Rozwijanie myślenia matematycznego. Natalia Cieślar Uniwersytet Śląski

Transkrypt

1 Rozwijanie myślenia matematycznego Natalia Cieślar Uniwersytet Śląski

2 Matematyczne myślenie jest czymś więcej niż wykonywaniem rachunków Matematyczne myślenie polega na wykorzystaniu procesów myślowych wykorzystywanych w badaniach matematycznych

3 Umiejętność myślenia matematycznego określić można jako indywidualną zdolność do: rozpoznania i zrozumienia roli, jaką matematyka odgrywa we współczesnym świecie, formowania sądów opartych na matematycznym rozumowaniu, wykorzystywania umiejętności matematycznych tam, gdzie wymagają tego potrzeby życia codziennego, program OECD/PISA

4 Polscy uczniowie dobrze sobie radzą z:

5 Słabe strony polskich uczniów to:

6 Strategie uczenia się matematyki ujawnione przez polskich uczniów: opanować jak najwięcej materiału pamięciowo (60% uczniów, przy średniej OECD 35%) wyćwiczyć przykłady podobne do podanych na lekcji (70% uczniów, przy średniej OECD 65%) wypracować nowe sposoby rozwiązania problemu (mniej niż 50% uczniów przy średniej OECD 68%)

7 Polscy uczniowie najpewniej czują się: rozwiązując równania liniowe rozwiązując równania kwadratowe odczytując wykresy w gazecie

8 KARTEZJUSZ ( ) Gdy jako młody człowiek słyszałem o jakimś pomysłowym odkryciu, starałem się dojść do tego odkrycia sam, nie czytając prac autora. Czyniąc to zauważyłem, że korzystałem z pewnych reguł.

9 BOLZANO ( ) Zadam sobie tylko trud jasnego sformułowania reguł i metod badania, jakimi posługują się wszyscy rozsądni ludzie w większości przypadków nawet nieświadomie.

10 NOWOCZESNA HEURYSTYKA: stara się zrozumieć proces rozwiązywania zadań, w szczególności operacje myślowe najczęściej użyteczne w tym procesie, bazuje głównie na doświadczeniu w rozwiązywaniu zadań oraz doświadczeniu wypływającemu z obserwowania innych osób rozwiązujących zadanie,

11 GEORG POLYA Jeśli równocześnie z ujawnieniem się potrzeby rodzi się w mym mózgu sposób na jej zaspokojenie, to wówczas nie ma zadania. Zadanie pojawia się, gdy zachodzi potrzeba świadomego poszukiwania środka, za pomocą którego można osiągnąć dobrze widoczny, lecz chwilowo niedostępny cel.

12 Operacje myślowe, które wykorzystujemy rozwiązując zadania: rozpoznawanie przypominanie uzupełnianie (wprowadzenie do zadania elementów nowych, pomocniczych) przegrupowywanie (łączenie elementów nowymi relacjami, bez wprowadzania elementów nowych) izolacja kombinacja

13 Pytania i wskazówki kierowane do uczniów mają dwa cele: 1. Pomoc uczniowi w konkretnej sytuacji (mają wywołać odpowiednią czynność myślową, sprowokować pożądane w danej sytuacji działanie) 2. Rozwinąć zdolności ucznia tak, aby w przyszłości mógł samodzielnie rozwiązywać zadania (mają stanowić zestaw strategii rozwiązywania zadań gotowych do wykorzystania przyszłości) w

14 Wywód poprawnie przedstawiony na tablicy może być niedostępny niepouczający, jeżeli cel poszczególnych kroków jest niezrozumiały, jeżeli słuchacz nie może zrozumieć jak można było wpaść na takie rozumowanie, jeżeli nie jest w stanie wyciągnąć żadnych wniosków jak on sam mógłby znaleźć takie rozumowanie. i

15 Niepokojące pytania: No tak, rozwiązanie spełnia swoje zadanie, jest to właściwe rozwiązanie; ale jak można wymyślić takie rozwiązanie? Jak można odkryć takie fakty? Jak ja sam mógłbym wymyślić takie rozwiązanie lub odkryć takie fakty?

16 Fazy pracy nad zadaniem/problemem wg G. Poly i

17 Zrozumienie zadania Niemądrze jest odpowiadać na pytanie, którego nie zrozumieliśmy

18 Układanie planu rozwiązania Rozpatruj zadanie z różnych stron. Uwypuklaj różne części, badaj różne szczegóły; badaj te same szczegóły ponownie, ale w inny sposób. Wiąż ze sobą szczegóły w różny sposób, podchodź do nich z różnych stron. Próbuj ujrzeć w każdym szczególe coś nowego. Spróbuj znaleźć nową interpretację całości.

19 Wykonanie planu Ułożyć plan nie jest łatwo. Potrzeba do tego wielu rzeczy: poprzednio zdobytej wiedzy, logicznego myślenia, skoncentrowania się nad celem, jaki mamy osiągnąć, i jeszcze jednego szczęścia. Wykonać plan jest znacznie łatwiej; potrzeba do tego głównie cierpliwości.

20 Rzut oka wstecz Jeśli przyzwyczaisz się do dokładnego badania i bacznego przyglądania się swojemu rozwiązaniu, zdobędziesz pewną dobrze uporządkowaną wiedzę, z której w każdej chwili będziesz mógł skorzystać i rozwiniesz swoje zdolności do rozwiązywania zadań.

21 Rzut oka wstecz Spoglądając wstecz na rozwiązanie, ponownie rozpatrując i analizując wynik i drogę doń prowadzącą uczniowie mogliby utwierdzić swoją wiedzę i rozwinąć swoje zdolności do rozwiązywania zadań.

22 Rzut oka wstecz Dobry nauczyciel powinien zrozumieć (i wpoić ten pogląd w swoich uczniów), że żaden problem nigdy nie jest wyczerpany całkowicie. Jednym z pierwszych i najważniejszych obowiązków nauczyciela jest niestwarzanie wrażenia, że zadania matematyczne mają mały związek ze sobą, a żadnego związku z czymkolwiek innym.

23 Mason J., Burton L., Stacey K.: Wbrew utartemu powiedzeniu wcale nie uczę się na podstawie doświadczenia: warunkiem koniecznym jest refleksja nad tym, co zrobiłem. Refleksja nie może jednak zmienić się w sny na jawie, dlatego moim zdaniem musisz nadać jej odpowiednią strukturę, identyfikując kluczowe pomysły i momenty w pracy nad szukaniem rozwiązania.

24 Poly owski opis metody rozwiązywania zadań zawiera się w dwóch słowach: ODGADYWAĆ I SPRAWDZAĆ

25 Fazy pracy nad zadaniem/problemem wg J. Mason, L. Burton, K. Stacey:

26 Zadanie Liczbę N nazywamy ładną, jeśli kwadrat można podzielić na N nienakładających się kwadratów. Jakie liczby są ładne?

27 ROZPOZNANIE Co wiem? Czego chcę? Co mogę wprowadzić?

28 ATAK Formułowanie hipotez Uzasadnianie

29 PRZEGLĄD Sprawdzanie rozwiązania Refleksja nad kluczowymi pomysłami i krokami w rozwiązaniu Rozwinięcie otrzymanego wyniku tak, by obowiązywał w szerszym kontekście

30 PROCESY TOWARZYSZĄCE ROZWIAZANIU KONKRETYZACJA UOGÓLNIENIE

31 KONKRETYZACJA oznacza wybór przykładów: przypadkowy, by lepiej zrozumieć pytanie, systematyczny, by przygotować podstawy do uogólnienia, przemyślany, by sprawdzić uogólnienie.

32 UOGÓLNIENIE oznacza wykrywanie regularności i wyjaśnienie: jak to jest naprawdę (przypuszczenie), dlaczego tak jest (uzasadnienie), kiedy stwierdzenie jest prawdziwe,

33 Zadanie W pewnej hurtowni możesz otrzymać rabat w wysokości 20%, ale musisz zapłacić podatek konsumpcyjny w wysokości 15%. Czy wolisz, żeby najpierw obliczono rabat, a później podatek, czy odwrotnie?

34 Przypomnienie sobie kluczowych pomysłów i nadawanie im stosownej wyrazistości to sposób na rozbudowę swych doświadczeń matematycznych, czyli na zwiększenie swojej kolekcji matematycznych sztuczek.

35 Podstawowa zasada dotycząca wszystkich poszukiwań brzmi: Jeśli nie możesz rozwiązać problemu, zmień go tak, byś mógł.

36 DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ