ZAGADNIENIE KOMIWOJAśERA

Transkrypt

1 Ćwiczenia z przedmiotu Badania Operacyjne Prowadzący: mgr Łukasz Koralewski, lukasz.koralewski@ae.poznan.pl strona internetowa: ZAGADNIENIE KOMIWOJAśERA Zadanie 1. Przedstawiciel handlowy ma odwiedzić czterech klientów. Biuro przedstawiciela znajduje się w pobliŝu klienta 2. PoniŜsza macierz przedstawia odległości między poszczególnymi klientami: klient 1 klient 2 klient 3 klient 4 klient klient klient klient a) Określ, w jakiej kolejności przedstawiciel powinien odwiedzać klientów, aby przebyta droga była jak najkrótsza. Podaj jej długość. b) Jak zmieni się długość drogi, jeśli przedstawiciel musiałby odwiedzić jako pierwszego klienta 4? c) O ile dłuŝszą drogę przebyłby przedstawiciel, gdyby odwiedzał klientów w odwrotnej kolejności. Kiedy długości obu dróg (wyznaczonej i przeciwnej do wyznaczonej) byłyby takie same? d) Co najmniej o ile wzrośnie długość przebytej drogi, jeśli zamknięty zostanie odcinek pomiędzy klientem drugim i pierwszym? Zadanie 2. Kurier musi rozwieźć przesyłki z siedziby w mieście C do czterech miast: A, B, C, D. Ustal najkrótszą drogę na podstawie danej macierzy odległości między miastami: A B C D A B C D Zadanie 3. Serwisant musi odwiedzić pięć punktów ksero. Znając macierz odległości między punktami wyznacz optymalną kolejność odwiedzania punktów: I II III IV V I II III IV V Co najmniej ile wydłuŝy się droga serwisanta, jeśli nie moŝe pojechać bezpośrednio z punktu piątego do trzeciego? A o ile jeśli droga <IV,I> zostanie zamknięta? PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE (CIĄGŁE I DYSKRETNE) Zadanie 1. (Optymalna wielkość produkcji, optymalizacja wielocelowa) Piekarnia piecze dwa rodzaje chleba: Mazowiecki i Podkarpacki z dwóch rodzajów mąki: pszennej i Ŝytniej, których moŝe zuŝyć w ciągu godziny ograniczoną ilość. UŜywane są takŝe droŝdŝe, których naleŝy wykorzystać w ciągu godziny przynajmniej 100 g. PoniŜsza tabela przedstawia zuŝycie kaŝdego rodzaju mąki (w kg) i droŝdŝy (w g) na wyprodukowanie bochenka chleba: Chleb Mazowiecki Chleb Podkarpacki Zasób Mąka pszenna 0,2 0,3 27 Mąka Ŝytnia 0,5 0,2 40 DroŜdŜe 2 5 min 100 Na podstawie analizy popytu wiadomo, Ŝe ilość chleba Mazowieckiego do ilości chleba Podkarpackiego powinna być nie mniejsza niŝ 3/7. Minimalna wielkość produkcji chleba Mazowieckiego to 15 bochenków. a) Jaka powinna być godzinna produkcja chlebów, aby uzyskać maksymalny przychód przy cenie chleba Mazowieckiego równej 1,5 zł oraz Podkarpackiego 3,5 zł? Oblicz osiągany przychód. b) Znajdź rozwiązanie maksymalizujące łączny zysk, jeśli piekarnia zarabia na chlebie Mazowieckim 60 groszy a na Podkarpackim 15 groszy? Podaj wartość maksymalnego zysku. c) WskaŜ rozwiązania Pareto-optymalne. d) Znajdź rozwiązanie kompromisowe wykorzystując metakryterium z wagą 2 dla przychodu oraz 120 dla zysku. e) Znajdź rozwiązanie kompromisowe wykorzystując metakryterium (z równymi wagami) oparte na stopniach realizacji celu. f) WskaŜ rozwiązanie kompromisowe zakładając równorzędność stopni realizacji obu funkcji celu (czyli rozwiązanie minimalizujące odległość od punktu idealnego). g) Znajdź rozwiązanie maksymalizujące zysk przy przychodzie nie niŝszym niŝ 210 zł.

2 Zadanie 2. (Optymalna wielkość produkcji, optymalizacja wielocelowa) Rolnik posiada 10 ha ziemi. MoŜe na niej uprawiać pszenicę i ziemniaki. Dochód (w tys. zł z 1 ha) oraz nakład robocizny (w roboczogodzinach na 1 ha) przedstawia tabela. Minimalny obszar uprawy pszenicy 2 ha, a maksymalny obszar uprawy ziemniaków 4 ha. Rolnik jest zainteresowany w maksymalizacji swojego dochodu oraz minimalizacji nakładów robocizny. Pszenica Ziemniaki Dochód Robocizna a) Sformułuj ten problem w postaci zadania wielokryterialnego. b) Stosując metodę graficzną ustal optima cząstkowe. Oblicz w nich wartość dochodu i robocizny. Zaznacz rozwiązanie Paretooptymalne. c) Koszt jednej godziny robocizny rolnik wycenia na 10 zł. Wyznacz decyzję kompromisową w oparciu o metakryterium o jednakowych wagach oraz o wagach 2 dla dochodu i 8 dla robocizny. d) Wyznacz decyzję kompromisową, jeŝeli kryterium głównym jest minimalizacja robocizny, a funkcja dochodu musi realizować się choć na poziomie 90 tys. zł. e) (D) Wyznacz decyzję kompromisową, jeŝeli rolnik moŝe przeznaczyć na uprawę maksymalnie 600 rh. Zadanie 3. (D) (Optymalna wielkość produkcji, optymalizacja wielocelowa) Szklarz wycina dwa rodzaje szyb: S1 i S2 z dwóch tafli szkła: A i B. Z jednej tafli A uzyskuje się 2 szyby S1 i 2 szyby S2, a z jednej tafli B 3 szyby S1. Odpad dla tafli A wynosi 5 jednostek, a dla tafli B 2 jednostki. Klient zamówił 12 szyb S1 i 6 szyb S2. Szklarz minimalizuje odpad a) Sformułuj powyŝszy problem w postaci zadania Pl. b) Ustal optymalny plan cięcia szkła. c) Cena jednej tafli A 20 zł, a tafli B 50 zł. Podaj czy zmieni się rozwiązanie optymalne, jeŝeli szklarz minimalizuje koszt zuŝytego surowca. d) Zaznacz jak wygląda rozwiązanie Pareto optymalne jeŝeli potraktujemy to zadanie jako dwukryterialne. Zadanie 4. (Programowanie wielokryterialne w wersji dyskretnej - budowa rankingu) Cztery filmy zostały ocenione czterech trzech kategoriach: fabuła, reŝyseria i gra aktorska przez przyznanie pewnej ilości gwiazdek : Ilość przyznanych gwiazdek Film 1 Film 2 Film 3 Film 4 Fabuła ReŜyseria Gra aktorska Podaj, co w tym zadaniu jest kryterium cząstkowym, a co zmienną decyzyjną Sprządź ranking filmów: a) przy zastosowaniu metakryterium z następującymi wagami: fabuła: 2, reŝyseria: 1, gra aktorska: 1; b) przy pomocy metakryterium dla równowaŝności celów cząstkowych c) biorąc pod uwagę minimalny stopień realizacji celów cząstkowych (maksymalizacja minimalnego stopnia realizacji celów cząstkowych) d) WskaŜ film o najciekawszej fabule, grze aktorskiej ocenionej choć na 5 gwiazdek oraz o dowolnej ocenie reŝyserii. e) Ustal zbiór decyzji Pareto-optymalnych Zadanie 5. (Programowanie wielokryterialne w wersji dyskretnej - budowa rankingu) Do przetargu na budowę gminnego wodociągu stanęło czterech oferentów. Ich oferty róŝnią się ceną oraz okresem udzielonej gwarancji: Oferent A B C D Cena [tys. zł] Gwarancja [lata] NaleŜy sporządzić ranking oferentów oraz wybrać najlepszą ofertę w oparciu o: a) zbiór Pareto-optymalny b) o najniŝszej cenie lecz gwarancji co najmniej 10-letniej c) o najdłuŝszej gwarancji, lecz nie droŝszą niŝ 800 tys. zł d) oba cele są jednakowo waŝne (obie funkcje mają się realizować w moŝliwie najwyŝszym stopniu) e) metakryterium oparte o stopnie realizacji z równymi wagami oraz z wagami 2 i 1 Zadanie 6. (D) (Programowanie wielokryterialne w wersji dyskretnej - budowa rankingu) W tabeli podano trzy podstawowe parametry: zysk (w zł/ton), wydajność (w tonach na osobę), wypadkowość (liczba zabitych/ 1 mln ton) dla 5 kopalń naleŝących do holdingu węglowego. Kryteria A B C D E Zysk Wydajność Wypadkowość a) Utworzyć macierz stopni realizacji celów cząstkowych. b) Uporządkować kopalnie kierując się maksymalizacją minimalnych stopni realizacji celów cząstkowych. c) Na podstawie macierzy stopni realizacji, stosując właściwe metakryterium z wagami 1/2, 1/4, 1/4, uporządkować kopalnie od najlepszej do najgorszej. d) Które kopalnie naleŝy zamknąć, jeŝeli wiadomo, Ŝe wydajność w kaŝdej z kopalń musi być nie mniejsza niŝ 40% wydajności w kopalni najlepszej?

3 PROGRAMOWANIE W WARUNKACH RYZYKA Zadanie 1. (Zagadnienie gazeciarza) Sklep odzieŝowy musi złoŝyć zamówienie na zimowe płaszcze męskie przed rozpoczęciem sezonu. W poprzednich latach popyt na te płaszcze kształtował się następująco: Popyt (sztuki) Częstość występowania 0,1 0,3 0,3 0,3 Sklep kupuje płaszcze od producenta po 200 zł, a sprzedaje je w sezonie ze 100% zyskiem. Płaszcze niesprzedane w sezonie sklep wyprzedaje wiosną po 100 zł. a) Zakładając, Ŝe częstość występowania popytu w przeszłości moŝemy traktować jako prawdopodobieństwo wystąpienia danego popytu w przyszłych sezonach, określ ile płaszczy powinien zamówić sklep, aby zmaksymalizować swój oczekiwany zysk. b) Ile wynosi oczekiwany zysk w przypadku realizacji optymalnej strategii? c) Ile średnio traciłby sklep, gdyby kupował 3 płaszcze? d) Jak moŝe zmieniać się cena zakupu by uzyskane rozwiązanie pozostało optymalne? e) Ustal, jaka powinna być cena na wyprzedaŝy, aby zakup 6 płaszczy był optymalny? f) Jaki byłby rozkład prawdopodobieństwa popytu na płaszcze gdyby w minionych sezonach sprzedawała się następują ilość płaszczy: sezon 02/03 03/04 04/05 05/06 06/07 Ilość płaszczy Zadanie 2. (D) (Zagadnienie gazeciarza) W piekarni popyt na chleb (w tonach) w ciągu ostatnich dwudziestu tygodni był następujący: Tydzień Popyt Koszt produkcji 1 tony chleba wynosi 1 tys. zł, cena sprzedaŝy 1 tony 1,5 tys. zł, cena odsprzedaŝy chleba na bułkę tartą 0,3 tys. zł. a) Ustal rozkład prawdopodobieństwa popytu na chleb oraz dystrybuantę tego rozkładu b) UŜywając trzech procedur wyznacz optymalną wielkość produkcji chleba, maksymalizującą oczekiwany dochód. Ile on wynosi? c) Ile średnio traci piekarnia wytwarzając stale 9 ton pieczywa tygodniowo? d) Ustal, jaka powinna być cena odsprzedaŝy 1 tony chleba na bułkę tartą, aby produkcja 7 ton była optymalna? e) Ile musiałyby wynieść koszty produkcji, Ŝeby optymalną wielkością produkcji były 4 tony? Zadanie 3. (Optymalna wielkość zapasu) Stolarnia zdecydowała o zakupie piły, która ulega losowo awariom ze względu na pewien element. W tabeli dana jest liczba awarii tej piły pracującej w innych stolarniach oraz ilość przypadków, kiedy miało to miejsce: Liczba awarii Ilość przypadków Zakład wraz z piłą moŝe zakupić elementy zapasowe po 40 zł/sztuka. W przypadku awarii zakup tego elementu wraz z dostawą jest cztery razy droŝszy. a) Ustal rozkład prawdopodobieństwa liczby awarii, dystrybuantę tego rozkładu. Ustal macierz strat. b) Określ optymalną wielkość zakupionego zapasu elementów. Ile wynosi oczekiwana strata z tytułu awarii dla optymalnego zapasu? c) Jakie musiałyby być koszty zakupu w przypadku awarii, aby opłaciło się zakupić 1 element wraz z piłą? d) Jak zmieni się rozwiązanie, jeśli naleŝy uwzględnić takŝe straty z tytułu wstrzymania produkcji na czas dowiezienia części zamiennej w kwocie 120 zł? PROGRAMOWANIE W WARUNKACH NIEPEWNOŚCI I TEORIA GIER Zadanie 1. (strategie czyste i mieszane) Ogrodnik posiada 3 ha ziemi i moŝe na niej uprawiać kapustę, pomidory i ogórki. Dochód z uprawy kaŝdej rośliny zaleŝy od stanu pogody i podany jest w tabeli (w tys. zł /1 ha): K P O S S S a) Ustal optymalną strategię czystą realizowaną jeden raz stosując wszystkie znane reguły (w regule Hurwicza α = 0,4) b) Sformułuj zadanie PL, wyznaczające optymalną strategię mieszaną realizowaną jeden raz przy załoŝeniu, Ŝe udział pomidorów w ogólnym obszarze nie moŝe przekroczyć 50 %. c) Podaj jaki będzie minimalny dochód jeŝeli ogrodnik uprawia 2 ha kapusty i 1 ha pomidorów? d) Zbuduj zadanie PL, wyznaczające optymalną strategię mieszaną realizowaną przez wiele lat i podaj jej rozwiązanie optymalne. Zadanie 2. (D) (strategie czyste i mieszane) Inwestor posiada 70 tys. zł, które moŝe ulokować na rok w banku, zakupić euro lub jednostki funduszu inwestycyjnego. Spodziewana roczna stopa zwrotu (w %) zaleŝy od stanu gospodarki i dla poszczególnych lokat wynosi: lokata bankowa zakup fundusz inwestycyjny S S S a) Ustal optymalną strategię czystą realizowaną jeden raz stosując wszystkie znane reguły (w regule Hurwicza α = 0,8)

4 b) Sformułuj zadanie PL, wyznaczające optymalną strategię mieszaną realizowaną jeden raz (na jeden rok) wiedząc, Ŝe aby ograniczyć ryzyko, udział jednostek funduszu inwestycyjnego w portfelu nie moŝe przekroczyć 40%. Podaj jaki będzie minimalny gwarantowany dochód, jeŝeli inwestor 50% swego kapitału ulokuje w banku, a 50% przeznaczy na zakup euro. c) Jak wygląda zadanie PL, wyznaczające optymalną strategię mieszaną realizowaną przez wiele lat przy 40% ograniczeniu zaangaŝowania środków w fundusz inwestycyjny? Znajdź jego rozwiązanie optymalne i podaj średni dochód. Zadanie 3. (Teoria gier) W gminie działają dwaj producenci doniczek A i B. Konkurują oni ze sobą wysokimi lub niskimi cenami. Firma A moŝe stosować cenę wysoką 12 zł za doniczkę albo 9 zł. Firma B moŝe ustalić ceny na poziomie 10 i 8 zł. Koszty produkcji doniczki w firmie A wynoszą 7 zł, a w firmie B 5 zł. Dzienny popyt na doniczki w zaleŝności od stosowanej przez nie strategie cen przedstawia tabela: Strategie cenowe Popyt (ilość sztuk) A B A B cena wysoka cena wysoka 9 10 cena wysoka cena niska 7 22 cena niska cena wysoka 20 6 cena niska cena niska a) Obliczając zyski kaŝdej z firm utwórz macierz wypłat. b) Sprawdź czy istnieją strategie dominujące dla obu firm. c) Firmie A udało się obniŝyć koszty produkcji o 1 zł. Jak teraz wyglądają strategie dominujące? d) Czy w którymś z dwóch przypadków moŝliwa jest zmowa monopolistyczna? ANALIZA SIECIOWA PRZEDSIĘWZIĘĆ Zadanie 1. Zbuduj siatkę czynności projektu przygotowania wystawy: Lp czynnoś ć Czynności bezpośrednio poprzedzając e 1 Wybór lokalizacji wystawy A - 2 Przygotowanie eksponatów B - 3 Przygotowanie terenu wystawy C A 4 Przygotowanie stoisk D C 5 Dostawa eksponatów E B 6 Przygotowanie obsługi stoisk F A 7 Urządzenie stoisk wystawowych G D, E 8 Otwarcie wystawy H F, G Zadanie 2. Zbuduj siatki czynności dla następujących projektów: a) b) c) d) e) f) g) czyn cz pop czyn cz pop czyn cz pop czyn cz pop czyn cz pop czyn cz pop czyn cz pop A - A - A - A - A - A - A - B A B - B - B A B - B - B - C A C A, B C - C A C - C A C A, B D C D A, B D A D B D A D A D B E B, D E B E B E B, C E B E B, C E C, D F B, D F D, E F B, D F D, E F C F B,C,D F A, B G C, F G D, E G D, E G B,C,D H D, E H F, G H D,E,F H E, G Zadanie 3. Dany jest projekt: Czynn Czynn poprz Czas trwania (tyg) Koszt wykonania czynności (tys. zł) Koszt skrócenia o tydzień (tys. zł) A B A C A D B, C E B F E a) Zbuduj sieć czynności. Przeprowadź analizę czasową oblicz najkrótszy czas realizacji, całkowite zapasy czasu dla czynności oraz koszt realizacji całego przedsięwzięcia b) WskaŜ jakie czynności naleŝy skrócić, aby skrócić czas trwania projektu o 1 tydzień

5 Zadanie 4. (D) Przedsięwzięcie składa się z 5 czynności: Czynność A B C D E Poprzedniki - A - CB CB Czas trwania [dni] Koszt wykonania Koszt skrócenia a) Zbuduj sieć czynności. b) Wyznacz czas realizacji projektu, całkowite zapasy czasu dla poszczególnych czynności oraz koszt realizacji całego przedsięwzięcia. c) Ustal, jakie czynności naleŝy skrócić aby zmniejszyć czas realizacji przedsięwzięcia o 1 dzień. Podaj nowy koszt realizacji. Zadanie 5. (D) Dany jest projekt budowy domu: 9, 3, 8, 4 czasy trwania czynności w miesiącach; 100, 120, 110, koszty wykonania poszczególnych czynności (w tys. zł); liczby w nawiasach kwadratowych koszty skrócenia danej czynności o pierwszy oraz o drugi miesiąc (w tys. zł). a) Ustal plan realizacji budowy domu minimalizujący koszty, jeŝeli ma on być wykonany w czasie dyrektywnym T*=10 miesięcy. b) Jaki jest minimalny czas budowy domu jeśli inwestor posiadałby 470 tys zł? c) W jakim czasie powinien zostać ukończony dom jeśli inwestor minimalizuje łączne koszty budowy domu oraz koszty wynajmu mieszkania, w którym przebywa podczas budowy? Miesięczny koszt najmu wynosi 8 tys. zł. ANALIZA PORTFELOWA Zadanie 1. (Budowa portfela dwóch akcji - historyczne stopy zwrotu) Inwestor zamierza kupić akcje dwóch firm A i B. W tabeli podano stopy zwrotu ( w %) w trzech ostatnich miesiącach. miesiące A B a) Ustal średnią stopę zwrotu, wariancję i kowariancję dla obydwu akcji. b) Sformułuj zadanie maksymalizujące stopę zwrotu portfela przy ryzyku v*=36 c) Sprawdź czy portfel: x A =0,5, x B =0,5 jest portfelem optymalnym. Zadanie 2. (Budowa portfela dwóch akcji przewidywane stopy zwrotu) Inwestor rozwaŝa zakup akcji dwóch spółek: A i B. Przewidywane (moŝliwe) stopy zwrotu oraz prawdopodobieństwo ich wystąpienia zawiera tabela: Stan giełdy Prawdopod. Akcja A Akcja B S 1 0,3-4 % 12 % S 2 0,3 20 % 8 % S 3 0,4 18 % 5 % a) Oblicz oczekiwane stopy zwrotu i wariancje dla obu akcji oraz kowariancję i korelację pomiędzy ich stopami zwrotu. b) Sformułuj zadanie maksymalizujące stopę zwrotu portfela obu akcji przy wariancji portfela nie większej niŝ 30% 2. c) UłóŜ zadanie minimalizujące ryzyko portfela, jeŝeli minimalna, akceptowana przez inwestora stopa zwrotu r*=10%. d) Sprawdź, czy portfel: x A =0,7, x B =0,3 jest portfelem optymalnym dla zadania z podpunktu b) albo c). Zadanie 3. (Wybór tylko jednej akcji, wykorzystanie programowania wielokryterialnego) Dane są kursy trzech akcji: data kurs akcji A kurs akcji B kurs akcji C 30 września 12,0 50,0 1,25 31 października 15,0 46,0 2,00 30 listopada 12,0 48,3 2,50 31 grudnia 13,2 48,3 1,50 a) Wyznacz miesięczne stopy zwrotu z tych akcji b) Oblicz oczekiwaną miesięczną stopę zwrotu, wariancję oraz odchylenie standardowe dla wszystkich akcji. c) WskaŜ inwestorowi, którą akcję powinien kupić, przy wykorzystaniu: macierzy stopni realizacji stopy zwrotu oraz odchylenia standardowego; metakryterium, gdzie wzrost ryzyka mierzonego odchyleniem standardowym o 1% wymaga wzrostu stopy zwrotu o 0,2% (czyli λ = 0,2); minimalizując odchylenie standardowe, lecz o oczekiwanej stopie zwrotu nie niŝszej niŝ 4%.