1.1. Uzupełnij poniższą tabelę: i wynik(i)

Transkrypt

1 Zadanie 1. Krzysztof, Kamil Wiązka zadań Ciągi rekurencyjne Dana jest następująca funkcja rekurencyjna: funkcja wynik( i ) jeżeli i < 3 zwróć 1 i zakończ; w przeciwnym razie jeżeli i mod 2 = 0 zwróć wynik(i 3) + wynik(i 1) + 1 w przeciwnym razie zwróć wynik(i 1) mod 7 Uwaga: Operator mod oznacza resztę z dzielenia Uzupełnij poniższą tabelę: i wynik(i) Wykonaniem elementarnym nazywać będziemy wykonanie wynik(0), wynik(1) lub wynik(2). Natomiast złożonością elementarną wynik(i) nazywamy liczbę wykonań elementarnych będących efektem uruchomienia wynik(i). Złożoność elementarną wynik(i) oznaczamy przez E(i). Na przykład złożoność elementarna wynik(4) wynosi E(4) = 2, ponieważ wykonując wynik(4), wywołamy wynik(3) i wynik(1) (wykonanie elementarne), a z kolei przy wykonaniu wynik(3) wywołamy wynik(2) (drugie wykonanie elementarne). Uzupełnij poniższą tabelę: i E(i)

2 Okazuje się, że E(i) można opisać rekurencyjnym wyrażeniem, którego niekompletną postać podajemy poniżej. Uzupełnij brakujące miejsca tak, aby E(i) dawało poprawną złożoność elementarną wynik(i) dla każdego całkowitego nieujemnego i E(0) = E(1) = E(2) = 1 E(i) = E(... ) + E(... ) dla parzystego i > 2 E(i) = E(... ) dla nieparzystego i > 2 Naszym celem jest wyznaczenie największej liczby spośród wartości funkcji wynik(0), wynik(1),,wynik(1000) bez konieczności rekurencyjnego wyznaczania kolejnych wartości. Poniżej prezentujemy niekompletny algorytm realizujący to zadanie. W[0] 1 W[1] 1 W[2] 1 max_wart 1 dla i = 3, 4,, wykonuj jeżeli i mod 2 = 0 W[i]... w przeciwnym razie W[i]... jeżeli W[i] > max_wart... zwróć max_wart Uzupełnij brakujące miejsca w algorytmie tak, aby zwracał on największą liczbę spośród wynik(0), wynik(1),,wynik(1000). Zadanie 2. Marek, Nicole Wiązka zadań Ułamki dwójkowe W systemach pozycyjnych o podstawie innej niż 10 można zapisywać nie tylko liczby całkowite, ale również rzeczywiste z pewną dokładnością. Na przykład w systemie dwójkowym cyfry po przecinku odpowiadają kolejnym potęgom 1/2 (jednej drugiej). Cyfra 1 na pierwszym miejscu po przecinku odpowiada 1/2, na drugim miejscu 1/4, na trzecim 1/8 i tak dalej. Na przykład (0,101) 2 = 1/2 + 1/8 = 5/8 = 0, Podobnie jak w systemie dziesiętnym nie każda liczba daje się zapisać w ten sposób dokładnie na przykład liczba 1/3 nie ma skończonego rozwinięcia w systemie dwójkowym (ani też w dziesiętnym). Można jednak stosunkowo łatwo wyznaczyć zadaną liczbę początkowych cyfr po przecinku dla każdej liczby rzeczywistej. Następujący algorytm przyjmuje na wejściu liczbę rzeczywistą x należącą do przedziału [0, 1) oraz dodatnią liczbę całkowitą k i wypisuje k pierwszych cyfr liczby x w zapisie dwójkowym. Przeanalizuj algorytm i odpowiedz na podane pytania. x liczba rzeczywista, 0 x < 1, k liczba całkowita dodatnia. Wynik: zapis dwójkowy liczby x do k-tego miejsca po przecinku.

3 funkcja binarny(x, k) wypisz 0, y x dla i=1, 2,..., k wykonuj (*) jeżeli y 1/2 wypisz 1 w przeciwnym razie wypisz 0 y y * 2 jeżeli y 1 y y Podaj liczbę wypisaną przez algorytm dla x = 0.6, k = 5 oraz wartości zmiennej y przy każdorazowym wykonaniu wiersza oznaczonego (*). Kolejne wykonanie (*) Wartość zmiennej y Liczba wypisana przez algorytm: Podaj przykład liczby x, dla której po wykonaniu funkcji binarny(x,4) zmienna y ma wartość 0, a po wykonaniu funkcji binarny(x, 3) zmienna y nie jest równa W systemie trójkowym używa się cyfr 0, 1 i 2. Cyfra 1 na pierwszym miejscu po kropce oznacza 1/3, zaś 2 oznacza 2/3. Na drugim miejscu są to odpowiednio 1/9 i 2/9, na trzecim 1/27 i 2/27 i tak dalej, z kolejnymi potęgami trójki w mianownikach. Poniżej podany jest algorytm wypisujący dla zadanej liczby rzeczywistej x z przedziału [0,1) oraz liczby całkowitej dodatniej k pierwsze k cyfry zapisu x w systemie trójkowym. Uzupełnij luki tak, aby algorytm działał prawidłowo. funkcja trójkowy(x, k) wypisz 0, y x dla i = 1, 2,..., k wykonuj jeżeli y 2/3 wypisz 2 jeżeli... wypisz 1 jeżeli... wypisz 0 y = y * 3 jeżeli y 2

4 ... jeżeli y 1... Zadanie 3. Przemysław, Patrycja Wiązka zadań Ciekawe mnożenia Dana jest następująca funkcja rekurencyjna: x liczba całkowita, n dodatnia liczba całkowita. funkcja F(x, n) jeżeli n = 1 podaj wynik x i zakończ w przeciwnym razie jeżeli n mod 3 = 0 k F(x, n div 3) (*) podaj wynik k*k*k i zakończ w przeciwnym razie (**) podaj wynik x*f(x, n-1) i zakończ Uwaga: div jest operatorem dzielenia całkowitego Podaj wszystkie wywołania rekurencyjne funkcji F oraz obliczany po każdym wywołaniu wynik, jeśli na początku wywołamy F(2, 10). wywołanie F(2, 10) F( ; ) wynik 3.2. Uzupełnij tabelę o brakujące elementy:

5 x n wynik F(x, n) Uzupełnij tabelę, podając łączną liczbę mnożeń wykonanych w wierszach oznaczonych (*) i (**) po wywołaniu F dla podanych argumentów x i n: x n Liczba operacji mnożenia Podaj, która z poniższych funkcji określa liczbę wszystkich operacji mnożenia wykonywanych przez powyższy algorytm dla argumentu n będącego potęgą trójki (n = 3 m dla pewnego nieujemnego m): lmnozen n ndiv 2 lmnozen n = log 2n n = 2 log n lmnozen 3 lmnozen n = 1 + n Zadanie 4. Kamil D, Michał D Wiązka zadań Silniowy system pozycyjny Pojęcie silni dla liczb naturalnych większych od zera definiuje się następująco: Silniowy system pozycyjny to pozycyjny sposób zapisu liczb naturalnych, w którym mnożniki dla kolejnych pozycji są definiowane przez silnie kolejnych liczb naturalnych, tzn. W systemie silniowym współczynnik x i, który odpowiada mnożnikowi i!, spełnia zależność.

6 Zapis każdej liczby w silniowym systemie pozycyjnym jest jednoznaczny, tzn. każdą liczbę naturalną można zapisać tylko w jeden sposób i każdą liczbę naturalną można zapisać dokładnie w jeden sposób. Uwaga: W poniższych zadaniach będziemy mieć do czynienia tylko z takimi liczbami, dla których współczynniki spełniają zależność. Przykład 4.1. Uzupełnij tabelę. Zamień zapis liczby w systemie silniowym na jej zapis w systemie dziesiętnym. liczba w systemie silniowym liczba w systemie dziesiętnym 4.2. Podaj zapis w systemie silniowym największej liczby, jaką można w tym systemie zapisać na pięciu pozycjach Zamiana zapisu liczby w systemie dziesiętnym na zapis w systemie silniowym może przebiegać według następującego schematu: Szukamy największej liczby k, której silnia nie przekracza liczby x. Pierwsza jej cyfra to wynik dzielenia całkowitego x przez k!. Kolejne cyfry zapisu silniowego (zaczynając od cyfr najbardziej znaczących) otrzymujemy przez wyznaczanie wyników dzielenia liczby x przez (k 1)!, (k 2)!,..., 2!, 1!. Po wyznaczeniu cyfry x i, odpowiadającej współczynnikowi i!, zmniejszamy wartość x o liczbę odpowiadającą cyfrze x i, czyli x i i!. Oznacza to, że x przyjmuje wartość x mod k!. Przykład x k x div k! x mod k! Liczba dziesiętna 1548 w zapisie silniowym:

7 Wykonaj zamianę liczby 5489 z systemu dziesiętnego na silniowy zgodnie z opisanym powyżej algorytmem. Uzupełnij poniższą tabelkę oraz podaj zapis silniowy liczby x k x div k! x mod k! 5489 Liczba dziesiętna 5489 w zapisie silniowym: Poniżej przedstawiono algorytm z lukami, który zamienia zapis liczb z systemu dziesiętnego na system silniowy. Uzupełnij luki w tym algorytmie. Specyfikacja Wynik: x liczba całkowita dodatnia zapisana w systemie dziesiętnym, s napis reprezentujący liczbę x zapisaną w systemie silniowym. silnia 1 k 1 dopóki (silnia < x) wykonuj k k + 1 silnia silnia* k jeżeli... silnia silnia div k k k 1 s dopóki (k>0) wykonuj cyfra... s s tekst (cyfra) x... silnia... k k 1 Uwaga tekst (x) oznacza funkcję zamieniającą liczbę x na jej zapis tekstowy oznacza napis pusty u v oznacza sklejenie dwóch napisów: u oraz v

8 Zadanie 5. Karolina, Mateusz G Wiązka zadań Sortowanie przez wstawianie na dwa sposoby Sortowanie przez wstawianie polega na powtarzaniu operacji wstawiania elementu do już uporządkowanego ciągu. Aby znaleźć w uporządkowanym ciągu miejsce, w które należy wstawić nowy element, można stosować różne strategie. Poniższy algorytm znajduje to miejsce metodą wyszukiwania binarnego. Specyfikacja Wynik: n liczba naturalna oznaczająca długość ciągu, A[1..n] ciąg liczb całkowitych zapisanych w tablicy A[1..n] tablica liczb całkowitych, w której liczby zostały ustawione w porządku niemalejącym Algorytm dla j = n 1, n 2,, 1 wykonuj x A[j] p j k n + 1 dopóki k p > 1 wykonuj i (p + k) div 2 jeżeli x A[i] k i w przeciwnym razie p i dla i = j, j + 1,, p 1 wykonuj A[i] A[i + 1] A[p] x 5.1. Przeanalizuj działanie powyższego algorytmu dla ciągu 12, 4, 3, 10, 5, 11 o długości n = 6 i podaj, ile razy zostaną wykonane instrukcje k i i p i dla kolejnych wartości j zamieszczonych w tabeli Wartość j Liczba wykonań k i p i Uzupełnij luki w poniższym algorytmie sortowania przez wstawianie tak, aby znajdowanie miejsca na kolejny wstawiany element było realizowane metodą wyszukiwania liniowego.

9 Specyfikacja Wynik: n liczba naturalna oznaczająca długość ciągu, A[1..n] ciąg liczb całkowitych zapisanych w tablicy. A[1..n] tablica liczb całkowitych, w której liczby zostały ustawione w porządku niemalejącym. Algorytm: dla j = n 1, n 2,, 1 wykonuj x i. dopóki (i n) i (x > A[i]) wykonuj A[i 1] A[i] i i x 5.3. Porównaj dwa algorytmy sortowania przez wstawianie: taki, w którym miejsce dla wstawianego elementu jest znajdowane metodą wyszukiwania binarnego, i taki, w którym jest ono znajdowane metodą wyszukiwania liniowego. Zaznacz znakiem X w odpowiedniej kolumnie, które zdanie jest prawdziwe (P), a które jest fałszywe (F). Oba algorytmy dla ciągu 12, 4, 3, 10, 5, 11 wykonują P F jednakową liczbę porównań między elementami ciągu liczb. jednakową liczbę przesunięć elementów w tablicy. tyle samo powtórzeń pętli zewnętrznej w algorytmie. jednakową liczbę instrukcji podstawienia wartości do zmiennej x. Zadanie 6. Dominika. Michał H Wiązka zadań Od szczegółu do ogółu Rozważmy następujący algorytm: k liczba naturalna, A[1...2 k ] tablica liczb całkowitych. Algorytm 1: n 1 dla i=1,2,,k wykonuj n 2 n s 1 dopóki s<n wykonuj

10 j 1 dopóki j<n wykonuj (*) jeżeli A[j]>A[j+s] (**) zamień(a[j],a[j+s]) j j+2 s s 2 s zwróć A[1] Uwaga: Funkcja zamień(a[j],a[j+s]) zamienia miejscami wartości A[j] oraz A[j+s] Prześledź działanie algorytmu 1 dla podanych poniżej wartości k i początkowych zawartości tablicy A. W każdym wierszu poniższej tabeli wpisz końcową zawartość tablicy A. k Początkowa zawartość tablicy A[1...2 k ] Końcowa zawartość tablicy A[1...2 k ] 2 [4, 3, 1, 2] [1, 4, 3, 2] 2 [2, 3, 4, 1] 3 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] 3 [8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1] 3 [4, 5, 6, 1, 8, 3, 2, 4] 6.2. Wskaż, które z poniższych zdań są prawdziwe (P), a które fałszywe (F), wstawiając znak X w odpowiedniej kolumnie: P F Po zakończeniu działania algorytmu 1 komórka A[2 k ] zawiera największą z liczb A[1],,A[2 k ]. Po zakończeniu działania algorytmu 1 spełniona jest nierówność A[i] A[i+1] dla każdego i, takiego że 1 i 2 k. Po zakończeniu działania algorytmu 1 komórka A[1] zawiera najmniejszą z liczb A[1],,A[2 k ] Wskaż, które z poniższych zdań są prawdziwe (P), a które fałszywe (F), wstawiając znak X w odpowiedniej kolumnie. Przyjmij, że n=2 k oraz k>1: P F Instrukcja jeżeli w wierszu (*) jest wykonywana mniej niż 2n razy.

11 Instrukcja jeżeli w wierszu (*) jest wykonywana mniej niż n/2 razy. Możliwe jest dobranie takiej początkowej zawartości A[1..2 k ], że instrukcja zamiany z wiersza (**) nie zostanie wykonana ani razu. Możliwe jest dobranie takiej początkowej zawartości A[1..2 k ], że instrukcja zamiany z wiersza (**) zostanie wykonana co najmniej 2n 2 razy Rozważmy poniższy algorytm podobny do algorytmu 1. Wejście: k liczba naturalna, A[1...2 k ] tablica liczb całkowitych. Algorytm 2: n 1 dla i=1,2,,k wykonuj n 2 n s 1 dopóki s<n wykonuj j 1 dopóki j<n wykonuj (*) jeżeli A[j]>A[j+1] zamień(a[j],a[j+1]) j j+1 s s+1 zwróć A[1], A[2],,A[n] Uwaga: Funkcja zamień(a[j],a[j+1]) zamienia miejscami wartości A[j] oraz A[j+1]. Uzupełnij luki w poniższych zdaniach. Przyjmij n=2 k oraz k>1. Po zakończeniu działania algorytmu 2 element A[i] jest... niż element A[i+1] dla każdego i większego od... oraz mniejszego od... Wiersz (*) algorytmu 2 wykonywany będzie w przebiegu algorytmu... niż n razy,... niż n 2 razy.

12 Zadanie 7. Michał J, Kacper Wiązka zadań Scalanie Rozważmy następujący algorytm, który jako dane przyjmuje tablicę n-elementową, gdzie n jest potęgą dwójki: tablica liczb rzeczywistych T[1..n], gdzie funkcja uporządkuj(t[1..n]): jeżeli n=1 zwróć T[1..n] i zakończ k n/2 A[1..k] uporządkuj(t[1.. k]) B[1..k] uporządkuj(t[k+1.. n]) zwróć scal(a, B) i zakończ, a m jest liczbą całkowitą nieujemną Funkcja scal(a,b) dla danych dwóch tablic o rozmiarze k zwraca tablicę o rozmiarze 2k, powstałą przez połączenie tablic A i B w sposób uporządkowany, tj. od elementu najmniejszego do największego. Na przykład dla tablic A = [4,6,18,22] i B = [1,3,10,15] wywołanie scal(a,b) zwróci tablicę [1,3,4,6,10,15,18,22] Spośród danych tablic wybierz te, które są zgodne ze specyfikacją algorytmu, a następnie podaj dla nich wynik jego działania T = [ 15, 11 ], T = [ 1, 3, 8 ], T = [ 8, 4, 2, 1], T = [ 10, 15, 1, 6, 9, 2, 5, 90 ]. Funkcja uporządkuj jest funkcją rekurencyjną. Uzupełnij poniższe drzewo wywołań rekurencyjnych dla danej tablicy T = [8, 80, 90, 14, 3, 5, 20, 10, 5, 6, 90, 34, 11, 13, 56, 9]. 8, 80, 90, 14, 3, 5, 20, 10, 5, 6, 90, 34, 11, 13, 56, 9 8, 80, 90, 14, 3, 5, 20, 10 5, 6, 90, 34, 11, 13, 56, Załóżmy, że wywołanie procedury scal(a,b) dla dwóch tablic o długości k wykonuje 2k 1 kosztownych operacji (porównywania liczb). Podaj liczbę kosztownych operacji, jaka zostanie wykonana przez funkcję uporządkuj dla tablicy

13 T[1..16] = [ 8, 80, 90, 14, 3, 5, 20, 10, 5, 6, 90, 34, 11, 13, 56, 9 ]. Zadanie 8. Grzegorz, Estera Wiązka zadań Dwa ciągi Niech A[1..n] i B[1..n] będą uporządkowanymi rosnąco tablicami liczb całkowitych i niech x będzie liczbą całkowitą. Rozważmy następujący algorytm: i 1 j n dopóki (i n oraz j > 0) wykonuj dopóki (i n oraz j > 0)wykonuj (*) jeżeli A[i] + B[j] = x podaj wynik PRAWDA i zakończ algorytm w przeciwnym razie jeżeli A[i] + B[j] < x i i + 1 w przeciwnym razie j j 1 podaj wynik FAŁSZ 8.1. Uzupełnij poniższą tabelę. Podaj wynik działania algorytmu oraz liczbę porównań wykonanych w wierszu oznaczonym (*). Tablica A Tablica B x 3, 5, 12, 17 8, 10, 13, , 6, 8, 10 5, 7, 9, Wynik działania algorytmu Liczba porównań w kroku (*) 8.2. Przeanalizuj działanie zaprezentowanego algorytmu i uzupełnij poniższą specyfikację. n dodatnia liczba całkowita A[1..n], B[1..n] n-elementowe tablice liczb całkowitych, posortowane rosnąco x liczba całkowita Wynik: PRAWDA, gdy FAŁSZ, gdy... Podaj przykład pięcioelementowych tablic A i B, dla których przy x = 20 algorytm wykona sześć porównań w wierszu (*), a wynikiem będzie PRAWDA. Zadanie 9. sendi Wiązka zadań Wieże z Hanoi

14 W problemie wież z Hanoi mamy trzy pręty oznaczone A, B i C oraz n okrągłych krążków o średnicach odpowiednio 1, 2,, n. Na początku wszystkie krążki nałożone są na pręt A, w kolejności od największego do najmniejszego (największy na dole, najmniejszy na górze). Układ ten (dla n=3) został przedstawiony na poniższym rysunku. Zgodnie z regułami problemu krążki można przekładać między prętami. W jednym ruchu możliwe jest przełożenie krążka znajdującego się na szczycie jednego z prętów na szczyt innego pręta, pod warunkiem że nie kładziemy przekładanego krążka na krążek mniejszy od niego. Na przykład na poniższym rysunku krążek 2 możemy przełożyć z pręta A na pręt C, natomiast niemożliwe jest przełożenie go na pręt B. Zadanie polega na przełożeniu wszystkich krążków z pręta A na pręt B, przy czym można korzystać z pomocniczego pręta C. Na poniższym rysunku przedstawiono efekt końcowy. Problem wież z Hanoi można rozwiązać za pomocą algorytmu rekurencyjnego. W algorytmie pręty: startowy, docelowy i pomocniczy, podane są jako parametry wejściowe, odpowiednio x, y i z. Algorytm polega na tym, że najpierw przenosimy n 1 krążków na pręt pomocniczy z, potem największy krążek zostaje przeniesiony na pręt docelowy y, a na koniec n 1 krążków zostaje przeniesionych z pręta pomocniczego z na pręt docelowy y, przy czym pręt startowy x traktowany jest jako pomocniczy. Algorytm Specyfikacja Wynik: n liczba całkowita dodatnia, x nazwa pręta startowego, y nazwa pręta docelowego, z nazwa pręta pomocniczego. ciąg ruchów opisujący rozwiązanie problemu wież z Hanoi z n krążkami, w którym na początku wszystkie krążki znajdują się na pręcie x, a na końcu mają znaleźć się na pręcie y, zaś pomocniczym prętem jest z.

15 Uwaga: Pojedynczy ruch zapisujemy za pomocą znaku. Na przykład C B oznacza przeniesienie krążka z pręta C na pręt B. funkcja wieże(n, x, y, z) jeżeli n=1 wypisz x y w przeciwnym razie wieże(n 1, x, z, y) wypisz x y wieże(n 1, z, y, x) Przykład Wywołanie wieże(2, A, B, C) spowoduje dwa wywołania rekurencyjne: wieże(1, A, C, B) oraz wieże(1, C, B, A). Ciąg ruchów utworzony przez wieże(2, A, B, C) ma postać: A C, A B, C B, gdzie podkreślone ruchy są utworzone przez rekurencyjne wywołania wieże(1, A, C, B) oraz wieże(1, C, B, A) Podaj wszystkie wywołania rekurencyjne funkcji wieże (wraz z ich parametrami), do których dojdzie w wyniku wywołania wieże(3, A, B, C). Odpowiedź podaj w poniższej tabeli, uzupełniając parametry wszystkich wywołań rekurencyjnych n x y z 3 A B C 2 A C B 1 A B C Prześledź działanie wieże(3, A, B, C) i uzupełnij poniżej wygenerowany ciąg ruchów: A B; A C; 9.3. Niech H(n) oznacza liczbę ruchów wykonanych przez podany algorytm dla n krążków. Zauważ, że rozwiązanie problemu dla n>1 krążków wymaga jednego ruchu oraz dwukrotnego rozwiązania problemu dla n 1 krążków. W oparciu o tę obserwację uzupełnij poniższą tabelę. n H(n)

16 Podaj ogólny wzór określający liczbę ruchów dla n krążków: H(n)= Poniżej prezentujemy nierekurencyjne rozwiązanie problemu wież z Hanoi. Specyfikacja Wynik: n liczba całkowita dodatnia, ciąg ruchów opisujący rozwiązanie problemu wież z Hanoi z n krążkami, w którym na początku wszystkie krążki znajdują się na pręcie A, a na końcu powinny się znaleźć na pręcie B. Algorytm: (1) dopóki (pręt A jest niepusty lub pręt C jest niepusty) wykonuj (2) jeżeli n jest parzyste: (3) przenieś krążek nr 1 o jedną pozycję w lewo (4) w przeciwnym razie (5) przenieś krążek nr 1 o jedną pozycję w prawo (6) przenieś krążek między prętami, na których nie ma krążka nr 1 W powyższym algorytmie przeniesienie krążka nr 1 o jedną pozycję w prawo oznacza wykonanie jednego z ruchów A B, B C lub C A, tak aby krążek nr 1 został przeniesiony na inny pręt. Analogicznie przeniesienie krążka w lewo oznacza wybranie jednego z ruchów A C, B A lub C B, tak aby krążek nr 1 został przeniesiony na inny pręt. Ruch w kroku (6) powyższego algorytmu jest określony jednoznacznie, gdyż dopuszczalne jest tylko położenie mniejszego krążka na większym, a nie odwrotnie. Przykład Dla n=3 powyższy algorytm wykona następujący ciąg ruchów: A B; A C; B C; A B; C A; C B; A B, gdzie ruchy podkreślone przenoszą krążek nr 1 o jedną pozycję w prawo. Wypisz ciąg ruchów, który poda powyższy algorytm dla n=4. Zadanie 10. wszyscy razem Wiązka zadań Dzielenie wielomianu Rozważamy wielomiany stopnia, gdzie jest potęgą dwójki: Do obliczania wartości można zastosować technikę dziel i zwyciężaj w następujący sposób: dzielimy postać ogólną wielomianu na dwie części:, gdzie. Jeśli w drugiej części wydzielimy czynnik, to otrzymamy równość (*), gdzie i są wielomianami stopnia

17 W ten sposób problem obliczenia wartości dzielimy na dwa podproblemy obliczenia i obliczenia, przy czym każdy z nich ma rozmiar o połowę mniejszy. Na przykład aby obliczyć wartość wielomianu ( ), obliczamy oraz Następnie korzystamy ze wzoru Ponieważ do pełnej realizacji algorytmu we wzorze (*) potrzebne jest obliczenie wartości więc najpierw obliczamy wszystkie potęgi i zapamiętujemy je w tablicy Z[0.. m-1], np. za pomocą poniższej procedury. Obliczanie tablicy [0.. -1]: liczba całkowita postaci, gdzie jest liczbą całkowitą nieujemną, x liczba rzeczywista. Wynik: tablica [ dopóki -1], dla której wykonuj Mając tablicę Z, obliczamy wartość za pomocą funkcji rekurencyjnej F. Wynik: tablica liczb rzeczywistych ze współczynnikami, gdzie, a m jest liczbą całkowitą nieujemną; tablica [0.. -1], dla której. wartość. funkcja F( ): jeżeli n=1 zwróć T[0] i zakończ zwróć i zakończ Prześledźmy na przykład obliczenie wartości wielomianu dla x=3.

18 W pierwszym kroku algorytm obliczy tablicę : Następnie algorytm obliczy F([-8,7,6,-1,4,5,-2,3]), tzn. F([-8,7,6,-1,4,5,-2,3]) = F([-8,7,6,-1]) + F([4,5,-2,3])*Z[2] Obliczanie F([4,5,-2,3]) i F([-8,7,6,-1]) odbywa się w analogiczny sposób, tzn. F([-8,7,6,-1]) = F([-8,7])+ F([6,-1])*Z[1] = F([-8])+F([7])*Z[0]+(F([6])+F([-1])*Z[0])*Z[1] = (-8)+7*Z[0] + (6+(-1)*Z[0])*Z[1] = (-8)+7*3+(6+(-1)*3)*9 = 40, F([4,5,-2,3]) = F([4,5])+F([-2,3])*Z[1] Zatem = F([4])+F([5])*Z[0]+(F([-2])+F([3])*Z[0])*Z[1] = 4+5*Z[0]+((-2)+3*Z[0])*Z[1] = 4+5*3+((-2)+3*3)*9=82. F([-8,7,6,-1,4,5,-2,3]) = F([-8,7,6,-1])+F([4,5,-2,3])*Z[2] = 40+82*81 = Można zauważyć, że podczas obliczania F([-8,7,6,-1,4,5,-2,3]) łącznie zostanie wykonanych 7 mnożeń: 3 mnożenia podczas obliczania F([-8,7,6,-1])=40, 3 mnożenia podczas obliczania F([4,5,-2,3])=82, 1 mnożenie przy obliczaniu F([-8,7,6,-1])+ F([4,5,-2,3])*Z[2] = 40+82*Z[2]. Liczba wszystkich wywołań rekurencyjnych jest równa 15. Oto wszystkie wywołania funkcji F: F([-8,7,6,-1,4,5,-2,3]) o F([-8,7,6,-1]) F([-8,7]) F([-8]) F([7]) F([6,-1]) F([6]) F([-1]) o F([4,5,-2,3]) F([4,5]) F([4]) F([5]) F([-2,3]) F([-2]) F([3]) Podaj, jakie wartości zostaną obliczone w tablicy Z[0.. m-1] przy obliczaniu, gdzie

19 10.2. Oblicz łączną liczbę operacji mnożenia, jaka zostanie wykonana przez funkcję F(T) dla n- elementowej tablicy T. Uzupełnij poniższą tabelkę: n Liczba operacji mnożenia Uzupełnij poniższy wzór rekurencyjny dla f(n) liczby operacji mnożenia wykonywanych przez funkcję F dla tablicy n-elementowej: dla Wypisz wszystkie wywołania funkcji F podczas obliczania Podaj wzór ogólny na g(n) liczbę wszystkich wywołań funkcji F dla wielomianu stopnia, gdzie jest potęgą dwójki. Uzupełnij poniższy wzór: Do obliczania wartości wielomianu... a więc gdy jest potęgą trójki, można zastosować podział na trzy części gdzie. Wówczas uzyskujemy gdzie są wielomianami, w których liczba współczynników jest trzykrotnie mniejsza niż w wyjściowym wielomianie. Wzorując się na funkcji F, możemy skonstruować rekurencyjną funkcję G(T[0.. -1]), obliczającą wartość przez podział tablicy T na trzy równe części, o ile. Po obliczeniu trzech wyników dla każdej z części, powiedzmy funkcja oblicza swój wynik, wykonując dodatkowo dwa mnożenia: jedno mnożenie przy obliczaniu. jedno mnożenie przy obliczaniu. Podobnie jak poprzednio pomijamy problem obliczania potęg dla, tzn. przyjmujemy, że potęgi te są przechowywane w pewnej tablicy Z[0.. m-1], a więc ich obliczanie nie jest wliczane do kosztu obliczeniowego funkcji G.

20 W ten sposób na przykład dla n=3 funkcja G wykona dokładnie 2 mnożenia, a dla n=9 funkcja wykona łącznie 8 mnożeń: po 2 mnożenia dla każdej z trzech części jedno mnożenie przy obliczaniu. jedno mnożenie przy obliczaniu. Uzupełnij poniższą tabelkę, podając liczbę mnożeń, jaka zostanie wykonana przez funkcję G dla n-elementowej tablicy współczynników T. n Liczba operacji mnożenia