2 S = 1.5 n = 240
Przykład 3.3 - c.d. Testujemy H 0 : µ = 12 H 1 : µ < 12 Statystyka testowa przyjmuje wartość: T = X µ 0 S 11.2 12 n 1 = 239 = 8.245 1.5 Zbiór krytyczny jest postaci: C : (, t 0.99 (239)] = (, 2.34] Wartość statystyki testowej mieści się w zbiorze krytycznym, a zatem odrzucamy hipotezę zerową, zatem dzieci sypiają krócej niż 12h.
Testowanie hipotez dla wariancji w rozkładzie normalnym Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) oznacza próbę z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 ), gdzie parametry µ i σ 2 są nieznane. Testujemy hipotezę: Przy możliwych alternatywach: H 0 : σ = σ 0 H 1 : σ σ 0 H 2 : σ < σ 0 H 3 : σ > σ 0
Statystyka testowa Statystyka testowa jest postaci: T = ns2 σ0 2, gdzie S 2 oznacza obciążony estymator wariancji. Przy prawdziwości H 0 statystyka testowa ma rozkład Chi kwadrat z n 1 stopniami swobody.
Obszar odrzucenia hipotezy zerowej Zbiór krytyczny przyjmuje postać (w zależności od alternatywy): C 1 : (0, χ 2 α (n 1)] [χ 2 1 α (n 1), ) dla alternatywy H 1 2 C 2 : (0, χ 2 α(n 1)] dla alternatywy H 2 C 3 : [χ 2 1 α (n 1), ) dla alternatywy H 3
Przykład 3.4 W pewnej firmie zatrudniającej 200 osób przypuszcza się. że wariancja zarobków pracowników nie jest znacząco różna od 18000, zbadano zarobki losowo wybranych 80 pracowników i tak odchylenie standardowe w tej próbie wyniosło 140 zł. Czy na poziomie istotności 0.05 przypuszczenie zarządu można uznać za prawdziwe? Dane: n = 80 S = 140 S 2 = 19600
Przykład 3.4 - c.d. Testujemy H 0 : σ 2 = 18000 H 1 : σ 2 18000 Statystyka testowa przyjmuje wartość: T = ns2 σ 2 0 = 1568000 18000 = 87.1 Zbiór krytyczny jest postaci: C : (0, χ 2 0.25 (79)] [χ2 0.75 (79), ) = (0, 56.3089] [105.4728, ) Wartość statystyki testowej nie mieści się w zbiorze krytycznym, a zatem nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
Przykład 3.5 - Pakiet R Czas rozwiązywania jednego zadania na egzaminie z matematyki jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z nieznaną wariancją. Przeprowadzający egzamin zaplanował na rozwiązanie jednego zadania 10 minut. Studenci są przekonani, że zaplanowany czas jest zbyt krótki. Dla 7 losowo wybranych studentów zmierzono czas rozwiązywania przez nich zadania otrzymując następujące wyniki: 16.0, 19.5, 7.5, 11.0, 9.0, 15.5, 11.0. Czy na poziomie istotności α = 0.05 przekonanie studentów można uznać za słuszne? Testujemy H 0 : µ = 10 H 1 : µ > 10
Pakiet R x <-c (16.0, 19.5, 7.5, 11.0, 9.0, 15.5, 11.0) t. test (x, alternative = greater, mu =10) One Sample t-test data: x t = 1.7103, df = 6, p-value = 0.06903 alternative hypothesis: true mean is greater than 10 95 percent confidence interval: 9.620619 Inf sample estimates: mean of x 12.78571 Zatem wartość statystyki testowej to T = 1.6273, p = 0.069 > 0.05 = α, a zatem nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, założony przez wykładowcę czas jest wystarczający.
Literatura: Bartoszewicz J.,Wykłady ze statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1989. M. Krzyśko,Statystyka matematyczna, Wyd. UAM, Poznań 2004. R. Zieliński,Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1990.