Časopis pro pěstování matematiky a fysiky

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Časopis pro pěstování matematiky a fysiky"

Przybysław Tomczyk
9 lat temu
Przeglądów:

1 Časopis pro pěsování maemaiky a fysiky Hugo Seinhaus Różne formy prawa wielkich liczb Časopis pro pěsování maemaiky a fysiky, Vol. 74 (1949), No. 2, Persisen URL: hp://dml.cz/dmlcz/ Terms of use: Union of Czech Mahemaicians and Physiciss, 1949 Insiue of Mahemaics of he Academy of Sciences of he Czech Republic provides access o digiized documens sricly for personal use. Each copy of any par of his documen mus conain hese Terms of use. This paper has been digiized, opimized for elecronic delivery and samped wih digial signaure wihin he projec DML-CZ: The Czech Digial Mahemaics Library hp://projec.dml.cz

cz/dmlcz/123056 Terms of use: Union of Czech Mahemaicians and Physiciss, 1949 Insiue of Mahemaics of he Academy of Sciences of he Czech Republic provides

2 RÓZNE FORMY PRAWA WIELKICH LICZB.*) HUGO STEINHAUS, Wroclaw. Niech funkcja x() b dzie okreslona w przedziale (0,1) i mierzalna. Dysrybuane, X(o) funkcji x() okreslamy przez: X(cx) = \E{x() < oc}\, dysrybuanq H(o, /S) páry x(), y() przez H(o, /?) = \E{x() < a, y() < /5}..Niezaležnosó páry #, y wyraža SÍQ przez idenycznosé H(o, fi) = X(a). Y(/3). Analogicznie okrešla SÍQ niezaležnosó rojek, czwórek,..., n-ek. Niezaležnosó,,en bloc CÍ oznacza niezaležnosó n-ek dla wszyskich n naraz. L Twierdzenie Bernóullťego brzmi: Ježeli x v x 2,..., x n,... sa, parami niezaležne, posiadaja, Q sama, dysrybuanq, a mája, pierwszy i drugi momen, o n limei$s n ()/n = cons; s n á y x. (1) Do dowodu možná užyé wierdzenia Banacha, že árednia funkcyj unormowanych i orogonalnych daáy prawie wsz^dzie do žera; aki dowód možná zasosowaó jednak akže i bez založenia isnienia drugiego momenu; možná mianowicie zasajpic funkcje x { () przez ograniczone plus resza, o kórej možná pokazaó, že jej árednia ma calk modulu dowolnie malá,. Naomias zachowanie založenia drugiego momenu pozwala oslabic založenie mezaležnoáciizasajpié jezaloženiem zerowej kowaríancji par x^xfa Niewiadomo, czy obydwa uszczuplenia založen jeszcze daja, (1), czyli. zw. slabé prawo wielkich liczb. II. Mocné prawo wielkich liczb wyraža SÍQ przez (ť)/n = cons,prawie wsž^dzie. (2) Udowódnil je Canelli w r. 1916; przy založeniu niezaležnosci parami i dwóch momenów (oczywiscie wspólnej dysrybuany) možná oprzec SÍQ i u na w. Banacha (Bull. Ac. Pol. 1919). Kolmogorow udowodni je przy založeniu ylko pierwszego momenu, jednak dla niezaležnosci,.en bloc". Czy u možná niezaležnosó,,en bloc ťť oslabic, nie wiadomo. Tak jak dysrybuany funkcji, možná okreslic dysrybuany ci^gu numerycznego: jes o frekwencja wyrazów mniejszych od o. Analogia daje akže poje.cie niezaležnosci dwóch ci^gów. Možemy sformulowac akie prawo wielkich liczb: III. Gdy Xi() sa, parami niezaležne i posiadaja, sama, dysrybuany F(o), o cia,g {Xi()} ma dla prawie wszyskich dysrybuany F(o). Dowód opiera SÍQ na prawie Canéllťego; nie zakládá siq isnienia momenów. *) Pelny ex b dze opublikowan. w Colioquium Mahemaicum. 114

.Niezaležnosó páry #, y wyraža SÍQ przez idenycznosé H(o, fi) = X(a). Y(/3). Analogicznie okrešla SÍQ niezaležnosó rojek, czwórek,..., n-ek.

3 Z osaniego prawa wynika rozwiązanie paradoksu peersburskiego: gdy płaci się graczowi 2 n_1, skoro oгzeł pokaże się dopiero w n-ym rzucie moneą, o gracz musi płacić w każdej grze inną opłaę; opłay 1,2,1,4,1,2,1,8,1,2,1,4,1,2,1,16,... mają ę samą dysrybuanę, co obienica x(), więc według prawa III., gra może być uważana za sprawiedliwą. Przy założeniach III ciągi {XІ(S)} {Xi()} są od siebie niezależne dla prawie każdego punku (s, ) kwadrau jednoskowego. IV. Z wierdzenia ergodycznego moźna orzymać aką formę prawa wielkiech liczb: jeżeli funkcje x^џ) są równouprawnione,. zn. jeżeli dysrybuana każdej тг-ki jes równa dysrybuancie тг-ki powsałej przez przesunięcie wskaźników o jeden, o ()/n isnieje prawie wszędzie; (3) a forma prawa wielkich licrb wysępuje już u Chiňczyna w r, 1937, a później u Dooba. Tгzeba zaznaczyć, że niniejszy refera nie rozsrzyga auorswa poszczególnych wierdzeń; jes o zadanie nieławe wobec niezupełności bibliograficznej prae z гachunku prawdopodobieńswa. Ñazywamy przypadkowym ciąg {a n }, kórego dysrybuana ma conajmnięj rzy różne warości i kóry jes niezależny od swoich przesunięć { a n-hjc}- Gdy Xi() są czwórkami niezależne i mają wspólną nierywialną dysrybuanę, o ciąg {x^)} jes dla prawie każdego przypadkowy. Sumary. Sreszczenie. Varions forms of he law of large numbers.*) -HUGO-BTEUSTHAUS, Wroclaw. Le he funcion x() be defined and measurable in he inerval (0,1). We define he disribuion funcion X(oc) of he funcion x() by he expression X(oc) = \E{x() < oc}\, and he disribuion funcion H(oc, /?) of he bivariae populaion x()> y() by he expression H(oc } /3) = \E{x() < < <*? y() < fi}\* T ne independence of he wo variables x, y is expressed by he ideniy H(oc, f) = X(oc). Y(/3). In a similar way we define he independence of sysems of wo, hree or more variables.,,en bloc" independence means independence of each sysem of n variables for all n. I. Bernoulli's heorem saes: If he funcions x v x 2 >...,x ni... are independen by pairs, if hey have he same disribuion funcion, and if each of hem possesses firs and second momens, hen To appear in full in Colloquium Mahemaicum. 115

Przy założeniach III ciągi {XІ(S)} {Xi()} są od siebie niezależne dla prawie każdego punku (s, ) kwadrau jednoskowego. IV.

4 lim &sfi n ()/n = cons, where s n = y.c? -. (1)."-= 1 For he proof i is possible o use Banach's heorem saing ha he mean value of normalized and orhogonal funcions converges almos everywhere o zero. This proof can be used even wihou he assumpion of he exisence of he second momen; in paricular i is possible o replace he funcions Xi() by limied funcions plus a remainder concerning which i can be shown ha is absolue mean value has an inegral arbirarily small. On he oher hand, if we assume he exisence of he second momen we may weaken he assumpion of independence and replace i by he assumpion of zero covariance of he pairs Xi, x^. I is no known wheher he simulaneous weakening of boh assumpions sill gives relaion (1), i. e. he so-called weak law of large numbers. II. The srong law of large numbers is expressed by he relaion ()jn = cons almos everywhere. (2) Canelli proved his in 1916; on he assumpion of he independence by pairs and of he exisence of boh momens (and naurally also of a common disribuion funcion), we can here again make use of Banach's heorem (Bull. Ac. Pol. 1919). Kolmogorov proved his heorem assuming he exisence of only he firs momen, and of course on he assumpion of,,en bloc" independence. I is no known wheher i is here possible o weaken he en bloc" independence. Jus as i is possible o define he disribuion funcion of a funcion, so we can also define he disribuion funcion of a sequence of numbers: i is he frequency of he members of he sequence smaller han oc. In he same way 'we can define he concep of independence of wo sequences. The law of large numbers can hen be formulaed hus: III. If he funcions Xi() are independen by pairs, and if hey have he same disribuion funcion F(oc), hen he sequence {xi()} has he disribuion funcion F(oc) for almos all. The proof is based on Canelli's law; he exisence of momens is no assumed. From his law follows he explanaion of he Peersburg paradox: if a player wins 2 n ~ l money unis provided ha he coin does no fall head up unil he nh hrow, hen before each hrow he ough o wager he sums 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 8, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 16,... which have he same disribuion funcion as he variable x(); hence, according o law III, he game can be regarded as fair. On he assumpions made in law III, he sequences {#*(«)} and {Xi()} are independen of each oher for almos all poins (s, ) of he uni square. IV. The following form of he law of large numbers can be deduced from he ergodic heorem: If he funcions Xi() are equivalen, i. e. if lid

shown ha is absolue mean value has an inegral arbirarily small.

5 he disribuion funcion of each sysem of n variables is equal o he disribuion funcion of he ^-variable sysem obained by alering he subscrips by one, hen ()/n exiss almos everywhere. (3) This form of he law of large numbers was expressed by Khinchine in 1937 and laer by Doob. I should be noed ha his paper does no deal wih he auhorship of he individual heorems. This would be a difficul ask indeed due o he incompleeness of bibliographical repors on research in he heory of probabiliy. The sequence {a n } is said o be random if is disribuion funcion assumes a leas hree differen values, and if he sequence is independen of he aleraion {a n+ ]^. If Xi() are independen by ses of four, and if hey have a common non-rivial disribuion funcion, hen he sequence {xi()} is random for almos all. Z ZAGADNIEŇ WSPÓLCZESNEJ RÓŽNICZKOWEJ. GEOMETRII WLADYSLAW ŠLEBODZlfSKI, Wroclaw. Zanim przys^piq do wlašciwego émau, musze. uprzedzic, že w referacie swym nie mogq omówic wszyskich wspólczesnych kierunków badaň geomerycznych, pomiňme musz np. ak wažna, dziedzin$ jak inegralna geomeria róžniczkowa. Ograniczam si do ych kierunków badaň, kóre pozosaja, w"zwia,zku z mými osobisymi zaineresowaniami, a WÍQC przedewszyskim do zagadnieň zwia^zanych z realizacja, erlangeňskiego programu KLEINA. Wiadomo, iž w mysl ego programu zadanie geomerii mpžna sformulowac w nasqpuj^cy sposób: maj^c daná, pewna, przesrzeň P i operuja^ w niej grupě, przekszalceň G oezywiscie grupě, w sensie LIE-GO, skonsruowac pelny úklad niezmienników wzgleďem grupy C? uworów zawarych w przesrzeni P, jak krzywe, powierzchnie ip. Tak sformulowany program pozwolil nie ylko usysemayzowac i sklasyfikowac rezulay badaň geomerycznych ubieglych czasów. ale sal SÍQ zárazem wyyczna, dla nowych poszukiwaň. Ažeby dac poj^cie o plodnošci idei KLEINA, wysarczy przyoczyc akie nowsze galerie geomerii jak afiniczna geomeria róžniczkowa niemieckich geomerów z W. BLA- SCHKE na czele, jak geomeria grupy MOBIUŠA, a przede wszyskim róžniczkowa geomeria rzuowa, dzielo FTJBINIEGO i ČECHA. Wprawdzie niekóre nie^zmienniki róžniczkowe krzywych wzgl^dem grupy rzuowej byly znané od wielu la, skonsruowanie jednoliéj i zwarej eorii bylo jednak wyla^czna^ zasluga, ych dwóch geomerów, kórzy sworzyli w en sposób now% do dzisiejszego dnia žywona, gale^ž geomerii. Niekóre 117

$The sequence {a n } is said o be random if is disribuion funcion assumes a leas hree differen values, and if he sequence is independen of he aleraion {a n+ ]^.$

Podobne dokumenty

Rozpoznawanie twarzy metodą PCA Michał Bereta 1. Testowanie statystycznej istotności różnic między jakością klasyfikatorów

Rozpoznawanie twarzy metodą PCA Michał Bereta www.michalbereta.pl 1. Testowanie statystycznej istotności różnic między jakością klasyfikatorów Wiemy, że możemy porównywad klasyfikatory np. za pomocą kroswalidacji.