AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział Wiertnictwa, Nafty i Gazu

Transkrypt

1 AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział Wiertnictwa, Nafty i Gazu Rozprawa doktorska Analiza porównawcza modeli powstawania stożków wodnych w złożach gazowych Mgr inż. Rafał Smulski Promotor: Dr hab. inż. Stanisław Nagy prof. AGH Kraków 2007 r.

2 Autor serdecznie dziękuje promotorowi dr. hab. inż. Stanisławowi Nagy emu za nieocenioną pomoc merytoryczną, cierpliwość i wyrozumiałość oraz za organizacyjne prowadzenie przewodu doktorskiego.

3 Spis treści 1. Wprowadzenie Modela analityczne powstawania stożków wodnych Modele analityczne otrzymane na podstawie eksperymentów Laboratoryjnych Modelowanie procesu powstawania stożków wodnych z wykorzystaniem modeli numerycznych Badania nad numerycznym modelowaniem przepływu płynów w ośrodkach porowatych prowadzone w Polsce Cel, teza pracy i sposób jej realizacji Analityczno-eksperymentalne modele opisujące tworzenie stożka wodnego przy przepływie gaz-woda Model Dupuita Model Scholsa Model Chaperon Model Høylanda, Papatzacosa i Skjavelanda Analiza analityczno-eksperymentalnych modeli tworzenia stożków wodnych w odniesieniu do czynników wpływających na ich powstawanie Promień oddziaływania odwiertu Penetracja warstwy produktywnej Anizotropia złoża Efektywny promień odwiertu Model numeryczny przepływu wielofazowego w ośrodku porowatym Równanie bilansu masowego Model przepływu dwufazowego woda-gaz Rozwiązywanie równań przepływu metodą różnic skończonych Modelowanie dopływu wody do złoża model Cartera-Tracy ego Model odwiertów Analiza porównawcza analityczno-eksperymentalnych modeli tworzenia stożków wodnych z modelem numerycznym Analiza wrażliwości parametrów w modelach analitycznych Wpływ przepływu turbulentnego gazu w strefie przyodwiertowej na wydajność krytyczną Model przepływu turbulentnego wokół odwiertu Równanie dopływu gazu do odwiertu w stanie semiustalonym Modyfikacja równań opisujących wydajności krytyczne poprzez uwzględnienie członu turbulencji Wydajność krytyczna w procesie eksploatacji złóż gazu Czas eksploatacji gazu przy stałej wydajności Analiza wrażliwości dla wykładnika wodnego w trakcie procesu dwufazowej eksploatacji Wnioski Literatura.. 121

4 Ważniejsze oznaczenia b - długość odcinka odwiertu udostępniającego złoże, [m] B i - współczynnik objętościowy i-tej fazy q cd - bezwymiarowy wydatek krytyczny Q - wydatek, [m 3 /s] Q cdp - wydatek krytyczny gazu wg Dupuita, [m 3 n/s] Q csc - wydatek krytyczny gazu wg Scholsa, [m 3 n/s] Q cch - wydatek krytyczny gazu wg Chaperon, [m 3 n/s] Q chp - wydatek krytyczny gazu wg Høylanda, Papatzacosa i Skjavelanda, [m 3 n/s] h - miąższość warstwy, [m] h aq - miąższość aquifera, [m] h ge - miąższość efektywna warstwy gazonośnej, [m] h per - długość interwału sperforowanego, [m] h we - miąższość efektywna warstwy wodonośnej, [m] k - przepuszczalność, [md] k a - przepuszczalność aquifera, [md] k h - przepuszczalność pozioma, [md] k v - przepuszczalność pionowa, [md] k ri - przepuszczalność względna dla i-tej fazy L p - długość otworów perforacyjnych, [m] n p - liczba otworów perforacyjnych p - ciśnienie, [Pa] p o - ciśnienie początkowe (pierwotne), [Pa] r e - promień oddziaływania odwiertu, [m] r eq - promień równoważny, [m] r w - promień odwiertu, [m] v - prędkość filtracji wg Darcy, [m/s] S - skin efekt S d - skin efekt wynikający z infiltracji płuczki w ścianki odwiertu S dp - skin efekt wynikający z gęstości otworów perforacyjnych

5 S i - nasycenie i-tą fazą t bt - czas przebicia wody do odwiertu, [s] WGR - wykładnik wodno-gazowy, [m 3 /m 3 n ] μ i - lepkość i-tej fazy, [Pa s] ρ i - gęstość i-tej fazy, [kg/m 3 ] Φ i - potencjał przepływu dla i-tej fazy, [Pa] Ψ i - potencjał przepływu o charakterze półsferycznym dla i-tej fazy, [Pa] g - faza gazowa o - faza ropna w - faza wodna Indeksy

6 Wykaz tabel zamieszczonych w pracy Tab.3.1. Parametry złoża przyjęte do analizy porównawczej. 41 Tab.3.2. Skład gazu przyjętego do obliczeń 41 Tab.3.3. Właściwości PVT gazu użytego do obliczeń dla danych ciśnień.. 42 Tab.5.1. Podstawowe parametry modelu złoża Tab.5.2 Wartości wydajności krytycznej w [tys. m 3 n /d] w zależności od stosunku przepuszczalności pionowej do poziomej otrzymane w wyniku symulacji.. 67 Tab.5.3. Wartości wydajności krytycznej w [tys. m 3 n /d] w zależności od stosunku b/h otrzymane w wyniku symulacji Tab.5.4. Wartości wydajności krytycznej w [tys. m 3 n /d] w zależności od promienia oddziaływania odwiertu otrzymane w wyniku symulacji 67 Tab.5.5. Wartości wydajności krytycznej w [tys. m 3 n /d] w zależności od promienia efektywnego odwiertu otrzymane w wyniku symulacji Tab.5.6. Wynik symulacji Monte Carlo analizy wrażliwości modelu wydajności krytycznej wg Dupuita na parametry główne 80 Tab.5.7. Wynik symulacji Monte Carlo analizy wrażliwości modelu wydajności krytycznej wg Dupuita na parametry drugorzędne 83 Tab.5.8. Względne błędy obliczeń poszczególnych modeli wydajności krytycznych Dupuita i Scholsa w porównaniu z wynikami modelu numerycznego 84 Tab.6.1. Względne błędy obliczeń poszczególnych zmodyfikowanych modeli Dupuita i Scholsa wydajności krytycznych w porównaniu z wynikami modelu numerycznego Tab.7.1. Współczynniki sczerpania dla złoża o r e = 750 [m], h = 30 [m] i ciśnieniu pierwotnym 200 [bar] po 20-tu latach eksploatacji Tab.7.2. Współczynniki sczerpania dla złoża o r e = 750 [m], h = 30 [m] i ciśnieniu pierwotnym 100 [bar] po 20-tu latach eksploatacji Tab.7.3. Współczynniki sczerpania dla złoża o r e = 750 [m], h = 30 [m] i ciśnieniu pierwotnym 50 [bar] po 20-tu latach eksploatacji. 104 Tab.7.4. Współczynniki sczerpania dla złoża o r e = 750 [m], h = 20 [m] i ciśnieniu pierwotnym 200 [bar] po 20-tu latach eksploatacji 105 Tab.7.5. Współczynniki sczerpania dla złoża o r e = 750 [m], h = 20 [m] i ciśnieniu pierwotnym 100 [bar] po 20-tu latach eksploatacji Tab.7.6. Współczynniki sczerpania dla złoża o r e = 750 [m], h = 20 [m] i ciśnieniu pierwotnym 50 [bar] po 20-tu latach eksploatacji. 106 Tab.7.7. Współczynniki sczerpania dla złoża o r e = 750 [m], h = 10 [m] i ciśnieniu pierwotnym 200 [bar] po 20-tu latach eksploatacji

7 Tab.7.8. Tab.7.9. Tab Tab Tab Tab Tab Współczynniki sczerpania dla złoża o r e = 750 [m], h = 10 [m] i ciśnieniu pierwotnym 100 [bar] po 20-tu latach eksploatacji Współczynniki sczerpania dla złoża o r e = 750 [m], h = 10 [m] i ciśnieniu pierwotnym 50 [bar] po 20-tu latach eksploatacji. 108 Współczynniki sczerpania dla złoża o r e = 750 [m], h = 5 [m] i ciśnieniu pierwotnym 200 [bar] po 20-tu latach eksploatacji Współczynniki sczerpania dla złoża o r e = 750 [m], h = 5 [m] i ciśnieniu pierwotnym 100 [bar] po 20-tu latach eksploatacji Współczynniki sczerpania dla złoża o r e = 750 [m], h = 5 [m] i ciśnieniu pierwotnym 50 [bar] po 20-tu latach eksploatacji. 109 Wyniki symulacji Monte Carlo analizy wrażliwości modelu czasu przebicia 114 Wyniki symulacji Monte Carlo analizy wrażliwości modelu czasu przebicia 116 4

8 Wykaz rysunków zamieszczonych w pracy Rys.2.1. Schemat stożka wodnego w złożu gazu ziemnego. 21 Rys.2.2. Element powierzchni rozdziału gaz-woda.. 25 Rys.2.3. Schemat modelu Hele-Shaw użytego w doświadczeniu Scholia Rys.2.4. Rozmieszczenie obrazów odwiertu odzwierciedlających granicę nieprzepuszczalną Rys.2.5. Schemat siatki modelu numerycznego Rys.3.1. Wykres zależności wydajności krytycznej od promienia oddziaływania odwiertu r e dla poszczególnych modeli przy ciśnieniu początkowym 50 [bar] 43 Rys.3.2. Wykres zależności wydajności krytycznej od promienia oddziaływania odwiertu r e dla poszczególnych modeli przy ciśnieniu początkowym 100 [bar].. 43 Rys.3.3. Wykres zależności wydajności krytycznej od promienia oddziaływania odwiertu r e dla poszczególnych modeli przy ciśnieniu początkowym 200 [bar].. 44 Rys.3.4. Wykres zależności wydajności krytycznej od stosunku b/h dla poszczególnych modeli przy ciśnieniu początkowym 50 [bar].. 45 Rys.3.5. Wykres zależności wydajności krytycznej od stosunku b/h dla poszczególnych modeli przy ciśnieniu początkowym 100 [bar] 45 Rys.3.6. Wykres zależności wydajności krytycznej od stosunku b/h dla poszczególnych modeli przy ciśnieniu początkowym 200 [bar] 46 Rys.3.7. Wykres zależności wydajności krytycznej od stosunku przepuszczalności pionowej do poziomej dla poszczególnych modeli przy ciśnieniu początkowym 50 [bar] 47 Rys.3.8. Wykres zależności wydajności krytycznej od stosunku przepuszczalności pionowej do poziomej dla poszczególnych modeli przy ciśnieniu początkowym 100 [bar].. 47 Rys.3.9. Wykres zależności wydajności krytycznej od stosunku przepuszczalności pionowej do poziomej dla poszczególnych modeli przy ciśnieniu początkowym 200 [bar].. 48 Rys Schemat rozmieszczenia otworów perforacyjnych 49 Rys Wykres zależności wydajności krytycznej od promienia efektywnego odwiertu dla poszczególnych modeli przy ciśnieniu początkowym 50 [bar] 50 Rys Wykres zależności wydajności krytycznej od promienia efektywnego odwiertu dla poszczególnych modeli przy ciśnieniu początkowym 100 [bar] 50 5

9 Rys Wykres zależności wydajności krytycznej od promienia efektywnego odwiertu dla poszczególnych modeli przy ciśnieniu początkowym 200 [bar] 51 Rys.5.1. Schemat siatki zastosowanego modelu numerycznego.. 64 Rys.5.2. Tworzenie się stożka w czasie eksploatacji - rozkład nasyceń wodą w przekroju poprzecznym.. 66 Rys.5.3. Wykres zależności wydajności krytycznej od promienia oddziaływania odwiertu r e dla wybranych modeli oraz modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 50 [bar] 68 Rys.5.4. Wykres zależności wydajności krytycznej od promienia oddziaływania odwiertu r e dla wybranych modeli oraz modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 100 [bar].. 68 Rys.5.5. Wykres zależności wydajności krytycznej od promienia oddziaływania odwiertu r e dla wybranych modeli oraz modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 100 [bar].. 69 Rys.5.6. Rys.5.7. Rys.5.8. Rys.5.9. Rys Rys Rys Rys Rys Błąd wydajności krytycznej w zależności od promienia oddziaływania odwiertu r e dla wybranych modeli w porównaniu do modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 50 [bar] 69 Błąd wydajności krytycznej w zależności od promienia oddziaływania odwiertu r e dla wybranych modeli w porównaniu do modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 100 [bar].. 70 Błąd wydajności krytycznej w zależności od promienia oddziaływania odwiertu r e dla wybranych modeli w porównaniu do modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 200 [bar].. 70 Wykres zależności wydajności krytycznej od stosunku b/h dla poszczególnych modeli oraz modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 50 [bar] 71 Wykres zależności wydajności krytycznej od stosunku b/h dla poszczególnych modeli oraz modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 100 [bar].. 71 Wykres zależności wydajności krytycznej od stosunku b/h dla poszczególnych modeli oraz modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 200 [bar].. 72 Błąd wydajności krytycznej w zależności od stosunku b/h dla wybranych modeli w porównaniu do modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 50 [bar] 72 Błąd wydajności krytycznej w zależności od stosunku b/h dla wybranych modeli w porównaniu do modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 100 [bar].. 73 Błąd wydajności krytycznej w zależności od stosunku b/h dla wybranych modeli w porównaniu do modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 200 [bar]

10 Rys Wykres zależności wydajności krytycznej od stosunku przepuszczalności pionowej do poziomej dla poszczególnych modeli oraz modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 50 [bar] Rys Wykres zależności wydajności krytycznej od stosunku przepuszczalności pionowej do poziomej dla poszczególnych modeli oraz modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 100 [bar]. 74 Rys Wykres zależności wydajności krytycznej od stosunku przepuszczalności pionowej do poziomej dla poszczególnych modeli oraz modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 200 [bar]. 75 Rys Błąd wydajności krytycznej w zależności od stosunku przepuszczalności pionowej do poziomej dla wybranych modeli w porównaniu do modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 50 [bar] Rys Błąd wydajności krytycznej w zależności od stosunku przepuszczalności pionowej do poziomej dla wybranych modeli w porównaniu do modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 100 [bar]. 76 Rys Błąd wydajności krytycznej w zależności od stosunku przepuszczalności pionowej do poziomej dla wybranych modeli w porównaniu do modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 200 [bar]. 76 Rys Rys Rys Rys Rys Rys Wykres zależności wydajności krytycznej od promienia efektywnego odwiertu dla wybranych modeli oraz modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 50 [bar] 77 Wykres zależności wydajności krytycznej od promienia efektywnego odwiertu dla wybranych modeli oraz modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 100 [bar].. 77 Wykres zależności wydajności krytycznej od promienia efektywnego odwiertu dla wybranych modeli oraz modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 200 [bar].. 78 Błąd wydajności krytycznej w zależności od promienia efektywnego odwiertu dla wybranych modeli w porównaniu do modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 50 [bar] 78 Błąd wydajności krytycznej w zależności od promienia efektywnego odwiertu dla wybranych modeli w porównaniu do modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 100 [bar].. 79 Błąd wydajności krytycznej w zależności od promienia efektywnego odwiertu dla wybranych modeli w porównaniu do modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 200 [bar].. 79 Rys Wpływ parametrów złożowych i eksploatacyjnych na wartości wydajności krytycznej Dupuita.. 81 Rys Procentowe zmiany parametrów wejściowych dla modelu Dupuita

11 Rys Wpływ parametrów złożowych i eksploatacyjnych na wartości wydajności krytycznej w modelu Dupuita. 83 Rys Procentowe zmiany parametrów wejściowych drugorzędnych dla modelu Dupuita.. 84 Rys.6.1. Wykres zależności wydajności krytycznej od promienia oddziaływania odwiertu r e dla wybranych modeli zmodyfikowanych oraz modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 50 [bar] Rys.6.2. Wykres zależności wydajności krytycznej od promienia oddziaływania odwiertu r e dla wybranych modeli zmodyfikowanych oraz modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 100 [bar]. 90 Rys.6.3. Wykres zależności wydajności krytycznej od promienia oddziaływania odwiertu r e dla wybranych modeli zmodyfikowanych oraz modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 200 [bar]. 90 Rys.6.4. Rys.6.5. Rys.6.6. Rys.6.7. Rys.6.8. Rys.6.9. Rys Rys Rys Błąd wydajności krytycznej w zależności od promienia oddziaływania odwiertu r e dla wybranych modeli zmodyfikowanych w porównaniu do modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 50 [bar].. 91 Błąd wydajności krytycznej w zależności od promienia oddziaływania odwiertu r e dla wybranych modeli zmodyfikowanych w porównaniu do modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 100 [bar]. 91 Błąd wydajności krytycznej w zależności od promienia oddziaływania odwiertu r e dla wybranych modeli zmodyfikowanych w porównaniu do modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 200 [bar]. 92 Wykres zależności wydajności krytycznej od stosunku b/h dla poszczególnych modeli zmodyfikowanych oraz modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 50 [bar] 92 Wykres zależności wydajności krytycznej od stosunku b/h dla poszczególnych modeli zmodyfikowanych oraz modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 100 [bar].. 93 Wykres zależności wydajności krytycznej od stosunku b/h dla poszczególnych modeli zmodyfikowanych oraz modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 200 [bar].. 93 Błąd wydajności krytycznej w zależności od stosunku b/h dla wybranych modeli zmodyfikowanych w porównaniu do modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 50 [bar] 94 Błąd wydajności krytycznej w zależności od stosunku b/h dla wybranych modeli zmodyfikowanych w porównaniu do modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 100 [bar].. 94 Błąd wydajności krytycznej w zależności od stosunku b/h dla wybranych modeli zmodyfikowanych w porównaniu do modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 200 [bar]

12 Rys Wykres zależności wydajności krytycznej od stosunku przepuszczalności pionowej do poziomej dla poszczególnych modeli zmodyfikowanych oraz modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 50 [bar] 95 Rys Wykres zależności wydajności krytycznej od stosunku przepuszczalności pionowej do poziomej dla poszczególnych modeli zmodyfikowanych oraz modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 100 [bar].. 96 Rys Wykres zależności wydajności krytycznej od stosunku przepuszczalności pionowej do poziomej dla poszczególnych modeli zmodyfikowanych oraz modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 200 [bar].. 96 Rys Błąd wydajności krytycznej w zależności od stosunku przepuszczalności pionowej do poziomej dla wybranych modeli zmodyfikowanych w porównaniu do modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 50 [bar] 97 Rys Błąd wydajności krytycznej w zależności od stosunku przepuszczalności pionowej do poziomej dla wybranych modeli zmodyfikowanych w porównaniu do modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 100 [bar].. 97 Rys Błąd wydajności krytycznej w zależności od stosunku przepuszczalności pionowej do poziomej dla wybranych modeli zmodyfikowanych w porównaniu do modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 200 [bar].. 98 Rys Rys Rys Rys Rys Rys Wykres zależności wydajności krytycznej od promienia efektywnego odwiertu dla wybranych modeli zmodyfikowanych oraz modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 50 [bar] 98 Wykres zależności wydajności krytycznej od promienia efektywnego odwiertu dla wybranych modeli zmodyfikowanych oraz modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 100 [bar].. 99 Wykres zależności wydajności krytycznej od promienia efektywnego odwiertu dla wybranych modeli zmodyfikowanych oraz modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 200 [bar].. 99 Błąd wydajności krytycznej w zależności od promienia efektywnego odwiertu dla wybranych modeli zmodyfikowanych w porównaniu do modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 50 [bar] Błąd wydajności krytycznej w zależności od promienia efektywnego odwiertu dla wybranych modeli zmodyfikowanych w porównaniu do modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 100 [bar]. 100 Błąd wydajności krytycznej w zależności od promienia efektywnego odwiertu dla wybranych modeli zmodyfikowanych w porównaniu do modelu numerycznego przy ciśnieniu początkowym 200 [bar]

13 Rys.7.1. Rys.7.2. Rys.7.3. Rys.7.4. Rys.7.5. Rys.7.6. Rys.7.7. Wykres zależności współczynnika sczerpania od wydajności gazu dla złoża o r e = 750 [m], h = 30 [m] i po 20-tu latach eksploatacji Wykres zależności współczynnika sczerpania od wydajności gazu dla złoża o r e = 750 [m], h = 20 [m] i po 20-tu latach eksploatacji Wykres zależności współczynnika sczerpania od wydajności gazu dla złoża o r e = 750 [m], h = 10 [m] i po 20-tu latach eksploatacji Wykres zależności współczynnika sczerpania od wydajności gazu dla złoża o r e = 750 [m], h = 5 [m] i po 20-tu latach eksploatacji 110 Wykres zależności wynoszonej objętości wody z odwiertu od wydajności gazu i ciśnienia dennego. 110 Zmiany wydajności gazu i wody dla złoża o r e = 750 [m], h = 30 [m], po 20-tu latach eksploatacji i dla ciśnienia pierwotnego 50 [bar] Zmiany wydajności gazu i wody dla złoża o r e = 750 [m], h = 30 [m], po 20-tu latach eksploatacji i dla ciśnienia pierwotnego 100 [bar] 111 Rys.7.8. Zmiany wydajności gazu i wody dla złoża o r e = 750 [m], h = 30 [m], po 20-tu latach eksploatacji i dla ciśnienia pierwotnego 200 [bar] 112 Rys.7.9. Całkowite wydobycie gazu i wody dla złoża o r e = 750 [m], h = 30 [m], po 20-tu latach eksploatacji i dla ciśnienia pierwotnego 50 [bar] Rys Całkowite wydobycie gazu i wody dla złoża o r e = 750 [m], h = 30 [m], po 20-tu latach eksploatacji i dla ciśnienia pierwotnego 100 [bar] 113 Rys.7.11 Całkowite wydobycie gazu i wody dla złoża o r e = 750 [m], h = 30 [m], po 20-tu latach eksploatacji i dla ciśnienia pierwotnego 200 [bar] 113 Rys Rys Wpływ najważniejszych parametrów złożowych i eksploatacyjnych na czas przebicia wody do otworu Procentowe zmiany parametrów wejściowych dla modelu czasu przebicia. 115 Rys Wpływ najważniejszych parametrów złożowych i eksploatacyjnych na wielkość wykładnika wodno-gazowego. 117 Rys Procentowe zmiany parametrów wejściowych dla modelu WGR

14 1. Wprowadzenie Zjawisko tworzenia się stożków wodnych jest charakterystyczne dla odwiertów udostępniających złoża węglowodorów, w których istnieje strefa nasycona wodą podścielająca lub okalającą. W pierwotnym stanie złoża, czyli przed rozpoczęciem eksploatacji, powierzchnia kontaktu pomiędzy węglowodorem a wodą stanowi zwykle płaszczyznę poziomą. Z chwilą rozpoczęcia przez odwiert eksploatacji, wokół niego wytwarza się strefa obniżonego ciśnienia, dzięki czemu następuje rozprężanie i dopływ płynów złożowych do odwiertu. Strefa zaburzenia ciśnienia może osiągnąć zawodnioną część złoża, powodując ruch wody w kierunku odwiertu i w konsekwencji deformację powierzchni kontaktu pomiędzy węglowodorem a wodą. Deformacja ta, dla odwiertów pionowych, przybiera kształt stożka. Rozważania na temat powstawania stożków wodnych w złożach węglowodorów sprowadzają się zwykle do rozpatrywania równowagi pomiędzy siłami wywołanymi różnicą ciśnień i siłami ciężkości. Siły wywołane gradientem ciśnienia wykazują tendencję do podnoszenia wody w kierunku odwiertu i są proporcjonalne do wydajności, z jaką jest on eksploatowany. Maksymalna wydajność, dla której węglowodór eksploatowany jest jeszcze bez wody, nosi nazwę wydajności krytycznej i jest najczęściej modelowaną wielkością przy rozwiązywaniu problemów ekspansji stożka wodnego. W pracy niniejszej nie uwzględniono lansowanego ostatnio sposobu podwójnego udostępniania złoża gazowego w technologii DGWS (Downhole Gas/Water Separation) Modele analityczne powstawania stożka wodnego Za najstarszą pracę, o powstawaniu stożka wodnego, należy przytoczyć publikację Dupuita (1865). Jednakże model w postaci formuły określającej 11

15 wydajność krytyczną, który otrzymał Dupuit na podstawie rozważań teoretycznych, nie mógł być w tamtym okresie zweryfikowany w praktyce. Dlatego też, jako pierwszych, którzy podjęli próbę analitycznego rozwiązania problemu tworzenia się stożków wodnych w złożach węglowodorów na skalę przemysłową uznaje się Muscata i Wyckoffa (1935). Muscat i Wyckoff sformułowali warunek równowagi, który można opisać zależnością: ( ρ ρ ) p p = g h w w o co znaczy, iż siły wywołane gradientem ciśnienia muszą być równoważone siłami grawitacyjnymi. Ten tok rozumowania był później wielokrotnie wykorzystywany w pracach innych autorów, takich jak: Arthur (1944), Van Lookeren (1965), Gottardi i Vitali (1981) czy też Wheatley (1985). Inne analityczne podejście do tego problemu wykazali Meyer i Garder (1954), którzy w swoich rozważaniach założyli, że przepływ odbywa się w złożu jednorodnym i izotropowym, a w przepływie bierze udział tylko jeden płyn, który jest eksploatowany. Do opisu tego zjawiska wykorzystali teorię potencjału przepływu Hubbert a (1953) i wyprowadzili korelacje na wydajność krytyczną dla trzech różnych przypadków tj. stożka wodnego, stożka gazowego oraz dla kombinacji obydwu tych stożków. Wiele formuł wykorzystywanych do określania wydajności krytycznej powstało dla złóż o konkretnej budowie geologicznej, i tak np. Kidder (1956) zaproponował analityczne rozwiązanie dla dwuwymiarowego przepływu dwóch niemieszających się płynów w cienkich warstwach piaskowca. Ciekawe rozwiązanie analityczne można znaleźć w publikacji Chaperon (1986), której model będzie w dalszej części pracy analizowany. Traktując odwiert jako źródło punktowe, założyła, iż przepływ w jego bezpośrednim sąsiedztwie ma charakter półsferyczny, natomiast w dalszej odległości liniowy. Korzystając z teorii obrazów wyznaczyła korelację na wydajność krytyczną. 12

16 Zainteresowanie modelami analitycznymi spadło wraz z rozwojem i upowszechnieniem w inżynierii złożowej metod numerycznych. Nieliczne przypadki dotyczą konkretnych złóż i nie mogą być stosowane jako uniwersalne Modele analityczne otrzymane na podstawie eksperymentów laboratoryjnych Najwcześniejszym przykładem badań eksperymentalnych nad procesem tworzenia się stożków wodnych w złożach ropy naftowej i gazu ziemnego wydaje się być doświadczenie Meyera i Searcy a (1956). Wykorzystując do swego eksperymentu model typu Hele-Shaw, sporządzili prognozy czasu przebicia się wody do otworu, w zależności od własności płynów biorących udział w przepływie. Model Hele-Shaw wykorzystywany był do tego typu badań jeszcze wielokrotnie, między innymi przez Smitha i Pirsona (1963), którzy przeprowadzili na nim eksperyment mający na celu zbadanie możliwości powstrzymywania tworzenia się stożków wodnych w odwiertach ropnych lub gazowych przez zatłaczanie do nich płynów złożowych. Najczęściej jednak przytaczaną pracą na temat badań na tego typu modelu jest eksperyment Scholsa (1972), który w wyniku doświadczeń na kilku modelach wyprowadził formułę określającą wydajność krytyczną. Innym modelem fizycznym wykorzystywanym do symulowania zjawiska powstawania stożków wodnych był model skonstruowany w postaci skrzyni z piaskiem w kształcie wycinka walca (ang. pie-shaped kształt kawałka tortu). Takiego modelu po raz pierwszy użyli Sobocinski i Cornelius (1965). W wyniku swoich doświadczeń otrzymali empiryczną zależność pozwalającą wyznaczyć czas przebicia się wody do odwiertu w zależności od wydajności. Równolegle swój eksperyment przeprowadzili Caudle i Silberberg (1965), badając opory przepływu w warstwie wodonośnej dla dwóch mieszających się płynów. Model tej postaci użyli również: Khan (1970) do określenia położenia powierzchni 13

17 rozdziału płynów w zależności od wydajności i czasu eksploatacji, Bournazel i Jeanson (1971) do wyznaczenia wydajności krytycznej w zależności od własności płynów, a także Mungan (1975) do potwierdzenia słuszności założeń do sporządzonego przez siebie modelu numerycznego. Kolejny rodzaj modeli fizycznych to modele o konstrukcji opartej na analogii występującej pomiędzy przepływem płynu a przepływem prądu. I tak, Karplus (1956) do odwzorowania geometrii ośrodka, w którym odbywa się przepływ płynu, użył prostokątnej sieci rezystorów. Zastosowanie tego typu modelu fizycznego uzasadnił podobieństwem pomiędzy równaniami opisującymi rozkład napięcia w sieci rezystorów i rozwinięciem równania Laplace a dla potencjału przepływu. Model pozwalał przewidywać kształt stożka wodnego dla różnego rodzaju kombinacji wielkości: wydajności, różnicy gęstości płynów oraz stosunku ich współczynników ruchliwości. Chierici i Ciucci (1964) wykorzystali analogię istniejącą pomiędzy przepływem ustalonym płynu nieściśliwego w jednorodnym ośrodku porowatym a przepływem prądu elektrycznego w przewodnikach. Wyniki eksperymentów przedstawili w postaci zestawu wykresów pozwalających określić wydajność krytyczną w zależności od długości odcinka odwiertu udostępniającego złoże Modelowanie procesu powstawania stożków wodnych z wykorzystaniem modeli numerycznych Zagadnienie powstawania stożków wodnych należy do ogólnej problematyki przepływów wielofazowych w ośrodkach porowatych, dlatego nie sposób nie przytoczyć w tym miejscu ważniejszych dokonań, jakie miały wpływ na ewolucję metod numerycznych w inżynierii złożowej. Rozwój komputerowej techniki obliczeniowej w latach pięćdziesiątych stworzył możliwości dla praktycznego rozwiązywania zagadnień związanych z symulacją przepływów w ośrodkach porowatych. W okresie tym powstało wiele 14

18 istotnych prac z tego zakresu. Jako jedni z pierwszych, model nieustalonego przepływu gazu przez ośrodek porowaty, zaprezentowali Bruce, Peaceman i Rachword (1953). W swojej pracy zdefiniowali: model przepływu cieczy w postaci jednofazowej za pomocą liniowego równania różniczkowego oraz model przepływu gazu z zastosowaniem nieliniowego równania różniczkowego drugiego rzędu. Modele te rozszerzyli McCarty i Peaceman (1957), którzy poprzez uwzględnienie m.in. efektu grawitacyjnego, sformułowali model przepływu w płaszczyźnie dwuwymiarowej oraz model jednowymiarowego przepływu dwufazowego. Model dwufazowego przepływu w ośrodku porowatym uwzględniający trójwymiarową geometrię złoża zaprezentowali Douglas, Peaceman i Rachwford (1959), proponując przy tym numeryczną metodę linearyzacji układu równań różniczkowych do układu równań algebraicznych liniowych przy pomocy metody różnic skończonych. Od tego czasu w publikacjach zaczynają przeważać trójwymiarowe modele przepływów dwufazowych, w których normą staje się opis przepływu w modelowanym złożu sprowadzający problem do przepływu między blokami siatki modelu w ustalonych krokach czasowych i oparty na równaniach bilansu masy dla poszczególnych płynów biorących w nim udział. Jako tego przykład można wymienić prace Gardera, Peacemana i Pozzi'ego (1964) czy też Peacemana (1966). W następnych latach ukazały się opracowania poszerzające standardowy model przepływu w złożu do przypadku trójfazowego, uwzględniający min. rozpuszczalność gazu w ropie i w wodzie, co zaprezentowali m.in. Coats, Nielsen, Terhune i Weber (1967). W okresie tym, jednym z głównych kierunków badań w modelowaniu numerycznym przepływów w ośrodkach porowatych, stały się metody rozwiązywania równań przepływu. W przypadku numerycznych metod rozwiązywania równań różniczkowych, które z reguły składają się na model przepływu, najbardziej powszechną stała się metoda linearyzacji tych równań do równań algebraicznych za pomocą algorytmu różnic skończonych. Jeżeli zaś chodzi o sposób wyrażania zależności pomiędzy ciśnieniami i nasyceniami dla 15

19 poszczególnych faz w czasie, to jak przytacza m.in. Odeh (1969), rozwijane były dwie metody: implicit-explicit (IMPES implicit-pressure, explicit-saturation) oraz implicit-implicit (fully implicit). W metodzie implicit-explicit ciśnienia w poszczególnych blokach modelu określane są w sposób niejawny, a nasycenia fazami płynu w sposób jawny, natomiast w metodzie implicit-implicit rozwiązanie przebiega według schematu niejawnego zarówno dla ciśnień jak i nasyceń. Na podstawie przytoczonych modeli przepływu stworzono wiele programów komputerowych potocznie zwanych symulatorami złożowymi. Wspólną cechą tych aplikacji było: wykorzystanie równania zachowania masy uzupełnionego o równania ruchu i stanu dla każdego bloku modelu, uwzględnienie przepływu w płaszczyźnie lub w przestrzeni trójwymiarowej oraz uwzględnienie jednej, dwu lub trzech faz płynu o niezmiennym składzie. Modele symulacyjne tego typu i realizujące je programy aplikacyjne zostały nazwane wspólną nazwą black-oil. Pierwsze symulatory numeryczne black oil typu IMPES, stosowane w inżynierii złożowej do rozwiązywania wielu problemów, w przypadku modelowania stożków wodnych nie dawały zadawalających rezultatów. Wynikało to głównie z niewielkiego rozmiaru bloków siatki położonych bezpośrednio przy odwiercie. Powodowało to, iż w trakcie symulacji podczas jednego kroku czasowego, przepustowość takiego bloku była kilkakrotnie większa od jego objętości porów. Rozwiązanie tego problemu jako pierwsi przedstawili Welge i Weber (1965). Niestabilność rozwiązania kontrolowali poprzez ograniczenie kroków czasowych tak by maksymalne nasycenia zmieniało się w przedziale od 0,01 do 0,1 oraz poprzez łączenie bloków położonych w pobliżu otworu w przypadku, gdy tylko pojawią się tam podobne wartości nasycenia. Znaczny postęp w dziedzinie symulacji stożków wodnych poczynili Settari i Aziz (1974). Wykorzystując w modelu tzw. siatkę centralną, stworzyli metodę dokładnego określania wzajemnego oddziaływania pomiędzy złożem a odwiertem. Wprowadzili warunek zgodności mówiący, iż pionowy gradient 16

20 ciśnienia w odwiercie musi być taki sam jak gradient ciśnienia na granicy odwiert-złoże. Z kolei Akbar, Arnold i Harvery (1972) oraz Mrosovsky i Riddings (1975) zaproponowali sposób łączenia siatki radialnej, odwzorowującej strefę złoża w pobliżu odwiertu, z siatką prostokątną, jako dalszą jego częścią. Lata siedemdziesiąte i osiemdziesiąte przyniosły dalszy rozwój modeli symulacyjnych uwzględniających dodatkowo zjawiska mieszania się płynów oraz efekty temperaturowe. W modelach tych, przedstawionych przez Nolena (1973) i Coatsa (1980), nie określano faz związanych ze stanem skupienia, ale definiowano płyny złożowe poprzez ich skład chemiczny w postaci ułamków molowych. Modele symulacyjne oparte na tej zasadzie zostały nazwane modelami składnikowymi lub kompozycyjnymi. Lata dziewięćdziesiąte jak i ostatnie nie przyniosły znaczącego przełomu w matematycznym modelowaniu przepływów płynów złożowych. W dalszym ciągu rozwijano modele symulatorów kompozycyjnych i typu black-oil w oparciu o fundamentalne założenia opracowane wcześniej, co potwierdza praca Coatsa, Thomasa i Persona (1995). Modele numeryczne w rozwinięciu Coatsa et al. (1995) zostały zastosowane w niniejszej pracy. Na uwagę zasługuje fakt, iż skupiono się na bardziej precyzyjnym modelowaniu przepływów w strefach przyodwiertowych oraz nieciągłości litologicznych złoża poprzez zastosowanie geometrycznych transformacji siatki bloków modelu np. wg metody Halesa (1996) Badania nad numerycznym modelowaniem przepływu płynów w ośrodkach porowatych prowadzone w Polsce Stosunkowo niewiele publikacji na temat numerycznego modelowania przepływu płynów w ośrodkach porowatych ukazało się w Polsce. Pierwsze prace prezentujące matematyczne modele przepływu płynów w złożu zostały zaprezentowane w latach siedemdziesiątych. Na uwagę zasługuje publikacja autorów: Duliński, Jeleń i Siemek (1977), którzy zaprezentowali model semistacjonarnego przepływu płynu w złożu gazu ziemnego. W celu rozwiązania 17

21 równania przepływu autorzy zastosowali metodę linearyzacji układu równań różniczkowych przy zastosowaniu metody różnicowej, natomiast uzyskany układ równań algebraicznych rozwiązali przy użyciu metody Thomasa. Kolejne badanie przyniosły rozwiązania dla układów dwufazowych, i tak Malaga, Sławomirski i Wągiel (1979) zaproponowali modele numeryczne eksploatacji złóż gazowych z wodą okalającą. Zaprezentowano dwa sposoby rozwiązania tego problemu: pierwszy z nich oparty na zachowaniu bilansu masy w skali całego złoża oraz drugi polegający na symulacji przepływu dwufazowego gaz-woda. Jeżeli chodzi o drugi przypadek, to tak zdefiniowany model przepływu oparto na rozwiązaniu równań algebraicznych oddzielnie dla gazu i wody. Bazując na tak zdefiniowanym modelu przepływu dwufazowego Sławomirski (1979) opisał matematyczny model powstawania i ekspansji stożka wodnego, którym po wprowadzeniu ciśnienia kapilarnego sprowadził układ równań do jednego równania opisującego rozkład potencjału wody. W tym samym czasie Siemek (1979) dokonał analizy najważniejszych stosowanych metod symulacyjnych w zakresie modelowania zachowania się płynów w złożu. Zostały omówione i ocenione modele oparte na zasadzie bilansu odnoszące się zarówno do złóż gazu ziemnego, jak i ropy naftowej, dwuwymiarowy model symulacji dwufazowego przepływu gaz-woda z ruchomą wodą okalającą oraz model tworzenia się stożków wodnych w złożach gazowych z wodą podścielającą. W latach osiemdziesiątych nastąpił dalszy rozwój badań związanych z zachowaniem się płynów w złożu. Siemek et al. (1987) zaprezentowali matematyczny model wstecznej kondensacji towarzyszący przepływowi gazu w złożu. Autorzy przedstawili możliwości rozwiązania modeli przepływu płynów w złożu opartych o: równania ciągłości, ruchu oraz stanu. Podsumowania wyników w zakresie modelowania przepływów płynów dokonali Siemek et al. (1986) prezentując szeroką gamę matematycznych i fizycznych modeli przepływów wielofazowych uwzględniających przejścia fazowe, wypieranie się dwóch płynów, zjawiska kapilarne, dyfuzję molekularną i dyspersję mechaniczną. 18

22 1.5 Cel, teza pracy i sposób jej realizacji Celem pracy jest: analiza istniejących korelacji do obliczeń wydajności krytycznej gazu dla złóż gazowych z wodą podścielającą lub okalającą, w tym: ocena istotności parametrów złożowych : h, b, k h, k v, r e, r ef, ocena błędu korelacji analityczno-eksperymentalnych w porównaniu do modelu numerycznego, ocena istotności procesu eksploatacji z wydajnością krytyczną i wydajnością wyższą od wydajności krytycznej. Problem eksploatacji złóż gazu ziemnego z wodą podścielającą lub okalającą jest określany zwykle na podstawie analogii ze złożami ropnymi. Istniejące korelacje nie odpowiadają rzeczywistości, nie opisują istotnych procesów związanych z turbulentnym przepływem gazu w pobliżu odwiertu. Równocześnie eksploatacja gazu z wydajnością większą od krytycznej może być korzystna z punktu widzenia sumarycznego sczerpania złoża oraz szybkości sczerpania złoża w określonym (np. 20-to letnim) czasie ekploatacji. W tym kontekście została sformułowana następująca teza: Eksploatacja złoża gazu ziemnego może być prowadzona w sposób racjonalny (z punktu widzenia szybkiego sczerpania zasobów oraz sumarycznego wydobycia) z szybkością większą od wydajności krytycznej zdefiniowanej jako wydajność maksymalna nie powodująca zmiany położenia konturu gaz-woda w pobliżu odwiertu. Dowód przedstawionej tezy został przeprowadzony w następujący sposób: dokonano analizy istniejących modeli wydajności krytycznej, określono wpływ poszczególnych parametrów na wartości wydajności krytycznych, 19

23 wprowadzono nowe zmodyfikowane formuły określające wydajności krytyczne, przeprowadzono obliczenia porównawcze dla różnych konfiguracji z wykorzystaniem modeli numerycznych, sformułowano wnioski wynikające z badań. 20

24 2. Analityczno-eksperymentalne modele opisujące tworzenie stożka wodnego przy przepływie gaz - woda 2.1. Model Dupuita Rozważania Dupuita (1865) nad tworzeniem się stożka wodnego przeprowadzone zostały przy pewnych założeniach upraszczających. Przyjęto, iż przepływ płynów w złożu odbywa się z zachowaniem wyraźnej granicy rozdziału pomiędzy gazem a wodą, co oznacza, iż zaniedbywane są siły kapilarne, a wypieranie gazu przez wodę ma charakter tłokowy. Uzasadnia się to znaczną różnicą gęstości i lepkości obydwu tych płynów. Następnie rozpatrzono przepływ radialny do odwiertu częściowo udostępniającego złoże gazu ziemnego z wodą podścielającą i eksploatującego gaz z wydajnością krytyczną (rys.2.1). Rys.2.1. Schemat stożka wodnego w złożu gazu ziemnego 21

25 Dodatkowo założono, że przepływ w złożu jest ustalony, samo złoże jest jednorodne, a gęstość i lepkość płynu jest stała. Założenie stałości gęstości i lepkości gazu jest słuszne, tak długo jak długo spadek ciśnienia w strefie przyodwiertowej jest mały w stosunku do średniego ciśnienia złożowego. Wyprowadzenie wzorów ( ) przeprowadzone zostało na podstawie pracy Hagoorta (1988). I tak, zakładając przepływ płynu o stałej gęstości wg prawa Darcy można napisać: k v = gradφ (2.1.1) μ Przy założeniu stałej gęstości płynu równanie ciągłości przyjmie postać: divv = 0 (2.1.2) Z równań (2.1.1) i (2.1.2), przy założeniu stałej lepkości płynu otrzymujemy potencjał przepływu: div _ grad _ Φ = 0 (2.1.3) Jeśli eksploatacja gazu odbywa się z wydajnością krytyczną, wówczas ciśnienie w strefie wodonośnej jest ciśnieniem hydrostatycznym, zatem potencjał przepływu dla wody Φ w można wyrazić: Φ = p + ρ gz (2.1.4) w w w Pomijając siły kapilarne można uważać, że ciśnienie po obu stronach konturu woda gaz muszą być równe, zatem: ( ) ( ) p z = p z =Φ ρ gz (2.1.5) g i w i w w i 22

26 gdzie: z i - położenie kontaktu woda gaz Potencjał przepływu dla gazu podobnie jak dla wody wyraża się poprzez: ( ) ( ) Φ z = p z + ρ gz (2.1.6) g i g i g i Podstawiając do równania (2.1.6) zależność (2.1.5) otrzymamy: ( ) Φ z =Φ ρ gz + ρ gz =Φ Δ ρgz (2.1.7) g i w w i g i w i Dla odwiertu i zewnętrznej strefy złoża zakładamy, że gaz i woda znajdują się w równowadze hydrostatycznej. Dla gazu potencjał przepływu na ściance odwiertu dany jest zależnościami: dla dla r = rw i z h b = ρ ( ) Φ g =Φw Δ g h b (2.1.8) r = re z i = 0 Φ g =Φ w (2.1.9) W celu obliczenia wydajności krytycznej można zastosować twierdzenie Greena, odnosząc je do figury obrotowej ABCD (rys.2.1). Twierdzenie to można wyrazić następującą zależnością: V U w W ΔU UΔ W dv = W U ds n n ( ) (2.1.10) S gdzie: S powierzchnia ograniczająca objętość V, n wektor jednostkowy do powierzchni S, natomiast W, U oznaczają zadane funkcje. W tym przypadku za funkcje W i U podstawić można odpowiednio: W r = ln, Δ W = 0 (2.1.11) rw 23

27 U =Φ Δ U = 0 (2.1.12) g Ponieważ obydwie funkcje (2.1.11) i (2.1.12) spełniają równanie Laplace a, to po przekształceniu zależności (2.1.10), otrzymujemy: r Φ g r ln Φ g ln ds = 0 r S w n n r (2.1.13) w W rozpatrywanym modelu (rys.2.1) powierzchnia S składa się z elementów wyznaczonych przez powierzchnie obrotowe ograniczające figurę obrotową ABCD a więc odpowiednio: BA, BC, CD i DA. Dla powierzchni BA można napisać: r r e ln = ln rw rw Φ = q n μ B g g g c rg 2π kk hr e (2.1.14) (2.1.15) r r 1 ln = ln = (2.1.16) n rw r rw re ds = π r dz (2.1.17) 2 e Ponieważ kontur rozgraniczający, jest równocześnie linią prądu dla powierzchni BC (rys.2.2), więc: Φ g = 0 r (2.1.18) r r r sinα ln = n o grad ln = (2.1.19) n rw rw r 24

28 dz ds = 2πrdl = 2πr (2.1.20) sinα Rys.2.2. Element powierzchni rozdziału gaz-woda Dla powierzchni CD: r ln 0 r = (2.1.21) w r r 1 ln = = (2.1.22) n rw r rw rw 2π w ds = r dz (2.1.23) Dla powierzchni DA: Φ g = 0 n r ln = 0 n rw (2.1.24) (2.1.25) 25

29 się: Wstawiając zależności (2.1.14) - (2.1.25) do równania (2.1.13) otrzymuje h h b h r μgb e g qcln = Φg ( re) dz Φg ( zi) dz Φg ( rw) dz rw 2π kkrg 0 0 h b (2.1.26) Dokonując dalszych przekształceń z uwzględnieniem warunków brzegowych (2.1.6) - (2.1.8) oraz całkując otrzymuje się: i ostatecznie: 2 2 r μ e gbg h b qc ln =Δρg rw 2π kkrg 2 Q cdp 2 2 ( )( ) πgkgkrg ρw ρg h b = r e μgbg ln rw (2.1.27) (2.1.28) Powyższa formuła obowiązuje dla ośrodka izotropowego. W przypadku ośrodka anizotropowego, jak sugeruje Polubarinova-Kochina (1962), można zależność (2.1.28) pomnożyć przez wyrażenie 1 kv k h. Model ten jest identyczny z modelem Meyera i Gardera (1954). Pewną słabością tych modeli jest założenie o stałej gęstości, co odpowiada małej zmianie ciśnienia. Modele te nie uwzględniają efektów związanych z przepływem turbulentnym gazu, ani też nie nadają się do wykorzystania w złożach o małej przepuszczalności, w których występuje duży gradient ciśnienia w strefie drenażu. Wpływ przepływu nieliniowego jest opisany w rozdziale 6. 26

30 2.2. Model Scholsa Schols (1972) do określenia wydajności krytycznej wykorzystał fizyczny model Hele-Shaw, zbudowany z dwóch równoległych przezroczystych płyt i wypełniającego przestrzeń między nimi szklanego granulatu, reprezentującego ośrodek porowaty. Użycie tego typu modelu ograniczyło zagadnienie tworzenia się stożka wodnego do dwóch wymiarów. W doświadczeniu zwrócono uwagę na odpowiednie dobranie wymiarów modelu, w szczególności na odległość między płytami, będącą odzwierciedleniem przepuszczalności ośrodka. Odległość ta, według wcześniejszych badań Aravina (1938) i Efrosa (1957), powinna być równa wielokrotności pierwiastka trzeciego stopnia z długości poziomej modelu. Tak dobrana odległość pozwalała na zastosowanie modelu Hele-Shaw do symulowania symetrycznego, radialnego przepływu płynu w ośrodku porowatym. Do swego eksperymentu Schols użył trzech modeli o różnych wymiarach. Rys.2.3. Schemat modelu Hele-Shaw użytego w doświadczeniu Scholsa Jako płyn o mniejszej gęstości zastosowano olej roślinny z dodatkiem środka powierzchniowoczynnego. Płyn o większej gęstości reprezentował wodny 27

31 roztwór gliceryny. Przed rozpoczęciem doświadczenia obydwa płyny wprowadzono do modelu i ustalono stan równowagi, w którym powierzchnia kontaktu między nimi odpowiadała płaszczyźnie poziomej. Następnie przez otwór częściowo udostępniający część modelu wypełnionego przez olej rozpoczęto jego eksploatację. Po pewnym czasie zauważono, że z fazy symulującej warstwę wodonośną uformował się stożek. Zwiększając kilkakrotnie wydajność i doprowadzając do ustalenia się stabilnych warunków w modelu, osiągnięto jej wartość krytyczną, po przekroczeniu której nastąpiło przebicie się wodnego roztworu gliceryny do otworu. W każdym z trzech modeli wydajność krytyczna była mierzona jako funkcja długości odcinka otworu udostępniającego warstwę produktywną i jej miąższości. Pozwoliło to określić bezwymiarową wydajność krytyczną q cd w postaci następującej zależności: q cd π b h = e 0, r h e e re ln r w 2 2,14 (2.2.1) Matematyczne sformułowanie bezwymiarowej wydajności krytycznej było możliwe przy następujących dalszych założeniach: a) ośrodek porowaty jest jednorodny i izotropowy, b) płyny biorące udział w przepływie są nieściśliwe, c) woda tworząca stożek jest w stanie spoczynku, d) siły kapilarne są zaniedbane, e) he ha b, f) dla r = rw i 0 z b dla r = re i 0 z he p r z = p r + ρ gz : (, ) (,0) o w o w o : (, ) (,0) p r z = p r + ρ gz o e o e o Opierając się na powyższych założeniach dla warstwy produktywnej można wyprowadzić następujące równania: 28

32 - równanie przepływu gdzie: v o k = gradφ o (2.2.2) μ o (, ) Φ = p rz ρ gz+ C (2.2.3) o o o gdzie: C jest dowolną stałą. Dla tej stałej mamy: ( ) C = p r (2.2.4) o w,0 która wynika z prostego warunku brzegowego r = r. - równanie ciągłości 0 w h ko o Qo = 2 π r Φ dz = const (2.2.5) μ r o Przyjęto następujące warunki brzegowe wynikające z geometrii modelu fizycznego: - dla r = rw i 0 z b: Φ o = 0 (2.2.6) wynika to z założenia f) oraz równań (2.2.3) i (2.2.4) Φ o - dla r = rw i b z ha : = 0 (2.2.7) r - dla r = re i 0 z he : p ( r,0) p ( r,0) Φ = (2.2.8) o o e o w wynika to z założenia f) oraz równań (2.2.3) i (2.2.4) Φ o - dla z = 0 i r w r r e : = 0 (2.2.9) z - dla z = h i r w r r e : (, ) (,0) Φ = p rh p r ρ gh (2.2.10) o o o w o Ponieważ: Z założenia d) wynika, iż: o (, ) (, ) p rh = p rh (2.2.11) w (, ) (, ) ( ) p rh = p r h h h ρ g (2.2.12) w w e e e w 29

33 oraz (, ) (, ) (,0) p r h = p r h = p r + ρ gh (2.2.13) w e e o e e o e o e wynika z tego następująca zależność: gdzie: Δ ρ = ρw ρo (,0) (,0) ( ) Φ = p r p r h h Δ ρg (2.2.14) o o e o w e Przy wprowadzeniu charakterystycznej długości równej r e i charakterystycznego potencjału równego r e Δ ρg, powyższe równania mogą zostać przekształcone do postaci bezwymiarowej. Równanie to określa bezwymiarową krytyczną wydajność płynu: q cd Q μo = krδρg c 2 o e (2.2.15) będący funkcją bezwymiarowych grup parametrów r e r w, bh e oraz he r e. Porównując równania (2.2.1) oraz (2.2.15) otrzymujemy formułę określającą wydajność krytyczną: Q csc 2 2 gkoδρ ( he b ) π h e = 0,432 + μ o r r e e ln rw 0,14 (2.2.16) Wprowadzając do powyższej formuły człon uwzględniający anizotropię złoża, korelację Scholsa dla wydajności krytycznej gazu przedstawił Hagoort (1988) w następującej postaci: Q csc 2 2 gkgkrg ( ρw ρg)( h b ) π h k v = 0,432 + μgb g r r e e kh ln rw 0,14 0,07 (2.2.17) 30

34 Model ten jest powszechnie wykorzystywany w inżynierii gazowniczej, głównie poprzez rozpowszechnienie w kilku monografiach i podręcznikach m.in. Hagoort (1988). W opracowaniu tego modelu nie uwzględniono właściwości rzeczywistych gazu ziemnego (zmiana gęstości) Model Chaperon Podstawą do matematycznego sformułowania zaprezentowanego przez Izabelle Chaperon (1986) modelu opisującego tworzenie się stożków wodnych było założenie, iż złoże udostępnione jest odwiertem pionowym na bardzo krótkim odcinku. Pozwoliło to w dalszych rozważaniach potraktować odwiert jako źródło punktowe, natomiast przepływ płynu w bezpośrednim jego sąsiedztwie jako półsferyczny. Przepływ półsferyczny wynikał z faktu, iż źródło punktowe umieszczone jest w płaszczyźnie poziomej, będącej górną, nieprzepuszczalną granicą warstwy produktywnej. Założono również, że przepływ w obszarze złoża oddalonym od odwiertu na odległość większą niż wynosi miąższość warstwy ma charakter liniowy i odbywa się w kierunku poziomym (brak pionowej składowej prędkości). Według kolejnego założenia, potencjał przepływu płynu w obydwu wyodrębnionych obszarach przyjmuje takie same wartości w przypadku obecności stożka wodnego, jak i bez niego. Rozważono przepływ, zarówno dla ośrodka izotropowego, jak i anizotropowego. I. Ośrodek izotropowy Potencjał przepływu odpowiadający przepływowi o charakterze półsferycznym, wywołanemu przez punktowe źródło, umiejscowione w początku semi-nieskończonego ośrodka porowatego, ograniczonego nieprzepuszczalną powierzchnią ( z = 0), można wyrazić zależnością: Qμ 1 Ψ ( M ) = 2π k r (2.3.1) 31

35 gdzie: r jest odległością pomiędzy punktowym źródłem ( z 0, x y 0) = = = i dowolnym punktem M. W przypadku, gdy warstwa produktywna ograniczona jest drugą nieprzepuszczalną powierzchnią ( z h) =, można ją odwzorować przy pomocy metody obrazów. Lokalizacja punktowych obrazów źródła przepływu (odwiertu) wyznaczana jest według zależności z = ± 2nh, w położeniu x = 0 (rys.2.4). n n Rys.2.4. Rozmieszczenie obrazów odwiertu odzwierciedlających granicę nieprzepuszczalną Potencjał przepływu Φ dla płynu przemieszczającego się w warstwie o miąższości h do punktowego źródła (odwiertu) jest sumą wszystkich potencjałów wywołanych przez nieskończoną liczbę obrazów odwiertu. Odnosi się to zarówno do przestrzeni w bezpośredniej bliskości odwiertu (gdzie przepływ jest półsferyczny), jak i w pewnej odległości od niego (gdzie przepływ ma charakter bliski radialnemu). 32

36 Rozpatrzmy punkt A położony na płaszczyźnie rozdziału płynów i mający współrzędne ( r ) A, h oraz punkt S położony na wierzchołku stożka wodnego (będącego w stanie równowagi) o współrzędnych ( 0, Z S ). Zakładając, że odwiert eksploatuje ze stałą wydajnością Q, odniesioną do warunków złożowych, różnice potencjałów pomiędzy tymi punktami można wyrazić następująco: + Qμ 1 1 ΦA Φ S = 2π k n= ZS nh (2.3.2) + ( ra + ( ZS + 2nh) ) Do celów praktycznych suma Σ została oszacowana dla 20 obrazów odwiertu. Potencjał sił grawitacyjnych: ( ) Φ Φ =Δρ g h Z (2.3.3) A S S Porównując równania (2.3.2) i (2.3.3) otrzymujemy warunek równowagi: gdzie: ZS Qμ Δρgh 1 = Σ h 2π kh (2.3.4) Σ= n ZS nh (2.3.5) = + ( ra + ( ZS + 2nh) ) Stożek wodny w równowadze, mający wierzchołek w położeniu odpowiada określonej wydajności Q( Z S ), wyrażonej w postaci: Z S 1 kh ZS Q= ( Δρgh) 2π 1 Σ μ h (2.3.6) 33