1 Charakterystyka amplitudowa i fazowa filtru aktywnego Charakterystyka amplitudowa (wzmocnienie amplitudowe) K u (f) jest to stosunek amplitudy sygnału wyjściowego do amplitudy sygnału wejściowego w funkcji częstotliwości. K f = [V/V] (1) gdzie: Uwym(f) [V] i Uwem(f) [V] oznaczają wartości maksymalne napięcia wyjściowego i wejściowego, czyli amplitud. Bardzo często stosuje się skalę logarytmiczną (decybelową) w celu przedstawiania charakterystyki amplitudowej. Przeliczanie wartości wzmocnienia amplitudowego K u (f) ze skali liniowej [V/V] do skali decybelowej odbywa się według następującej zależności: K f = 20 logk f = 20 log db (2) Logarytmiczne przedstawienie charakterystyki amplitudowej (w decybelach) nazywane jest charakterystyką Bodego (od nazwiska Henrik Wade Bode). Graficzne przedstawienie charakterystyki Bodego jest wygodne dla kształtowania (projektowania) charakterystyk amplitudowych układów kaskadowo połączonych filtrów. Charakterystyka fazowa φ(f) jest to przesunięcie fazowe (podawane w stopniach lub radianach) sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego w funkcji częstotliwości f. Jeżeli sygnał wyjściowy jest opóźniony względem wejściowego (patrz Rysunek 1), to przesunięcie fazowe φ(f) ma wartość ujemną. Rys. 1. Przesunięcie fazowe pomiędzy sinusoidalnym napięciem wejściowym (kolor czerwony) i sinusoidalnym napięciem wyjściowym (kolor niebieski) Przykład 1. Schemat filtru aktywnego dolnoprzepustowego ze wzmacniaczem operacyjnym MAA741, przedstawiony na Rysunku 2, umożliwia przeprowadzenie pomiarów w celu sporządzenia charakterystyk częstotliwościowych. Rys. 2. Schemat filtru aktywnego dolnoprzepustowego Do wejścia układu jest doprowadzone z generatora sygnałowego sinusoidalne napięcie u t = U " sin ω t o regulowanej częstotliwości w zakresie od f min = 1kHz do f max = 1MHz. Na zaciskach wejściowych może być mierzona wartość skuteczna napięcia wejściowego U = '. Na zaciskach wyjściowych mierzona jest wartość skuteczna napięcia wyjściowego U ( = (również sinusoidalnego, jeżeli ' wzmacniacz operacyjny nie jest przesterowany ). Na ekranie oscyloskopu dwukanałowego można obserwować przebiegi napięć wejściowego i wyjściowego i również na ekranie mierzone jest przesunięcie fazowe napięcia wyjściowego względem wejściowego w milisekundach t O. Przeliczanie przesunięcia fazowego z milisekund na stopnie odbywa się według wzoru:
2 φ = 360 f t + stopni (3) gdzie: f = częstotliwość [khz] t O = czas przesunięcia fazowego [ms] Jeśli czas podamy w [µs], to przesunięcie fazowe należy obliczyć według wzoru: φ = 360 f -. /000 stopni (4) W czasie pomiarów zapewniono napięcie wejściowe o stałej wartości: Uwe = 1,5 V = const. Wyniki pomiarów oraz obliczenia zestawiono w Tabeli 1. Tabela 1. Wyniki pomiarów zadanej częstotliwości f [khz] generatora, napięcia wyjściowego Uwy [V], czasu przesunięcia fazowego [µs] oraz obliczenia wzmocnienia Ku [V/V], Ku db [db] i kąta przesunięcia fazowego [ o ] f [khz] 1,0 2,0 3,0 5,0 8,0 10 20 50 U wy [V] 2,99 2,99 2,97 2,91 2,79 2,69 2,13 1,12 t O [μs] 7,91 7,89 7,86 7,76 7,54 7,35 6,23 3,78 K u [V/V] 1,99 1,99 1,98 1,94 1,86 1,79 1,42 0,75 K udb [db] 6,01 5,98 5,92 5,76 5,38 5,06 3,03-2,55 φ [ ] -2,85-5,68-8,49-13,97-21,71-26,46-44,86-68,10 f [khz] 80 100 200 300 500 800 1000 U wy [V] 0,73 0,59 0,3 0,2 0,12 0,075 0,06 t O [μs] 2,63 2,18 1,17 0,80 0,49 0,31 0,25 K u [V/V] 0,49 0,39 0,2 0,13 0,08 0,05 0,04 K udb [db] -6,24-8,09-14 -17,5-21,9-26 -28 φ [ ] -75,9-78,6-84,3-86,2-87,7-88,6-88,8 Uwaga: Sygnał wyjściowy jest opóźniony o czas t O względem sygnału wejściowego i dlatego kąt przesunięcia fazowego φ przyjmuje wartości ujemne. Wartości K u, K udb oraz φ zostały obliczone według następujących wzorów: K = (5) K = 20 logk = 20 log 1 2 (6) φ = 360 f - 3μ4 /000 stopni (f podano w [ khz] oraz t O(μs) w mikrosekundach) (7) Na podstawie wyników pomiarów i obliczeń w Tabeli 1, wykreślono charakterystyki przedstawione na Rysunku 3.
Rys. 3. Graficzna prezentacja charakterystyk częstotliwościowych filtru dolnoprzepustowego 3
4 Z wykresów odczytano następujące parametry analizowanego filtru dolnoprzepustowego: - częstotliwość graniczna fg = 20 khz przy spadku mocy -3dB, - wzmocnienie napięciowe statyczne K o = 2 [V/V] w skali liniowej i K 0dB = 6 [db] w skali logarytmicznej, - przesunięcie fazowe φ = 45 8, co oznacza, że przy częstotliwości granicznej fg = 20 khz sinusoidalny przebieg napięcia wyjściowego jest opóźniony o 45 względem przebiegu napięcia wejściowego. Na charakterystyce amplitudowej Bodego, z punktu o współrzędnych K 0dB = 6 [db] i fg = 20 khz poprowadzono dwie asymptoty w kierunku części statycznej (wzmocnienie statyczne) oraz w kierunku części nachylonej (trapezowej) wykreślonej charakterystyki. Asymptoty te umożliwiają wyznaczenie innych, bardziej skomplikowanych, parametrów filtru. Przykład 2: Schemat filtru aktywnego górnoprzepustowego ze wzmacniaczem operacyjnym MAA741, przedstawiony na Rysunku 2, umożliwia przeprowadzenie pomiarów w celu sporządzenia charakterystyk częstotliwościowych. Rys. 4. Schemat filtru aktywnego górnoprzepustowego Do wejścia układu jest doprowadzone z generatora sygnałowego sinusoidalne napięcie u t = U " sin ω t o regulowanej częstotliwości w zakresie od f min = 10 Hz do f max = 10 khz. Na zaciskach wejściowych jest mierzona wartość skuteczna napięcia wejściowego U = '. Na zaciskach wyjściowych mierzona jest wartość skuteczna napięcia wyjściowego U ( =. Na ekranie oscyloskopu dwukanałowego można obserwować przebiegi napięć wejściowego i ' wyjściowego i również mierzone jest przesunięcie fazowe napięcia wyjściowego względem wejściowego w milisekundach t O. Przeliczanie przesunięcia fazowego z milisekund na stopnie odbywa się według wzoru: φ = 360 f t + stopni gdzie: f = częstotliwość [ khz] t O = czas przesunięcia fazowego [ms] W czasie pomiarów zapewniono napięcie wejściowe o stałej wartości: Uwe = 1,5 V = const. Wyniki pomiarów oraz obliczenia zestawiono w Tabeli 2 i na podstawie tych wyników wykreślono charakterystyki częstotliwościowe przedstawione na Rysunku 5. Tabela 2. Wyniki pomiarów zadanej częstotliwości f [khz] generatora, napięcia wyjściowego Uwy [V], czasu przesunięcia fazowego [µs] oraz obliczenia wzmocnienia Ku [V/V], Ku db [db] i kąta przesunięcia fazowego [ o ] f [khz] 0,01 0,02 0,03 0,05 0,08 0,1 0,2 0,3 Uwy [V] 0,15 0,30 0,44 0,72 1,11 1,34 2,12 2,49 t O [ms] 24,2 11,7 7,54 4,22 2,37 1,76 0,63 0,31 Ku [V/V] 0,1 0,198 0,29 0,48 0,74 0,89 1,41 1,66 φ [ ] 87,1 84,3 81,5 76,03 68,3 63,5 45,1 33,8 K udb [db] -20,0-14,1-10,6-6,3-2,6-1,0 3,0 4,4 f [khz] 0,5 0,8 1,0 2,0 3,0 5,0 8,0 10 Uwy [V] 2,78 2,91 2,94 2,98 2,99 3,0 3,0 3,0 t O [ms] 0,12 0,049 0,032 0,008 0,003 0,001 0,0005 0,0003 Ku [V/V] 1,86 1,94 1,96 1,99 2,0 2,0 2,0 2,0 φ [ ] 21,9 14,1 11,4 5,74 3,83 2,30 1,44 1,15 K udb [db] 5,4 5,7 5,8 5,98 6,0 6,0 6,0 6,0
5 Rys. 5. Graficzne przedstawienie charakterystyk częstotliwościowych filtru górnoprzepustowego Do obliczeń skorzystano z następujących, wcześniej poznanych wzorów: Ku = (5), K = 20 logku (6), φ = 360 f t + stopni (f w khz, t O w milisekundach) (7).
6 Dodatnie wartości kąta przesunięcia fazowego φ wskazuje, że sinusoidalny przebieg napięcia wyjściowego wyprzedza w fazie przebieg napięcia wejściowego. Dla częstotliwości granicznej fg wyprzedzenie to wynosi +45. Z wykresów odczytano następujące parametry analizowanego filtru dolnoprzepustowego: - częstotliwość graniczna fg = 200 Hz przy spadku mocy -3dB, - wzmocnienie napięciowe maksymalne Kumax = 2 [V/V] w skali liniowej i Kumax db = 6 [db] w skali logarytmicznej, - przesunięcie fazowe φ = + 45 8, co oznacza, że przy częstotliwości granicznej fg = 20 khz sinusoidalny przebieg napięcia wyjściowego wyprzedza w fazie przebieg napięcia wejściowego o 45. Na charakterystyce amplitudowej Bodego, z punktu o współrzędnych Kumax db = 6 [db] i fg = 200 Hz poprowadzono dwie asymptoty w kierunku części statycznej (wzmocnienie statyczne) oraz w kierunku części nachylonej (trapezowej) wykreślonej charakterystyki. Asymptoty te umożliwiają wyznaczenie innych, bardziej skomplikowanych, parametrów filtru. Kaskadowe połączenie czwórników filtrów aktywnych Para zacisków wyjściowych czwórnika filtru 1 jest przyłączona do zacisków wejściowych czwórnika filtru 2> Schemat takiego układu pokazano na Rysunku 6. Dla każdego z tych filtrów możemy wyznaczyć charakterystykę częstotliwościową, odpowiednio Ku 1 (f) i Ku 2 (f). Rys. 6. Schemat blokowy dwóch czwórników filtrów aktywnych połączonych kaskadowo. Naszym celem jest uzyskanie charakterystyki amplitudowej wypadkowej tak połączonych dwóch filtrów aktywnych o różnych charakterystykach amplitudowych i fazowych. Po przeprowadzeniu analizy matematycznej, która została pominięta, uzyskamy dowód, że wypadkową charakterystykę częstotliwościową uzyskujemy jako iloczyn wzmocnienia obliczonego dla poszczególnych częstotliwości, czyli możemy napisać wzór: K f = K / f K ' f (8) Charakterystykę amplitudową można uzyskać przez graficzne sumowanie wykresów charakterystyk amplitudowych w skali decybelowej (wykres Bodego) poszczególnych filtrów. Możemy zatem napisać wzór na wzmocnienie wypadkowe w funkcji częstotliwości: K f = K / f + K ' f (9) Charakterystykę fazową wypadkową kaskady filtrów również otrzymamy przez sumowanie graficzne charakterystyk fazowych poszczególnych filtrów. Zatem możemy napisać wzór na przesunięcie fazowe wypadkowe: φf = φ / f + φ ' f (10) Przykład 3: Utwórzmy filtr, jako kaskada złożona z dwóch filtrów pochodzących z przykładów 1 i 2. Schemat takiego układu przedstawiono na Rysunku 7.
7 Rys. 7. Schemat filtru aktywnego, jako kaskada utworzona z dwóch filtrów - dolnoprzepustowego i górnoprzepustowego. Układ jest badany sygnałem sinusoidalnym o zmiennej częstotliwości w zakresie od 10 Hz do 100kHz. Wykorzystujemy wyniki badania poszczególnych ogniw kaskady z przykładów 1 i 2. W ten sposób utworzyliśmy Tabelę 3. W czasie pomiarów zapewniono napięcie wejściowe o stałej wartości: Uwe = 1,5 V = const. Wyniki pomiarów oraz obliczenia, jako zestawienie danych z Tabel 1 i 2, przedstawiono w Tabeli 3 i na podstawie tych wyników wykreślono charakterystyki częstotliwościowe, przedstawione na Rysunku 8. Pamiętamy, że do obliczeń skorzystano z następujących, wcześniej poznanych wzorów: Ku = (5), K = 20 logku (6), φ = 360 f t + stopni (f w khz, t O w milisekundach) (7) oraz korzystamy podanych powyżej: K f = K / f K ' f (8) K f = K / f + K ' f (9) φf = φ / f + φ ' f (10) Tabela 3. Wyniki pomiarów zadanej częstotliwości f [khz] generatora, napięcia wyjściowego Uwy [V], czasu przesunięcia fazowego [µs] oraz obliczenia wzmocnienia Ku [V/V], Ku db [db] i kąta przesunięcia fazowego [ o ], jako zestawienie danych pochodzących z Tabeli 1 i Tabeli 2 f [khz] K u1 (f) [V/V] K u2 (f) [V/V] K u (f) [V/V] φ 1 (f) [ ] φ 2 (f) [ ] φ(f) [ ] K udb1 (f) [db] K udb2 (f) [db] K udb [db] 0,01 0,10 2,0 0,2 87,15-0,03 87,12-20,05 6,02-14,03 0,02 0,19 2,0 0,39 84,32-0,06 84,26-14,06 6,02-8,04 0,03 0,29 2,0 0,59 81,51-0,09 81,42-10,69 6,02-4,57 0,05 0,48 2,0 0,97 76,03-0,14 75,88-6,32 6,02-0,30 0,1 0,89 2,0 1,78 63,54-0,28 63,26-1,00 6,02 5,02 0,2 1,41 2,0 2,82 45,14-0,57 44,67 2,99 6,02 9,01 0,3 1,66 2,0 3,32 33,82-0,86 32,96 4,41 6,02 10,43 0,5 1,86 2,0 3,71 21,90-1,42 20,47 5,37 6,02 11,39 1,0 1,96 2,0 3,92 11,36-2,85 8,51 5,85 6,01 11,86 2,0 1,99 1,99 3,96 5,738-5,684 0,05 5,98 5,98 11,95 3,0 1,99 1,98 3,95 3,83-8,49-4,66 6,00 5,92 11,93 5,0 2,0 1,94 3,88 2,30-13,97-11,67 6,01 5,76 11,77 10 2,0 1,79 3,58 1,15-26,46-25,30 6,02 5,06 11,08 20 2,0 1,42 2,83 0,58-44,86-44,29 6,02 3,03 9,05 30 2,0 1,11 2,23 0,38-56,18-55,8 6,02 0,93 6,95 50 2,0 0,75 1,49 0,23-68,10-67,87 6,02-2,55 3,47 100 2,0 0,39 0,79 0,12-78,64-78,52 6,02-8,09-2,07 Wykresy graficzne, sporządzone na podstawie danych w Tabeli 3, przedstawiono na Rysunku 8.
Rys. 8. Graficzne przedstawienie charakterystyk częstotliwościowych kaskady utworzonej z dwóch filtrów - dolnoprzepustowego i górnoprzepustowego. 8
9 Analizując wykres, można stwierdzić, że uzyskaliśmy filtr środkowoprzepustowy. Z wykresów na Rysunku 8 odczytujemy następujące parametry: - wzmocnienie napięciowe maksymalne Kumax = 4 [V/V] w skali liniowej i Kumax db = 12 [db] w skali logarytmicznej, - częstotliwość graniczna fg 1 = 200 Hz i fg 2 = 20 khz przy spadku mocy -3dB, - przesunięcie fazowe φ, które mieści się w przedziale od -45 o do + 45 o, co oznacza, że w zakresie częstotliwości granicznych fg 1 = 200 Hz i fg 2 = 20 khz sinusoidalny przebieg napięcia wyjściowego wyprzedza lub opóźnia się w fazie w stosunku do napięcia wejściowego. Wniosek: Tworząc kaskadę z filtru aktywnego dolno- i górnoprzepustowego możemy utworzyć filtr aktywny środkowoprzepustowy. Opracowała: Jadwiga Balicka