Rola monitorowania i prognozowania parametrów orientacji przestrzennej Ziemi ze szczególnym uwzględnieniem współrzędnych bieguna ziemskiego

Transkrypt

1 Rola monitorowania i prognozowania parametrów orientacji przestrzennej Ziemi ze szczególnym uwzględnieniem współrzędnych bieguna ziemskiego Wiesław Kosek 1) Wydział Inżynierii Środowiska i Geodezji Uniwersytetu Rolniczego w Krakowie 2) Centrum Badań Kosmicznych Polskiej Akademii Nauk, Warszawa III Plenarne posiedzenie Komitetu Geodezji PAN, 17 kwietnia 212

2 Streszczenie Ziemski i niebieski system współrzędnych odniesienia oraz transformacja pomiędzy nimi, parametry ruchu obrotowego Ziemi, techniki geodezji kosmicznej i satelitarnej Prognozowanie zmian EOP: aktywność międzynarodowa Analiza zmian współrzędnych x, y bieguna ziemskiego oraz ich geofizycznego pobudzenia z wykorzystaniem analizy falkowej Analiza prognozowanie współrzędnych bieguna ziemskiego metodą LS+AR oraz przyczyny błędów prognozy współrzędnych x, y bieguna ziemskiego Analiza statystyczna odchyłek prognoz współrzędnych x, y bieguna ziemskiego Wnioski

3 Kierunek chwilowej oś obrotu Ziemi nie jest stały ani w przestrzeni ani też względem bryły Ziemi. Zmiany tego kierunku mogą być obecnie modelowane z wysoką dokładnością w przypadku precesji i nutacji, natomiast w ruch bieguna ziemskiego występuje wiele zmian, które nie dadzą się zamodelować tak dokładnie jak precesja i nutacja Ziemi Szybkość kątowa Ziemi nie jest także stała i dokładność modelowania jej jest tego samego rzędu co ruchu bieguna ziemskiego.

4 Parametrami transformacji pomiędzy ziemskim i niebieskim systemami odniesienia są parametry ruchu obrotowego Ziemi (EOP Earth Orientation Parameters), do których należą: - model precesyjno-nutacyjny + poprawki precesyjno-nutacyjne (dx, dy), - współrzędne bieguna ziemskiego (x p, y p ), - czas uniwersalny UT1-UTC. Y

5 Perturbacje w ruchu obrotowym Ziemi Składowe równikowe, które pokazują zmiany kierunku osi obrotu Ziemi - w przestrzeni - precesja i nutacja (wyrażona przez model precesyjno-nutacyjny + poprawki obserwacyjne dx,dy) - względem bryły Ziemi - ruch bieguna ziemskiego (wyrażony przez współrzędne x, y bieguna) Składową osiową, która pokazuje zmiany szybkości kątowej Ziemi (wyrażona jest przez zmianę czasu uniwersalnego UT1-UTC lub zmianę długości doby ziemskiej Δ)

6 Modele precesji i nutacji Do końca 22 roku obowiązywały model precesji IAU 1976 oraz model nutacji IAU stycznia 23 r modele te zostały zastąpione łącznym modelem precesyjno-nutacyjnym IAU2A, który zawiera zawiera 678 współczynników luni-solarnych oraz 687 współczynników planetarnych. Dokładność kierunku osi bieguna niebieskiego dla tego modelu wynosi.2 mas. Nowy model precesyjno-nutacyjny uwzględnia niejednorodny rozkład gęstości mas wewnątrz Ziemi. W 26 roku wprowadzony został nowy model precesji, który zastąpił poprzedni model precesji z 1976 roku w modelu precesyjno-nutacyjnym z 2r.

7 Ruch bieguna Ziemskiego i czas UT1-UTC Ruch bieguna ziemskiego jest ruchem chwilowej osi obrotu względem bryły Ziemi, a umownie jest to ruch niebieskiego bieguna pośredniego (Celestial Intermediate Pole CIP) w układzie ITRF związanym z Ziemią. Czas UT1-UTC lub jego pierwsza pochodna po czasie Δ opisują niejednostajny obrót Ziemi wokół własnej osi. Parametry ruchu obrotowego Ziemi nie mogą być teoretyczne modelowane dlatego muszą być wyznaczane z obserwacji.

8 arcsec.3 x y s DaneEOP 1.2 UT1-UTC s R YEARS arcsec dx dy

9 Podstawowe techniki pomiarowe geodezji satelitarnej i kosmicznej SLR- Satellite Laser Ranging LLR - Lunar Laser Ranging GPS Global Positioning System GLONASS- Globalnaja Nawigacionnaja Sputnikowaja Sistiema GALILEO COMPASS GNSS (Global Navigation Satellite System) DORIS- Doppler Orbitography and Radiopositioning Integrated by Satellite PRARE- Precise Range and Range-Rate Equipment VLBI- Very Long Baseline radio Interferometry

10 SLR

11 DORIS Sieć stacji systemu DORIS rozmieszczona jest równomiernie na całym globie Ziemskim. Połowa stacji systemu DORIS znajduje się na wyspach. Dane pomiarowe zbierane na satelicie przekazywane są następnie do stacji kontrolnej w Tuluzie.

12 GNSS

13 VLBI

14 Do lat 7-tych ubiegłego stulecia x, y i UT1-UTC wyznaczane były wyłącznie metodą astrometrii optycznej. Obecnie wyznaczane są z obserwacji technik geodezji satelitarnej i kosmicznej: 1. VLBI (Very Long Baseline radio Interferometry) realizuje podstawowy układ współrzędnych niebieskich ICRF jedyna technika wyznaczająca parametry nutacyjne dx, dy oraz czas uniwersalny UT1-UTC 2. SLR (Satellite Laser Ranging) wyznacza x, y, (brak długookresowej stabilności wyznaczeń czasu UT1-UTC) wyznacza współczynniki pola grawitacyjnego Ziemi oraz współrzędne geocentrum 3. GNSS (Global Navigation Satellite System) wyznaczanie x, y, Δ z rozdzielczością czasową 1 dzień, wyznaczenie współrzędnych geocentrum. 4. LLR (Lunar Laser Ranging), wyznaczenie UT 5. DORIS (Doppler Orbitography and Radiopositioning Integrated by Satellites), wyznacza x, y, Δ, współrzędne geocentrum.

15 Udziałposzczególnych technik geodezji kosmicznej i satelitarnej przy wyznaczaniu kombinowanych parametrów ruchu obrotowego Ziemi przez IERS

16 Międzynarodowe służby technik geodezji satelitarnej i kosmicznej : IGS (InternationalGPS Service), : IVS (International VLBI Service for Geodesy andastrometry), : ILRS (InternationalLaser RangingService), - 23: IDS (InternationalDORIS Service),

17 International Terrestrial Reference System Od 1991 roku zgodnie z rezolucją Generalnego Zgromadzenia IUGG w Wiedniu obowiązującym systemem odniesienia stał się Conventional Terrestrial Reference System (CTRS). Początkiem CTRS jest środek masy Ziemi z uwzględnieniem oceanów i atmosfery. Jest to system geocentryczny, którego jednostką jest m (SI), a orientacja osi zgodna z orientacją osi systemu BTS84 (BIH Terrestrial System 84), zaś zmienność tej orientacji w czasie jest określona przez zastosowanie warunku, że suma ruchów poziomych płyt tektonicznych nie zawiera składowej obrotu. Systemowi nadano później nazwę (International Terrestrial Reference System (ITRS). Realizacją systemu ITRS jest układ odniesienia International Terrestrial Reference Frame (ITRF): Układy ITRF88, ITRF89,, ITRF96, ITRF97, ITRF2, ITRF25 i ITRF28, zostały wyznaczone z obserwacji technik VLBI, SLR, LLR, GNSS i DORIS.

18

19 Niebieskie systemy i układy odniesienia Od 1 stycznia 1988r do 31 grudnia 1997r konwencjonalny niebieski system odniesienia zdefiniowany był przez równik Ziemski i punkt równonocy na epokę J2, a odpowiadającym temu systemowi katalogiem gwiazd był katalog FK5 (1535 gwiazd, dokładność 2mas). Początkiem tego systemu byłśrodek masy Ziemi. Oś Z tego systemu skierowana była od środka masy Ziemi w kierunku bieguna północnego, natomiast oś X skierowana była do punktu równonocy. Z Pozycje gwiazd i kwazarów podawane było w układzie sferycznym: α - rektazcenzja δ - deklinacja X α δ punkt równonocy ekliptyka równik Y

20 International CelestialReference System Od 1 stycznia 1998 roku system FK5 został zastąpiony przez ICRS, który stał się obowiązującym niebieskim systemem odniesienia. Realizacją systemu ICRS jest układ ICRF wyznaczony przez współrzędne radioźródeł obserwowanych techniką VLBI z dokładnością.7mas. Kierunki osi systemu ICRS zdefiniowane są przez pozycje kwazarów, gdyż zakłada się, że nie posiadają one ruchów własnych. Początkiem systemu ICRS jest barycentrum Układu Słonecznego (w systemie BCRS Baricentric Celestial Reference System) lub geocentrum (w systemie GCRS Geocentric Celestial Reference System). Pierwszą realizacją ICRS był katalog ICRF zdefiniowany jest przez 68 kwazarów podstawowych oraz 212 innych radioźródeł obserwowanych techniką VLBI. Orientacja osi układu ICFR była określona z dokładnością.2mas.

21 ICRF2 W sierpniu 29r XXVII Zgromadzenie Generalne IAU podjęło decyzję o wprowadzeniu z dniem 1 stycznia 21 układu ICRF2 jako fundamentalnego niebieskiego układu współrzędnych odniesienia. ICRF2 realizowany jest obecnie przez 3414 radioźródeł (około 5 razy więcej niż ICRF). Dokładność kierunków osi układu wynosi 4 µas i jest 5 6 razy lepsza niż dla ICRF. Dokładność ta zapewniona jest dzięki jednostajnie rozłożonym na niebie 295 radioźródłom definiującym system.

22 Niebieski układ współrzędnych odniesienia (ICRF2) równik A sky map of the 295 defining sources of ICRF2.

23 ICRF ICRF2

24 PROGNOZOWANIE ZMIAN EOP W celu uzyskania informacji o pozycji obiektu znajdującego się poza rotującą Ziemią należy wiedzieć jak mają się do siebie współrzędne stacji obserwacyjnej określone w układzie ziemskim względem współrzędnych tego obiektu określonych w układzie niebieskim. Obserwacje technikami: VLBI, SLR, GNSS, DORIS pozwalają obecnie na wyznaczanie układów niebieskiego i ziemskiego z wysoką dokładnością, jednak nie pozwalają na wyznaczenie parametrów orientacji Ziemi w czasie rzeczywistym. Nawiązanie układów w czasie rzeczywistym jest możliwe dzięki prognozom parametrów orientacji Ziemi (x, y, UT1-UTC, dx, dy).

25 IERS Rapid Service/Prediction Centre Obserwacje technikami: VLBI, SLR, GNSS, DORIS nie pozwalająna wyznaczenie parametrów orientacji Ziemi w czasie rzeczywistym dlatego konieczne jest ich prognozowanie. Wyznaczaniem prognoz EOP zajmuje się IERS RS/PC w US Naval Observatory w Waszyngtonie: - UT1-UTC prognozowany jest z wykorzystaniem prognozy składowej osiowej momentu pędu atmosfery (Johnson et al., 25) otrzymywanej w procesie dynamicznego wyznaczenia modelu cyrkulacji atmosfery. - współrzędne x, y bieguna prognozowane są kombinacją metody najmniejszych kwadratów i autoregresji (LS+AR) (Kosek i in., 24). - obecna dokładność modelu precesji-nutacji IAU 26/2A jest bardzo wysoka dlatego residua precesji-nutacji dx, dy pokazują jedynie niedeterministyczny sygnał z okresem ok. 43 dni i o amplitudzie rzędu.3 mas pochodzący od rotacji ciekłego jądra Ziemi. Prognoza precesji i nutacji wyznaczana jest jako ekstrapolacja modelu IAU 26/2A.

26 DEEP SPACE NETWORK Prognozy EOP wykorzystywane sąs między innymi przez NASA Deep Space Network (DSN), która jest siecią anten służąs żących do kontroli: - misji międzyplanetarnych (Cassini, Opportunity, Spirit, Mars Global Serveyor, Rosetta, Stardust, Voyager-1, Voyager-2)., - radiowych i radarowych obserwacji astronomicznych, - niektórych okołoziemskich oziemskich misji kosmicznych. DSN jako największy i najlepiej wyposażonym onym systemem telekomunikacyjny na świecie składa się z trzech kompleksów komunikacyjnych - Goldstone, California,, pustynia Mojave; ; (Goldstone( Signal Processing Centre) - Madrid, Spain; ; (Robledo( Signal Processing Centre) - Canberra, Australia. (Tidbinbilla Signal Processing Centre)

27 Goldstone, California, pustynia Mojave Madrid, Spain Deep Space Network Canberra, Australia.

28 Determination errors of x, y and UT1-UTC (EOPC4_IAU2.62-now) data in YEARS x [mas] y [mas] UT1 [ms] ~2mm EOP mean prediction errors and their ratio to determination errors in 21 Days in the future x, y [mas] UT1-UTC [ms] prediction to determination errors ratio x, y UT1-UTC ~4 ~24 ~2 ~14 ~5 ~72 ~9 ~14 ~14 ~26

29 Czynniki wpływające na wzrost błędu prognozy parametrów orientacji Ziemi Zmian nieregularne o charakterze szerokopasmowym we współrzędnych x, y bieguna ziemskiego i zmianach czasu UT1-UTC, pobudzane zmianami składowych równikowych momentu pędu atmosfery i oceanu dla x,y oraz składową osiową momentu pędu atmosfery dla UT1. Zmienne w czasie amplitudy i fazy oscylacji Chandlera, rocznej i półrocznej we współrzędnych x, y bieguna ziemskiego oraz oscylacji rocznej i półrocznej w zmianach długości doby Δ lub UT1-UTC.

30 Prognozowanie EOP aktywność międzynarodowa Earth Orientation Parameters Prediction Comparison Campaign (EOPPCC) (Oct. 25 Mar. 28) [H. Schuh(Chair), W. Kosek, M. Kalarus] Celem było porównanie rezultatów prognoz zmian EOP wyznaczanych różnymi metodami oraz przy użyciu różnych danych. W czasie tej kampanii około 1 uczestników dostarczało cotygodniowe prognozy zmian EOP. IERS Working Group on Predictions (WGP) (Apr.26 EGU Oct. 29) [W. Wooden (Chair), T. Van Dam (input data), W. Kosek (algorithms)] Celem WGP było pokazanie mocnychi słabychstron różnych algorytmów prognozowania,a także jakości różnych danych, z których wyznaczano prognozy zmian EOP. IERS Workshop on EOP Combination and Prediction (Warsaw, October 29) [W. Kosek, B. Wooden (Chairs)] Celem było przedstawienie obecnego stanu wiedzy dotyczącej prognozowania zmian EOP pod katem stosowanych algorytmów prognozowania oraz danych, określenia działań zmierzających do poprawienia dokładności prognozy oraz udokładnienia kombinowanych szeregów czasowych zmian EOP. Earth Orientation Parameters Combination of Prediction Pilot Project (EOPCPPP) (Oct. 21 IERS Directing Board) [Chair: B. Luzum, co-chair: W. Kosek], Celem tej kampanii jestopracowanie algorytmów do wyznaczania kombinowanych prognoz zmian EOP na podstawie prognoz tych zmian dostarczanych codziennie przez różnych uczestników projektu.

31 Wyniki EOPPCC (Oct. 25 Mar. 28) Mean prediction errors (in mas) of x, y pole coordinates data computed from prediction results of different algorithms participating in the EOPPCC.

32 Wyniki EOPPCC (Oct. 25 Mar. 28) Mean prediction errors (in ms/day & ms) of length of day and UT1-UTC data computed from prediction results of different algorithms participating in the EOPPCC.

33 Ważniejsze wnioski z kampanii Earth Orientation Parameters Prediction Comparison Campaign (EOPPCC) 1) Najdokładniejszą techniką prognozowania współrzędnych x,y bieguna ziemskiego jest kombinacja metody najmniejszych kwadratów z metodą autoregresji. 2) Najdokładniejsza metodą dla prognozowania zmian UT1-UTC i Δ jest filtracja Kalmana z wykorzystaniem prognoz składowej osiowej momentu pędu atmosfery. 3) Kombinowane prognozy współrzędnych x, y bieguna ziemskiego mają wyższą dokładność niż prognozy wyznaczane różnymi technikami.

34

35 IERS Working Group on Prediction This IERS WG on Prediction is designed to build upon the foundation laid by the Prediction Comparison Campaign (PCC) and also investigate the new data sets from the Combination Pilot Project. A major task of the working group will be to determine what prediction products are useful to the user community in addition to making a detailed examination of the fundamental properties of the different input data sets and algorithms. It should be noted that the Working Group will not repeat the PCC`s efforts. Taken together, the PCC and the Working Group create the potential for advancing the Earth orientation community`s understanding and allow for the creation of state-of-the-art prediction. It is expected that new improved products resulting from this analysis will replace some of the existing prediction products. (For more details, please consult the WG Charter.) WG Chair William Wooden Sub - WG Chair Input Data: Tonie Van Dam Algorithms: Wieslaw Kosek Members Data Subgroup: (Apr. 26 Oct. 29) Jianli Chen Daniel Gambis Richard Gross Brian Luzum Jim Ray David Salstein Algorithms Subgroup: Thomas Johnson Maciej Kalarus Hansjoerg Kutterer Sebastien Lambert Zinovy Malkin Harald Schuh

36 IERS Workshop on EOP Combination and Prediction Warsaw, Poland, October29 Recommendations określićwymagane dokładności prognoz zmian EOP dla różnych zastosowań. zalecićwyznaczanie prognoz dwutygodniowych zmian EOP oraz kontynuacja rocznych prognoz zmian EOP zalecićwyznaczanie kombinowanych prognoz zmian EOP na podstawie prognoz tych zmian wyznaczanych przez różne światowe centra obliczeniowe, które przerodziłyby sięw przyszłą służbę IERS wyznaczania prognoz kombinowanych. zalecićwyznaczanie prognoz krótkoterminowych geofizycznych funkcji pobudzenia współrzędnych bieguna ziemskiego oraz zmian czasu uniwersalnego, oraz określićjakośćposzczególnych geofizycznych funkcji pobudzenia wyznaczanych w różnych światowych ośrodkach obliczeniowych.

37 EOPCPPP strona www w USNO

38 EOPCPPP strona www w CBK PAN

39 EOPCPPP (Oct 21 Dec 211) Mean absolute errors (MAE) and standard deviations (SD) computed by different participants of the project. Ensemble prediction (red).

40 Analiza zmian współrzędnych x, y bieguna ziemskiego oraz ich prognozowania metodą LS+AR

41 DATA x, y data from the IERS: EOPC4_IAU2.62-now ( ), t = 1 day, Equatorial components of atmospheric angular momentum from NCEP/NCAR, aam.ncep.reanalysis.* ( ) t =.25 day, ftp://ftp.aer.com/pub/anon_collaborations/sba/, Equatorial components of ocean angular momentum: c2171.oam (Jan Mar. 22) t = 1 day, ECCO_kf8.oam (Jan Dec. 211), t = 1 day, Equatorial components of effective angular momentum function of the hydrology obtained by numerical integration of water storage data from NCEP: water_ncep_1979.dat, water_ncep_198.dat,, water_ncep_21.dat, t = 1 day, ftp://ftp.csr.utexas.edu/pub/ggfc/water/ncep.

42 IERS 8C4 x, y pole coordinates data mas y x

43 Zastosowanie analizy falkowejdo analiz zmian x,yoraz ich geofizycznego pobudzenia Obecnie analiza falkowaumożliwia badanie szeregów czasowych x,ybieguna ziemskiego zarówno w czasie jak i częstotliwości poprzez wyznaczenie współczynników transformaty falkowej Znając współczynniki transformaty falkowej można wyznaczyć dla zespolonego szeregu czasowego x iy -zmienne w czasie amplitudy i fazy wybranych oscylacji, widma mocy, polaryzacje, -korelacje w funkcji częstotliwości (tzw. semblancje) pomiędzy współrzędnymi x, y bieguna a współrzędnymi modelowymi wyznaczonymi z funkcji pobudzenia ośrodków ciekłych Stosując technikęfalkowąmożna także dokonaćdekompozycji zespolonego szeregu czasowego na składowe częstotliwościowe i badaćich wpływ na błędy prognozowania tych szeregów

44 Pole coordinates spectra 1.4E+1 1.2E+1 1.E+1 8.E+9 6.E+9 4.E+9 2.E+9 Morlet Wavelet spectra.e period (days) 3E+7 Morlet Wavelet spectra 2E+7 1E+7 E period (days) The Morlet wavelet spectra of x,y IERS 8C4 pole coordinates data computed for different σ parameter values. Time span of data:

45 The module of x - iy pole coordinates data computed by the Morlet Wavelet Transform period (years) arcsec years

46 Amplitudes and phases of the most energetic oscillations in x, y pole coordinates data Amplitudes arcsec Chandler Annual Phases years 24 o years Semi-annual bold line prograde thin line - retrograde Chandler Annual Semi-annual

47 x, y pole coordinates model data computed from fluid excitation functions Differential equation of polar motion: i σ ch m& ( t) + m( t) = χ( t) m( t) = x( t) iy( t) χ ( t) = χ ( t) + iχ ( t) 1 2 σ = 2π i Q 1 + ch T ch 2 - model pole coordinates - equatorial excitation functions corresponding to AAM, OAM, AAM+OAM and AAM+OAM+HAM excitation functions - complex-valued frequency, where T ch = 433 days and Q = 17 Approximate solution of this equation in discrete time moments can be obtained using the trapezoidal rule of numerical integration: σ t m( t + t) = m( t) exp iσ t i ch χ( t + t) + χ( t) exp iσ t ch 2 ch

48 IERS, AAM, AAM+OAM, OAM arcsec.4 x y MJD The IERS x, y pole coordinates and the x, y pole coordinates model data computed from fluid excitation functions

49 The wavelet transform coefficients of complex-valued signal defined: where WAVELET TRANSFORM COEFFICIENTS 1 Xˆ ( b, a) = a n a, b=,1,..., n 1 n / 2 ν = n / 2+ 1 x(t) ( ( x( ν ) ϕ ( a2πν / n)exp( i2πbν / n) - dilation and translation parameters x ( (ν ) ν = n/ 2+ 1,..., n/2 1, n/ 2 - Discrete Fourier Transforms (DFT) of x(t) time series ϕ ( (ω) - Continuous Fourier Transform (CFT) of the modified Morlet wavelet function given by the following time domain formula (Schmitz-Hübsch, and Schuh 1999): ϕ ( t) = 1 exp( i2π t) [ exp( t2 /2 σ 2 ) 2 exp( t2 / σ 2 )exp( 4π 2σ 2 /4) ] 2πσ

50 WAVELET TRANSFORM SPECTRUM AND POLARISATION SPECTRUM: m m = + o Sˆ xx ( t, a) Xˆ ( t + b, a) b= m o 2, m - positive integer, ˆ ( t, a) Sˆ ( t, a) POLARISATION: p xx ( t, a) = xx xx, Sˆ ( t, a) Sˆ xx + yy( t, a) Sˆ retrograde prograde pˆ xx( t, a) = 1 1 < pˆ xx ( t, a) < < pˆ xx ( t, a) < 1 pˆ xx ( t, a) = 1 circular elliptic the shape of ellipse degenerates to a line pˆ xx ( b, a) = circular

51 t =,1,..., n 1, time series is defined for < m < n 1 as: where ˆ φ xy r =1,3,5..., between x (t) and y(t) ˆ ϑr ˆ xy( t, a) = ˆ κxy( t, a) cosr( φxy( t, a)), t = mo + m/2, m =,1,..., n 1 m, ˆ κxy( t, a) = ( t, a) = arg WAVELET TRANSFORM SEMBLANCE The spectro-temporal semblance of the order 1 m b = m Sˆ xx mo + m o + 1 Sˆ o Sˆ ( t, a) Yˆ( t + b, a) yy xy ( t, a) ( t, a) Sˆ yy ( t, a) mo m Sˆ xy ( t, a) Xˆ ( t + b, a) Yˆ( t + b, a) / m Yˆ( b, a) = m m = + b= m o = + b= mo+ 1 a 1 n n / 2 ν = n / 2+ 1 [ Xˆ ( b, a) Yˆ( b, a)]/ Xˆ ( b, a) Yˆ( b, a) 2, - spectro-temporal coherence, - time-frequency wavelet spectrum of ( ( y( ν ) ϕ ( a2πν / n) exp( i2πbν / n) o, - spectro-temporal phase synchronization, y(t) - time-frequency wavelet cross-spectrum y ( (ν ) - DFT of y(t)

52 period (days) x,y IERS x, y AAM+OAM x, y AAM x, y OAM The Morlet wavelet spectra of x,y IERS 8C4 pole coordinates data and the model pole coordinates data computed from fluid excitation functions,

53 polarization: x - iy 4 2 IERS period (days) AAM+OAM 1 AAM.5 prograde 4 2 OAM retrograde years The Morlet wavelet polarization function of x-iy IERS pole coordinates data and x,y model pole coordinates data computed from fluid excitation functions.

54 IERS AAM OAM AAM+OAM period (days) The mean ( ) Morlet wavelet polarization functions of IERS x-iy pole coordinates data and x-iy pole coordinates model data computed from fluid excitation functions (AAM, OAM, AAM+OAM).

55 semblance (order 1) 4 2 chi/psi IERS, AAM 1.5 Period (days) chi/psi IERS, OAM chi/psi IERS, AAM+OAM years The Morlet wavelet semblance (order=1) between x-iy IERS pole coordinates data and the model pole coordinates data computed from fluid excitation functions.

56 period (days) semblance () semblance (1) period (days) geod, AAM+OAM+HAM geod, AAM+OAM geod, AAM geod, AAM+OAM+HAM geod, AAM+OAM geod, AAM semblance (3) period (days) geod, AAM+OAM+HAM geod, AAM+OAM geod, AAM The Morlet wavelet semblance (order=,1,3) between x-iy IERS pole coordinates data and pole coordinates model data computed from fluid excitation functions (AAM, AAM+OAM and AAM+OAM+HAM).

57 Prediction of x, y pole coordinates data by the LS+AR method x, y x, y LS model (Chandler circle + annual and semiannual ellipses + linear trend) x, y LS residuals LS extrapolation AR prediction x, y LS extrapolation Prediction of x, y LS residuals Prediction of x, y

58 Autoregressive method (AR) p n t z a z a z e e E t p p t p t t t p = = = + +,..., 1,2, ˆ... ˆ ˆ }, ˆ { ˆ σ } { ˆ k t t k z z E c + = Autoregressive order: min 1 1 ˆ ) ( 2 = + + = p n p n p AIC p σ =. ˆ ˆ. ˆ 1 ˆ. ˆ ˆ.... ˆ. ˆ ˆ ˆ. ˆ ˆ p p o p p p o p o a a c c c c c c c c c σ Autoregressive coefficients: are computed from autocovariance estimate : t t t p n p n n n iy x z where z a z a a z z + = = ˆ... ˆ ˆ ˆ p r a r,..., 1,2, ˆ =

59 Błędy prognoz x, y wyznaczonych metodami LS ils+ar (różna liczba harmonik w modelu LS) 1 LS x (434,365,182) 1 y (434,365,182,122,91,73) 1 arcsec.1 days in the future LS+AR 5 (434,365,182) (434,365,182,122,91,73) YEARS YEARS

60 Mean prediction errors of x (thin line), y (dashed line) pole coordinates data computed by the LS and LS+AR methods in arcsec LS (6yr) LS (4yr) LS (1yr) LS (4yr) + AR (85d) LS (1yr) + AR (85d) days in the future

61 arcsec x - 3 day prediction differences IERS AAM AAM+OAM y - 3 day prediction differences IERS AAM AAM+OAM arcsec x - 6 day prediction differences IERS AAM AAM+OAM y - 6 day prediction differences IERS AAM AAM+OAM Differences between IERS pole coordinates or model pole coordinates data computed from fluid (AAM, AAM+OAM) excitation functions and their predictions for 3 and 6 days in the future

62 days in the future years x IERS AAM+OAM AAM OAM Differences between x IERS pole coordinates or model pole coordinates data computed from fluid excitation functions and their predictions up to 1-year in the future

63 days in the future years y IERS AAM+OAM.1 AAM.5 OAM Differences between x IERS pole coordinates or pole coordinates model data computed from fluid excitation functions and their predictions up to 1-year in the future

64 arcsec.4.3 x IERS AAM+OAM.2 OAM AAM arcsec.4 days in the future.3 y IERS AAM+OAM.2 OAM AAM days in the future Mean prediction errors of x,y IERS pole coordinates and model pole coordinates data computed from fluid excitation functions (AAM, OAM, AAM+OAM)

65 DISCRETE WAVELET TRANSFORM BAND PASS FILTER The DWT j-th frequency component of the complex valued signal x(t) is given by: 2 j 1 1 ( j, k j, k k= 2 j 1 x j t) = S ϕ ( t) for t = 1,,..., n 1, j = j, j + 1,..., p 1, n= S j n = 1 t= x( t) ϕ ( t), k j, k - the DWT coefficients, ϕ ( t) = n2 j/ 2 ϕ ( t n/2 2 jkn) j, k j j p 2 p 1 - discrete Shannon wavelets. For fixed lowest frequency index and time index p 2, Signal reconstruction: x ( t) = x( t) j j= j j j j k = 2, 2 + 1,...,2 1 j sin[2 ϕ ( t) = exp[ ( /2)/ ] ( t n/2)/ n] n iπ t n n π, sin[ π ( t n/2)/ ] j n ϕ j ( n/2) = 2 / n j + 1 For higher frequency index j = j +, j + 2,..., p 1 and time index k = 2 j 1, 2 j 1 + 1,...,2 j sin[2 j ( ) 1 exp[ ( /2)/ ] ( t n/2)/ n](2cos[2 j ϕ ( t n/2)/ n] 1) j t = n iπ t n n π π, sin[ π( t n/2)/ n] ϕ n j j ( /2) = 2 / n

66 The frequency components of x (black), y (blue) pole coordinatesdata computed by the Shannon wavelet decomposition arcsec longer period Ch+An Sa shorter period

67 The LS+AR prediction errors of IERS x, y pole coordinates data and of x, y pole coordinates model data computed by summing the chosen DWTBPF components x (IERS) y (IERS) x (Ch + An + longer period) y (Ch + An + longer period) days in the future arcsec y (Ch + An + shorter period) x (Ch + An + shorter period) x (Ch + An + Sa) y (Ch + An + Sa) x (Ch + An) y (Ch + An) YEARS YEARS

68 The mean LS+AR prediction errors of IERS x, y pole coordinates data (black), and of x, y pole coordinates model data computed by summing the chosen DWTBPF components arcsec.3 x arcsec.3 y IERS Ch + An + shorter period Ch + An + longer period Ch + An. t days in the future days in the future

69 The mean LS+AR prediction errors of IERS x, y pole coordinates data (black), and of x, y pole coordinates model data computed from AAM+OAM (red) excitation functions as well as by summing the DWTBPF components corresponding to Chandler, annual and shorter period oscillations (green) arcsec.3 x arcsec IERS AAM+OAM.3 y Ch + An + shorter period days in the future days in the future

70 The mean LS+AR prediction errors of IERS x, y pole coordinates data (black), and of x, y pole coordinates model data computed from AAM+OAM (red) and AAM+OAM+HAM (purple) excitation functions arcsec.3 x arcsec IERS AAM+OAM.3 y AAM+OAM+HAM days in the future days in the future

71 Morlet wavelet spectrum of x-iy IERS prediction differences days in the future retrograde period (days) prograde period (days) The Morlet wavelet spectra of prediction differences for prediction lengths 1-12 days computed for the IERS x, y pole coordinates

72 days in the future Morlet wavelet spectrum of x-iy prediction differences retrograde prograde GEOD 8 4 AAM+OAM AAM OAM period (days) period (days) The Morlet wavelet spectra of prediction differences for the IERS x, y pole coordinates and the x, y pole coordinates model data computed from fluid excitation functions (AAM, OAM, AAM+OAM)

73 Skewness(SKE) skośność jest miarą niesymetryczności rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej rzeczywistej. Ujemna skośność oznacza, że lewy ogon rozkładu jest dłuższy niż prawy i liczba ujemnych wartości zmiennej losowej jest większa niż dodatnich wartości. Jeżeli rozkład prawdopodobieństwa jest symetryczny wówczasskośność jest równa zero. SKE i = E x pred i, j x obs SD i µ i, j 3 = 1 n 1 n n pred obs 3 ( x x i i j i j ) 1, µ =, µ 3 = 3/ 2 3 n SD pred obs 2 i ( x x i i j i j ) 1, µ =,, i = 1,2,..., M µ 3 SDi E - third moment about the mean - standard deviation error - the expectation operator.

74 Kurtosis(CUR) 3 3 ) ( 1 ) ( ,, 1 4,, 4,, = = = = = i n i j i obs pred j i n i j i obs pred j i i j i obs pred j i i SD x x n x x n SD x x E KUR µ µ µ µ µ 4 Kurtoza - (Gr.κυρτός, ang. bulging) jest miarą wybrzuszenia rozkładu prawdopodobieństwa rzeczywistej zmiennej losowej. Przewaga małych wartości zmiennych losowych powoduje wyostrzenie rozkładu, natomiast przewaga błędów grubych powoduje spłaszczenie rozkładu. Dla rozkładu normalnego kuroza=. - fourth moment about the mean i SD - standard deviation error - the expectation operator. E

75 6 SKE x IERS AAM+OAM AAM OAM days in the future 6 SKE y days in the future 3 KUR x KUR y days in the future days in the future Skewness and kurtosis of prediction differences for prediction lengths 1-12 days computed for the IERS x, y pole coordinates and x, y pole coordinates model data computed from fluid excitation functions (AAM, OAM, AAM+OAM)

76 Wnioski Dokładnośćprognoz danych EOP zależy od momentów czasu, w którym rozpoczynamy prognozowanie ze względu na występujące w nich zmiany nieregularne, zmienne w czasie amplitudy i fazy energetycznych oscylacji oraz szerokopasmowy charakter tych oscylacji. Kombinacja metod najmniejszych kwadratów i autoregresjils+ardostarcza obecnie prognoz współrzędnych x,y bieguna ziemskiego o najwyższej dokładności. Średni błąd prognozy kombinowanej współrzędnych x, y bieguna ziemskiego podczas kampanii EOPCPP (w latach 25-28) byłmniejszy niżbłąd wyznaczony jednątechnikąprognozowania, jednak wniosek ten nie potwierdza sięw przypadku nowej kampanii EOPCPPP (rozpoczętej w 21r). Krótkoterminowe błędy prognoz współrzędnych bieguna ziemskiego spowodowane sąszerokopasmowymi zmianami krótkookresowymi atmosferycznej i oceanicznej funkcji pobudzenia, a także błędami wynikającymi z braku dokładnego zamodelowania oscylacji rocznej i Chandlera, których amplitudy i fazy zmieniająsięw czasie. Wpływ atmosferycznej lub oceanicznej funkcji pobudzenia na błąd krótkoterminowych prognoz współrzędnych bieguna ziemskiego jest tego samego rzędu i stanowi około 6% całkowitego średniego błędu prognozy współrzędnych x, y bieguna ziemskiego, natomiast wpływ łącznej atmosferycznooceanicznej funkcji pobudzenia stanowi około 8-9% całkowitego błędu prognozy tych współrzędnych. Wpływ hydrologicznej funkcji pobudzenia na wzrost błędu prognozy współrzędnych x, y bieguna ziemskiego jest zaniedbywalny.