Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x + 1 > 0}. Prawdziwa jest równość A) A B = (1, 2). B) B \ A = 2, + ). C) A \ B = (, 1. D) A B = R. Uwaga! Symbolem X \ Y oznaczamy różnicę zbiorów X i Y. 2. sin 990 = A) 0. B) 1. C) 1. 1 D) 2. ( 1 2 + 1 ) 1 ( 2 + = 2) A) 2. B) 1 5. C) 65 6. D) 65 6.
4. Pochodna funkcji f(x) = x 1 1 x A) jest równa 4. B) jest równa 1. C) jest równa 0. D) nie istnieje. w punkcie x 0 = 2 5. Dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest równość a b ab 2 = A) (a 2 b) 5. B) a6 b 4. C) a 1 2 b 1. D) a 5 b 5 6. 2x 1 6. Równanie x + 1 2 A) nie ma rozwiązań rzeczywistych. B) ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste. C) ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste. D) ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste. 7. Dla dowolnej liczby rzeczywistej x różnej od zera prawdziwa jest równość ( x + 1 x) 2 = A) 9x 6 + 1 9 x6. B) 9x 6 + 1 9 x6 + 2. C) 9x 6 + 1 9 x6 + 1. 2 ( D) 9x 6 + 1 9 x6 + 2 ) 1. 8. Zbiorem wszystkich rozwiązań rzeczywistych równania 2 x + 2 = jest 2 x A) {1}. B) {0}. C) {0, 1}. D) { 1, 0, 1}.
9. Iloczyn pewnych dwóch liczb naturalnych jest liczbą parzystą, a ich suma jest liczbą nieparzystą. Wówczas A) obie liczby muszą być nieparzyste. B) obie liczby mogą być nieparzyste. C) jedna z liczb musi być parzysta, a druga nieparzysta. D) obie liczby mogą być parzyste. 10. Jeżeli log 12 27 = a, to log 12 16 = A) 2 6a. B) 2(1 a). C) 2 a. D) (1 a )2. 11. Liczba ( 1 2 1 ) ( 2 + ) A) jest równa 1 6. B) jest ujemna. C) jest równa 2+ 2. D) jest równa 0. 12. Granica lim n A) nie istnieje. ( n ) ( 2n ) B) jest równa granicy lim n C) jest równa 1. 6 D) jest równa 1. 2 ( ) n+1 ( 2n+4 ). 1. Dla dowolnej liczby rzeczywistej x mniejszej niż 2 liczba 2+x 2 x +2 jest A) równa x + 4. B) równa x + 4. C) ujemna. D) równa x.
14. Wykres funkcji g(x) = f(x + 1) + 2 otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji f o wektor A) [1, 2]. B) [1, 2]. C) [ 1, 2]. D) [ 1, 2]. 15. Wyrażenie algebraiczne 1 + x2 + 1 x 2 1 + x2 1 x 2 ma sens liczbowy dla wszystkich x należących do A) przedziału 0, 1. B) przedziału 1, 1. C) przedziału 1, + ). D) zbioru 1, 0) (0, 1. 16. Układ równań z niewiadomymi x i y oraz parametrem a 4ax + a 2 y = 2 x + 1y = 1 a a 2 A) jest dla a = 2 układem oznaczonym. B) ma dla a = 2 zbiór rozwiązań będący zbiorem wszystkich par liczbowych (x, y) takich, że x, y R. C) ma dla każdej wartości rzeczywistej parametru a niepusty zbiór rozwiązań. D) posiada tę własność, że para liczb x = 1, y = 0 nie jest rozwiązaniem układu przy żadnej wartości parametru a. 17. NWD(12, 18) NWW(12, 18) = A) 12 18. B) 2 2. C) 108. D) 6 12 18.
18. Ciągi (a n ) i (b n ) są dla liczb całkowitych dodatnich n określone wzorami a n = 5 n2, b n = a n+1. Wówczas a n A) (b n ) jest ciągiem arytmetycznym. B) (b n ) jest ciągiem geometrycznym. C) a 11 > b 60. D) a 11 < b 60. 19. Średnia arytmetyczna pewnych trzech wyników pomiaru pewnej wielkości jest równa 6, a średnia arytmetyczna siedmiu innych wyników tej samej wielkości jest równa 26. Wynika z tego, że średnia arytmetyczna wszystkich dziesięciu wyników pomiaru jest równa A) 29. B) 0. C) 1. D) 2. 20. Ciąg (a n ), określony wzorem a n = (2n + ) 2 4n 2 dla dodatnich liczb całkowitych n, A) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 6. B) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 9. C) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 12. D) nie jest ciągiem arytmetycznym. 21. Która z podanych liczb jest niewymierna? A) 0,.... B) 12 2. C) ( 2 + 1) 2. D) ( ) 2 + 1. 22. Suma 10 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie 10 i pierwszym wyrazie 10 jest równa A) 10. B) 10 10 10 9. C) 10 11 1 9. D) 10 11 10 9.
2. Do wykresu funkcji liniowej f należą punkty (0, 5) i ( 10, 0). Wynika z tego, że funkcja f jest zadana wzorem A) f(x) = 1x + 5. 2 B) f(x) = 1x 5. 2 C) f(x) = 1x + 5. 2 D) f(x) = 1x 5. 2 24. Wiadomo, że pierwiastkiem wielomianu w(x) = 2x + 11x 2 + mx 8 jest liczba 2. Wynika z tego, że A) pierwiastkiem jest również liczba 4. B) pierwiastkiem jest również liczba 2. C) m = 26. D) m = 10. 25. Funkcje f i g zmiennej rzeczywistej x są zadane następującymi wzorami: f(x) = 2x 2 4x 1, g(x) = x 2 + 4x. Wynika z tego, że A) równanie f(x) = g(x) ma dwa rozwiązania całkowite. B) dla każdej liczby x należącej do przedziału 0, 2 prawdziwa jest nierówność f(x) > g(x). C) wykresy obu funkcji przecinają się w dwóch punktach. D) każda z funkcji f i g przyjmuje dla pewnego argumentu wartość największą. 26. Dla dowolnej liczby rzeczywistej m określona jest funkcja wielomianowa f m (x) = 2x 4 + mx + 2x 2. Wówczas A) dla pewnej wartości parametru m funkcja f m ma cztery różne miejsca zerowe. B) dla pewnej wartości parametru m funkcja f m ma dokładnie dwa miejsca zerowe. C) żadna z funkcji f m, gdzie m R, nie ma trzech różnych miejsc zerowych. D) dla żadnej wartości rzeczywistej parametru m funkcja f m nie jest parzysta.
27. Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f(x) = x 2 + x jest przedział A) 0, + ). B) 1, + ). 2 C) 1, + ). 4 D) 1, + ). 28. Dana jest funkcja kwadratowa f(x) = x 2 x + 2. Punktem (x 1, y 1 ) wykresu funkcji f o tej własności, że styczna do wykresu f wystawiona w tym punkcie jest prostopadła do stycznej wystawionej w punkcie (x 0, y 0 ) = (, 2), jest A) punkt A( 4, 2). 9 B) punkt B( 4, 4). 9 C) punkt C(0, 2). D) punkt D(2, 0). 29. Funkcja f zmiennej rzeczywistej x zadana jest następującym wzorem f(x) = 2(x 1) 2 + 4. Prawdziwe jest zdanie: A) Odcięta lub rzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f jest liczbą ujemną. B) Przynajmniej jedno z miejsc zerowych funkcji f jest liczbą wymierną. C) Jeśli wartość funkcji f dla argumentu 2 jest ujemna, to wartość funkcji f dla argumentu 2 jest ujemna. D) Nierówność f(x) < 0 jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwa jest nierówność f( x) < 0. 0. Funkcja wielomianowa f(x) = x + 4x 2 x 18 A) ma dokładnie trzy ekstrema lokalne. B) ma dokładnie dwa ekstrema lokalne. C) ma dokładnie jedno ekstremum lokalne. D) nie ma żadnych ekstremów lokalnych. 1. Funkcja f : R R zadana wzorem f(x) = x A) ma dokładnie jedno ekstremum lokalne. B) nie jest funkcją rosnącą. C) jest funkcją parzystą. D) jest funkcją różnowartościową.
2. Pochodną funkcji f jest funkcja g, określona w zbiorze liczb rzeczywistych i zadana wzorem g(x) = x 2 (1 x)( + x). Wynika z tego, że funkcja f A) jest malejąca w przedziale (, 0). B) nie jest funkcją rosnącą w przedziale (, 1). C) posiada dokładnie dwa ekstrema lokalne: jedno minimum i jedno maksimum. D) posiada dokładnie trzy ekstrema lokalne.. Resztą z dzielenia wielomianu w(x) = x 5 + 2x + 1 przez wielomian s(x) = (x + 1)(x 2) jest A) wielomian stopnia 0. B) dwumian 1x + 11. C) dwumian 1x 15. D) wielomian stopnia 2. 4. Okrąg jest opisany równaniem x 2 + y 2 4x + 6y 12 = 0. Wówczas A) punkt A(1, 2) należy do tego okręgu. B) okrąg ten jest współśrodkowy z okręgiem o równaniu (x+2) 2 +(y ) 2 =1. C) prosta o równaniu y = x+2 nie ma punktów wspólnych z tym okręgiem. D) nie istnieje styczna do tego okręgu przechodząca przez punkt B(0, ). 2 5. Dla ustalonych parametrów rzeczywistych a i b funkcja f a,b jest zadana wzorem f a,b (x) = ax+. Wynika z tego, że bx+a A) funkcja f a,b jest homograficzna wtedy i tylko wtedy, gdy a 0 i b 0. B) dla a = 1 i b = 1 miejscem zerowym funkcji f a,b jest x 0 =. C) dla a = 1 i b = 1 wykresem funkcji f a,b jest prosta równoległa do osi Ox. D) dla a = 1 i b = 1 asymptotami wykresu funkcji f a,b są proste o równaniach y = i x =. 6. Która z podanych figur ma najwięcej osi symetrii? A) Trójkąt równoboczny. B) Kwadrat. C) Pięciokąt foremny. D) Romb niebędący kwadratem.
7. Wiadomo, że ciąg (a n ) jest arytmetyczny o różnicy r oraz że a 5 = 5 i a 29 = 1. Wynika z tego, że A) a 1 = 6 i r = 1. 5 B) a 1 + a 2 +... + a 9 = 0. C) a 1 + a 2 +... + a 49 = 0. D) nie istnieje liczba całkowita dodatnia n, dla której prawdziwa jest równość a 1 + a 2 +... + a n = 0. 8. Przekątne rombu mają długości i 4. Wówczas długość boku tego rombu A) jest równa 5. B) jest równa 5. 2 C) jest równa 7. 2 D) nie jest określona jednoznacznie. 9. Dwusieczne kątów BAC i ABC trójkąta ABC przecinają się pod kątem 10. Wynika z tego, że na pewno A) ACB jest rozwarty. B) trójkąt ABC jest prostokątny. C) ACB = 65. D) ACB = 80. 40. Dany jest równoległobok o bokach a, b (a < b), którego kąt ostry ma miarę 60 i którego przekątne d 1 i d 2 przecinają się pod kątem o mierze 60. Wówczas A) równoległobok ten musi być rombem. B) d 1 + d 2 = 2(a + b). C) b = 2a. D) d 2 1 + d 2 2 = 4a 2 + 4b 2. 41. Przekątne AC i BD czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie S i dzielą ten czworokąt na cztery trójkąty ASB, BSC, CSD i DSA o polach równych odpowiednio P 1, P 2, P i P 4. Wówczas A) prawdziwa jest równość P 1 P = P 2 P 4. B) z prawdziwości równości P 1 + P 4 = P 2 + P wynika równość P 2 = P 4. C) dla pewnych czworokątów spełniających warunki zadania mogą być prawdziwe równocześnie dwie nierówności: P 1 < P 4 i P 2 > P. D) dla pewnych czworokątów spełniających warunki zadania może być prawdziwa nierówność P 1 P < P 2 P 4.
42. W trójkącie równobocznym o boku długości 1 odległość wierzchołka od punktu przecięcia wysokości jest równa A) B) C) D).. 4. 5. 6 4. Narysowano czworokąt ABCD wpisany w okrąg oraz jego przekątne AC i BD. Na rysunku widać A) nie więcej niż 4 pary kątów o równych miarach. B) 9 trójkątów. C) co najmniej jedną parę trójkątów podobnych. D) dokładnie 8 par kątów przyległych. 44. Rzucamy trzema różnymi monetami oraz sześcienną kostką do gry. Zdarzenie A polega na tym, że pojawią się 2 orły i reszka oraz wypadnie 6; zdarzenie B polega na tym, że pojawią się reszki i na kostce wypadnie liczba parzysta. Wówczas A) prawdopodobieństwa zdarzeń A i B są równe. B) zdarzenie A jest bardziej prawdopodobne niż zdarzenie B. C) prawdopodobieństwo zdarzenia B jest równe 1 12 D) prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe 1 6 45. Na płaszczyźnie z układem współrzędnych dane są punkty A(0, 6), B(2, ) oraz C( 1, 0). Wówczas A) prosta AB ma równanie x + 2y 6 = 0. B) odcinek AB jest krótszy od odcinka BC. C) proste AB i BC są prostopadłe. D) środek odcinka AC ma współrzędne ( 1, ). 2 46. Dane są wektory a = [2, 1] i b = [, 4]. Wówczas A) wektory a i b są prostopadłe. B) kąt między tymi wektorami jest ostry. C) wektory a i c = a + γ b są prostopadłe dla pewnej ujemnej liczby rzeczywistej γ. D) wektory a i c = a + γ b są prostopadłe dla pewnej dodatniej liczby rzeczywistej γ.
47. Stożek o promieniu podstawy 1 i wysokości 1 A) ma powierzchnię boczną o tej własności, że po rozcięciu jej wzdłuż tworzącej i rozłożeniu na płaszczyźnie powstaje półkole. B) ma pole podstawy dwa razy mniejsze niż pole powierzchni bocznej. C) ma objętość cztery razy mniejszą niż kula o promieniu 1. D) ma przekrój osiowy będący trójkątem równobocznym. 48. Jeżeli zsumujemy wszystkie liczby czterocyfrowe zbudowane z cyfr 1, 2,, 4, w których każda z tych czterech cyfr pojawia się jeden raz, to otrzymamy liczbę N, o tej własności, że A) N 60 000. B) 60 000 < N 80 000. C) 80 000 < N 140 000. D) 140 000 < N. 49. O godzinie 17 10 mniejszy z kątów między wskazówkami zegara tarczowego ma miarę A) mniejszą niż π. 4 B) mniejszą niż 5π. 9 C) równą 5π. 9 D) równą 100. 50. Kostka sześcienna ma jedną ściankę białą, dwie ścianki niebieskie i trzy ścianki czerwone. Rzucamy kostką 6 razy. Zdarzenie A polega na tym, że w sześciu rzutach otrzymamy dokładnie razy ściankę czerwoną, a zdarzenie B polega na tym, że w sześciu rzutach pojawi się dokładnie 2 razy ścianka niebieska. Przez P (A) i P (B) oznaczamy odpowiednio prawdopodobieństwa zdarzeń A i B. Wówczas A) P (A) > 1 lub P (B) > 1. B) P (A) = P (B). C) P (A) < P (B). D) P (A) > P (B).
Poprawne odpowiedzi Wariant I-A 1. B 11. A 21. C 1. D 41. A 2. C 12. B 22. D 2. C 42. A. B 1. C 2. D. B 4. C 4. C 14. C 24. A 4. D 44. A 5. D 15. D 25. C 5. D 45. B 6. C 16. D 26. B 6. C 46. D 7. D 17. A 27. C 7. C 47. C 8. C 18. B 28. A 8. B 48. B 9. C 19. A 29. C 9. D 49. B 10. B 20. C 0. B 40. B 50. C