Przekształcenia afiniczne

Transkrypt

1 Laboratorum Graf Komputerowe Pretałcena afncne Wprowaene Tranformaca afncna et pretałcenem waemne enonacnm prote w protą płacn w płacnę pretren w pretreń. Pretałcene to achowue równoległość ln ne achowue ena równośc ątów ora ługośc ocnów. Pretałcene afncne płacn achowue toune ługośc ocnów równoległch a pretałcene afncne pretren achowue toune pól fgur leżącch na płacnach równoległch. Tranformace afncne obemuą w cególnośc ometre np. preunęce równoległe obrót metrę oową metrę płacnową enołanośc c pownowactwa oowe.. Pretałcena puntów na płacźne. Wprowaene W te cęśc ntruc amem ę pretałcenam na płacźne bęą na ntereował tranformace obetów grafcnch. Nacęśce tae obet ą opwane borem wróżnonch puntów latego omawane tranformace bęą otcł poencch puntów a ne np. równań algebracnch efnuącch rwe. Perwm omówonm pretałcenem bęe preunęce tranlaca o an wetor ]. Obraem puntu P w tm pretałcenu et punt P o wpółręnch: Potawowm pretałcenem et taże alowane ge ora ą wpółcnnam alowana. Obraem puntu P w tm pretałcenu et punt P o wpółręnch: Inną potawową tranformacą et obrót puntu woół pocątu ułau o an ąt oatn ąt et erowan precwne o ruchu waówe egara. Obraem puntu P po obroce o an ąt woół pocątu ułau et punt P o wpółręnch:

2 co n n co Jeśl chcem wonać obrót ne woół pocątu ułau lec woół owolnego puntu to tae pretałcene możem łożć poprench. Dołane wtarc naperw preunąć punt P o wetor ] obrócć punt P woół pocątu ułau a natępne wonać preunęce o wetor ]. Już tego protego prłau wać że błob wgone apwać w onenowane forme wn łożena pretałceń amat wtch cnnów. Narucaącm ę rowąanem et ap macerow. Kłopot prawa ene tranlaca. Ne a ę e pretawć w forme mnożena wetora pre macer eśl wpółręne puntu tratuem w naturaln poób ao łaowe wetora wuwmarowego. Możem ena preść o wpółręnch enoronch uważaąc punt R a element pretren R 3 leżące w płacźne a węc o trech wpółręnch. W ale cęśc ntruc wte pretałcena puntów na płacźne bęą otcł wpółręnch enoronch w tam poeścu wte pretałcena można apać w potac mnożeń macer ułatwa to nacne łaane pretałceń e obą.. Preunęce tranlaca Zapem macerowm preunęca we wpółręnch enoronch bęe:.3 Salowane Zapem macerowm alowana we wpółręnch enoronch bęe:.4 Obrót o ąt woół pocątu ułau wpółręnch Zapem macerowm obrotu woół pocątu ułau o an ąt oatn ąt et erowan precwne o ruchu waówe egara we wpółręnch enoronch bęe: co n n co

3 .5 Pochlane Zap macerow pochlena włuż o X wraża ę natępuąco: a Zap macerow pochlena włuż o Y wraża ę natępuąco: b ge a b ą wpółcnnam pochlena..6 Jenołaność Prpomnm że enołanoścą o śrou S al nawam pretałcene płacn w tórm obraem puntu P et ta punt P że SP SP. Zatem w notac macerowe można apać: Dla pretałcene tae et metrą wglęem puntu S..7 Pownowactwo protoątne wglęem prote Nech oą pownowactwa bęe prota o równanu a b c toune pownowactwa nech wno. Punt P oworowuem węc w ta punt P że QP QP ge Q et rutem protoątnm puntu P na oś pownowactwa a b c. W notac macerowe tae pretałcene można apać: wa wab wab wb ge w / a b wac wbc Dla pownowactwo protoątne et metrą wglęem prote o równanu a b c..8 Słaane pretałceń - obrót o ąt woół owolnego puntu Wte omówone powże pretałcena potawowe mogą bć owolne e obą łaane. Wróćm tera o obrotu o ąt woół owolnego puntu. Zgone 3

4 4 poprenm opem punt P otane poan tranlac o wetor ] obrotow woół o ąt preunęcu o ]. A atem co n n co Należ auważć ż w tam ape wte pretałcena muą bć apane w owrotne olenośc. Mnożene macer obwa ę awe o tron lewe o prawe oleność taa et obowąowa gż mnożene macer ne et premenne.

5 5. Pretałcena puntów w pretren R 3. Wprowaene Do opu obetów trówmarowch bęem nacęśce użwal ułau arteańego leworętnego rune. lutrue ae ą wrot o. R... Uła leworętn wpółręnch arteańch Preunęce alowane obrot w pretren R 3 ą analogcne o opowench pretałceń na płacźne. Dla umożlwena enoltego apu macer tch tranformac taże tera bęem poługwal ę wpółręnm enoronm puntów.. Preunęce tranlaca Preunęce o wetor ] puntu P ae punt P o wpółręnch: W notac macerowe możem apać to pretałcene równanem:.3 Salowane Salowane efnue ę woram:

6 6 W notac macerowe możem apać to pretałcene równanem:.4 Obrót Omówene obrotów woół o ułau należ ropocąć o oreślena ae ą wrot ątów obrotu. Prpomnm że a potawow uła wpółręnch pręlśm leworętn uła wpółręnch arteańch. Doatn wrot ąta obrotu woół ane o to wrot precwn o erunu ruchu waówe egara g patrm na uła wpółręnch w ten poób że oś woół tóre wonuem obrót et erowana w głąb erunu patrena. Zwrot ąta obrotu woół o naue ę na runu.. R... Zwrot ąta obrotu woół o. Obraem puntu P po obroce o ąt woół o et punt P ge: co n n co cl macerowo: co n n co Obrót woół o X Obracaąc punt P o ąt woół o otaem punt P o wpółręnch:

7 7 n co co n cl macerowo: co n n co Obrót woół o Y Wrece pr obroce o ąt woół o punt P et pretałcan w P o wpółręnch: co n n co cl macerowo: co n n co Obrót woół o Z Wortane wpółręnch enoronch ora macer pretałceń et eną meto tóra realue obrot woół ane o. Inna metoą pretałceń puntów tóra realue to amo aane et wortane waternonów. Dołane to aganene et opane w roale trecm nnee ntruc..5 Pochlane Zap macerow pochlena na płacnę wraża ę natępuąco: b a Zap macerow pochlena na płacnę wraża ę natępuąco: b a

8 Zap macerow pochlena na płacnę wraża ę natępuąco: a b ge a b ą wpółcnnam pochlena..6 Jenołaność Jenołanoścą o śrou S al nawam pretałcene pretren w tórm obraem puntu P et ta punt P że SP SP. Zatem w notac macerowe można apać: Dla pretałcene tae et metrą wglęem puntu S..7 Pownowactwo protoątne wglęem prote Scególnm prpaem pownowactwa protoątnego et metra oowa wglęem prote. Prota ta oreślona et w pretren trówmarowe popre precęce wóch płacn P Q tach e P et protopałe o Q. Taa metra oowa w pretren et łożenem wóch metr płacnowch S P ora S Q..8 Pownowactwo protoątne wglęem płacn Nech płacną pownowactwa bęe płacna o równanu a b c toune pownowactwa nech wno. Punt P oworowuem węc w ta punt P że QP QP ge Q et rutem protoątnm puntu P na płacnę pownowactwa a b c. W notac macerowe tae pretałcene można apać: wa wab wac wab wb wbc wac wbc wc ge w / a b c wa wb wc Dla pownowactwo protoątne wglęem płacn et metrą wglęem płacn o równanu a b c..9 Słaane pretałceń Wte omówone powże tranformace potawowe mogą bć owolne e obą łaane w pretren R 3 analogcne o poobu łaana pretałceń w pretren R. 8

9 9 3. Kwaternon Kwaternon orł rlan matemat atronom f teoretcn Sr Wllam Rowan Hamlton Hamlton bł profeorem retorem oberwatorum atronomcnego unwertetu w Dublne cłonem Irlane Aaem Nau ora autorem welu prac en algebr rachunu wetorowego rachunu waracnego teor mechan opt. 3. Potać ogólna Kwaternon tanową uogólnene lcb epolonch. Każ waternon można apać w potac: 3 ] ] R v R v R R q ge enot uroone pełnaą natępuąc uła równań: g wpółcnn ą równe wówca waternon należ o boru lcb epolonch. 3. Operace artmetcne Potawowe operace artmetcne na waternonach wonane ą ta amo a operace na welomanach ocwśce achowanem reguł mnożena enote uroonch. 3.. Doawane q q 3.. Oemowane q q 3..3 Mnożene q q

10 3..4 Sprężene Operace prężena waternonu efnue natępuąc wór: q* ]* ] 3..5 Normalaca Operacę normalac waternonu q ] operaca ta et analogcna o normalac wetora preprowaa ę w natępuąc poób:. Należ oblcć ługość waternonu e woru: q. Wpółcnn waternonu normalowanego q ] maą potać: / q / q / q / q n n n n n n n n n Normalaca waternonu powoue pretałcene go o waternonu o ługośc równe. 3.3 Interpretaca geometrcna Kwaternon można taże pretawać ao umę cęśc recwte ora pewnego wetora v oreślonego w trówmarowe pretren uroone. q v ] 3.4 Wortane waternonów w grafce omputerowe Kwaternon wortue ę w grafce omputerowe główne ao obet matematcne powalaące oonać tranformac wpółręnch anego puntu tóra opowaa obrotow woół owolne o prechoące pre śroe ułau wpółręnch. Kwaternon tm różną ę o macer preentowanch w roale rugm że apuą obrót ao ąt ora wetor woół tórego obrót natępue. Otrmuem ę temu naturaln ap powalaąc w ntucn poób roumeć w a poób punt ta naprawę et tranformowan. Pr wortanu trech macer obrotów woół o X Y ora Z tóre po opowenm łożenu taże mogą repreentować obrót woół owolne o ntucne roumene tranformac et o wele trunee. Z tch powoów waternon tał ę popularne w grafce omputerowe. Ponże pretawon et algortm tór powala wortać waternon w celu oblcena wpółręnch puntu P obróconego o an ąt woół o p p p wnacone pre wetor S ]. Doatn wrot ąta obrotu to wrot precwn o S S S erunu ruchu waówe egara g patrm na uła wpółręnch w ten poób że oś woół tóre wonuem obrót et erowana w głąb erunu patrena.

11 . Maąc an punt P ora ąt obrotu woół o wnacone pre p p p an wetor S ] można prtąpć o wlcena nowch wpółręnch S S S puntu P.. Należ wlcć wpółręne normalowane wetora obrotu S poób wlcena tch wpółręnch poan otał w roale 3..5 nowe wpółręne bęą opane ao wetor A ] A A A 3. Natępne należ wnacć wpółcnn waternonu obrotu q ] na potawe woru: co / A A A n / n / n / W tm momence waternon ten enonacne efnue obrót o ąt woół o wnacone pre wetor S. 4. Wlcć uane wpółręne można to robć w woa poób: a. wnacć wpółręne ao wmnożene pre ebe trech waternonów w ] q p q * ge q et wlconm wceśne w w w waternonem obrotu p ] a q* et waternonem prężonm p p p o q poób wlcena waternonu prężonego poan otał w roale W ten poób wpółcnn w w w otrmanego waternonu ą wpółręnm uanego puntu. b. wnacć wpółręne ao wmnożene pre ebe macer M wnacone na potawe woru w ] q p q * pre macer puntu P apaną we wpółręnch enoronch. w w w W W W W M P P P P W M P W ten poób element macer W puntu. ą wpółręnm uanego W W W

12 DODATEK : Pretałcena ułau wpółręnch Te ame pretałcena tórm poawalśm punt na płacźne możem atoować o ułau wpółręnch. W tam prpau punt achowuą we położena natomat mena ę poób ch opu a węc wpółręne. Pr preunęcu tranlac ułau wpółręnch o wetor ] wpółręne puntu P w ułae perwotnm preunętm bęą pełnał ależnośc: Doonuąc obrotu ułau wpółręnch woół ego pocątu otrmam uła o tm amm pocątu nowch oach tworącch e tarm oam an ąt. Dla tach warunów otrmuem natępuące wą mę tarm wpółręnm puntu P nowm : co n n co DODATEK : Repreentaca eletowa brł Omawana w te cęśc repreentaca otc bregu brł ma herarchcną truturę. Powerchne brł opuem umą płach weloątnch ścan. Załaam że ścan precnaą ę ene we wpólnch rawęach lub werchołach. Każa ścana et oreślona borem woch rawę boów wego weloąta a te ą efnowane param werchołów. Klacna metoa pamętana tach anch polega na utworenu lu lt. Tablca werchołów TW awera wpółręne tch puntów. W tablc rawę TK apue ę param numer werchołów ońców rawę. Wrece twor ę ltę ścan e elementam ą lt ońcone cąg numerów rawę tanowącch bo weloątnch ścan. W pratce nerao obet weloścenn łaa ę tęc ścan rawę werchołów. Baro totne tae ę wte baane poprawnośc ta uże lcb anch. Neomplowan tet polega na prawenu c aż werchołów wtępue w tablc rawę co namne wurotne bo pownen bć ońcem prnamne wóch wchoącch nego ścan c aża rawęź naue ę w lśce ścan tp. Potwna opoweź ocwśce ne gwarantue że w ope ne ma nnch błęów. Można próbować e wrć ortaąc twerena Eulera. Mów ono że w ażm włm weloścane mę lcbą ścan lcbą rawę lcbą w werchołów acho wąe w

13 3 DODATEK 3: Zbór wtch macer pretałceń w R Macer la preunęca tranlac: Macer la alowana: Macere pochlana: a Pochlene włuż o X b Pochlene włuż o Y Macer la obrotu: co n n co Macer la enołanośc: Macer la pownowactwa protoątnego wglęem prote: wbc wb wab wac wab wa

14 4 DODATEK 4: Zbór wtch macer pretałceń w R 3 Macer la preunęca tranlac: Macer la alowana: Macere obrotów: co n n co Obrót woół o X co n n co Obrót woół o Y co n n co Obrót woół o Z Macere pochlana: b a Pochlene na płacnę b a Pochlene na płacnę

15 5 b a Pochlene na płacnę Macer la enołanośc: Macer la pownowactwa protoątnego wglęem płacn: wc wc wbc wac wb wbc wb wab wa wac wab wa