Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 2014/2015 Etap I - szkolny W kluczu przedstawiono przykładowe rozwiązania oraz prawidłowe odpowiedzi. Za każdą inną poprawną metodę rozwiązania zadania uczeń otrzymuje maksymalną liczbę punktów. Do kolejnego etapu kwalifikuje się uczeń, który uzyskał co najmniej 14 punktów. Zadanie 1 [2 punkty] Podaj trzy różne liczby pierwsze, których suma również jest liczbą pierwszą. Pierwsza liczba, to 3 Druga liczba, to 5 Trzecia liczba, to 11 Suma tych liczb jest równa: 19 poda trzy różne liczby (nie wszystkie będą liczbami pierwszymi), których suma jest liczbą pierwszą poda trzy liczby pierwsze (nie wszystkie różne), których suma jest liczbą pierwszą poda trzy różne liczby pierwsze, których suma nie jest liczbą pierwszą. poda trzy różne liczby pierwsze, których suma (poprawnie obliczona) jest liczbą pierwszą. Zadanie 2 [3 punkty] Oceń prawdziwość zdań, zaznacz znakiem x prawidłową odpowiedź: A. Liczba 6 3 12 jest liczbą niewymierną. PRAWDA x FAŁSZ B. Sześcian liczby π jest równy π π. x PRAWDA FAŁSZ 3 C. Pole podstawy sześcianu o objętości 128 jest równe 4 2. PRAWDA x FAŁSZ udzieli jednej poprawnej odpowiedzi. udzieli dwóch poprawnych odpowiedzi. udzieli trzech poprawnych odpowiedzi.
Zadanie 3 [3 punkty] Janek, wyjeżdżając na wycieczkę, otrzymał od rodziców kieszonkowe. Pierwszego dnia wycieczki wydał 20% kieszonkowego. Drugiego dnia wydał 10% kwoty, która pozostała mu po pierwszym dniu. Po dwóch dniach Janek miał jeszcze 108 zł. Jaką kwotę otrzymał od rodziców Janek wyjeżdżając na wycieczkę? Zapisz obliczenia. x początkowa kwota kieszonkowego 0,8x kwota kieszonkowego po 1 dniu wycieczki 0,9 0,8x kwota kieszonkowego po 2 dniu wycieczki 0,9 0,8x = 108 0,72x = 108 x = 150 Odpowiedź: Janek, wyjeżdżając na wycieczkę, otrzymał od rodziców 150 zł. zastosuje prawidłową metodę obliczenia kwoty kieszonkowego po jednym dniu wycieczki (pierwszym drugim). zastosuje poprawną metodę obliczenia kwoty kieszonkowego po pierwszym i drugim dniu wycieczki. obliczy, jaką kwotę Janek otrzymał od rodziców (150 zł). Uwaga! Jeśli uczeń prawidłowo rozwiąże zadanie, ale wynik poda bez jednostki, to przyznajemy maksymalną liczbę punktów. Zadanie 4 [3 punkty] Jajo strusie i kurze ważą tyle samo, ile razem ważą jajo gęsie i 160 jaj przepiórczych. Dwa jaja gęsie ważą tyle, ile dwa jaja kurze i 14 przepiórczych zaś jajo kurze waży tyle, ile cztery jaja przepiórcze. Ile jaj przepiórczych waży jajo strusie? S waga jaja strusiego G waga jaja gęsiego P waga jaja przepiórczego K waga jaja kurzego S+K = G + 160 P 2 G = 2 K + 14 P G = K + 7 P K = 4 P S + K = K + 7 P + 160 P S = 167 P Odpowiedź: Jajo strusie waży 167 jaj przepiórczych.
S waga jaja strusiego G waga jaja gęsiego P waga jaja przepiórczego K waga jaja kurzego S+K = G + 160 P 2 G = 2 K + 14 P K = 4 P 2G = 2 (4P) + 14P 2G = 22P G = 11 P S+4P = 11P + 160 P S = 167 P Odpowiedź: Jajo strusie waży 167 jaj przepiórczych. uzależni wagę jaja strusiego i kurzego od jaja gęsiego i 160 jaj przepiórczych uzależni wagę dwóch jaj gęsich od dwóch jaj kurzych i 14 przepiórczych, uzależni wagę jaja kurzego od 4 jaj przepiórczych. wyprowadzi jedną zmienną z równania S+K = G + 160 P z równania 2 G = 2 K + 14 P zapisze równanie z dwiema niewiadomymi (S + K = K + 7 P + 160 P). uzależni wagę jaja strusiego od 167 jaj przepiórczych (S = 167 P). Uwaga! Jeśli uczeń nie opisze zmiennych wykorzystanych w zadaniu, ale poda prawidłową odpowiedź, przyznajemy maksymalną liczbę punktów. Zadanie 5 [4 punkty] Długości podstaw trapezu równoramiennego są równe 6 cm i 14 cm. Przekątna trapezu zawiera się w dwusiecznej kąta przy dłuższej podstawie. Oblicz pole tego trapezu. D 6 C A 14 E B
EB = 14 6 = 4 2 Trójkąt ACD jest równoramienny, zatem ramię trapezu ma długość 6. Z trójkąta EBC, z twierdzenia Pitagorasa: EC 2 = CB 2 EB 2 EC 2 = 36 16 = 20 EC = 2 5 P = 14 + 6 2 5 = 20 5 2 Odpowiedź: Pole trapezu jest równe 20 5. obliczy długość odcinka EB ( EB = 4) zauważy, że długość ramienia trapezu jest równa 6. obliczy długość odcinka EB i zauważy, że długość ramienia trapezu jest równa 6. obliczy długość wysokości trapezu EC = 2 5. Uczeń otrzymuje 4 punkty, gdy obliczy pole trapezu P= 20 5. Zadanie 6 [3 punkty] Właściciel sadu stwierdził: gdybym ze składu wydał połowę skrzyń jabłek i jeszcze jedną skrzynkę, a oprócz tego usunął jeszcze 10 skrzyń zgniłych owoców, to zostałaby mi wtedy w magazynie trzecia część początkowej liczby skrzyń oraz 7 pełnych i 2 skrzyni jabłek. Oblicz, ile ton jabłek miał właściciel 3 sadu początkowo w składzie, jeśli wiadomo, że w jednej skrzynce mieści się 25 kg jabłek. x liczba skrzynek jabłek 1 2 x 1 10 = 1 3 x + 7 2 3 1 6 x = 18 2 3 x = 112 112 25kg = 2800 kg = 2,8 t Odpowiedź: Właściciel sadu miał w składzie 2,8 t jabłek.
zapisze poprawne równanie wynikające z treści zadania. prawidłowo obliczy liczbę skrzyń jabłek (112 kg) zapisze poprawnie równanie i przy błędnym rozwiązaniu równania poprawnie zamieni liczbę kilogramów na liczbę ton jabłek prawidłowo obliczy liczbę ton jabłek (2,8 t). Zadanie 7 [2 punkty] Oceń prawdziwość zdań, zaznacz znakiem x prawidłową odpowiedź: Liczby a, b i c określone są następująco: a = ( 1 2014 2 ) + ( 1 2014 2 ) Zatem: b = (( 1 2 ) 2) 2014 c = ( 1 2 2 ) ( 1 2014 2 ) A. c = b PRAWDA x FAŁSZ B. a > b x PRAWDA FAŁSZ udzieli jednej poprawnej odpowiedzi. udzieli dwóch poprawnych odpowiedzi.