VII SYMPOZJUM INSTYTUTU EKONOMII I ZARZĄDZANIA POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA Kielce 6 lutego 2006r.

Transkrypt

1 VII SYMPOZJUM INSTYTUTU EKONOMII I ZARZĄDZANIA POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA Kielce 6 lutego 2006r. ZESZYTY NAUKOWE NAUKI EKONOMICZNE nr 34 STABILNOŚĆ MODELI PROGNOZOWANIA PRODUKCJI SAMOCHODÓW W USA Wacław GIERULSKI, Bogusław RADZISZEWSKI 1 STRESZCZENIE W pracy [1] na podstawie danych statystycznych dotyczących produkcji mleka w USA, przedstawiono ocenę przydatności przy prognozowaniu i badaniu stabilności kilku modeli rynku. W tej pracy przeprowadzono porównanie jakości dopasowania wybranych modeli do danych i obszarów stabilności na podstawie wielkości produkcji samochodów w USA w latach WPROWADZENIE W wielu pracach [1-6] przy budowie modeli rynku czyni się pewne założenia o wielkości produkcji lub poziomie ceny w przyszłości na podstawie informacji o tych wielkościach w przeszłości. Przy badaniu stabilności tak uzyskanych modeli bierze się zwykle pod uwagę szeroki zakres występujących w nich parametrów. W pracy [1] podjęliśmy próbę identyfikacji parametrów występujących w kilku wcześniej rozpatrywanych modelach rynku. Potrzebne w tym celu dane statystyczne zostały pobrane ze strony [8]. Dotyczą one produkcji płynnego mleka w Stanach Zjednoczonych Ameryki Północnej w latach Na podstawie przeprowadzonych badań stwierdzono, że model lepiej dopasowujący się do danych rzeczywistych ma mniejszy obszar stabilności. Hipotezę tę chcemy zweryfikować na podstawie danych o produkcji samochodów w Stanach Zjednoczonych Ameryki Północnej w latach dr hab. Wacław GIERULSKI, prof. PŚk., prof. dr hab. Bogusław Radziszewski - Politechnika Świętokrzyska, Wydział Zarządzania i Modelowania Komputerowego, Aleja Tysiąclecia Państwa Polskiego 7, PL Kielce

2 2 2. MODELE RYNKU Podobnie jak w pracy [1] zajmiemy się modelami, które są liniowymi i jednorodnymi funkcjami cen. Niech dalej Q oznacza podaż przy rynku zrównoważonym. Oznaczając równ przez yt odchylenie podaży w okresie t od Qrówn, otrzymamy równanie różnicowe y ae( y ) = 0 t + t opisujące zachowanie się tego odchylenia w kolejnych okresach czasu [1], gdzie E( y t ) jest oczekiwanym odchyleniem podaży w okresie t, a a oznacza stałą dodatnią. Aby zbadać stabilność modeli rynku należy wyznaczyć zachowanie się odchylenia podaży aktualnej od podaży równowagi. Jeśli odchylenie to w kolejnych okresach zmniejsza się to cena równowagi jest stabilna, a jeśli zwiększa się, to cena równowagi jest niestabilna. W dalszym ciągu tej pracy rozważać będziemy kilka różnych modeli rynku. Statyczne oczekiwanie podaży dotyczy najprostszego modelu, gdy podaż oczekiwana w okresie t jest taka sama jaka była w okresie t 1, czyli (1) E ) = Q. (2) ( Q s, t s, Jeżeli oczekiwana podaż jest w każdym okresie modyfikowana przez dodanie wyrazu proporcjonalnego do różnicy między podażą obserwowaną i podażą przewidywaną w poprzednim okresie, czyli E ( Qs, t ) E( Qs, ) = µ [ Qs, E( Qs, )], (3) gdzie µ jest stałym współczynnikiem, to mówimy o adaptacyjnych oczekiwaniach podaży. Jeśli µ = 1, to adaptacyjne oczekiwania podaży redukują się do statycznych oczekiwań podaży (2). Jeśli statyczne oczekiwania podaży są modyfikowane przez wyrażenie proporcjonalne do różnicy podaży w ostatnich dwóch okresach, czyli E ( Qs, t ) = Qs, + µ ( Qs, Qs, t 2 ). (4) to mamy do czynienia z ekstrapolacyjnymi oczekiwaniami podaży. Redukuje się ten przypadek do oczekiwań statycznych przy µ = 0. Oczekiwaną podaży można kształtować także na podstawie średniej ruchomej podaży z L 1 poprzednich okresów. W tym przypadku otrzymamy

3 1 t = 1 E ( Qs, t ) Q j= t L s, j. (5) L Ten przypadek można uogólnić przyjmując, że oczekiwana podaż jest średnią ważoną podaży z poprzednich L 1, czyli gdzie 0 < k < 1. 1 j E ( Qs, t ) = k Q L =, 1 j t L s j. (6) j k j= IDENTYFIKACJA, WERYFIKACJA I PROGNOZA Modele matematyczne buduje się zwykle po to, by na ich podstawie można było przewidywać zachowanie się modelowanych obiektów czy procesów przy zmianie ich parametrów lub też prognozowanie ich zachowania się w przyszłości na podstawie danych o ich zachowaniu się w przeszłości. W tym przypadku dostępne dane, zwykle w postaci tzw. szeregów czasowych, dzieli się na dwie części. Jedną z nich wykorzystuje się do identyfikacji parametrów modelu, a drugą do jego weryfikacji [1]. Do identyfikacji modelu przyjęto dane z okresu , a do weryfikacji Produkcja samochodów w mln. sztuk ory ginał 1985; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;06 Rys.1. Produkcja samochodów w stosunku rocznym w USA w latach

4 4 Jeśli charakterystyki statystyczne odchylenia modelu od danych na etapach identyfikacji i weryfikacji nie różnią się istotnie, to taki model może być użyty do prognozy [7]. W charakterze charakterystyk statystycznych oceniających odchylenie modelu od oryginału przyjmuje się m.in.: wartość średnią, odchylenie średnie, wariancję, RMSE (pierwiastek kwadratowy z sumy wariancji i kwadratu wartości średniej) itp. Pokazane na rysunku 1 dane wyjściowe pobrano ze strony [8] w postaci tabeli 1 (tutaj znacznie skróconej). Tab. 1. Produkcja samochodów w stosunku rocznym w USA w latach Rok; miesiąc Ilość w mln 1985;06 11, ;07 10, ;08 10, ;09 11,1 1985;10 13, ;11 11, ;12 9, ;01 12, ;09 12, ;10 12, ;11 11, ;12 10, ;01 11, ;02 12, ;03 13, ;04 12, ;05 12,289 Jak widać z rysunku 1 produkcja samochodów podlega znacznym wahaniom sezonowym. Zwykle w takich przypadkach wyznacza się indeks sezonowości IS, który wykorzystuje się do wygładzenia danych. W rozważanym przypadku znormalizowane indeksy sezonowości (ZIS) dla danych na etapach identyfikacji i weryfikacji pokazano w tabeli 2. Tab. 2. Znormalizowane indeksy sezonowości Rok; miesiąc Identyfikacja Podaż P ZIS Podaż PS=P/ZIS Rok; miesiąc Weryfikacja Podaż P ZIS Podaż PS=P/ZIS

5 5 1985; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;05 11,951 10,217 10,093 11,1 13,156 11,476 9,381 12,792 11,912 11,433 12,758 12,131 1,11 0,70 0,92 1,02 1,15 0,99 0,85 0,95 1,01 1,05 1,10 1,13 10,72 14,68 10,96 10,93 11,48 11,62 11,03 13,47 11,85 10,09 12,11 10, ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;05 13,4 6,48 12,1 12,123 12,209 13,354 11,904 11,186 12,715 10,85 13,157 13,846 1,06 0,82 1,05 1,05 1,14 0,97 0,85 0,95 1,02 1,10 1,06 1,098 12,69 10,42 11,50 11,66 11,70 12,29 11,77 11,72 12,44 9,86 12,47 12,67 W tej sytuacji, po uwzględnieniu wahań sezonowych produkcji samochodów, dane do dalszego przetwarzania pokazano na rysunku 2 (linia ciągła). Produkcja samochodów w mln. sztuk oryginał po uwzględnieniu sezon ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;06 Rys.2. Produkcja samochodów w USA w latach po uwzględnieniu wahań sezonowych 1999; ; ; ; ; ;06 Na etapie identyfikacji (dane od czerwca 1985 do maja 1995) wyznaczono wielkości produkcji dla kolejnych miesięcy na podstawie modelu. Wielkość tej produkcji zależy od przyjętego modelu i od występujących w nim parametrów. W tej pracy ograniczamy się tylko do modeli jednoparametrowych. Po wyznaczeniu w poszczególnych miesiącach różnic es i ( i =1,...,129) między danymi wielkościami produkcji rzeczywistej PS i ( i =1,..., 129 ) i podaży E( PS i )( i =1,...,129) wyznaczonej na podstawie modelu, czyli

6 6 es i = PS i E ( PSi ) wyznaczono 2 i es i RMSES = wariancja( es ) + średnia ( ). (7) Odchylenie RMSES będzie zależeć od wartości parametru modelu. Przez model najlepiej dopasowany do danych będziemy rozumieć taki model i z takim parametrem, przy którym RMSES = min. (8) Weryfikację modelu przeprowadzono na odchyleniach es i ( i =130,...,249) między danymi wielkościami produkcji rzeczywistej PS i (i =130,...,249) i produkcji E( PSi )( i = 130,...,249) wyznaczonej na podstawie modelu. Dla tak zidentyfikowanego i zweryfikowanego modelu powrócono do danych wyjściowych E( P ) = E( PS ZIS oraz wyznaczono i i ) e i = P E P ) i ( i - odchylenie, 2 i e i RMSES = wariancja( e ) + średnia ( ), 1 OS = n n i = 1 ei odchylenie średnie dla danych wykorzystanych w procesach identyfikacji i weryfikacji (dane od czerwca 1985 do maja 2005). Wyniki identyfikacji i weryfikacji różnych modeli zestawiono w tablicy 2. Tab. 2. Wyniki identyfikacji i weryfikacji modeli Model Parametr RMSE Model Wzór (2) Identyfikacja Bez 1,169 statyczny weryfikacja parametrów 1,060 Model Wzór (3) Identyfikacja 0,327 0,952 adaptacyjny weryfikacja 0,804 ekstrapolacja Wzór (4) Identyfikacja -0,422 1,008 weryfikacja 0,883 Ruchoma Wzór (5), L=2 Identyfikacja Bez 1,013 średnia weryfikacja parametrów 0,882 Średnia Wzór (6), L=2 Identyfikacja 0,730 1,008

7 7 ważona weryfikacja 0,883 Średnia Wzór (6), L=3 Identyfikacja 1,011 0,896 ważona weryfikacja 0,805 Średnia Wzór (6), L=4 Identyfikacja 0,661 0,922 ważona weryfikacja 0,827 Zauważmy, że model w postaci średniej ważonej (6) przy L = 2 jest równoważny modelowi ekstrapolacyjnemu (7). Poza tym, wyznaczone modele na etapie identyfikacji bardzo dobrze są weryfikowalne. Wszystkie wskaźniki oceniające odchylenie prognozy od danych na etapie weryfikacji są lepsze od odpowiednich wskaźników wyznaczonych na etapie identyfikacji. I tak na przykład, w przypadku modelu adaptacyjnego RMSE=0,952 na etapie identyfikacji i 0,804 na etapie weryfikacji. Z tabeli 2 wnosimy, że najlepsze dopasowanie, dające najmniejsze odchylenie od danych rzeczywistych, dają modele podaży w postaci średniej ważonej (6) L = 3 i średniej ważonej (6) przy L = 4 (modeli dla większych wartości L nie badano). 4. PROGNOZY Jednym z celów, dla których buduje się modele matematyczne jest możliwość ich wykorzystania do prognozy. W tej pracy ograniczono się do wyznaczenia prognozy na 12 miesięcy bez analizy błędów, jakimi mogą być one obarczone (rys.3). 15,00 Prognozy produkcji samochodów model - adaptacy jny, staty czny RMSE=0.79 model - śr. ważona_4 RMSE=0.40 model - ekstrapolacja RMSE=0.61 model - śr. ruchoma_2 RMSE=0.50 model - śr. ważona_2 RMSE=0.53 ory ginał 12,00 9,00 6, ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;05 Rys. 3. Prognoza produkcji samochodów

8 8 Z ogólnych rozważań wynika, że wielkość przedziału ufności zależy od odchylenia standardowego, które w tych rozważaniach można przyjąć jako RMSE (w rzeczywistości odchylenie standardowe jest niewiększe). Ograniczając się na przykład do modelu adaptacyjnego lub średniej ważonej błąd prognozy na jednym etapie można oszacować przez ± 2RMSE. Biorąc w tym przypadku pod uwagę wartości produkcji i RMSE wyniesie on kilka procent. Jakość prognozy można też ocenić na podstawie odchylenia prognozy od danych (w okresach, w których takie dane są dostępne). Przykłady pokazano na rysunkach 4 i 5. 20% Błąd prognozy produkcj i samochodów model - adaptacyjny, statyczny RMSE=0.79 model - śr. ważona_4 RMSE=0.40 model - ekstrapolacja RMSE=0.61 model - śr. ruchoma_2 RMSE=0.50 model - śr. ważona_2 RMSE= % 0% -10% -20% 2004; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;05 Rys.4. Błąd prognozy w okresie Błąd prognozy produkcji samochodów % model - adaptacyjny, statyczny RMSE=1.14 model - śr. ważona_4 RMSE=0.89 model - ekstrapolacja RMSE=0.67 model - śr. ruchoma_2 RMSE=1.13 model - śr. ważona_2 RMSE= % 0% -10% -20% 2002; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;05

9 9 Rys. 5. Błąd prognozy w okresie Z powyższych wykresów wynika, że większość rozważanych modeli daje błąd prognozy rzędu kilkunastu procent. 5. STABILNOŚĆ A RMSE Podobnie jak w pracy [1] można wyznaczyć przedziały stabilności rozważanych modeli. Wyniki zestawiono w tabeli (tab.3), ustalając kolejność modeli od najmniejszego RMSE do największego oraz umieszczając obok zakresy stabilności. Tab.3. Porównanie RMSE i przedziałów stabilności Model RMSE Przedział stabilności Średnia ważona, L= <a<1,916 Średnia ważona, L=4 0,922-1<a<4,077 Model adaptacyjny 0,952-1<a<0<5,111 Średnia ważona, L=2 1,008-1<a<2,368 Średnia ruchoma, L=2 1,013-1<a<2 Model statyczny 1,169-1<a<1 Stąd widać, że lepsze dopasowanie modelu do danych (mniejsze RMSE) nie wiąże się ze zmniejszeniem zakresu zmienności parametru modelu zapewniającego jego stabilność (zmniejsza się obszar stabilności) tak jak to sugerowano w pracy [1]. Zatem zależy ona od analizowanego zbioru danych. 6. ZAKOŃCZENIE W pracy podjęto próbę wyznaczenia związku między jakością dopasowania modelu do danych rzeczywistych i jego stabilnością. Na podstawie otrzymanych wyników w pracy [1} stwierdzono, że model bardziej dopasowujący się do danych rzeczywistych ma mniejszy obszar stabilności. Hipoteza ta nie została potwierdzona w Przypadku danych dotyczących produkcji samochodów. LITERATURA

10 10 [1] Gierulski W., Radziszewski B., Weryfikacja modeli rynku na podstawie danych statystycznych, Systemy informatyczne i metody obliczeniowe z zarządzaniu, Wydawnictwo naukowo-dydaktyczne AGH pod red. J.T.Duda, Kraków 2005, str [2] Gierulski W., Radziszewski B., Modelowanie i stabilność rynku, Kwartalnik AGH Zagadnienia Techniczno-Ekonomiczne, AGH, [3] Alfa C. Chiang, Podstawy ekonomii matematycznej, PWE, Warszawa 1994 [4] Gierulski W., Radziszewski B., Oczekiwania cenowe a stabilność rynku, Zarządzanie przedsiębiorstwem w warunkach integracji europejskiej, część 2, Ekonomia, Informatyka i metody matematyczne, Kraków AGH [5] Gierulski W., Radziszewski B., Analiza stabilności modeli podaży i popytu z uwzględnieniem zapasów, Zeszyty Naukowe Politechniki Świętokrzyskiej, Nauki Ekonomiczne nr 32, [6] Gierulski W., Radziszewski B., O stabilności i niestabilności modelu rynku przy różnych oczekiwaniach cenowych, Zeszyty Naukowe Politechniki Świętokrzyskiej, Nauki Ekonomiczne nr 33, [7] ( ). [8] ( ). STABILITY OF MODELS EXPECTATION OF TOTAL MOTOR VEHICLE ASSEMBLIES IN USA SUMMARY W tym miejscu umieszcza się treść streszczenia w języku angielskim. Objętość streszczenia nie więcej niż 1/2 strony.