Interferencyjny pomiar krzywizny soczewki przy pomocy pierścieni Newtona

Transkrypt

1 Interferencyjny pomiar krzywizny soczewki przy pomocy pierścieni Newtona Jakub Orłowski 6 listopada 2012 Streszczenie W doświadczeniu dokonano pomiaru krzywizny soczewki płasko-wypukłej z wykorzystaniem pierścieni Newtona dla światła sodowego i lasera helowo-neonowego, umieszczając pomiędzy soczewką a płytką powietrze lub wodę. Z obliczeń uzyskano trzy różne wyniki: (5637,6±37.6) mm, (5550,33±39,73) mm, (4988,6±74,1) mm. Na podstawie testu 3σ nie można uznać tych wartości za zgodne, co najprawdopodobniej spowodowane zostało niedokładnością aparatury pomiarowej. 1. Model teoretyczny Pierścienie Newtona to współśrodkowe pierścienie interferencyjne, powstające gdy na układ złożony z soczewki płasko-wypukłej i płytki płasko-równoległej pada pod małym kątem światło. Na granicy ośrodków o różnych współczynnikach załamania światło ulega częściowemu odbiciu. W efekcie każdy promień padający na układ płytka-soczewka staje się źródłem kilku promieni odbitych. p o o r a k B A Rysunek 1: Schemat układu doświadczalnego. A - płytka płasko-równoległa, B - soczewka płaskowypukła, r - promień krzywizny soczewki, a k - promień czaszy kulistej, h - strzałka czaszy kulistej, p - promień padający, o - promień odbity Do interferencji zdolne jest tylko światło spójne - zgodne w fazie, amplitudzie i częstotliwości. Interferujące ze sobą promienie pochodzą z jednego źródła, więc mają spójną amplitudę i częstotli- 1

2 wość, natomiast za stałe przesunięcie fazowe odpowiada różnica dróg optycznych przybytych przez promienie. Ponieważ najsilniej interferują ze sobą promienie odbite od dolnej powierzchni soczewki i górnej powierzchni płytki, tę różnicę Λ można wyrazić zależnością Λ = 2hn + λ 2, (1) gdzie n to współczynnik załamania ośrodka, h to odległość pomiędzy soczewką i płytką (promień przebywa tę drogę dwukrotnie, stąd 2 we wzorze), a λ to częstotliwość fali - człon λ/2 pochodzi od zmiany fazy o π przy odbiciu od ośrodka o większym współczynniku załamania.[2] Ponieważ odległość h zmienia się wraz z odległością a od osi optycznej soczewki, zmienia się też obraz, dla światła monochromatycznego dając naprzemiennie występujące jasne i ciemne prążki. 1 Wzmocnienie interferencyjne (jasny prążek) uzyskujemy, gdy różnica faz natomiast osłabienie (ciemny prążek), gdy Λ = kλ, (2) Λ = (2k + 1)λ. (3) Promień czaszy kulistej a związany jest ze strzałką czaszy h zależnością a = 2rh h 2, (4) gdzie r to promień krzywizny soczewki. Ponieważ h r i h 2 2rh, można pominąć człon h 2 w równaniu (4). Ostatecznie, łącząc wzory (1), (3) i (4), otrzymujemy zalezność na promień k-tego ciemnego pierścienia interferencyjnego rkλ a k = n. (5) 2. Układ doświadczalny i metoda pomiaru Układ przedstawiony na rysunku 1 umieszczono pod odbiciowym mikroskopem optycznym, którego stolikiem można było przesuwać przy pomocy układu śrub mikrometrycznych. Następnie oświetlono układ światłem sodowym i umieszczono obraz interferencyjny pod obiektywem mikroskopu. Zafiksowano jedną ze śrub mikrometrycznych, po czym przy pomocy drugiej z nich naprowadzano znacznik wytrawiony na okularze mikroskopu na środek kolejnych ciemnych kręgów interferencyjnych i zapisywano wskazania śruby. Zarejestrowano wskazania śruby dla kolejnych dwudziestu prążków po prawej stronie od centrum oraz dla dwudziestu po jego lewej stronie. Identyczny pomiar powtórzono dla światła z lasera helowo-neonowego, rozproszonego przy pomocy dwóch kawałków kalki technicznej. W trzecim pomiarze wprowadzono pomiędzy soczewkę a płytkę odrobinę wody, o współczynniku załamania n = 1,33 i oświetlono układ ponownie światłem sodowym. Znacznik znajdujący się na obiektywie był grubszy od ciemnych prążków widocznych pod mikroskopem, dlatego ciężko było uzyskać dużą precyzję pomiaru. Aby oszacować niepewność położenia prążka (a tym samym niepewność pomiaru), zapisano wskazania śruby mikrometrycznej gdy ciemny prążek stykał się z lewą oraz prawą krawędzią znacznika. Pomiar wykonano dla pierwszego (najgrubszego) i ostatniego (najcieńszego) prążka, następnie uśredniono i podzielono przez dwa, ponieważ w doświadczeniu zapisywano wskazania śruby dla prążka znajdującego się na środku znacznika. Ponieważ dokładność pomiaru zależała też od wyraźności uzyskanego obrazu, powtórzono szacowanie dokładności pomiaru przy każdej serii pomiarów - obraz uzyskany ze światła laserowego był znacznie ciemniejszy i mniej wyraźny. 1 Dla światła białego uzyskany obraz to wielobarwne pierścienie - przykładem z życia jest obraz powstający na cienkiej warstwie oleju unoszącej się na wodzie.[3] 2

3 Tablica 1: Wyniki pomiarów dla pierścieni uzyskanych dla światła sodowego. Oznaczenia: k - numer ciemnego pierścienia, l - wskazanie śruby mikrometrycznej dla k-tego pierścienia po lewej stronie od centrum, p - wskazanie śruby po prawej stronie od centrum, d - średnica prążka policzona jako p l, a k - promień k-tego prążka (połowa średnicy). k l p d [mm] a k [mm] 1 20,52 22,57 2,05 1, ,51 23,54 4,03 2, ,83 24,13 5,30 2, ,32 24,64 6,32 3, ,90 25,08 7,18 3, ,52 25,46 7,94 3, ,15 25,81 8,66 4, ,84 26,14 9,30 4, ,53 26,43 9,90 4, ,23 26,73 10,50 5, ,96 27,02 11,06 5, ,71 27,27 11,56 5, ,46 27,51 12,05 6, ,21 27,75 12,54 6, ,01 27,99 12,98 6, ,76 28,20 13,44 6, ,56 28,41 13,85 6, ,35 28,62 14,27 7, ,15 28,81 14,66 7, ,95 29,03 15,08 7, Wyniki pomiarów W tablicy 1 zaprezentowano wyniki pomiarów i policzone na ich podstawie wartości promieni ciemnych prążków dla obrazu uzyskanego przez oświetlenie układu przedstawionego na rysunku 1 światłem sodowym. Długość fali λ Na = 589,3 nm [1], współczynnik załamania powietrza n = 1.[1] Niepewność pomiaru promienia wynosi 0,13 [mm]. Tablica 2 zawiera wyniki pomiarów dla światła z lasera helowo-neonowego. Długość fali λ He Ne = 632,8 nm [1], a współczynnik załamania powietrza n = 1. Niepewność pomiaru wynosi 0,15 [mm]. W tablicy 3 znajdują się długości promieni uzyskane dla światła sodowego po umieszczeniu pomiędzy soczewką a płytką cienkiej warstwy wody. Długość fali λ Na = 589,3 nm, współczynnik załamania wody n H2O = 1,333[2], a niepewność pomiaru wynosi 0,11 [mm]. 3

4 Tablica 2: Wyniki pomiarów dla pierścieni uzyskanych dla światła z lasera helowo-neonowego. Oznaczenia: k - numer ciemnego pierścienia, l - wskazanie śruby mikrometrycznej dla k-tego pierścienia po lewej stronie od centrum, p - wskazanie śruby po prawej stronie od centrum, d - średnica prążka policzona jako p l, a k - promień k-tego prążka (połowa średnicy). k l p d [mm] a k [mm] 1 30,30 27,99 2,31 1, ,28 26,97 4,31 2, ,97 26,37 5,60 2, ,46 25,82 6,64 3, ,88 25,44 7,44 3, ,33 24,97 8,36 4, ,69 24,66 9,03 4, ,01 24,33 9,68 4, ,33 23,98 10,35 5, ,65 23,69 10,96 5, ,90 23,41 11,49 5, ,17 23,14 12,03 6, ,42 22,88 12,54 6, ,68 22,64 13,04 6, ,91 22,41 13,50 6, ,13 22,16 13,97 6, ,36 21,95 14,41 7, ,57 21,73 14,84 7, ,77 21,53 15,24 7, ,98 21,32 15,66 7,830 Tablica 3: Wyniki pomiarów dla pierścieni uzyskanych dla światła sodowego po umieszczeniu warstwy wody pomiędzy płytką a soczewką. Oznaczenia: k - numer ciemnego pierścienia, l - wskazanie śruby mikrometrycznej dla k-tego pierścienia po lewej stronie od centrum, p - wskazanie śruby po prawej stronie od centrum, d - średnica prążka policzona jako p l, a k - promień k-tego prążka (połowa średnicy). k l p d [mm] a k [mm] 1 20,71 23,66 2,95 1, ,04 24,26 4,22 2, ,61 24,81 5,20 2, ,22 25,18 5,96 2, ,84 25,54 6,70 3, ,56 25,80 7,24 3, ,22 26,11 7,89 3, ,94 26,36 8,42 4, ,69 26,63 8,94 4, ,46 26,88 9,42 4, ,23 27,08 9,85 4, ,01 27,31 10,30 5, ,79 27,52 10,73 5, ,60 27,72 11,12 5, ,40 27,92 11,52 5,760 4

5 4. Analiza danych Ze wzoru (5) wynika, że promień k-tego prążka jest zależny liniowo od k. Można zatem metodą najmniejszych kwadratów dopasować współczynniki ā i b prostej a k = ā k + b, a następnie ze współczynnika ā, równego rλ ā = (6) n policzyć promień krzywizny soczewki r. Ponieważ zmienna k jest numerem prążka, czyli liczbą całkowitą, wartość k możemy poznać z dowolną dokładnością, dlatego możemy zastosować regresję zwyczajną, za zmienną niezależną przyjmując k, a za zależną a k. Współczynniki regresji liniowej możemy policzyć ze wzoru: [2] ā = nσx iy i Σx i Σy i nσx 2 i (Σx i) 2, (7) b = 1 n (Σy i āσx i ), (8) gdzie n to liczba pomiarów, x i to i-ta zmienna niezależna (w naszym przypadku k), y i to i-ta zmienna zależna (w naszym przypadku a k ). Ich niepewności można wyznaczyć ze wzoru: nu 2 y uā = nσx 2 i (Σx i) 2, (9) u b = uā Σx 2 i n, (10) gdzie u y to niepewność pomiaru zmiennej zależnej. Wyniki obliczeń: 1. Pomiar dla światła sodowego (λ = 589,3 nm) i warstwy powietrza (n = 1): ā = (1,822 ± 0,029) mm (rysunek 2), r = (5637,6 ± 37.6) mm. 2. Pomiar dla światła lasera He-Ne (λ = 632,8 nm) i warstwy powietrza (n = 1): ā = (1,874 ± 0,033) mm (rysunek 3), r = (5550,33 ± 39,73) mm. 3. Pomiar dla światła sodowego (λ = 589,3 nm) i warstwy wody (n = 1,333): ā = (1,485 ± 0,034) mm (rysunek 4), r = (4988,6 ± 74,1) mm. 5

6 Rysunek 2: Wykres zależności promienia promienia k-tego ciemnego prążka interferencyjnego od k dla światła sodowego i powietrza pomiędzy płytką a soczewką. Na osi poziomej odłożone jest k, natomiast na osi pionowej promień k-tego pierścienia ak. k 5 6

7 Rysunek 3: Wykres zależności promienia promienia k-tego ciemnego prążka interferencyjnego od k dla światła z lasera helowo-neonowego i powietrza pomiędzy płytką a soczewką. Na osi poziomej odłożone jest k, natomiast na osi pionowej promień k-tego pierścienia a k. k 5 7

8 Rysunek 4: Wykres zależności promienia promienia k-tego ciemnego prążka interferencyjnego od k dla światła sodowego i wody pomiędzy płytką a soczewką. Na osi poziomej odłożone jest k, natomiast na osi pionowej promień k-tego pierścienia a k. k 4 8

9 5. Dyskusja wyników Soczewka użyta w doświadczeniu bardzo przypomina płytkę płasko-równoległą. Sugerowało to duży promień krzywizny, co zostało potwierdzone przez obliczenia, na podstawie których można oszacować tę wielkość na około 5,5 m. Wartości promienia wynikające z danych zebranych w pomiarze pierwszym i drugim można uznać za zgodne na mocy testu 3σ. Natomiast wartość promienia obliczona na podstawie trzeciej serii pomiarów nie spełnia tego kryterium zgodności z żadnym z pozostałych wyników. Tę rozbieżność można tłumaczyć dużą niedokładnością przyrządu pomiarowego - marker na okularze był znacznie grubszy od powstających prążków, a na dodatek nie cały okular był przejrzysty - utrudniało to pomiar i bardzo możliwe, że mierzona była nie średnica pierścienia, a jakaś jego cięciwa. Wynik jest prawdopodobny, jednak jego dokładność jest za mała, aby móc go wykorzystać w praktyce. Aby poprawić ocenę promienia krzywizny soczewki, należałoby powtórzyć pomiar na w pełni sprawnym sprzęcie. Literatura [1] Instrukcja do ćwiczenia. [online] zad52.pdf [2] Henryk Szydłowski, Pracownia Fizyczna. PWN, Warszawa [3] The Encyclopedia of Science [online] Newtons_rings.html 9