Przed maturą. Aleksandra Gębura. MATEMATYKA Zadania z rozwiązaniami. Zakres podstawowy

Transkrypt

1 Przed maturą Aleksandra Gębura MATEMATYKA Zadania z rozwiązaniami Zakres podstawowy

2 Spis treści. ZANIM ROZPOCZNIESZ LICZBY.. Działania na liczbach Procenty. Błąd względny i bezwzględny Potęgi. Pierwiastki. Logarytmy.... Zestaw zadań do samodzielnego rozwiązania WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE.. Działania na wyrażeniach algebraicznych Używanie wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b Zestaw zadań do samodzielnego rozwiązania RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI, UKŁADY RÓWNAŃ 4.. Równania, nierówności i układy równań pierwszego stopnia Równania i nierówności kwadratowe Równania wyższych stopni i równania wymierne Zestaw zadań do samodzielnego rozwiązania FUNKCJE 5.. Ogólne własności funkcji Funkcja liniowa Funkcja kwadratowa Funkcja ƒ(x) = a x Funkcje wykładnicze Zestaw zadań do samodzielnego rozwiązania CIĄGI 6.. Ciągi liczbowe Ciągi arytmetyczne Ciągi geometryczne Zestaw zadań do samodzielnego rozwiązania TRYGONOMETRIA 7.. Funkcje trygonometryczne i zależności między nimi Zastosowania funkcji trygonometrycznych, m.in. w planimetrii Zestaw zadań do samodzielnego rozwiązania PLANIMETRIA 8.. Wielokąty Koła i okręgi Zestaw zadań do samodzielnego rozwiązania

3 9. GEOMETRIA ANALITYCZNA 9.. Punkty. Odległości przekształcenia w układzie współrzędnych Proste w układzie współrzędnych Zestaw zadań do samodzielnego rozwiązania STEREOMETRIA 0.. Graniastosłupy Ostrosłupy Bryły obrotowe Zestaw zadań do samodzielnego rozwiązania ELEMENTY STATYSTYKI, KOMBINATORYKI I RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA.. Statystyka Kombinatoryka. Prawdopodobieństwo Zestaw zadań do samodzielnego rozwiązania Odpowiedzi do zadań do samodzielnego rozwiązania Tablica wartości funkcji trygonometrycznych

4 . ZANIM ROZPOCZNIESZ Książka jest adresowana do tych, którzy chcieliby się przygotować do egzaminu maturalnego z matematyki na poziomie podstawowym. Rozdziały od. do. odpowiadają działom z aktualnej podstawy programowej. Podzielone są na mniejsze podrozdziały, z których każdy rozpoczyna się serią zadań o rosnącym stopniu trudności, po nich następuje część podrozdziału zawierająca wskazówki lub pełne rozwiązania. Na końcu każdego rozdziału zamieszczono zestaw zadań do samodzielnego rozwiązania, złożony z dziesięciu zadań zamkniętych i pięciu otwartych. Odpowiedzi do zadań z zestawów znajdują się na końcu książki. Jeśli chcesz naprawdę przygotować się do matury albo nauczyć się rozwiązywać zadania, to próbuj je rozwiązać samodzielnie. Zadanie już rozwiązane często wydaje się za łatwe. Zdarza się jednak, że rozwiązanie jest niezrozumiałe, bo nie jest łatwo śledzić cudzy tok rozumowania, jeśli nie podjęło się wcześniej próby samodzielnego rozwiązania postawionego problemu. Dlatego wskazówki i rozwiązania w tej książce znajdują się nie obok treści zadań, ale kilka stron dalej. Da Ci to szansę na własne próby. Jeśli rozwiążesz zadanie sam, to znajdziesz się w roli odkrywcy. Każde własne rozwiązanie jest odkryciem. I nie jest ważne, czy to odkrycie duże czy małe. Ważne, że jest Twoje. Nawet małe odkrycia są warte tego, aby je przeżyć. Kiedy wpadniesz na jakiś pomysł rozwiązania albo kiedy spotka Cię olśnienie, które następuje, gdy zrozumiesz jak rozwiązanie znaleźć to chwila, z której nie warto rezygnować. A jak na tę chwilę zapracować, jak radzić sobie z rozwiązaniem zadania, dobrze opisał George Polya w książce Jak to rozwiązać (PWN, Warszawa 009). I. ZROZUMIENIE Aby rozwiązać zadanie, trzeba je zrozumieć. W przypadku zadań znajdujących się w tej książce na początku każdego podrozdziału to nie jest trudne. Ale czasami treść zadania zawiera dużo informacji, które wcale nie ułatwiają procesu rozumienia. Musisz wtedy uprościć zadanie, odrzucić zbędne informacje, często zamieszczone po to, aby Cię trochę zaciekawić, aby Ci się chciało rozwiązać to zadanie. Bo nie rozwiążesz zadania, jeśli nie będziesz tego chciał. Ustal, co jest dane albo znane, a co trzeba wykazać lub znaleźć. Jeśli Ci to ułatwi rozumienie, to sporządź rysunek, diagram, graf albo tabelę. Wprowadź oznaczenia znanych i nieznanych wielkości. Pamiętaj o tym, aby konsekwentnie trzymać się wprowadzonych oznaczeń, a także nie używać już wykorzystanej w zadaniu litery do oznaczenia innego obiektu. Zastanów się nad tym, czy nie spotkałeś wcześniej podobnego zadania. A może jakaś część tego zadania przypomina Ci zadanie rozwiązane wcześniej? Pomyśl, co Ci sprawia trudność. Czy gdyby zadanie byłoby sformułowane inaczej, to byłoby Ci łatwiej? Czy nie jest zbyt dużo niewiadomych? 5

5 MATEMATYKA. Przed maturą. Zadania... Czasami, aby rozwiązać zadanie, jego rozwiązanie trzeba podzielić na etapy. Załóżmy, że masz rozwiązać zadanie o treści: Dane są współrzędne wierzchołków A, B, C trójkąta ABC. Napisz równanie prostej zawierającej środkową poprowadzoną z wierzchołka A. Co może Ci sprawiać trudność w zrozumieniu tego zadania? Co trzeba znaleźć? Równanie pewnej prostej. Jakie musisz mieć dane, aby napisać równanie prostej? Pewnie odpowiesz, że współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi ta prosta. A może kierunek tej prostej (współczynnik kierunkowy) i współrzędne jednego punktu? A w tym przypadku czy wiesz, przez jakie punkty ma przejść szukana prosta? Na pewno przez A. A drugi punkt? Czy znasz wszystkie pojęcia, które użyte zostały w treści zadania? Musisz wiedzieć, co to jest środkowa w trójkącie. Jeśli nie wiesz, możesz sprawdzić. Ale zanim to zrobisz, to zastanów się, co to może być. Jakie odcinki znasz w trójkącie? Co mówi nazwa: środkowa? Jeśli spróbujesz sam znaleźć odpowiedź na pytanie, co to jest środkowa, a dopiero potem sprawdzisz, więcej Ci to da, niż gdybyś sprawdził od razu. A więc nie śpiesz się z zaglądaniem do rozwiązań zamieszczonych w tej książce. Zrób to dopiero wtedy, kiedy naprawdę utkniesz. A wracając do naszego przykładu, drugim punktem, przez który ma przechodzić szukana prosta, jest środek przeciwległego boku. Musisz go wyznaczyć. Ale to nie jest trudne, gdy masz współrzędne końców odcinka, którego środek masz znaleźć. Jak widać, rozwiązanie tego zadania składa się z dwóch etapów. Najpierw musisz wyznaczyć współrzędne środka boku BC, a potem napisać równanie prostej przechodzącej przez ten środek i punkt A. To znaczy, że po etapie ZROZUMIENIA zadania powinien nastąpić następny. II. PLANOWANIE ROZWIĄZANIA Ten etap jest konieczny albo przynajmniej przydatny w przypadku zadań, których rozwiązanie będzie wymagać przynajmniej dwóch etapów. Musisz wziąć pod uwagę, że właśnie z takimi zadaniami spotkasz się na maturze. Nawet zadania zamknięte, w których wybierasz jedną z kilku odpowiedzi, często wymagają rozwiązania złożonego z kilku kroków. Podzielenie rozwiązania na mniejsze etapy znacznie ułatwi Ci znalezienie rozwiązania. Czasami to właśnie ułożenie planu rozwiązania jest najważniejsze. I zdarza się, że najtrudniejsze. Na pomysł rozwiązania możesz wpaść od razu. Czasem jednak plan powstanie stopniowo dopiero wtedy, kiedy zauważysz, co możesz zrobić z danymi i sprawdzisz, czy wszystkie dane zostały wykorzystane. Pokonanie tego etapu da Ci najwięcej radości. Co może Ci pomóc w ułożeniu planu? Zastanów się, czy zetknąłeś się wcześniej z podobnym zadaniem. Może analogicznym? Może takim, które dotyczyło tego samego obiektu? Albo takim, w którym zachodziły podobne związki? Czy rozwiązanie zadania, z którym się już spotkałeś, ułatwi Ci rozwiązanie tego, które w tej chwili chcesz rozwiązać? Nie trać z oczu głównego celu zadania. Pamiętaj, do czego chcesz dojść. Typowymi zadaniami, w których ów plan rozwiązania jest widoczny i wyraźny, są zadania z geometrii analitycznej. Pora na kolejny etap rozwiązania. 6

6 . Zanim rozpoczniesz III. REALIZACJA PLANU Na tym etapie użyj podstawień, aby uprościć wyrażenia albo wprowadzić nowe użyteczne wyrażenia, zastosuj znane wzory albo twierdzenia, pozbądź się nadmiaru niewiadomych. Jeśli masz kilka możliwości do rozważenia, to ich analiza pomoże Ci wyeliminować wszystkie poza tymi, które prowadzą do rozwiązania. Przy realizacji planu musisz pilnować poprawności wykonywanych obliczeń. Jesteśmy tylko ludźmi i czasami może nas coś rozproszyć. I wtedy mimo że plan rozwiązania jest dobry rozwiązanie będzie błędne z powodu popełnionych omyłek i przejęzyczeń. Zwróć uwagę na to, jakie błędy popełniasz, albo na to, kiedy je popełniasz. Może za bardzo się śpieszysz? Nie martw się, kiedy popełnisz błędy w domu. Na egzamin musisz iść wypoczęty. Pamiętaj, że omyłka na maturze może oznaczać utratę punktów. IV. REFLEKSJA Otrzymałeś rozwiązanie. Sprawdź je. Zastanów się, czy otrzymany wynik jest możliwy, sensowny i czy warunki zadania zostały spełnione. W szkole często popełniamy ten błąd, że uzyskane rozwiązanie kończy pracę nad zadaniem. Tymczasem to właśnie REFLEKSJA nad nim może przynieść więcej korzyści niż rozwiązanie innego zadania. Zastanów się, czy nie można by było uprościć niektórych etapów rozwiązania tego zadania. Czy można uzyskać ten sam wynik w inny prostszy sposób? Może teraz potrafisz zmodyfikować to zadanie i wymyślić inne podobne? A może potrafisz wykorzystać metodę zastosowaną w tym zadaniu do rozwiązania innego? Refleksja nad rozwiązaniem jest bardzo ważna. Nawet jeśli skorzystasz z propozycji rozwiązania zamieszczonej w niniejszej książce, warto się zastanowić nad inną metodą. A może to właśnie Twój pomysł jest lepszy od pomysłu autorki tej książki? Cieszyłabym się bardzo, gdyby tak się stało. Bo każdy pomysł, który jest Twój, jest dla Ciebie lepszy od moich pomysłów. Pamiętaj o tym! Życzę Ci powodzenia w rozwiązywaniu zadań, radości z własnych olśnień, zadowolenia z siebie wtedy, gdy uda Ci się wydostać z utknięcia, i sukcesów na maturze. 7

7 . LICZBY.. Działania na liczbach... Wykonaj działania: a) 0 : ( 5) 4 = b) ( 7) = c) 5 = d) 5( 4) + ( ) 4 = e) 6 5 = f) [4( 4) 6 ] ( ) 4 =... Oblicz: 5 a) 7 c) + = b) 4 5 = 5 = d) 7 7 = e) : 9 4 = f) ( 9) : = g) = h) : 4 6 : = i) = 4 + j),5 : ( 6,45) + 5 : 5,4 =... Która liczba jest większa: a) czy 0,; b) czy ; c) 5 45 czy 0,59; d) 6 8 czy?..4. Przedstaw liczbę w postaci sumy ułamków o liczniku...5. Zamień ułamek okresowy x = 0,() na ułamek zwykły...6. Wykaż, że 0,0(8) 0,0(4) = 45. 8

8 . Liczby..7. W pewnej liczbie dwucyfrowej zmieniono kolejność cyfr. Nowa liczba stanowi 7,5% pierwszej liczby. Podaj obie liczby...8. Największy wspólny dzielnik dwóch liczb naturalnych wynosi 6, a ich suma jest równa 4. Znajdź te liczby...9. Przekształć do najprostszej postaci wyrażenie (n ) (n + )...0. Oblicz: 68, : 056, + 04, : Wartość potrojonego kwadratu różnicy liczb 5 i jest równa: A ; B. 8; C ; D Pole trójkąta o bokach a, b, c możesz obliczyć ze wzoru a + b + c P = p( p a) ( p b) ( p c), gdzie p =. Korzystając z tego wzoru, oblicz pole trójkąta o bokach: a = 5, b = 8, c = ,... Oblicz sumę liczby a = i odwrotności liczby, 5 5, 8 5 : 5 75, 5 6 :, b = Jakim przedziałem jest zbiór liczb większych lub równych 4, które nie są większe niż 8?..5. Liczba x podzielona przez 5 daje resztę. Jeżeli m jest liczbą całkowitą, to można zapisać: A. x = m + 5; B. x = 5m + ; C. x : 5 = ; D. x : 5 = m Liczba a stanowi,5% liczby 40. Czy liczba a należy do przedziału 4, 5)?..7. Ile liczb całkowitych należy jednocześnie do przedziałów ( 4, ) i, 5)? A. 4; B. ; C. ; D. 8. 9

9 MATEMATYKA. Przed maturą. Zadania Zapisz rozwiązanie nierówności: (x + ) x > 4x (x ) w postaci przedziału liczbowego. Ile liczb naturalnych należy do tego przedziału?..9. Ile liczb pierwszych należy do zbioru: (6, 7) (, 9)? A.; B.; C.; D Liczba a ( 4, 6). Do jakiego przedziału należy liczba b = 5a 4?... Wskazówki. Rozwiązania. Odpowiedzi a) 0 : ( 5) 4 = 4 Zgodnie z kolejnością działań najpierw podziel przez ( 5) i wynik tego działania pomnóż przez 4. b) ( 7) = ( 7) ( 7) = 49 Zwróć uwagę na kolejność działań. c) 5 = 5 5 = 5 d) 5( 4) + ( ) 4 = 5( 64) + 6 = 5 e) 6 5 = 6 = 68 f) [4( 4) 6 ] ( ) 4 = [ 6 6] 9 6 = = 5 5 = a) + = b) 5 = 5 5 c) = d) 7 = 0 e) : 9 4 = 8 9 : 9 = = 56 8 Sprowadź do wspólnego mianownika. Najpierw skróć, a potem wymnóż ułamki. Zamień liczby mieszane na ułamki niewłaściwe. 0

10 . Liczby f) ( 9) : = 7 g) = 5 h) : 4 6 : = = 6 i) = = j),5 : ( 6,45) + 5 : 5,4 = + 7 = 7 Zwróć uwagę na kolejność działań. Pamiętaj o kolejności działań i zasadach wykonywania działań na liczbach ujemnych. Dokładniejszy wynik uzyskasz, wykonując działania na ułamkach zwykłych. Działania na ułamkach dziesiętnych mogą dać wynik obarczony błędem przybliżenia.... Wybierz odpowiednią metodę porównywania. Możesz zamienić ułamki zwykłe na dziesiętne. Możesz też podzielić pierwszą liczbę przez drugą. Jeśli wynik będzie większy od jedności, to pierwsza liczba jest większa. Możesz sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika i porównać liczniki. a) > 0, b) 5 6 > 4 5 c) 7 45 < 0,59 d) 6 8 <..4. Mianownik ułamka dzieli się przez 7 i 0, a więc wygodnie będzie obliczyć różnicę lub Otrzymany wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego. 70 W pierwszym przypadku otrzymasz 6 5, a w drugim 7 0. Prostszym ułamkiem do dalszego rozkładania jest 7. Mianownik tego ułamka dzieli 0 się przez i 5, więc możesz obliczyć różnicę = albo = 5. Odpowiedź: =

11 MATEMATYKA. Przed maturą. Zadania Zauważ, że tak zapisana liczba oznacza, że grupa cyfr powtarza się w nieskończoność. Możesz więc zapisać: x = 0,... Pomnóż obie strony tej równości przez 00. (Należy tak zrobić wtedy, kiedy w okresie ułamka są dwie cyfry. Gdyby w okresie ułamka była jedna cyfra, należa- 00x =,... łoby mnożyć przez 0). Teraz od drugiej równości stronami odejmij pierwszą. 99x =. Odpowiedź: x = I sposób: a = 0, a = 0, a = 0,8 a = 4 45 b = 0, b = 0, b = 0,4 b = 45 Wystarczy podzielić obie strony przez 99. Zapisz w odpowiedni sposób pierwszą liczbę (oznacz ją przez a). Pomnóż stronami przez 0. Odejmij od drugiego równania pierwsze. Zapisz ułamek 0,4 w postaci ułamka zwykłego i podziel równanie stronami przez 9. Otrzymasz a = Podobnie postępuj z drugą liczbą (oznaczoną przez b). Otrzymasz b = 45. Odejmij drugą liczbę od pierwszej. a b = 45 II sposób: 0,0(8) = 0, ,0(4) = 0, Zapisz liczby w odpowiedni sposób, a następnie odejmij stronami. 0,0(8) 0,0(4) = 0, Oznacz szukaną różnicę przez r. r = 0, r = 0, r = 0,4 Pomnóż stronami przez 0. Odejmij od drugiego równania pierwsze. Zapisz ułamek 0,4 w postaci ułamka zwykłego i podziel równanie stronami przez 9. Otrzymasz r = 45.

12 . Liczby..7. Jeżeli literą x oznaczysz liczbę jedności, a y liczbę dziesiątek, to możesz daną liczbę dwucyfrową przedstawić jako 0y + x. Liczba, którą otrzymasz, gdy zamienisz kolejność cyfr, ma postać: 0x + y. Ułóż równanie: 0x + y = 7,5% (x + 0y) i przekształć je do najprostszej postaci. Otrzymasz: 7x = y. Zauważ, że x i y są cyframi, więc nie są większe od 9, przy czym x musi być parzyste, a y dzielić się przez 7. Zatem x =, y = 7. Odpowiedź: Szukanymi liczbami są 7 i Oznacz szukane liczby literami a i b. Zauważ, że skoro NWD(a, b) = 6, to a = 6m i b = 6n, gdzie m i n są pewnymi liczbami naturalnymi względnie pierwszymi. a + b = 4. Zatem 6m + 6n = 4, czyli m + n = 7. Przedstaw liczbę 7 w postaci sumy dwóch liczb: 7 = + 6 = + 5 = + 4. Każda z par: (, 6), (, 5), (, 4) spełnia warunki zadania. Szukanymi liczbami są iloczyny tych liczb przez 6. Odpowiedź: a = 6 i b = 6 lub a = i b = 0, lub a = 8 i b = (n ) (n + ) = = (4n 4n + ) (4n + 4n + ) = = 4n 4n + 4n 4n = = 8n Odpowiedź: 8n. Zgodnie z kolejnością działań najpierw podnieś wyrażenia w nawiasach do kwadratu, stosując odpowiednie wzory skróconego mnożenia. Wyniki zapisz w nawiasach. Opuść nawiasy i wykonaj redukcję wyrazów podobnych...0. W pierwszej kolejności trzeba wykonać dzielenie, ale przy dzieleniu ułamków pamiętaj, żeby je przedstawić w postaci ułamka niewłaściwego. (0,7 0,56) + (0,065 0,5) = 0,6 0,06 Odpowiedź: 0,.... Prawidłowo zapisz działanie (kwadrat różnicy musisz wziąć w nawias) i nie zapomnij o kolejności ich wykonywania. Odpowiedź: A.... Najpierw oblicz p = = 0. p a = 5, p b =, p c =. P = 0 5. Odpowiedź: P = Oblicz najpierw liczby a i b, stosując właściwą kolejność działań. a = 0, i b = 4. Teraz oblicz a + b = 0, + 0,75 =,05. Odpowiedź:,05.

13 MATEMATYKA. Przed maturą. Zadania Odpowiedź: 4, Odpowiedź: B...6. Najpierw oblicz a, a potem sprawdź, czy jest to liczba większa lub równa 4 i mniejsza od 5. Odpowiedź: a = 5 nie należy do podanego przedziału...7. Odpowiedź: B Wykonaj potęgowanie dwumianów po obu stronach nierówności, pamiętając o zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia. Po wykonaniu działań otrzymasz nierówność: x < x,. Do tego przedziału należy 0, nie należy. Odpowiedź: Do tego przedziału należy jedna liczba naturalna...9. Częścią wspólną podanych przedziałów liczbowych jest przedział (, 7), do którego należy tylko jedna liczba pierwsza:. Odpowiedź: A...0. Oblicz wartości b na końcach przedziału ( 4, 6): 5 ( 4) 4 = 4 oraz = 6. Odpowiedź: b ( 4, 6)... Procenty. Błąd względny i bezwzględny... Oblicz: a) 5% z 6; b) liczbę o % większą od 0; c) liczbę 6% mniejszą od 400; d) liczbę, której 5% jest równe 5; e) jakim procentem liczby 8 jest liczba 6; f) o ile procent jest większa liczba 50 od liczby 5; 4

14 . Liczby g) o ile procent jest mniejsza liczba 5 od liczby 50; h) liczbę o 0% mniejszą od liczby o 0% mniejszej od 00; i) liczbę o 5% większą od liczby o 5% mniejszej od Kwota z % VAT wynosi 460 zł. Ile wynosi kwota netto?... Cena z VAT wynosi 0 zł, a bez VAT 000 zł. Ile procent stanowi VAT? % pewnej liczby jest równe 9. Jaka to liczba?..5. Cena malała trzy razy o 0%. O ile procent zmalała w stosunku do pierwotnej ceny?..6. Liczba dodatnia b jest większa od liczby a o 0%. O ile procent liczba a jest mniejsza od liczby b?..7. Z 00g 6-procentowego roztworu soli odparowano wodę. Ile gramów soli pozostanie?..8. Liczba o 0% większa od liczby o 0% mniejszej od 400 to: A. 640; B. 400; C. 76; D Wpłacono 5000 zł na konto oprocentowane,6% w stosunku rocznym z kapitalizacją odsetek: a) co kwartał; b) co pół roku; c) co rok. Jaki będzie stan konta w każdym z tych przypadków po dwóch latach?..0. W banku A odsetki są kapitalizowane co kwartał, a w banku B co pół roku. Lokaty w banku A są oprocentowane w wysokości 4,8%, a w banku B 5% w skali roku. Oferta którego z banków jest korzystniejsza, jeśli zamierzamy ulokować zł na cztery lata?... Na lokatę oprocentowaną,5% w stosunku rocznym włożono kwotę zł. a) Jaki podatek od odsetek (0%) zostanie odprowadzony, jeśli pieniądze zostaną na lokacie przez lata? b) Jaki byłby podatek od odsetek, gdyby obliczany był dopiero po latach oszczędzania od całej kwoty zgromadzonych odsetek?... Aneta wzięła 0 tys. zł kredytu o oprocentowaniu rocznym,04%. Ile pieniędzy będzie musiała zwrócić po dwóch latach? 5

15 MATEMATYKA. Przed maturą. Zadania Radek pożyczył 7000 zł na 4,8% rocznie. Pod koniec każdego roku zwraca 600 zł. Jaki jest dług Radka po trzeciej spłacie?..4. Wartość samochodu maleje z każdym rokiem o 0%. Monika kupiła samochód za zł. Jaka będzie wartość samochodu po latach?..5. Aby zakisić ogórki, trzeba sporządzić 4-procentowy roztwór soli kuchennej. Ile soli i wody należy zmieszać, aby otrzymać 000 g takiego roztworu?..6. Zmieszano 60 g roztworu o stężeniu 0% i 0 g roztworu o stężeniu %. Oblicz stężenie procentowe otrzymanego roztworu...7. Do 575 g wody wrzucono tyle gramów siarczanu miedzi, że otrzymano roztwór 8-procentowy. Ile gramów siarczanu rozpuszczono?..8. Paweł zainwestował zł w akcje firm A i B. Po roku wartość akcji firmy A spadła o 0%, a wartość akcji firmy B wzrosła o 5%. Inwestycja Pawła po tych zmianach była warta 000 zł. Ile pieniędzy ulokował Paweł w akcjach firmy A?..9. W 0 roku miasto miało mieszkańców. W 0 roku przybyło 40% mieszkańców. W 04 ubyło 40% mieszkańców. Ilu mieszkańców liczyło miasto na początku 05 roku? A ; B. 9600; C. 8400; D W czerwcu 05 r. w Polsce zarejestrowano 0 90 nowych samochodów osobowych, co oznaczało wzrost o 8% wobec poprzedniego miesiąca. Oszacuj liczbę samochodów zarejestrowanych w Polsce w maju tego roku.... Do ceny posiłku (bez napoju) doliczono ośmioprocentowy VAT w wysokości 0,9 zł. Jaka jest cena netto tego posiłku?... W kawiarni stały klient dostaje 7% rabatu. Do ceny napojów doliczany jest % VAT i 0% za obsługę. Procenty są naliczane po kolei, a każdy procent (zniżka, podwyżka) jest obliczany od poprzedniej kwoty. Jaka kolejność jest najkorzystniejsza dla klienta? A. kolejność jest bez znaczenia; B. rabat, VAT, obsługa; C. VAT, obsługa, rabat; D. rabat, obsługa, VAT.... Towar z % VAT kosztował 5,75 zł. Ile kosztowałby po obniżce VAT do %? 6

16 . Liczby..4. Klaudia zapłaciła 46,8 zł za bilet ze zniżką %. Jaka jest cena takiego biletu bez zniżki?..5. W wyborach prezydenckich w 05 r. wzięło udział 55,4% uprawnionych do głosowania. Kandydat A.D. uzyskał 5,55% głosów. Jaki procent uprawnionych do głosowania oddał głos na kandydata A.D.?..6. Magda jest niższa od Beaty o 0%. O ile procent jest wyższa Beata od Magdy?..7. O ile procent wzrośnie pole kwadratu, którego bok zwiększymy o 0%?..8. Samolot lecący z prędkością 960 km/h osiąga 80% swej maksymalnej prędkości. Jaka jest maksymalna prędkość samolotu?..9. Filiżanka i spodek kosztują tyle samo. O ile procent stanieje komplet 6 filiżanek i 6 spodków, jeśli filiżanka potanieje o 4%, a spodek o 6%? A. o 0%, B. o 5%; C. o 8%; D. o %...0. Basia zrobiła zakupy i dostała paragon, na którym znalazły się kwoty:,89 zł,,6 zł, 9,99 zł,, zł, 4,0 zł,,95 zł, 5,9 zł,,75 zł, 6,99 zł,,6 zł, 8,99 zł,,96 zł, 4,9 zł. W trakcie zakupów szacowała kwotę do zapłacenia, zaokrąglając z dokładnością do zł. Jaki bezwzględny i względny błąd popełniła, obliczając w ten sposób?... O liczbach a i b wiemy, że a 7,8 i jest to przybliżenie z nadmiarem, a błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi 0,0 oraz że b 67,7 i jest to przybliżenie z niedomiarem, a błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi 0,45. a) Znajdź liczby a i b. b) Oblicz sumę liczb a i b. Otrzymany wynik zaokrąglij do pierwszego miejsca po prze cinku, a następnie oblicz błąd bezwzględny i względny otrzymanego przybliżenia.... Przybliżona masa pasztetu w puszce 50 g. Jest to przybliżenie z nadmiarem. Błąd względny tego przybliżenia jest mniejszy od 0,0. Oszacuj rzeczywistą masę pasztetu.... Podano, że w 564 roku w Gostyninie mieszkało 600 osób, chociaż prawdopodobnie było ich 57. Oblicz błąd bezwzględny i względny tego przybliżenia. 7

17 MATEMATYKA. Przed maturą. Zadania W którym przypadku procentowy błąd względny przybliżenia jest największy? A B C D E Wartość dokładna 7 cm 985 g s 4878 tys. 47 m Przybliżenie, m kg min 5 mln, km..5. Zaokrąglając liczby,,, 6 do dziesiątek, popełnisz ten sam błąd bezwzględny. W którym przypadku błąd względny będzie najmniejszy? Wskazówki. Rozwiązania. Odpowiedzi... a) 5% z 6 = 0,5 6 = 5,4; b) % z 0 =, 0 =,6; c) 94% z 400 = 0, = 76; d) Szukana liczba to x. Możesz zapisać,5x = 5. Zatem x = 5 :,5 = 00; e) % = 00%; f) % %= 00%. Możesz też najpierw obliczyć różnicę, a potem obliczyć, jakim procentem liczby 5 jest ta różnica: 50 5 = 5. To 00% liczby 5; g) 00% % = 50%; h) 0,8 0,9 00 = 656; i),5 0, = 977,5.... Oznacz kwotę netto literą N. Wtedy:,N = 460. Zatem N = 460 :,. Odpowiedź: Kwota netto N = 000 zł.... VAT = = 0 (zł). Oblicz, jakim procentem liczby 000 jest liczba 0. Odpowiedź: 7%...4. Odpowiedź: ,8 0,8 0,8 x = 0,5x x 0,5x = 0,488x = 48,8% x. Odpowiedź: Cena zmalała o 48,8%. 8

18 . Liczby..6. Liczbę większą od liczby a o 0% można przedstawić w postaci b = ( ) a. 00 Po skróceniu otrzymujemy b = 6 a. Przekształć to wyrażenie tak, aby obliczyć a. 5 a = 5 b 6. Łatwo zobaczysz, że liczba a jest mniejsza od liczby b o 6, czyli 6 %...7. I sposób: 6 6% 00 g = 00 = g 00 Odpowiedź: g. II sposób: W 00 g roztworu jest 6 g soli, zatem w 00 g roztworu jest g soli...8. I sposób: 0% 400 = 40; = 640; 0% 640 = 64; = 76. Odpowiedź: C. II sposób: Liczba o 0% mniejsza od 400 to: 90% 400, czyli 0,9 400 = 60. Liczba o 0% większa od 60 to: 0% 60 =, 60 = 76. III sposób: 0,9, 400 = = 0, = a) Odsetki będą kapitalizowane 8 razy, a oprocentowanie odpowiadające kwartałowi wyniesie: 0,5,6 = 0,69. Po dwóch latach stan konta wyniesie: 8 09, K 8 = = 5000,009 8 = 57,55 zł. b) Odsetki będą kapitalizowane cztery razy, a procent przypadający na jedno półrocze jest równy:,6 =,8%. Stan konta wyniesie: 4 8, K 4 = = 569,84 zł. c) Odsetki będą kapitalizowane dwa razy, więc w tym wypadku stan konta wyniesie: 6, K = = 5000,06 = 566,48 zł. 9

19 MATEMATYKA. Przed maturą. Zadania Oblicz kwotę znajdującą się na koncie w obu przypadkach. Pamiętaj, ile razy kapitalizowane są odsetki w obu przypadkach i o tym, że w treści zadania podane jest oprocentowanie w skali roku. bank A bank B 6 48, 5 K 6 = = 0,87 K 4 = = 84,0 Odpowiedź: Korzystniejsza jest oferta banku B.... a) Po roku: odsetki wyniosą: ,05 = 500. Podatek od odsetek: 500 0, = 00 (zł). Po dwóch latach odsetki wyniosą: ( + 0,05 0,8) 0,05, gdyż należało dopisać tylko 80% odsetek, czyli to, co pozostało po odprowadzeniu podatku, a podatek: ( + 0,05 0,8) 0,05 0, = 0 (zł). Odpowiedź: Odprowadzony w ciągu dwóch lat podatek wyniesie: = 0 (zł). b) Kwota na koncie po dwóch latach: 0 000,05, odsetki: (,05 ), a podatek od odsetek: (,05 ) 0, = 0,5 (zł). Odpowiedź: Podatek liczony od całej kwoty odsetek po dwóch latach wyniósłby 0,5 zł.... Odpowiedź: 7 658,88 zł.... Po pierwszym roku: 7000,048 = 76. Po pierwszej spłacie: = 576. Podobnie oblicz, ile zostanie do spłaty po drugim i po trzecim roku. Odpowiedź: 0,07 zł...4. I sposób: Po roku: , = = Po dwóch latach: , = = 400. Po trzech latach: 400 0, = = II sposób: Po roku: ,8 = 8 000; Po dwóch latach: ,8 = 400; Po trzech latach: 400 0,8 = III sposób: W = ( 0,) W = ,8 W = Odpowiedź: Po czterech latach wartość samochodu wyniesie 7 90 zł...5. Oznacz: x masa soli, x = 4% 000 g = 4 0 g = 80 g. Masa wody: 000 g 80 g = 90 g. Odpowiedź: Trzeba zmieszać 80 g soli i 90 g wody. 8 0

20 . Liczby..6. 0% 60 + % 0 = x% (60 + 0) 0, ,0 0 = 0,8x 6,4 = 0,8x x = 8. Odpowiedź: Stężenie otrzymanego roztworu jest równe 8%...7. Oznacz przez m masę siarczanu miedzi w gramach. 8% (575 + m) = m. Rozwiąż to równanie. Odpowiedź: Rozpuszczono 50 g siarczanu...8. Oznacz x kwotę pieniędzy zainwestowaną w akcje firmy A, y w akcje firmy B. Oto równania odpowiadające opisanej sytuacji: x + y = oraz 0,9x +,5y = 000. Wystarczy rozwiązać układ tych równań. Odpowiedź: 4000 zł...9. Jak wiesz, 40% to,4. Podobnie, 60% to 0,6. Sytuację możesz opisać działaniem:, 4 0, Wykonaj obliczenia. Odpowiedź: C...0. Odpowiedź: Około aut.... Odpowiedź:,5 zł.... Oznacz przez x cenę netto napoju (bez rabatu, podatku VAT i obsługi) i oblicz kwotę końcową jako iloczyn: 9% % 0% x = 0,9,, x. Mnożenie jest przemienne, więc kolejność nie ma znaczenia. Odpowiedź: A.... Odpowiedź: 5,5 zł...4. Odpowiedź: 69,90 zł...5. Możesz wykonać działania na ułamkach, a potem zamienić ułamek na odpowiadający mu procent. 0,554 0,555 = 0,85. Odpowiedź: 8,5%...6. Odpowiedź: O 5%...7. Odpowiedź: O 44%...8. Oznacz literą v maksymalną prędkość samolotu. Wtedy 80% v = 960. Zatem v = 960 : 0,8 = 00. Odpowiedź: Maksymalna prędkość tego samolotu to 00 km/h.

21 MATEMATYKA. Przed maturą. Zadania Możesz to obliczyć na kilka sposobów. Spodek i filiżanka mają taką samą cenę i jest ich tyle samo w komplecie, a więc obniżkę możesz obliczyć na przykład jako średnią arytmetyczną podanych obniżek. Komplet potanieje o 5%. Odpowiedź: B...0. Zaokrąglij każdą z kwot, zgodnie z zasadami. Oblicz sumę przybliżeń: = 96 (zł). Basia zapłaciła 95,68 zł. Zatem bezwzględny błąd wynosi 0, zł, a względny 0, 0,%. 95, a) Jeżeli 7,8 jest przybliżeniem liczby a z nadmiarem, to liczba a jest mniejsza od 7,8 o 0,0. Zatem a = 7,8 0,0 = 7,779. Analogicznie, jeżeli 67,7 jest przybliżeniem liczby b z niedomiarem, to b = 67,7 + 0,45 = 68,5. b) a + b = 85,9 85,9. Jest to przybliżenie z niedomiarem, a więc błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy różnicy 85,9 85,9 = 0,0. Błąd względny to (0,0 : 85,9) 00% 0,04%.... Błąd względny b w = r p, gdzie p = 50. W tym przypadku r < p, gdyż przybliżenie p jest z nadmiarem, zatem warunek, który należy rozwiązać, przyjmie postać: r 50 r <. r 00 Po rozwiązaniu otrzymasz: r > 48,5. Z założenia wynika, że r < 50. Odpowiedź: Rzeczywista masa pasztetu r spełnia warunek: 48,5 < r < Błąd bezwzględny: b b = 8. Błąd względny: b w = 0,078 =,78%...4. A B C D E błąd bezwzględny cm 5 g s tys. 47 m błąd względny w % 0,9,5,44,5 Odpowiedź: Największy błąd względny jest w przypadku D...5. Błąd względny będzie najmniejszy, gdy wartość dokładna będzie największa, czyli w ostatnim przypadku.

22 . Liczby.. Potęgi. Pierwiastki. Logarytmy... Oblicz: a) 00, = b) 0, 0009 = c) = d) 5 5 = e)... Wyłącz czynnik spod znaku pierwiastka: a) 50 = b) 6 = f) = ( ) = c) = d) 8... Zapisz w najprostszej postaci: Wykonaj działania i przedstaw w najprostszej postaci: a) = b) 7 ( ) = c) 7 = d) ( 5 )( + 5) = e) 5 g) 6 i) = f) ( 5 )( 5 + ) = = h) = 9 ( 54) = j) =..5. Wykonaj działania i przedstaw w najprostszej postaci: a) ( ) = b) 7 8 = c) (5 4 ) = d) ( ) = )( 8 =..6. Wykaż, że 79 =...7. Wyłącz największy czynnik przed znak pierwiastka x y z, gdzie x, y, z są dodatnimi liczbami rzeczywistymi...8. Oblicz wartość wyrażenia 9x + 5 0x + x dla x =.

23 MATEMATYKA. Przed maturą. Zadania Oblicz: : + 5 : Usuń niewymierność z mianownika: 7 a) = b) = c) 7 7 d) 7 = e) + 7 = f) = 9 6 = 6... Oblicz iloraz sumy liczb i 6przez ich różnicę.... Oblicz wartość wyrażenia x x + dla x = +. x... Uzasadnij, że liczba jest liczbą całkowitą...4. Zapisz w postaci jednej potęgi: a) = b) 5 : 5 0 = c) ( ) = d) 6 = e) 7 = f) 7 : 7 5 = 5 g) 0,5 ( ) = h) = i) = j) 0,5 + 8,5 = k) = l) =..5. Oblicz: 5 a) = b) 5 = c) 0, + 0, 0, = d) 7 = e) 49 = f) 5 49 = g) 5 = h) j) 6 : 6 = 5 = i) = 4

24 . Liczby..6. Porównaj liczby a i b, jeśli: a = i b = Zapisz w postaci jednej potęgi: ,..8. Zapisz w postaci jednej potęgi: Zapisz w postaci potęgi liczby 0: a) = b) (0,000) = c) (0,0) 0 : 00 = d) 000 0,00 4 =..0. Wykonaj działania: a) (a ) = b) ( 4b ) = c) x x = d) (x + x + x ) 4x =... Uporządkuj rosnąco liczby:, 6, (0,5),,... Która liczba jest większa: 655 czy 7? 8 05,, 0, Wykaż, że wartość liczbowa wyrażenia 6 9 jest wielokrotnością liczby Na egzamin przygotowano 5 pytań z dwiema odpowiedziami do wyboru i 5 pytań z 4 odpowiedziami do wyboru. Ile było możliwych odpowiedzi?..5. Wykonaj działania. Wynik przedstaw w notacji wykładniczej. a) 0, = b) c) 8,5 0 5 : 0 = d) 0, , 0 7 = = 0, 000 5

25 MATEMATYKA. Przed maturą. Zadania Masa protonu jest równa, kg. Masa Ziemi kg. Ile razy masa Ziemi jest większa od masy protonu? A.,59 0 razy; B., razy; C., razy; D.,59 0 razy...7. Średnia odległość Marsa od Słońca jest równa,8 0 8 km, a Plutona km. Ile razy odległość Plutona od Słońca jest większa od odległości Marsa od Słońca?..8. Masa Jowisza jest równa M =, kg. Masa Io, jednego z jego księżyców, jest równa m = 8,9 0 kg. Odległość Io od Jowisza średnio wynosi r = 4, 0 8 m. Z jaką siłą grawitacji oddziałuje Jowisz na Io? Skorzystaj ze wzoru na siłę grawitacji: F G M m Nm =, gdzie G = 6,67 0. r kg..9. Atom węgla ma wielkość około c =,4 0 0 m, a wirus w =,5 0 6 m. Ile razy wirus jest większy od atomu węgla?..0. W próbce znajduje się N 0 = 6,4 0 7 atomów promieniotwórczego azotu N. Okres połowicznego rozpadu tego izotopu wynosi T 0,5 = 0 minut. Oblicz, ile ato- mów jodu zostanie po upływie godziny? Skorzystaj ze wzoru: N = N 0 N 0 początkowa liczba atomów, N liczba atomów po upływie czasu t. t T 05,, gdzie Tabela przedstawia natężenie wybranych źródeł dźwięku. Wykorzystaj dane z tabeli w zadaniu... i... Źródło Natężenie dźwięku [W/m ] Źródło Natężenie dźwięku [W/m ] szept ledwo 0 pociąg 0 4 słyszalny szelest liści 0 młot pneumatyczny 0 rozmowa 0 9 do 0 8 startujący odrzutowiec odkurzacz 0 5 próg bólu 0... Ile razy natężenie dźwięku startującego odrzutowca jest większe od natężenia dźwięku pracującego odkurzacza? A razy; B. 0,0000 razy; C. 0,000 razy; D razy. 6

26 . Liczby... O ile W/m natężenie dźwięku najgłośniejszej rozmowy jest większe od natężenia dźwięku najcichszej rozmowy? A. o 0 W/m ; B. o 0 W/m ; C. o W/m ; D. o 9000 W/m.... Zamień pierwiastek na potęgę: a) 5 5 = b) 7 = c) Zamień potęgę na pierwiastek: a) 5 5 = b) 9 = d) 5 = = c) ( ) ( ) + + = Uzasadnij, że ( ) + ( )...6. Wykonaj działania: 7 7 ( ) + ( + )..7. Oblicz: ( ) = Przedstaw wyrażenie w postaci potęgi liczby : :. ( ) 6 ( ) Zapisz w postaci potęgi bez użycia symbolu pierwiastka: Zapisz w najprostszej postaci: 5 ( ) Oblicz: Oblicz: a) log 5 65 = b) log 0,9 0,8 = c) log 0,00 = d) log 6 6 = e) log (log 8) = f) log (log0) = 5 g) log 0, (log 6 6) = h) log = 7

27 MATEMATYKA. Przed maturą. Zadania Oblicz x: a) log 5 x = b) log x = 0 c) log x = d) log x 0,5 =..44. Wiedząc, że log = a i log 8 = b, oblicz: a) log 4 = b) log 64 = c) log 8 = d) log 5 = e) log 64 = f) log 8 9 =..45. Wyznacz x, jeśli: a) log x + log 5 = b) log 5 + log 5x = c) log(x + ) + log(x ) = 0 d) log(00 x) =..46. Oblicz: a) 5log 9 + 7log 8 = b) 6log 64 log 7 49 = c) log 6 + log 6 = d) log 6 08 log 6 8 =..47. Zapisz jako jeden logarytm: a) log 6 + 5log = b) 4log log 8 = c) 5log = d) 5log 7 + log =..48. Jeżeli 50 = x, to: A. log x = 50; B. log x = 50; C. log x 50 = ; D. log 50 = x Wyrażenie log x log y + log z jest równe: A. log x + z y ; B. log xz y ; C. log(x y + z); D. log x yz Wiedząc, że log =,59 i log 7 =,8, oblicz: a) log = b) log 8 = c) log 49 9 =..5. Oblicz w: a) w = log 7 b) w = log c) w = 5 log log Skalę Richtera (S R ) służącą do określania siły trzęsienia ziemi można opisać wzorem S R (A) = log A, gdzie A jest amplitudą fali sejsmicznej. a) Oblicz, o ile wzrośnie siła trzęsienia ziemi, jeśli amplituda A wzrośnie sto razy. b) Wartość S R wzrosła o trzy jednostki. Jaki był wzrost amplitudy A? 8

28 . Liczby c) Trzęsienie ziemi 7 kwietnia 05 roku w Indiach miało siłę 5, w skali Richtera. Dwa dni wcześniej było 500 razy większe trzęsienie ziemi w Nepalu. Jaką siłę w skali Richtera miało trzęsienie ziemi w Nepalu? Przyjmij log 5 = 0, Uzasadnij, że log 40 log = Porównaj liczby x, y, z, gdy: log x 5 =, log y =, log = z Wskazówki. Rozwiązania. Odpowiedzi a) 00, = 0,; b) 0, 0009 = 0,0; c) = 4 69 = 8 ; d) 5 5 = 5 5 = 5; e)... a) 50 = 5 ; b) 6 = 8 = 0 ; f) = 7 64 = 4 7. ( ) ; c) = 8 ; d) 8 =.... Zauważ, że 7 = 9 =, = i 48 = 4. Wykonaj wskazane działania. Odpowiedź:...4. a) = ; b) 7 ( ) = 4; c) 7 = 0; d) ( 5)( + 5) = 9; e) 5 g) 6 i) = ; f) ( 5 )( 5 + ) = 8 + 5; = ; h) = 9 5; 9 ( ) 8 = 6 ; j) = 5 = 5. 9

29 MATEMATYKA. Przed maturą. Zadania a) ( ) = = ; b) 7 8 = 4; c) (5 4 )= 4; d) ( )( 8 ) = 6. n m mn Możesz zastosować własność a = a. Otrzymasz wtedy 79 =. Możesz też najpierw obliczyć wewnętrzny pierwiastek 7 =...7. Zauważ, że 6 = 4 =. Podobnie x 4 = x x, y 8 = y (y ) i z 7 = z (z ). Odpowiedź: xy z xy z. 79 = 7, a następnie..8. I sposób: Podstaw x = : = =. Odpowiedź:. II sposób: Przekształć wyrażenie do najprostszej postaci: 9x + ( 5 x ) = 9x + 5 x. Podstaw x = : =...9. Zanim obliczysz wartości pierwiastków z liczb mieszanych, musisz je przedstawić w postaci ułamków niewłaściwych. Pamiętaj o kolejności działań. Odpowiedź: a) b) Należy pomnożyć licznik i mianownik ułamka przez. Odpowiedź: 7 9. Należy pomnożyć licznik i mianownik ułamka przez (7 + 7 ). Pamiętaj o tym, aby wziąć licznik i mianownik w nawias. Teraz w mianowniku skorzystaj z wzoru skróconego mnożenia: (a b)(a + b) = a b, a w liczniku ze wzoru: (a + b) = a + ab + b. ( 4 + ) Odpowiedź:. 0

30 . Liczby c) 7 9 Zauważ, że w mianowniku masz, zatem aby usunąć niewymierność z mianownika, wystarczy pomnożyć licznik i mianownik przez. d) 7 49 Odpowiedź: 9 9. Pomnóż licznik i mianownik przez 7. Odpowiedź: 7. e) + 7 Licznik i mianownik pomnóż przez 7. Pamiętaj o wzięciu licznika 7 w nawias. Odpowiedź: f) 6 6 Licznik i mianownik pomnóż przez 6. Odpowiedź: Wskazówka: Zapisz iloraz w postaci ułamka i usuń niewymierność z mianownika. Odpowiedź: I sposób: ( x ) Przekształć licznik wyrażenia, korzystając ze wzoru x skróconego mnożenia. (x ) Możesz skrócić ułamek przez (x ), ponieważ x. + Oblicz wartość wyrażenia, podstawiając x = +. II sposób: ( + ) ( + )+ Podstaw x = +. + ( + + ) ( + )+ Wykonaj działania w liczniku i mianowniku. = Usuń niewymierność z mianownika, albo skróć ułamek, korzystając z faktu, że =. Odpowiedź: Wartość wyrażenia jest równa.

31 MATEMATYKA. Przed maturą. Zadania Wskazówka: Usuń niewymierności z mianowników. Otrzymasz wtedy pewną sumę. Po wykonaniu działań otrzymasz liczbę, która jest liczbą całkowitą...4. a) = (5 ) 5 5 = 5 9 ; b) 5 : 5 0 = 5 ; c) ( ) = 0 ; d) 6 = 4 = 7 ; e) 7 = 7 ; f) 7 : 7 5 = 7 ; g) 0,5 ( ) = ; h) = 9 7 = 7 = 9 ; 5 i) = 4 6 = 4 = ; j) 0,5 + 8,5 = 9 = 5 ; k) = 5 5 = 5 ; l) = = 6 4 = a) 5 = ; b) 5 = 6 5 ; c) 0, + 0, 0, = 0; d) 7 = ; e) 49 = 7 g) 5 = 5 ( ) = 7; f) 5 ( ) = 5 = 5; h) 49 = = 7 ; 5 = 5 5 ( ) = = 8 ; i) =7 4 = 8; j) 6 : 6 = 6 ( ) : 6 =...6. Należy każde z wyrażeń przedstawić w najprostszej postaci. Zauważ, że aby łatwo obliczyć pierwiastek z liczby mieszanej, należy przedstawić ją w postaci ułamka niewłaściwego. Odpowiedź: a =, b =, a więc a = b.

32 . Liczby..7. Zauważ, że a + a = 5a. Wystarczy sumę z lewej strony zapisać w postaci iloczynu i wykonać działania na potęgach. Odpowiedź: Zauważ, że podstawą każdej występującej w wyrażeniu potęgi jest liczba. Odpowiedź:...9. Zapisz w postaci potęgi liczby 0: a) = (0 4 ) = 0 ; b) (0,000) = (0 4 ) = 0 ; c) (0,0) 0 : 00 = : 0 6 = = 0 4 ; d) 000 0,00 4 = Wykonaj działania: a) (a ) = 9a 4 ; b) ( 4b ) = 6b 6 ; x c) x = 8 x 7x 6 9 = 8 7 x 5 ; d) (x + x + x ) 4x = x + 8x Przedstaw każdą z liczb w postaci potęgi liczby, a następnie uporządkuj, poczynając od najmniejszego wykładnika do największego. Odpowiedź: (0,5), =,,, 0, 5 =, 6 =, 8 05, =,5.... Aby porównać dwie potęgi, wygodnie jest obliczyć ich iloraz. W tym przypadku doprowadź najpierw do postaci, w której są takie same wykładniki: 655 = Zatem = 7. Jest to liczba większa od 8 (0,5) 7 =, więc liczba większa od jedności. Oznacza to, że liczba 655 jest większa od Zauważ, że 6 = 5, =, a =. Wystarczy teraz wyłączyć przed nawias: ( 5 8) = ( 4 8) = Jeżeli na każde pytanie można udzielić jednej z dwóch odpowiedzi, to przy dwóch pytaniach możliwości jest = 4, przy trzech itd. Dwadzieścia pięć pytań to 5 możliwości. Analogicznie, przy czterech odpowiedziach na każde pytanie przy 5 pytaniach jest 4 5 = 0 możliwych odpowiedzi. Wymnóż te wartości. Odpowiedź: Było 55 możliwości.

33 MATEMATYKA. Przed maturą. Zadania a) 0, = 0 9 ; b) c) 8,5 0 5 : 0 = 4,5 0 8 ; d) 7 0, 74 0 = 0 ; 8 57, =, , Podziel masę Ziemi przez masę protonu. Odpowiedź: B...7. Odpowiedź: Około 6, razy. 667,, , Podstaw wartości: ( 4, ) 8 ( 0 ) Skorzystaj z własności działań na potęgach: F = 6,4 0 N. Odpowiedź: Jowisz przyciąga Io z siłą 6,4 0 N. 7 N m kg kg m...9. Wystarczy obliczyć iloraz w 6 c = 5, 0, 0 4 = , 0 Odpowiedź: Wirus jest 000 razy większy od atomu wodoru...0. Podstaw dane do wzoru. Nie zapomnij zamienić godziny na minuty. Odpowiedź: N = Wybierz wartości z tabeli i wykonaj dzielenie, korzystając z praw działań na potęgach o tej samej podstawie. Zapisz odpowiedzi A, B, C, D jako potęgi o podstawie 0. Odpowiedź: D.... Oblicz różnicę między górną a dolną granicą natężenia dźwięku rozmowy. Odpowiedź: C.... Skorzystaj ze wzoru: n m a = ( a m ) n = a a) 5 5 = 5 5 ; b) 7 c) 6 m n. = 4 ; 4 = 7 ; d) 5 = 5 = 0,. 4

34 . Liczby..4. a) 5 5 = 5 5 ; b) 9 = ; c) 9 ( ) =...5. Przekształć lewą stronę równości, korzystając ze wzoru ( a) = a, gdy a Zastosuj najpierw wzór: (a b) m = a m b m, a potem: (a b)(a + b) = a b. ( ) + ( ) 7 7 Odpowiedź: = 49 ( ) = 6 = 6. Zastosuj najpierw wzór skróconego mnożenia ( ) ( + ) ( ) + ( ) = ( ) Odpowiedź: 8. = na kwadrat dwumianu: (a + b) = a + ab + b. Teraz możesz najpierw zastosować wzór: (a b) m = a m b m, a potem: (a b)(a + b) = a b...8. Zastąp każdą z podstaw potęgą liczby i wykonaj działania na potęgach o tej samej podstawie. Odpowiedź: 0,7. p m p m..9. Skorzystaj ze wzoru a = a, a następnie wykonaj działania na potęgach o tej samej podstawie. Odpowiedź: W liczniku zastąp pierwiastek odpowiednią potęgą o podstawie, a następnie wykonaj działania na potęgach o tej samej podstawie. W mianowniku przedstaw każdą z liczb jako potęgę i wykonaj działania na potęgach. Odpowiedź: =...4. Zauważ, że tym razem nie podstawy są takie same, a wykładniki. Zastosuj wzór: (a b) m = a m b m. Otrzymasz: Teraz każdą z postaw potęg występujących w mianowniku i liczniku zastąp potęgą pewnej liczby. 8 Odpowiedź: 4,5. 5

35 MATEMATYKA. Przed maturą. Zadania a) log 5 65 = 4, bo 5 4 = 65; b) log 0,9 0,8 =, bo 0,9 = 0,8; c) log 0,00 =, bo 0 = 0,00; d) log = 6 ; e) log (log 8) = log 4 = ; f) log 5 (log0) = log 5 = 0; g) log 0, (log 6 6) = log 0, = 0; h) log = 0,5, bo 0,5 =...4. a) log 5 x = x = 5 = 5 ; b) log x = 0 x = 0 = ; c) log x = x = 0 = 0,; d) log x 0,5 = x = 0,5. Podstawa logarytmu jest dodatnia, więc x = 0, a) log 4 = a + b; b) log 64 = b; c) log 8 = b + 0,5a; d) log 5 = 5 a; e) log 64 = b a; f) log 8 9 = b a a) log(x 5) = 0x = 00, więc x = 0 b) log(5 5x) = 5x = 0, więc x = 40 c) log[(x + ) (x )] = 0 x = i x >, więc x = d) 00 x = 00 x = Oblicz: a) 5log 9 + 7log 8 = = b) 6log 64 log 7 49 = 6 6 = 4 c) log 6 + log 6 = log 6 6 = d) log 6 08 log 6 8 = log 6 6 = Zwróć uwagę na to, że w tym przypadku logarytmy nie mają takich samych podstaw. Zastosuj wzory na sumę lub różnicę logarytmów, a potem skorzystaj z definicji logarytmu a) log 6 + 5log = log 69 b) 4log log 8 = log 4 c) 5log = log 4 d) 5log 7 + log = log(7 5 )..48. Skorzystaj z definicji logarytmu: log a b = x a x = b. Odpowiedź: D Pamiętaj o kolejności działań. Najpierw skorzystaj ze wzoru na logarytm potęgi; potem, w kolejności występowania, na logarytm ilorazu i iloczynu. Odpowiedź: B. 6

36 . Liczby..50. Przedstaw każdą z liczb logarytmowanych jako iloczyn, iloraz lub potęgę liczb i 7. Na przykład: 8 = 4. Teraz możesz skorzystać ze własności logarytmów. Odpowiedź: a) 4,4; b) 6,6; c), a) w = log 7, więc w = 7. b) Zauważ, że log = log i E T. log log 44 w = = = 44 c) Skorzystaj ze wzorów na logarytm potęgi, a następnie na sumę logarytmów. w = log 5 log 8 = log 00 = a) S R (A) = log A; S R (A ) = log A = log(00 A) = = log 00 + log A = + S R (A) b) S R (A) + = log A + log 0 = = log(a 000). Amplituda wzrośnie sto razy, więc: A = 00 A. Skorzystaj ze wzoru na logarytm iloczynu. Odpowiedź: Siła trzęsienia wzrośnie o jednostki. Odpowiedź: Amplituda wzrosła 000 razy. c) S R (A ) = log A = log (500 A ) = = log 5 + log 00 + log A Oznacz: S R (A ) = 5,; A = 500 A. Odpowiedź: Trzęsienie ziemi w Nepalu miało siłę 7,8 w skali Richtera...5. log8+ log5 Przedstaw 40 w postaci iloczynu 8 5. log 5 Skorzystaj ze wzoru na logarytm iloczynu. log8 log5 Zastosuj wzór a m + n = a m a n, a potem skróć log 5 ułamek i oblicz logarytm Oblicz x, y i z, korzystając z definicji logarytmu. Odpowiedź: x = y = z. 7

37 MATEMATYKA. Przed maturą. Zadania... Zestaw zadań do samodzielnego rozwiązania. Pole kwadratu o boku 5 jest równe: A. 7; B. 9 5; C. ; D Wartość podwojonego kwadratu sumy liczb 7 i jest równa: A ; B ; C ; D Niech a = ( 5 ) jest równa: A., b = log i c = 5 5. Wartość wyrażenia a + b c 6 + B. 6; C. 6 + ; D Masa cząstki alfa jest równa 6, kg. Masa Księżyca 7, 0 kg. Ile razy masa Księżyca jest większa od masy cząstki alfa? A., 0 razy; B., 0 5 razy; C., 0 6 razy; D., 0 49 razy. 5. Liczba x podzielona przez 7 daje resztę. Jeżeli m jest liczbą całkowitą, to można zapisać: A. x = m + 7; B. x = 7m + ; C. x : 7 = ; D. x : 7 = m Pole prostokąta przedstawionego na rysunku jest równe: A. 8; B ; C. 5 + ; D Liczba o 8% mniejsza od liczby o % większej od 500 to: A. 96; B. 804; C. 50; D Rozwiązaniem nierówności: 8 < x 0 jest przedział: A. (, 4); B., 4); C. (, 4 ; D. (, 4. 8

38 . Liczby 9. Wyrażenie log x log y + 5log z jest równe: A. log x + 5 z ; B. log xz 5 ; C. log(x y + 5z); D. log x y y yz Liczba przedstawiona w postaci jednej potęgi jest równa: A. ; B. 6 ; C. 9 6 ; D. 7.. Wykaż, że 0,0(6) 0,0() = 55.. Towar z % VAT kosztował 40,9 zł. Ile kosztuje po podwyżce VAT do %?. Skalę Richtera (S R ) służącą do określania siły trzęsienia ziemi można opisać wzorem S R (A) = log A, gdzie A jest amplitudą fali sejsmicznej. a) Oblicz, o ile wzrośnie siła trzęsienia ziemi, jeśli amplituda A wzrośnie 0 tysięcy razy. b) Wartość S R wzrosła o jednostki. Jaki był wzrost amplitudy A? 4. O liczbach a i b wiadomo, że a 0,8 i jest to przybliżenie z nadmiarem, a błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi 0,0 oraz że b 5,7 i jest to przybliżenie z niedomiarem, a błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi 0,. a) Znajdź liczby a i b. b) Oblicz sumę liczb a i b. Otrzymany wynik zaokrąglij do pierwszego miejsca po przecinku, a następnie oblicz błąd bezwzględny i względny otrzymanego przybliżenia. 5. W banku A odsetki są kapitalizowane co rok, a w banku B co kwartał. Lokaty w banku A są oprocentowane w wysokości,5 %, a w banku B,4% w skali roku. Oferta którego z banków jest korzystniejsza, jeśli zamierzamy ulokować 5000 zł na trzy lata? Jaka jest różnica? 9