Zadania matematyczne w świetle nowej i starej podstawy programowej i ich rozwiązywanie uwzględniające strategię nauczania czynnościowego

Transkrypt

1 Zadania matematyczne w świetle nowej i starej podstawy programowej i ich rozwiązywanie uwzględniające strategię nauczania czynnościowego Anna Dubiecka ODE-WSiP Wrzesień 2010

2 Z przymrużeniem oka! Pewnego razu znany matematyk polskiego pochodzenia Mark Kac wygłaszał referat w Kalifornijskim Instytucie Technologii. Wśród słuchaczy był sławny fizyk, Richard Feynman, który lubił podkpiwać z przesadnej dbałości o ścisłość matematyków. - Gdyby matematyka nie istniała - rzekł w pewnej chwili do Kaca - to świat cofnąłby się tylko o tydzień. - Ależ tak - bez namysłu odpowiedział Kac - właśnie o ten tydzień, w którym Pan Bóg stworzył świat

3 Edukacja: jest w niej ukryty skarb Cztery filary są podstawą edukacji przez całe życie: uczyć się, aby wiedzieć; uczyć się, aby działać; uczyć się, aby żyć wspólnie; uczyć się, aby być. Raport dla UNESCO Międzynarodowej Komisji do spraw Edukacji dla XXI wieku pod przewodnictwem Jacques a Delorsa Edukacja: jest w niej ukryty skarb (dostępna polskojęzyczna wersja Raportu, wydana przez Stowarzyszenie Oświatowców Polskich, Warszawa, 1998 r.) Pełny tekst raportu dostępny jest w językach angielskim i francuskim na stronie internetowej UNESCO w Paryżu:

4 Uczyć się, aby działać w celu nie tylko zdobycia kwalifikacji zawodowych, lecz co więcej kompetencji, które pozwolą stawić czoło różnym sytuacjom oraz pracować w zespole. Lecz także uczyć się, aby działać w ramach różnych społecznych doświadczeń lub pracy, która nadarza się młodym ludziom i dorastającej młodzieży, bądź samorzutnie na skutek kontekstu lokalnego lub krajowego, bądź formalnie dzięki rozwojowi kształcenia przemiennego.

5 Uczyć się, aby wiedzieć, łącząc kulturę ogólną dostatecznie rozległą, z możliwością zgłębiania niewielkiej liczby przedmiotów. Innymi słowy: uczyć się, aby móc korzystać z możliwości, jakie stwarza edukacja przez całe życie.

6 Uczyć się, aby żyć wspólnie, dążąc do pełniejszego zrozumienia Innego i dostrzegania współzależności, realizować wspólne projekty i uczyć się regulowania konfliktów z poszanowaniem wartości pluralizmu, wzajemnego zrozumienia i pokoju.

7 Uczyć się, aby być aby łatwiej osiągnąć pełny rozwój swojej osobowości i móc nieustannie, zwiększać zdolność do autonomii, osądu i osobistej odpowiedzialności. Realizując ten cel, nie wolno zaniedbać w edukacji żadnego potencjału jednostki: pamięci, rozumowania, poczucia estetyki, zdolności fizycznych, umiejętności porozumiewania się, itp.

8 Czynnościowe nauczanie matematyki jest postępowaniem dydaktycznym uwzględniającym stale i konsekwentnie operatywny charakter matematyki równolegle z psychologicznym procesem interioryzacji prowadzącym od czynności konkretnych i wyobrażeniowych do operacji abstrakcyjnych. Zarys dydaktyki matematyki, Z. Krygowska interioryzacja 1. «włączenie czegoś do kręgu własnych przeżyć lub myśli» 2. «przyswajanie przez jednostkę wartości, wzorów kulturowych oraz norm społecznych własnej grupy» sjp.pwn.pl

9 Koncepcja czynnościowa jest podstawową strategią poprawnego dydaktycznie procesu nauczania i uczenia się matematyki, ale może być łatwo również zinterpretowana jako podstawowa strategia odkrywania i tworzenia matematyki przez uczniów. W nauczaniu czynnościowym staramy się ukazywać matematykę od strony pojęciowej, a nie od reguł i algorytmów, jak to miało miejsce w koncepcji mechanistycznej. H. Siwek, Dydaktyka matematyki. Teoria i zastosowania w matematyce szkolnej

10 Poziomy rozumienia pojęć matematycznych wg P.H. van Hiele a Tworzenie pojęcia graniastosłupa Poziom wzrokowy np. Poziom opisowy np. Poziom logiczny np. Czynnosci konkretne Wskazywanie kształtu graniastosłupa w otoczeniu, obserwowanie regularnosci i podobieństw na różnych modelach Badanie graniastosłupa: kształt ścian, krawędzi, położenie wierzchołków, badanie pola przez wyklejanie kwadratami jednostkowymi powierzchni Wykorzystanie własności do budowania modeli, badanie związków między bryłami, a graniastosłupami. Czynności wyobrażeniowe Schematyczne przedstawianie, obserwowanie cienia graniastosłupa na ścianie, rozpoznawanie graniastoslupa na rysunku, poprawianie rysunków. Ustalanie odpowiedniości między elementami graniastosłupa na rysunku, modelu, na siatce, obliczanie z ilu kostek składają się przedstawione na rysunku budowle skonstruowane z tych kostek. Widzenie w wyobraźni związków między twierdzeniami o różnych bryłach i graniastosłupie, schematyczne przedstawianie związków miedzy definicjami i twierdzeniami, interpretowanie ich na rysunkach. Czynności abstrakcyjne Swobodne operowanie nazwą, ustalanie własności, kontrastowanie własności z własnościami innych brył Nazwanie własności, opis przez podanie cech związanych ze ścianami, wierzchołkami, krawędziemi, opis czynnosci prowadzących o obliczenoa pola, uogólnianie i formułowanie wzorów Konstrukcja definicji graniastoslupa, klasyfikacja wielościanów, wzory na pola, objętośc, twierdzenia o przekątnych, przekrojach itp.

11 Czynnościowe nauczanie matematyki opiera się na dwóch podstawowych zasadach wymagających: wydobycia przez analizę teoretyczną z materiału nauczania podstawowych operacji w każdej definicji, twierdzeniu, dowodzie, organizowania sytuacji problemowych sprzyjających procesowi interioryzacji i kształtowania myślenia matematycznego ucznia, jako specyficznego działania, jako swobodnego i świadomego posługiwania się przyswajanymi stopniowo operacjami oraz konsekwentego stosowania zabiegów dydaktycznych mających na celu zapewnienie prawidłowości i efektywności tego procesu. wg Z. Krygowskiej

12 Efektywności kształcenia z wykorzystaniem metody czynnościowej zapewnia: 1. wiązanie treści matematycznych z wyraźnie sformułowanymi schematami postępowania, 2. wiązanie operacji z operacjami do nich odwrotnymi, 3. wiązanie operacji z różnych dziedzin matematyki w bardziej złożone schematy, 4. uwzględnianie różnych ciągów operacji prowadzących do tego samego rezultatu, 5. stawianie ucznia w sytuacjach konfliktowych, w których zawodzą przyswojone schematy postępowania i w których uczeń musi dokonywać adaptacji (przekształcenia) dawnego schematu lub musi wypracować nowy schemat, 6. opis słowny operacji przez ucznia, 7. algorytmizację rozwiązania zadania z zastosowaniem różnych form zapisu tam, gdzie to możliwe i celowe, 8. właściwe i celowe wiązanie czynności konkretnych takich jak zapis symboliczny, rysunek lub czynności rzeczywiste z myślowymi operacjami, 9. konsekwentne uczenie swobodnego posługiwania się poznanymi operacjami i przyzwyczajanie ucznia do tego, że tylko określone planowe działanie, a nie bierna kontemplacja prowadzi do rozwiązania zagadnienia, 10.zwrócenie uwagi na to, aby stosowna symbolika miała również charakter operatywny, aby wizualnie sugerowała operację.

13 Sposób realizacji 1. wiązanie treści matematycznych z wyraźnie sformułowanymi schematami postępowania, Rodzaj zadania Ćwiczenia wprost 2. wiązanie operacji z operacjami do nich odwrotnymi, 3. wiązanie operacji z różnych dziedzin matematyki w bardziej złożone schematy, 4. uwzględnianie różnych ciągów operacji prowadzących do tego samego rezultatu, 5. stawianie ucznia w sytuacjach konfliktowych, w których zawodzą przyswojone schematy postępowania i w których uczeń musi dokonywać adaptacji (przekształcenia) dawnego schematu lub musi wypracować nowy schemat, Zadania odwrotne do ćwiczeń wprost Zadania dotyczące tej samej czynności myślowej na różnych materiałach, w różnych położeniach, sytuacjach, z zastosowaniem różnych zmiennych, Ćwiczenia prowadzące do ciągów czynnosci o tym samym rezultacie Ćwiczenia w słownym opisie czynności danego rozdzaju 6. opis słowny operacji przez ucznia, Ćwiczenia prowokujące konflikt myślowy 7. algorytmizację rozwiązania zadania z zastosowaniem różnych form zapisu tam, gdzie to możliwe i celowe, Zadania o różnych formach przedstawiania, ilustrowania lub zapisie.

14 Opisując nową podstawę programową podkreśla się bardzo mocno, że określa ona to czego w polskiej szkole ma nauczyć się przeciętnie uzdolniony uczeń, jest to zobowiązanie naszego Państwa wobec społeczeństwa. Obecnie wymagania stawiane uczniowi opisują dwa różne dokumenty: podstawy programowe i standardy wymagań egzaminacyjnych, natomiast osiągnięcia opisane w nowych podstawach programowych są tożsame ze standardami wymagań egzaminacyjnych.

15 Zmiany w podstawie programowej Rok 1999 Rok 2007 Rok 2009 W pierwszej i czwartej klasie szkoły podstawowej oraz w pierwszej klasie gimnazjum. We wszystkich klasach jednocześnie. W pierwszej klasie szkoły podstawowej i w pierwszej klasie gimnazjum.

16 Rok szkolny 2009/ /2011 Podstawa z XII 2008 Podstawa z VII 2007 kl. 1 KZ kl. 2,3 KZ kl. 1 GIM kl. 4,5,6 SP kl. 2,3 GIM kl.1,2,3 PG kl. 1,2 KZ kl. 1,2 GIM kl. 3 KZ kl. 4,5,6 SP kl. 3 GIM kl. 1,2,3 PG 2011/2012 kl. 1,2,3 KZ kl. 1,2,3 GIM kl. 4,5,6 SP kl. 1,2,3 PG 2012/2013 kl. 1,2,3 kl. 1,2,3 kl. 4 kl. 1 KZ GIM SP PG kl. 5,6 SP kl. 2,3 PG 2013/ /2015 kl. 1,2,3 kl. 1,2,3 kl. 4,5 kl. 1,2 kl. 1,2,3 kl. 1,2,3 kl. 4,5,6 kl. 1,2,3 KZ GIM SP PG KZ GIM SP PG kl. 6 SP kl. 3 PG

17 Celem kształcenia ogólnego na III i IV etapie edukacyjnym jest: 1. przyswojenie przez uczniów określonego zasobu wiadomości na temat faktów, zasad, teorii i praktyk; 2. zdobycie przez uczniów umiejętności wykorzystania posiadanych wiadomości podczas wykonywania zadań i rozwiązywania problemów; 3. kształtowanie u uczniów postaw warunkujących sprawne i odpowiedzialne funkcjonowanie we współczesnym świecie.

18 Do najważniejszych umiejętności zdobywanych w trakcie kształcenia ogólnego należą: 1. czytanie rozumiane jako umiejętność rozumienia, wykorzystywania i refleksyjnego przetwarzania tekstów, w tym tekstów kultury, prowadzące do osiągnięcia własnych celów, rozwoju osobowego oraz aktywnego uczestnictwa w życiu społeczeństwa; 2. myślenie matematyczne umiejętność wykorzystania narzędzi matematyki tam, gdzie wymagają tego potrzeby codziennego życia oraz formułowania sądów opartych na rozumowaniu matematycznym; 3. myślenie naukowe umiejętność wykorzystania wiedzy o charakterze naukowym do identyfikowania i rozwiązywania problemów, a także formułowania wniosków opartych na obserwacjach empirycznych dotyczących przyrody i społeczeństwa; 4. umiejętność komunikowania się w języku ojczystym i w językach obcych, zarówno w mowie, jak i w piśmie; 5. umiejętność sprawnego posługiwania się nowoczesnymi technologiami informacyjnymi i komunikacyjnymi; 6. umiejętność wyszukiwania, selekcjonowania i krytycznej analizy informacji; 7. umiejętność rozpoznawania własnych potrzeb edukacyjnych oraz uczenia się; 8. umiejętność pracy zespołowej.

19 1. Czytanie 2. Myślenie matematyczne 3. Myślenie naukowe 1. Porozumiewanie się w języku ojczystym 2. Porozumiewanie się w językach obcych 3. Kompetencje matematyczne i podstawowe kompetencje naukowotechniczne 4. Kompetencje informatyczne 5. Umiejętność uczenia się 6. Kompetencje społeczne i obywatelskie 7. Inicjatywność i przedsiębiorczość 8. Świadomość i ekspresja kulturalna 4. Komunikowanie się w języku ojczystym i w językach obcych 5. Posługiwanie się nowoczesnymi technologiami informacyjnymi i komunikacyjnymi 6. Wyszukiwanie, selekcjonowanie i krytyczna analiza informacji 7. Rozpoznawania własnych potrzeb edukacyjnych oraz uczenia się 8. Umiejętność pracy zespołowej. Zalecenie Parlamentu Europejskiego i Rady z dnia 18 grudnia 2006 r. w sprawie kompetencji kluczowych w procesie uczenia się przez całe życie

20 W podstawach programowych dla matematyki określono cele kształcenia (wymagania ogólne) i treści nauczania (wymagania szczegółowe). Cele kształcenia wymagania ogólne Szkoła Podstawowa I. Sprawność rachunkowa. II. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. III. Modelowanie matematyczne. IV. Rozumowanie i tworzenie strategii. Gimnazjum I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji. III. Modelowanie matematyczne. IV. Użycie i tworzenie strategii. V. Rozumowanie i argumentacja.

21 II Etap edukacyjny Sprawność rachunkowa. Uczeń wykonuje proste działania pamięciowe na liczbach naturalnych, całkowitych i ułam kach, zna i stosuje algorytmy działań pisemnych oraz potrafi wykorzystać te umiejętności w sytuacjach praktycznych. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i przetwarza informacje tekstowe, liczbowe, graficzne, rozumie i interpretuje odpowiednie pojęcia matematyczne, zna podstawową terminologię, formułuje odpowiedzi i prawidłowo zapisuje wyniki. Modelowanie matematyczne. Uczeń dobiera odpowiedni model matematyczny do prostej sytuacji, stosuje poznane wzory i zależności, przetwarza tekst zadania na działania arytmetyczne i proste równania. Rozumowanie i tworzenie strategii. Uczeń prowadzi proste rozumowanie składające się z niewielkiej liczby kroków, ustala kolejność czynności (w tym obliczeń) prowadzących do rozwiązania problemu, potrafi wyciągnąć wnioski z kilku informacji podanych w różnej postaci.

22 III Etap edukacyjny Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, używa języka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wyników. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji. Uczeń używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretuje pojęcia matematyczne i operuje obiektami matematycznymi. Modelowanie matematyczne. Uczeń dobiera model matematyczny do prostej sytuacji, buduje model matematyczny danej sytuacji. Użycie i tworzenie strategii. Uczeń stosuje strategię jasno wynikającą z treści zadania, tworzy strategię rozwiązania problemu. Rozumowanie i argumentacja. Uczeń prowadzi proste rozumowania, podaje argumenty uzasadniające poprawność rozumowania.

23 I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, używa języka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wyników.

24 I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, używa języka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wyników. Uczeń potrafi: odczytać informację bezpośrednio wynikającą z treści zadania, zastosować podany wzór lub podany przepis postępowania, wykonać rutynową procedurę dla typowych danych, przejrzyście zapisać przebieg i wynik obliczeń oraz uzyskaną odpowiedź, wykonać rutynową procedurę dla nietypowych danych, odczytać informacje z wykorzystaniem więcej niż jednej postaci danych, precyzyjnie przedstawić przebieg swojego rozumowania.

25 Matematyka 2001 SP

26 M2001 GIMNAZJUM

27 II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji. Uczeń używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretuje pojęcia matematyczne i operuje obiektami matematycznymi.

28 II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji. Uczeń używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretuje pojęcia matematyczne i operuje obiektami matematycznymi. Uczeń potrafi: poprawnie wykonać działania na liczbach, rozwiązać niezbyt złożone równanie bądź układ równań, odczytać z wykresu własności funkcji, sporządzić wykresy niektórych funkcji, znajdować stosunki miarowe w figurach płaskich i przestrzennych, zastosować dobrze znaną definicję lub twierdzenie w typowym kontekście, podać przykład obiektu matematycznego spełniającego zadane warunki.

29 III. Modelowanie matematyczne. Uczeń dobiera model matematyczny do prostej sytuacji, buduje model matematyczny danej sytuacji. Umiejętność modelowania matematycznego, to umiejętność przetwarzania jednego typu rzeczywistości w drugą. To umiejętność zbudowania wyrażenia, wzoru czy równania opisującego realną rzeczywistość za pomocą symboli matematycznych, ale także to umiejętność zastąpienia jednej abstrakcyjnej rzeczywistości np. pojęć z planimetrii inną np. opisanie figur geometrycznych i ich własności za pomocą narzędzi z geometrii analitycznej.

30 III. Modelowanie matematyczne. Uczeń dobiera model matematyczny do prostej sytuacji, buduje model matematyczny danej sytuacji. Uczeń potrafi: podać wyrażenie algebraiczne, funkcję, równanie, opisujące przedstawioną sytuację, przetworzyć informacje wyrażone w jednej postaci w postać ułatwiającą rozwiązanie problemu, ocenić przydatność otrzymanych wyników z perspektywy sytuacji, dla której zbudowano model, zbudować model matematyczny danej sytuacji, także praktycznej, również wymagający uwzględnienia niezbędnych ograniczeń i zastrzeżeń.

31 Matematyka 2001_GIMNAZJUM

32 IV. Użycie i tworzenie strategii. Uczeń stosuje strategię jasno wynikającą z treści zadania, tworzy strategię rozwiązania problemu.

33 IV. Użycie i tworzenie strategii. Uczeń stosuje strategię jasno wynikającą z treści zadania, tworzy strategię rozwiązania problemu. Uczeń potrafi: dobrać odpowiedni algorytm do wskazanej sytuacji problemowej, ustalić zależności pomiędzy podanymi informacjami, zaplanować kolejność wykonywania czynności, wprost wynikających z treści zadania, lecz nie mieszczących się w ramach rutynowego algorytmu, krytycznie ocenić otrzymane wyniki, zaplanować i wykonać ciąg czynności prowadzący do rozwiązania problemu, nie wynikający wprost z treści zadania.

34

35 Matematyka 2001 SP

36 M2001 GIMNAZJUM

37 Zbiór zadań (klasa II gimnazjum)

38 Zbiór zadań (klasa III gimnazjum)

39 V. Rozumowanie i argumentacja. Uczeń prowadzi proste rozumowania, podaje argumenty uzasadniające poprawność rozumowania.

40 V. Rozumowanie i argumentacja. Uczeń prowadzi proste rozumowania, podaje argumenty uzasadniające poprawność rozumowania. Uczeń potrafi: wyprowadzić wniosek z prostego układu przesłanek i go uzasadnić, zastosować twierdzenie, które nie występuje w treści zadania, wyprowadzić wniosek ze złożonego układu przesłanek i go uzasadnić, analizować i interpretować otrzymane wyniki, przeprowadzić dowód twierdzenia.

41

42 MATEMATYKA 2001 Szkoła Podstawowa

43 MATEMATYKA 2001 Gimnazjum

44 Z przymrużeniem oka! Studentom zadano do sprawdzenia następujące twierdzenie: Wszystkie liczby nieparzyste są pierwsze. Twierdzenie sprawdza student chemii: Dla liczby 3 - zgadza się, dla liczby 5 - zgadza się. A zatem twierdzenie jest prawdziwe - wyciągnął wniosek i poszedł na kawę. Twierdzenie sprawdza student matematyki: Dla liczby 3 - zgadza się, dla liczby 5 - prawdziwe, dla liczby 7 - zgadza się, dla liczby 9 nie. No to twierdzenie jest fałszywe - i dołączył do studenta chemii. Twierdzenie sprawdza student fizyki: Dla liczby 3 - zgadza się, dla liczby 5 - zgadza się, dla liczby 7 - prawdziwe, dla liczby 9 - coś jest nie tak, ale sprawdźmy dalej..., dla liczby 11 - zgadza się, dla liczby 13 - zgadza się. Zatem twierdzenie jest prawdziwe, a 9 to błąd pomiaru.

45 Wymagania szczegółowe

46 II ETAP EDUKACJI Uczeń: 1) rozpoznaje graniastosłupy proste, ostrosłupy, walce, stożki i kule w sytuacjach praktycznych i wskazuje te bryły wśród innych modeli brył; 2) wskazuje wśród graniastosłupów prostopadłościany i sześciany i uzasadnia swój wybór; 3) rozpoznaje siatki graniastosłupów prostych i ostrosłupów; 4) rysuje siatki prostopadłościanów. 5) oblicza objętość i pole powierzchni prostopadłościanu przy danych długościach krawędzi (obliczenia w geometrii). III ETAP EDUKACJI Uczeń: 1) rozpoznaje graniastosłupy i ostrosłupy prawidłowe; 2) oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli (także w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym); 3) zamienia jednostki objętości.

47 IV ETAP EDUKACJI Uczeń: 1) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi, itp.), oblicza miary tych kątów; 2) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami), oblicza miary tych kątów; 3) rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów; 4) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami; 5) określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną; 6) stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości.

48 Przykłady zadań matematycznych z treścią i ich rozwiązywanie uwzględniające strategię nauczania czynnościowego

49 Matura próbna 2009 Najłatwiejsze, najtrudniejsze Z Z 0(,93)Zdający stosuje pojęcie procentu, oblicza, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba (0,45) Zdający wykorzystuje interpretację geometryczną zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej

50 Najłatwiejsze, najtrudniejsze KO (0,45) Zdający rozwiązuje nierówność kwadratową (0,01) Zdający wykazuje, że podany trójkąt jest równoboczny wykorzystując znane twierdzenia z zakresu planimetrii

51 Można inaczej

52

53

54 Najłatwiejsze, najtrudniejsze RO (0,37) Zdający buduje model matematyczny wykorzystując związki miarowe w trójkącie prostokątnym (0,07) Zdający wybiera strategię pozwalającą wyznaczyć współrzędne wierzchołka kąta prostego trójkącie prostokątnym, uwzględniając warunki podane zadaniu

55 Strategia komunikacji WSiP

56 Od zadania do projektu Badania, przeprowadzanie doświadczeń - stosowania instrukcji; - obserwowania, analizowania danych; - dostrzegania analogii; - wyciągania i formułowania wniosków; - stosowania precyzyjnego języka. MATEMATYKA 2001 M2001 kl.2 G

57

58 Badania własności przedmiotów/obiektów/liczb wskazywania wspólnych cech obiektów; wskazywania cech charakterystycznych - tworzenie modelu. Formułowania nowej wiedzy na podstawie już posiadanej przetwarzania wiedzy; tworzenie algorytmu. M2001 kl.2 G MATEMATYKA 2001

59 Prowadzenia rozumowań empirycznych intuicyjnych Rozumowanie intuicyjne w dziedzinie matematyki na poziomie szkolnym będzie wówczas, jeżeli uczeń w toku rozwiązywania jakiegoś zagadnienia: posługuje się przede wszystkim wyobraźnią, tj. obrazami pojęć, które rozważa, niezależnie od ich formalnych definicji; przeprowadza skrótowe rozumowanie oparte na oczywistych dlań przesłankach niezależnie od ich wywiedlności w ramach danego układu; formułuje hipotezę matematyczną opartą na dostrzeżonych analogiach, odpowiedniościach, odwzorowaniach lub uzasadnia swe wnioski nie zanalizowaną dokładniej rekurencją. MATEMATYKA 2001 M2001 kl.2 G

60 Prowadzenia rozumowań empirycznych intuicyjnych formalnych M2001 kl.2 G Rozumowanie formalne w dziedzinie matematyki na poziomie szkolnym występuje, jeżeli uczeń: zdaje sobie sprawę z przyjętej podstawy dedukcji i świadomie w toku rozwiązywania zagadnienia stara się każdy z kolejnych wniosków możliwie precyzyjnie wywieść z uznanych już poprzednio w danym układzie twierdzeń i definicji. MATEMATYKA 2001

61 Projektowanie definicji definicji Uczniowie tworzą definicje poprzez tworzenie klas pojęciowych, czyli układu utworzonego z pewnego niepustego zbioru Z, warunku wydzielającego ten zbiór z szerszego zbioru P oraz terminu przyporządkowanego jedynie elementom zbioru Z i tylko im. MATEMATYKA 2001

62 Budowanie twierdzeń Uczeń odkrywa twierdzenie rozwiązując dane mu zadanie, a rozwiązanie tego zadania jest dowodem twierdzenia. Uczeń rozwiązuje zadanie otwarte, w którym chodzi o wykrycie i dowód nowego twierdzenia. Uczeń dostrzega jakieś związki i sam formułuje pytania, starając się znaleźć na nie odpowiedzi. Uczeń na drodze prób empirycznych zdobywa intuicyjne przekonanie o zachodzącej zależności i stawia hipotezę do udowodnienia. Z. Krygowska, Nauczanie MATEMATYKA 2001

63 Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne SA Projekty matematyczne

64 Projekty matematyczne Uczeń rozwiązuje zadanie otwarte, w którym chodzi o wykrycie i dowód nowego twierdzenia. MATEMATYKA 2001

65 Projekty matematyczne Uczeń na drodze prób empirycznych zdobywa intuicyjne przekonanie o zachodzącej zależności i stawia hipotezę do udowodnienia. MATEMATYKA 2001

66 Projekty matematyczne Uczeń odkrywa twierdzenie rozwiązując dane mu zadanie, a rozwiązanie tego zadania jest dowodem twierdzenia. MATEMATYKA 2001

67 Projekty matematyczne Uczeń na drodze prób empirycznych zdobywa intuicyjne przekonanie o zachodzącej zależności i stawia hipotezę do udowodnienia. MATEMATYKA 2001

68 Projekty matematyczne Uczeń na drodze prób empirycznych zdobywa intuicyjne przekonanie o zachodzącej zależności i stawia hipotezę do udowodnienia. MATEMATYKA 2001

69 Projekty matematyczne Uczeń rozwiązuje zadanie otwarte, w którym chodzi o wykrycie i dowód nowego twierdzenia. MATEMATYKA 2001

70 Projekty matematyczne Uczeń na drodze prób empirycznych zdobywa intuicyjne przekonanie o zachodzącej zależności i stawia hipotezę do udowodnienia. MATEMATYKA 2001

71

72 Zapytano Davida Hilberta o jednego z jego byłych uczniów. - Ach, ten - przypomniał sobie Hilbert. - Został poetą. Do matematyki nie miał wyobraźni.

73 DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ