Wykład 7 POWTÓRZENIE
Zasady zaliczania przedmiotu(informacje pochodzą z Informatora do przedmiotu Statystyka) Ćwiczenia Zgodnie z Regulaminem SGH zaliczenie ćwiczeń jest obowiązkowe ( 23 p.3), a nieuzyskanie zaliczenia ćwiczeń w podstawowym terminie powoduje utratę prawa do składania egzaminu w I terminie. Jest jeden termin zaliczenia poprawkowego, który będzie ustalony w II terminie sesji (przed II terminem egzaminu).
Egzamin Egzamin końcowy jest standardowy i ma formę pisemną. Obejmuje zagadnienia z całości materiału ujęte programem przedmiotu i składa się z dwóch części: zadaniowej oraz testowej. W czasie pisania egzaminu można korzystać wyłącznie z oryginalnego wydawnictwa P. Kuszewski, J. Podgórski Statystyka. Wzory i tablice (kopie nie są akceptowane), ewentualnie wzorów zamieszczonych na stronie ISiD ( www.sgh.waw.pl/isid/dla-studentow ). Nie dopuszcza się korzystania z żadnego sprzętu elektronicznego poza kalkulatorami. Na egzamin należy przyjść z dokumentem tożsamości ze zdjęciem (dowód osobisty, legitymacja studencka). Elementy oceny z egzaminu ogółem 100 % Egzamin pisemny-tradycyjny 80 % Egzamin testowy 20 % Oceną końcową z przedmiotu jest ocena z egzaminu
I. Program standardowy przedmiotu STATYSTYKA na Studiach Licencjackich SGH 1. Wprowadzenie do przedmiotu Przedmiot statystyki. Podstawowe pojęcia: populacja i próba, opis i wnioskowanie. Źródła danych; badania statystyczne pełne i częściowe, schemat i operat losowania, błędy losowe i nielosowe. 2. Metody opisowe w analizie rozkładu cechy. Porządkowanie danych indywidualnych; szereg rozdzielczy, dystrybuanta. Prezentacja graficzna rozkładu. Miary tendencji centralnej i miary położenia: średnia arytmetyczna, mediana, kwantyle (formuły nieważone i ważone oraz wzory interpolacyjne na kwartyle; graficzne wyznaczanie kwartyli). Miary zróżnicowania: wariancja i odchylenie standardowe, odchylenie ćwiartkowe, współczynnik zmienności. Asymetria (klasyczny współczynnik asymetrii).
3. Wprowadzenie do wnioskowania statystycznego Pojęcie zmiennej losowej. Rozkład i parametry rozkładu zmiennej losowej. Rozkład dwumianowy i rozkład normalny. Twierdzenie graniczne de Moivre'a-Laplace'a oraz Lindeberga-Levy'ego. Podstawowe pojęcia: próba losowa, statystyka z próby. Teoretyczne rozkłady statystyk z próby: rozkład chi-kwadrat, rozkład t-studenta i rozkład F- Snedecora. Rozkłady dokładne statystyk z próby: średniej i różnicy dwóch średnich. Rozkłady graniczne: średniej, częstości, różnicy średnich i różnicy częstości. Estymacja parametrów w populacji: własności estymatorów; ocena punktowa i przedziałowa średniej i frakcji; standardowy błąd (estymatora); absolutny (maksymalny) błąd estymacji. Zagadnienie minimalnej liczebności próby. 4. Weryfikacja hipotez statystycznych Pojęcie testu statystycznego, typy hipotez, rodzaje błędów, krytyczny poziom istotności. Parametryczne testy istotności dotyczące: średniej, frakcji, różnicy dwóch średnich (dla prób niezależnych i prób zależnych) i różnicy dwóch frakcji. Test zgodności chi-kwadrat (sprawdzanie normalności rozkładu).
5. Jednoczynnikowa analiza wariancji Sformułowanie problemu i założenia analizy wariancji. Podział całkowitej sumy kwadratów i statystyka F. 6. Badanie zależności zjawisk Rozkład zmiennej dwuwymiarowej i jego parametry; pojęcie niezależności. Ocena i miary zależności: współczynnik zbieżności Cramera, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji rang Spearmana. Wnioskowanie statystyczne w analizie zależności: test niezależności 2, test istotności dla współczynnika korelacji. 7. Model regresji liniowej Sformułowanie klasycznego modelu regresji liniowej. Estymacja parametrów modelu regresji liniowej metodą najmniejszych kwadratów. Błędy szacunku parametrów i badanie istotności ocen parametrów funkcji regresji liniowej. Ocena dopasowania funkcji regresji (współczynnik determinacji liniowej). Predykcja na podstawie modelu regresji liniowej. Standardowy błąd prognozy. 8. Badanie dynamiki zjawisk Średnie ruchome i wskaźniki sezonowości. Indeksy proste i średnie tempo zmian. Indeksy agregatowe wartości, ilości i cen.
PRZYKŁADY ZADAŃ Z EGZAMINÓW
Przy rozwiązywaniu zadań, jeżeli nie zostało zaznaczone inaczej, należy przyjąć poziom istotności 0,05 i współczynnik ufności 0,90. Wariancja z próby podawana jest w postaci nieobciążonego estymatora.
Zadanie 1 Wyniki badania losowo wybranych 200 emigrantów w roku 2002 ze względu na wiek zostały przedstawione w poniższej tabeli: Wiek emigrantów <5-15) <15-25) <25-35) <35-45) <45-55) <55-65) Liczba emigrantów 20 47 58 39 24 12 Wyniki podobnego badania 200 emigrantów przeprowadzonego w roku 2011 zostały poniżej scharakteryzowane następującymi miarami i wykresem dystrybuanty: Miary statystyczne opisujące wiek emigrantów w 2011 Średnia arytmetyczna wieku 34,3 Wariancja nieobciążona wieku 183,43 1 0,75 0,5 0,25 0-5 0 5 15 25 35 45 55 65 85 95 Odpowiedzi uzasadnij wyznaczeniem odpowiednich miar a) W której próbie wiek 25% najmłodszych emigrantów był niższy? [2 pkt.] b) W której próbie emigranci byli bardziej zróżnicowani ze względu na wiek? [3 pkt.]
Wiek emigrantów <5-15) <15-25) <25-35) <35-45) <45-55) <55-65) Liczba emigrantów 20 47 58 39 24 12 Miary statystyczne opisujące wiek emigrantów w 2011 Średnia arytmetyczna wieku 34,3 Wariancja nieobciążona wieku 183,43 c) Zweryfikować hipotezę, że średni wiek emigrantów z Polski w 2011 był większy od 34 lat. [4 pkt.] d) Ile wynosi prawdopodobieństwo błędu pierwszego rodzaju w badanym przypadku i co ono oznacza? [1 pkt.] e) Przyjmując założenie, że odsetek osób w wieku 45-65 lat wśród wszystkich emigrantów wynosi 20% oblicz prawdopodobieństwo, że w próbie 200 osobowej losowo wybranej procent emigrantów w wieku 45-65 lat będzie powyżej 30% [2 pkt.] f) Na podstawie danych z tabeli oszacować punktowo i przedziałowo średni wiek emigrantów w 2011 roku. Zinterpretować uzyskane wyniki. [4 pkt.] g) Na podstawie danych z tabeli oszacować punktowo i przedziałowo średni wiek emigrantów w 2011 roku. Zinterpretować uzyskane wyniki. [4 pkt.]
b) Zbadaj istotność korelacji liniowej między obciążeniem karty a długością tras podróży w całej populacji posiadaczy kart kredytowych American Express. (4 pkt.) c) Oceń stopień niewyjaśnienia zmienności obciążenia karty zmiennością długości tras podróży. (2 pkt.) d) Oszacuj liniową funkcję regresji obciążenia karty względem długości tras podróży. Zinterpretuj współczynnik regresji. (4 pkt.) e) Zbadaj istotność współczynnika regresji w populacji. (4 pkt.)
Zadanie 3 [ 4 pkt.] Na podstawie losowo wybranej próby studentów w mieście K przebadano roczną liczbę spóźnień na pierwsze zajęcia ze względu na odległość miejsca zamieszkania od uczelni. Wyniki przedstawiono poniżej: Odległość: Liczba badanych studentów Średnia liczba spóźnień Suma kwadratów odchyleń od średniej liczby spóźnień w danej grupie Bliska (do 3 km) 20 10 80 Średnia (3-10 km) 20 9 60 Daleka (pow. 10 km) 20 11 100 Zweryfikuj przypuszczenie, że liczba spóźnień (na pierwsze zajęcia) wszystkich studentów w mieście K jest uzależniona od odległości miejsca zamieszkania od uczelni.
Zadanie 4 [4 pkt.] Przebadano grupę 1000 studentów niemieszkających z rodzicami ze względu na miesięczne wydatki na zakwaterowanie. Otrzymano średnią równą 500 zł oraz odchylenie standardowe 100 zł. Obserwacje pogrupowano w 9 przedziałów. Piąty przedział jest w obszarze 500-550 zł i znalazło się w nim 225 studentów. Zweryfikuj hipotezę o zgodności tego rozkładu z rozkładem normalnym wiedząc, iż : 4 ቀn i n i ሻ i=1 n i 2 + 9 ቀn i n i ሻ i=6 2 n i = 10,95
Zadanie 5 W ramach prac nad dostosowaniem procesu kształcenia na SGH do założeń deklaracji bolońskiej pojawiły się głosy na temat konieczności zmniejszenia liczby godzin z matematyki. W celu sprawdzenia, jak na tą kwestię zapatrują się studenci, przeprowadzono sondę. Losowo wybranych 600 studentów starszych lat zapytano, czy popierają tę propozycję, czy też są przeciw niej. Wyniki przeprowadzonej sondy były następujące: Za Przeciw Mężczyzna 250 50 Kobieta 200 100 a) Podaj estymator punktowy dla odsetka osób będących przeciw pomysłowi zmniejszenia liczby godzin z matematyki. [1p.] b) Jaką rozpiętość będzie miał przedział, który w 95 przypadkach na 100 będzie zawierał odsetek przeciwników pomysłu zmniejszenia liczby godzin z matematyki wśród wszystkich studentów starszych lat? [3p.]
Za Przeciw Mężczyzna 250 50 Kobieta 200 100 c) W jaki sposób można zwiększyć precyzję estymacji przedziałowej otrzymanej w punkcie poprzednim (odpowiedz bez wykonywania dodatkowych obliczeń)? [1p.] d) W jaki sposób można sprawdzić, czy odsetki przeciwników i zwolenników projektu na SGH obojga płci istotnie różnią się od siebie? (zaproponuj metodę i zapisz odpowiednie hipotezy wraz ze wzorem na statystykę testującą). [3p.] e) Czy dane uzyskane z badania uprawniają do stwierdzenia, że występuje zależność między płcią studenta a jego opinią na SGH w kwestii zmniejszenia liczby godzin z matematyki? Jeśli tak, to, jaka jest siła tej zależności w badanej próbie? [3p.] f) Jeśli założymy, że prawdopodobieństwo poparcia propozycji zmniejszenia liczby godzin z matematyki przez mężczyznę wynosi 0,85, jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród pytanych 2000 studentów płci męskiej ogółem ze wszystkich lat poprze propozycję co najwyżej 1700? [2p.] g) Z jakiego twierdzenia należało skorzystać rozwiązując podpunkt 4.6? [1p.]
Zadanie 6 b) Ceny którego z typów kosiarek rosły szybciej, średnio z roku na rok, w latach 2006-2008? (2 pkt.) c) Czy na wzrost wartości sprzedaży obu typów kosiarek w latach 2007-2008 większy wpływ miał wzrost ich cen czy też wzrost ilości ich sprzedaży? (4 pkt.) d) Wyrównane za pomocą średnich ruchomych ilości sprzedanych kosiarek Zeta dla grudni lat y t 2004-2009 wynosiły : 180 202 230 243 267. Wyznacz multiplikatywny (surowy) wskaźnik wahań okresowych dla tego podokresu ( O=12), jeśli rzeczywiste ilości grudniowej sprzedaży kosiarek w latach 2004-2009 w tym sklepie wynosiły : 220, 240, 270, 300, 320, 300. y t
PYTANIA TEORETYCZNE
pytanie A (T; N) B (T; N) C (T; N) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
CZĘŚĆ TESTOWA (9 punktów) Przy wszystkich pytaniach należy otoczyć kółkiem prawidłową odpowiedź T-tak lub N-nie. Punktacja: odpowiedź poprawna 1 pkt; brak odpowiedzi 0 pkt; odpowiedź błędna -1 pkt. Jeżeli całkowita suma punktów z tej części będzie ujemna, jako wynik zostanie przyjęte 0 pkt.
1. Jeżeli próba jest losowa, to: Nie można przeprowadzić testów istotności Nie można przeprowadzić testów zgodności T N T N Wartości obliczonych estymatorów najczęściej różnią się od wartości odpowiadających im parametrów w populacji generalnej T N 2. Dla oszacowanego modelu regresji liniowej wyznaczono współczynnik 1-R² równy 0,86 Oznacza to słabe dopasowanie modelu do danych empirycznych Wynik ten świadczy o występowaniu zjawiska autokorelacji reszt Wynik ten oznacza, że współczynnik korelacji liniowej zmiennych Y i X jest dodatni
3. Wskaż prawdziwe stwierdzenia dotyczące dystrybuanty empirycznej Fn(x) Nie można określić jej wartości dla X>xmax Między xmin i xmax jest ona funkcją malejącą Jest zawsze funkcją ciągłą 4. Dana jest zmienna dwuwymiarowa (X,Y). Jeżeli w próbie rozkłady warunkowe Y są jednakowe dla każdej wartości X, to: Współczynnik zbieżności V (Cramera) wynosi 0 Współczynnik korelacji liniowej wynosi 0 Statystyka testowa w analizie wariancji, gdy X jest cechą klasyfikującą, wynosi 0
pytanie A (T; N) B (T; N) C (T; N) 1 N N T 2 T N N 3 N N N 4 T T T 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5. Oszacowano funkcję regresji liniowej wydatków na konsumpcję względem dochodów uzyskując m.in. krytyczny poziom istotności dla współczynnika regresji równy 0,0000000007 oraz współczynnik determinacji 0,8 Hipoteza alternatywna o istotności współczynnika regresji zostanie przyjęta przy dowolnym (akceptowalnym) poziomie istotności Oba uzyskane wyniki potwierdzają dobrą jakość modelu Przy zmianie hipotezy alternatywnej o istotności współczynnika regresji na hipotezę jednostronną H1 : α>0 zmieni się również krytyczny poziom istotności 6. Test zgodności chi-kwadrat: Wymaga znajomości wartości parametrów rozkładu zmiennej w populacji Służy do sprawdzenia zgodności wartości parametrów w dwóch różnych populacjach Służy do sprawdzenia hipotezy nieparametrycznej
7. Zgodność estymatorów: Sprawia, że stosując go nie popełniamy systematycznego błędu przy estymacji parametrów nawet przy nielosowo dobranej próbie Zapewnia, ze zwiększając próbę średnio zmniejszamy błąd losowy Cechuje wszystkie estymatory 8. Jeżeli kowariancja zmiennych X i Y jest ujemna, to: Parametr regresji (współczynnik kierunkowy) w modelu musi być ujemny Współczynnik korelacji liniowej między X i Y musi być ujemny Współczynnik determinacji w modelu liniowym musi być ujemny
pytanie A (T; N) B (T; N) C (T; N) 1 2 3 4 5 T T T 6 N N T 7 N T N 8 T T N 9 10 11 12 13 14 15 16
9. Jeśli współczynnik V-Cramera dla cech X i Y w populacji jest równy 0 wówczas: Współczynnik korelacji w populacji (jeśli można go obliczyć) jest równy zeru Warunkowe rozkłady Y są jednakowe Statystyka chi-kwadrat w teście niezależności może być różna od zera 10. Na podstawie próby 30-elementowej nie odrzuciliśmy na poziomie istotności 0,05 hipotezy o tym, że średni wzrost osób w pewnej populacji wynosi 166cm. Czy to oznacza, że nie odrzucilibyśmy tej hipotezy również, gdyby Przyjąć poziom istotności 0,01 (przy innych warunkach nie zmienionych)? Pobrać z tej samej populacji inną 30-elementową próbą losową? Te same wyniki pochodziły z większej próby?
11. Czy analiza wariancji może być użyta do: sprawdzenia, że średnie w kilku populacjach są jednakowe? sprawdzenia, że średnie w dwóch populacjach są jednakowe? sprawdzenia, że wariancje w kilku populacjach są jednakowe? 12. Zmienna losowa X ma rozkład N (m,σ). Czy prawdziwe są zdania: pole pod krzywą gęstości rozkładu X jest jednakowe niezależnie od wartości parametru σ? wartość zmiennej X równa m+1,96σ jest kwantylem rozkładu 0,95? wartości m-σ i m+σ różnią się tylko znakami?
pytanie A (T; N) B (T; N) C (T; N) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T T T 10 T N N 11 T T N 12 T N N 13 14 15 16
13. Hipotezę o tym, ze średnia waga osób w pewnej populacji wynosi 80 kg, względem alternatywy, że jest ona różna od 80 kg, nie odrzuciliśmy na poziomie istotności 0,05. Czy to oznacza, że nie odrzuciliśmy tej hipotezy również wtedy, gdyby Hipoteza alternatywna była lewostronna Pobrać inną próbę o tej samej liczebności Przyjąć poziom istotności 0,1 (przy innych warunkach nie zmienionych) 14. Czy analiza wariancji może być użyta: Gdy wariancje w porównywanych populacjach są różne? Gdy średnie w porównywanych populacjach są różne? Do sprawdzenia, że średnie w porównywanych próbach są jednakowe?
15. Wśród studentów zdających egzamin z matematyki zanotowano oceny : 2, 3, 4, 5. Wyznaczono dla nich następujące wartości dystrybuanty empirycznej: {0,15; 0,45; 0,85; 1,00}. Na podstawie powyższych informacji: Można stwierdzić, że rozkład ocen jest symetryczny Można stwierdzić ilu studentów zdało egzamin Można określić rozkład empiryczny uzyskanych ocen 16. Jeśli zmienna X ma rozkład normalny, to: Wszystkie jej wartości znajdują się w przedziale [m-3σ; m+3σ] Mediana zmiennej jest równa wartości oczekiwanej Wartość oczekiwana zmiennej wynosi 0
pytanie A (T; N) B (T; N) C (T; N) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 N N N 14 N T T 15 N N T 16 N T N
17. Jeżeli statystyka testująca t-studenta wyznaczona na podstawie 40-elementowej próby dla oceny parametru α w modelu regresji Y=αX+β+ε wynosi 4 to: Zmienna objaśniająca wywiera statystycznie istotny wpływ na zmienną objaśnianą Błąd standardowy oceny parametru α stanowi ¼ wartości tego oszacowania Wyższym wartościom zmiennej X odpowiadają przeciętnie wyższe wartości zmiennej Y 18. Jeżeli trend jakiemu podlega badana zmienna jest rosnący, to: Każdy wyraz szeregu empirycznego (pierwotnego) jest większy od poprzedniego Co najmniej połowa wskaźników sezonowości jest większa od 1 Ocena współczynnika regresji liniowej funkcji trendu jest dodatnia
19. Dystrybuanta empiryczna Fn(x): Jest zawsze nieujemna Jej wartość oznacza udział w próbie obserwacji o wartościach nie większych niż x Jest określona tylko dla przedziału <xmin; xmax> 20. Jeżeli mediana w próbie jest dodatnia, to; Co najmniej połowa elementów próby przyjmuje wartości dodatnie Trzeci kwartyl też jest dodatni Rozkład zmiennej wykazuje prawostronną asymetrię
pytanie A (T; N) B (T; N) C (T; N) 17 T T T 18 N N T 19 T T N 20 T T N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
21. Indeks Laspeyresa mierzący zmiany cen dóbr konsumpcyjnych: Nie może przyjąć wartości mniejszej od 1 Nie zależy od fizycznych rozmiarów konsumpcji w badanym okresie (t=1) Przyjmuje wartości ujemne, jeżeli nastąpił średnio spadek cen 22. Współczynnik V Cramera Nie wymaga grupowania danych indywidualnych Nie pozwala ocenić kierunku zależności między zmiennymi Może być wykorzystany do oceny siły zależności miedzy postawą wobec wyborów (głosuje, nie głosuje) a płcią (K,M)
23. Jeśli współczynnik korelacji liniowej w populacji jest równy 0 wówczas: Współczynnik V-Cramera w populacji jest równy 0 Kowariancja w populacji jest niższa od 0 Współczynnik korelacji z próby może być większy od 0 24. Rozkład t-studenta jest: Rozkładem w którym wartość oczekiwana równa jest medianie i dominancie Rozkład w którym P(t=0) jest większe od zera Który dla próby o liczebności n ma coraz mniejszą wariancję
pytanie A (T; N) B (T; N) C (T; N) 17 18 19 20 21 N T N 22 N T T 23 N N T 24 T N T 25 26 27 28 29 30
25. Średniookresowe tempo zmian zjawiska w czasie: Jest średnią arytmetyczną z indeksów jednopodstawowych Jest średnią arytmetyczną z indeksów łańcuchowych Jest średnią geometryczną z indeksów łańcuchowych 26. Gdy szacuje się przedziałowo wartość parametru rozkładu populacji generalnej, to mówimy, że: Granice przedziału ufności są funkcjami statystyk z próby Granice przedziału ufności dla różnych prób będą przyjmować te same wartości Im większą wartość przyjmuje współczynnik ufności tym dokładność estymacji jest większa przy pozostałych wartościach niezmienionych
27. Przy poziomie istotności 0,1 odrzucono hipotezę zerową o równości dwóch średnich. Decyzja weryfikacyjna byłaby (przy pozostałych warunkach i wynikach nie zmienionych): Zawsze taka sama, gdyby przyjęto poziom istotności 0,05 Zawsze taka sama, gdyby liczebność próby była mniejsza Na pewno inna, gdyby różnica pomiędzy średnimi była mniejsza 28. Wahania sezonowe dla szeregu czasowego Wyznacza się w okresach krótszych od roku Mogą być eliminowane za pomocą średnich ruchomych Mogą nakładać się na trend w sposób addytywny lub multiplikatywny
29. Własność zgodności estymatora: Oznacza, że estymator jest co najmniej asymptotycznie nieobciążony Oznacza, że warto zwiększać liczebność próby Oznacza, że stosując estymator unikamy błędów nielosowych jeśli próba była losowo dobrana 30. Na podstawie losowo dobranej próby studentów SGH oszacowano przedziałowo średnie miesięczne wydatki na rozrywkę < 150; 250> zł przy współczynniki ufności 0,95 Średnia wydatków na rozrywkę w losowej próbie studentów SGH wyniosła 200 zł Próba ta pozwala wnioskować o wydatkach na rozrywkę ogółu studentów w Polsce Zwiększenie precyzji szacunku można uzyskać zwiększając liczebność próby
pytanie A (T; N) B (T; N) C (T; N) 17 18 19 20 21 22 23 24 25 N N T 26 T N N 27 N N N 28 T T T 29 T T T 30 T N T