SYSTEMY LICZBOWE 1
System Liczbowe Dwójkowy ( binarny) Szesnastkowy ( heksadecymalny) Ósemkowy ( oktalny) Dziesiętny ( decymalny) 2
System dziesiętny Symbol Wartość w systemie Liczba 6 6 *10 0 sześć 65 6 * 10 1 + 5 * 10 0 sześćdziesiąt pięć 243 2 * 10 2 + 4 * 10 1 +3 * 10 0 dwieście czterdzieści trzy 3
System piątkowy (4013) 5 = 4 * 5 3 + 0 * 5 2 + 1 * 5 1 + 3 * 5 0 = 500 + 5 + 3 = (508) 10 4
Liczba 59 111011 3B 73 (dec) (bin) (hex) (oct) 5
System dwudziestkowy 6
Ilość znaków w systemach dwójkowy ósemkowy dziesiętny szesnastkowy 2 symbole 8 symboli 10 symboli 16 symboli 0 0 4 0 5 0 5 A(=10) 1 1 5 1 6 1 6 B(=11) 2 6 2 7 2 7 C(=12) 3 7 3 8 3 8 D(=13) 4 9 4 9 E(=14) F(=15) 7
System dwójkowy Dwójkowy ( binarny) 8
System dwójkowy 5 2 U[V] 1 0,8 0 Cyframi tego systemu są: 0 i 1. 0 Symbolizują one dwa stany tzw. 0 - stan niski (brak działania/brak sygnału) 1- stan wysoki (działanie układu/sygnał) t 9
Binarny kod znakowy Znak Kod Znak Kod Znak Kod Znak Kod a 00000 h 00111 o 01110 v 10101 b 00001 i 01000 p 01111 w 10110 c 00010 j 01001 q 10000 x 10111 d 00011 k 01010 r 10001 y 11000 e 00100 l 01011 s 10010 z 11001 f 00101 m 01100 t 10011 g 00110 n 01101 u 10100 10
Konwersja (z DEC na BIN) DEC BIN : dzielenie przez 2 44 0 22 0 11 1 5 1 2 0 1 1 0 44 10 = 101100 2 11
Konwersja (z BIN na DEC) BIN DEC : mnożenie przez 2 do odpowiedniej potęgi 101100 2 = 1x2 5 + 0x2 4 + 1x2 3 + 1x2 2 + 0x2 1 + 0x2 0 = 1 x 32+ 0 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 0 x 2 + 0 x 1 = 32 + 8 + 4 = 44 12
29 DEC BIN 0 1 1 1 0 1 11101 16 + 8 4 2 1 32 24 + 4 + 1 = 29 13
81 DEC BIN 0 128 1 0 1 0 0 0 1 1010001 64 32 16 8 64 + 16 + 1 = 81 4 2 1 80 14
137 BIN DEC 1 0 0 0 1 0 0 1 128 64 32 16 8 128 + + 1 = 137 8 4 2 1 15
Ósemkowy ( oktalny) 16
System ósemkowy zwany oktalnym. Ósemkowy system liczbowy to pozycyjny system liczbowy o podstawie 8. Do zapisu liczb używa się w nim ośmiu cyfr, od 0 do 7. Używa się systemu ósemkowego, dlatego, że skraca on zapis liczb dwójkowych. 17
Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby będącej podstawą systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 100, w ósemkowym przybiera postać 144, gdyż: 1 8 2 + 4 8 1 + 4 8 0 = 64 + 32 + 4 = 100. 18
Zamiana liczby z systemu dziesiętnego na system ósemkowy polega na dzieleniu liczby zapisanej w systemie dziesiątkowym z resztą przez 8, np. 100:8 = 12 reszty = 4 12:8 =1 reszty = 4 1:8= 0 reszty = 1 Reszty czytane od dołu. 144 w systemie ósemkowym, to 100 w systemie dziesiętnym. 19
Jeżeli mamy liczbę zapisaną w formacie ósemkowym jako 123, to zamieniając na zapis dziesiętny, dokonujemy następującej konwersji: 1*8 2 + 2*8 1 + 3*8 0 = 64 + 16 + 3 = 83 Tak jak w systemie dziesiętnym kolejne pozycje (licząc od prawej) mówią, jaka jest w liczbie wielokrotność 1, 10, 100, 1000 itd., tak w systemie ósemkowym kolejne "podstawy" będą mieć wartości 8 0 =1, 8 1 =8, 8 2 =64, 8 3 =512, 8 4 =4096 itd. 20
Zamiana liczby ósemkową na dziesiętną Przykład: 7231 8 = 7 8 3 + 2 8 2 + 3 8 + 1 7231 8 = 7 512 + 2 64 + 3 8 + 1 7231 8 = 3584 + 128 + 24 + 1 7231 8 = 3737 21
Zamiana liczby dziesiętnej na ósemkową Mamy znaleźć reprezentację liczby 10000 w systemie ósemkowym. 10000 = 23420 8 10000 : 8 = 1250, reszta 0 1250 : 8 = 156, reszta 2 156 : 8 = 19, reszta 4 19 : 8 = 2 reszta 3 2 : 8 = 0 reszta 2 22
cyfra ósemkowa Zamiana liczb ósemkowych cyfry dwójkowe 4 2 1 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111 na binarne Liczby ósemkowe bardzo prosto przeliczamy na system binarny. Jedna cyfra ósemkowa zawsze przechodzi w trzy cyfry binarne: 23420 8 2 3 4 2 0 010 011 100 010 000 010011100010000 2 23
cyfra ósemkowa Zamiana liczb binarną na ósemkową Liczbę dwójkową dzielimy na trójki bitów. Jeśli ostatnia trójka jest niepełna, uzupełniamy ją bitami o wartości 0. Następnie każdą z trójek zastępujemy odpowiadającą im cyfrą ósemkową. cyfry dwójkowe 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111 1101110101011101010101 2 001 101 110 101 011 101 010 101 1 5 6 5 3 5 2 5 15653525 8 24
System ósemkowy 25
System ósemkowy 26
System ósemkowy 27
System szesnastkowy Szesnastkowy ( heksadecymalny) 28
System szesnastkowy 29
SYSTEM SZESNASTKOWY System szesnastkowy posiada 16 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Pierwsze 10 cyfr jest takie same jak w systemie dziesiętnym. Za kolejne 6 cyfr przyjęto pierwsze litery alfabetu. Litery te w zapisie liczby mogą być małe lub duże. Wartości tych cyfr to kolejno A=10, B=11, C= 12, D=13, E=14, F=15. 30
Zamiana liczby szesnastkowej na dziesiętną A(=10) Przykład: AFD3 16 = 10 16 3 + 15 16 2 + 13 16 + 3 AFD3 16 = 10 4096 + 15 256 + 13 16 + 3 AFD3 16 = 40960 + 3840 + 208 + 3 AFD3 16 = 45011 B(=11) C(=12) D(=13) E(=14) F(=15) 31
Zamiana liczby dziesiętnej na szesnastkową Mamy znaleźć reprezentację liczby 99999 w systemie szesnastkowym. 99999 = 1869F 16 99999 : 16 = 6249, reszta 15 - cyfra F 6249 : 16 = 390, reszta 9 390 : 16 = 24, reszta 6 24 : 16 = 1. reszta 8 1 : 16 = 0, reszta 1 99999 = 1869F 16 32
Cyfra szesnastkowa Cyfry dwójkowe 8 4 2 1 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 A 1010 B 1011 C 1100 D 1101 E 1110 F 1111 33
40
45
46
47
48
Operacje arytmetyczne - dodawanie Tabliczka dodawania binarnego 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 i 1 dalej 1001 9 + 0011 +3 1100 12 0011,011 3,375 + 0111,110 + 7,750 1011,001 11,125 1010 10 Przekroczenie górnej granicy liczby - nadmiar (ang. overflow). + 0110 +6 10000 16 49
Operacje arytmetyczne - odejmowanie Tabliczka odejmowania binarnego 0-0 = 0 1-0 = 1 1-1 = 0 0-1 = 1 i pożyczka 1011 11-0101 -5 0110 6 0011 3 1111 15-0111 -7 1000 8 Przekroczenie dolnej granicy liczby - niedomiar (ang. underflow). - 0100-4...111111-1 50
Operacje arytmetyczne - mnożenie Tabliczka mnożenia binarnego 0 x 0 = 0 1 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 1 = 1 0011 3 x 0101 x 5 0011 0000... + 0011 001111 15 1011 11 x 1101 x 13 1011 1011 33 + 1011 + 11 10001111 143 nadmiar (ang. overflow) 51
Operacje arytmetyczne - mnożenie 10,1 2,5 x 11,01 x 3,25 101 125 101 50 + 101 + 75 1000001 1000,001 8125 8,125 52
Operacje arytmetyczne - dzielenie polega na cyklicznym odejmowaniu odpowiednio przesuniętego dzielnika od dzielnej 1 1110 - dzielna Podzielimy 1110 (2) przez 11 (2) (14 : 3). 11 - przesunięty dzielnik 0010 - różnica dzielnej i przesuniętego dzielnika 53
Operacje arytmetyczne - dzielenie 100 - wynik dzielenia 1110 - dzielna - 11 - dzielnik 0010 - dzielna po odejmowaniu przesuniętego dzielnika - 11 - dzielnika nie można odjąć 0010 - dzielna - 11 - dzielnika nie można odjąć, koniec 0010 - reszta z dzielenia 54
Literatura: 1. OPTYKA Eugene Hecht 2. www.google.pl 3. Opracowanie własne mar.infortech@gmail.com mgr inż. Ryszard Marszalek 55