Prognozowanie cen surowców rolnych z wykorzystaniem modeli szeregów czasowych

Transkrypt

1 nr Prognozowanie cen surowców rolnych z wykorzysaniem modeli szeregów czasowych

2 Prognozowanie cen surowców rolnych z wykorzysaniem modeli szeregów czasowych

3

4 Prognozowanie cen surowców rolnych z wykorzysaniem modeli szeregów czasowych Redakcja naukowa: dr inż. Mariusz Hamulczuk Auorzy: mgr Sylwia Grudkowska NBP dr inż. Mariusz Hamulczuk IERIGŻ-PIB mgr Kaarzyna Herel NBP mgr Cezary Klimkowski IERIGŻ-PIB dr hab. Sanisław Sańko prof. SGGW IERIGŻ-PIB

5 Prac zrealizowano w ramach emau Zasosowanie modelowania ekonomicznego w analizie przes anek konkurencyjnego rozwoju sekora rolno- ywno ciowego w zadaniu Sysem prognosyczny s ucy podnoszeniu konkurencyjno ci sekora rolno- ywno ciowego Celem opracowania by o przedsawienie isoy i uwarunkowa prognozowania cen surowców rolnych z wykorzysaniem modeli szeregów czasowych. Recenzen prof. dr hab. Boles aw Borkowski SGGW Koreka Joanna Gozdera Redakcja echniczna Leszek lipski Projek ok adki AKME Projeky Sp. z o.o. ISBN Insyu Ekonomiki Rolnicwa i Gospodarki ywno ciowej Pa swowy Insyu Badawczy Warszawa, ul. wi okrzyska 20, skr. pocz. nr 984 el.: (22) faks: (22) dw@ierigz.waw.pl hp://

6 Spis re ci Ws p Isoa prognozowania na podsawie szeregów czasowych...11 Mariusz Hamulczuk, Sanisław Sa ko 1.1. Prawidłowo ci wys puj ce w szeregach czasowych cen surowców rolnych Analiza i pomiar prawidłowo ci Eksrapolacja prawidłowo ci Meody prognozowania na podsawie szeregów czasowych Meodologia ARIMA...35 Mariusz Hamulczuk 2.1. Modele ARIMA Procesy sacjonarnych szeregów czasowych Procesy niesacjonarnych i sezonowych szeregów czasowych Idenyfikacja modeli ARIMA Esymacja i weryfikacja modeli ARIMA Meody sezonowej koreky danych: X-12-ARIMA i TRAMO/SEATS...55 Sylwia Grudkowska 3.1. Wprowadzenie Meoda X-12-ARIMA Model RegARIMA Algorym X Meoda TRAMO/SEATS Algorym TRAMO Procedura SEATS Walidacja modelu Analiza i modele szeregów czasowych cen zbó i cen mleka...93 Sylwia Grudkowska 4.1. Ceny pszenicy Ceny ya Ceny mleka...116

7 5. Analiza i modele szeregów czasowych cen skupu ywca Kaarzyna Herel 5.1. Ceny ywca wieprzowego Ceny ywca drobiowego Ceny wołowiny Weryfikacja empiryczna meod prognosycznych Mariusz Hamulczuk, Cezary Klimkowski 6.1. Meodyka oceny przydano ci meod Meodyka oceny prognoz wygasłych Prognozy naiwne Prognozy eksperów ARR Dokładno prognoz obliczonych z wykorzysaniem modeli RegARIMA oraz TRAMO Dokładno prognoz obliczonych z wykorzysaniem modeli ARIMA Pszenica yo Mleko ywiec wieprzowy ywiec wołowy ywiec drobiowy Podsumowanie Mariusz Hamulczuk Lieraura...197

8 Ws p Przewidywanie przyszło ci owarzyszy człowiekowi niezale nie od sopnia rozwoju społeczno-gospodarczego. Podejmuj c jak kolwiek decyzj, człowiek zmuszony jes dokona pewnych zało e co do obrazu rzeczywiso ci w horyzoncie obj ym decyzjami. Pozwalaj one oszacowa szans osi gni cia zmierzonych celów czy konsekwencje podj ych decyzji. W ym znaczeniu przewidywanie sanowi jeden ze sposobów ograniczania negaywnych konsekwencji przedsi wzi ych działa. Innymi słowy, poprzez prognozowanie przyszło ci saramy si minimalizowa ryzyko owarzysz ce podj ym decyzjom. Nale y zda sobie spraw, e jako formułowanych prognoz nie zawsze jes zadowalaj ca. Powszechnie mo na si spoka z opini, e prognozowanie jes pewnym rodzajem spekulacji. Niekórzy ekonomi ci wierdz wr cz, e prognozowanie zło onych zjawisk ekonomicznych jes w isocie niemo liwe. Niemniej jednak zawsze w ród spekulanów znajd si acy, kórzy maj c dobre rozeznanie rynkowe, porafi prognozowa rafniej od innych, dzi ki czemu wygrywaj. Na ym polega isoa i sens worzenia prognoz. Posiadaj c wi ksz wiedz o prawidłowo ciach rynkowych, meodyce, mo na j wykorzysa do zdobycia przewagi wzgl dem innych uczesników rynku. To implikuje dwie podsawowe sprawy zwi zane z prognozowaniem. Po pierwsze, prognozowanie jes sposobem zdobywania przewagi konkurencyjnej nad innymi uczesnikami rynku. Po drugie, w gospodarce rynkowej nie mo e isnie jedna wiarygodna prognoza zbudowana przez np. insyucj cenraln, kóra sanowiłaby podsaw podejmowania decyzji gospodarczych przez ogół podmioów rynkowych. Ka dy uczesnik rynku ma własne oczekiwania co do przyszło ci. Waro wi c przedsawi w ym konek cie rol i zakres bada prowadzonych w ramach zadania Sysem prognosyczny słucy podnoszeniu konkurencyjno ci sekora rolno- ywno ciowego. Oó jego celem jes sworzenie przesłanek meodycznych do cz sszego ni obecnie wykorzysywania meod ilo- ciowych w prognozowaniu na rynkach rolnych. Efekem bezpo rednim byłoby wykorzysanie ej wiedzy przez analiyków pracuj cych w IERIG -PIB (i nie ylko) przy worzeniu raporów rynkowych, w kórych wa n rol odgrywaj prognozy. Z drugiej srony jes o wiedza, kóra dzi ki upowszechnieniu mo e by wykorzysywana przez uczesników rynku (producenci rolni, przewórcy, handlowcy), analiyków rynkowych, doradców ip. Poniewa przy wieca nam cel uyliarny, jakim jes upowszechnianie meod ilo ciowych, musimy zdawa sobie spraw, e odbiorcy reprezenuj zró nicowany poziom w zakresie znajomo ci podsaw saysyki, ekonomerii czy 7

9 prawidłowo ci ekonomicznych. Dlaego e charaker prezenowanych meod i aplikacji b dzie cechował si ró nym sopniem wyrafinowania. Celem niniejszego opracowania jes przedsawienie mo liwo ci prognozowania cen surowców rolnych na podsawie meod szeregów czasowych. Mówi c o meodach szeregów czasowych, mamy na my li e, w przypadku kórych nie wykorzysujemy adnych dodakowych informacji. S d w rozwa aniach pominiemy modele VAR czy VECM, kóre sanowi pomos pomi dzy modelami szeregów czasowych a srukuralnymi modelami opisuj cymi powi zania z innymi zjawiskami w sysemie. W badaniach ograniczono si do prognozowania cen surowców rolnych, kóre o charakeryzuj si najwi ksz zmienno ci spo ród cen w ła cuchu ywno ciowym. Badaniom poddano ceny najwa niejszych surowców pochodz cych z ró nych rynków owarowych: zbó, mi sa i mleka. Analizowano nominalne miesi czne ceny skupu: pszenicy, ya, mleka, ywca wieprzowego, ywca drobiowego i ywca wołowego. Okres badawczy obejmował laa , z czego w osanich rzech laach analizowano dokładno prognoz wygasłych. Z punku widzenia podejmowania decyzji gospodarczych, najbardziej ineresuj ce wydaj si by prognozy krókookresowe. Króki okres o aki, w kórym producen rolny nie jes w sanie dokona modyfikacji proefekywno ciowych w swoim poencjale ani zmieni wielko ci produkcji. Nie wnikaj c gł biej, za okres en przyj o jeden rok. W powy szym wiele za cel posawiono ocen, na ile meody szeregów czasowych pozwalaj na generowanie wiarygodnych krókookresowych prognoz cen surowców rolnych. Jakie s zaley i jakie ograniczenia powszechnie sosowanych modeli prognosycznych? Opracowanie obejmuje sze rozdziałów i zako czone jes podsumowaniem. Pierwszy rozdział zawiera wprowadzanie do prognozowania na podsawie szeregów czasowych. Przedsawiono w nim ogóln charakerysyk prawidłowo ci wys puj cych w szeregach czasowych cen surowców rolnych, sposoby ich pomiaru, warunki eksrapolacji ych prawidłowo ci w przyszło oraz ogólny ws p do meod szeregów czasowych. W rozdziale drugim przedsawiono meodyczne kwesie prognozowania na podsawie modeli auoregresji i redniej ruchomej. Przedsawiono podsawowe modele, sposoby ich idenyfikacji, esymacji oraz weryfikacji. Rozdział rzeci zawiera meodyczne kwesie pomiaru prawidłowo ci wys puj cych w szeregach czasowych z wykorzysaniem meod X-12-ARIMA oraz TRAMO/SEATS. Sanowi on rozszerzenie rozwa a zawarych w rozdzia- 8

10 le rzecim o nowoczesne narz dzia analizy i prognozowania zaware w programie DEMETRA+. Rozdział czwary i pi y obejmuj empiryczn analiz kszałowania si szeregów czasowych wybranych cen surowców rolnych w laach Wykorzysano w ym celu modele X-12-ARIMA oraz TRAMO/SEATS. Równocze nie dokonano wyboru i oceny modeli prognosycznych RegARIMA oraz TRAMO, kóre mo na rekomendowa do prognozowania cen poszczególnych surowców rolnych. W rozdziale szósym przedsawiono wyniki badania zdolno ci prognosycznej poszczególnych modeli. Przeprowadzono analiz prognoz wygasłych oraz przeanalizowano, na ile prognozy z modeli szeregów czasowych s konkurencyjne w sosunku do prognoz z modeli jako ciowych. Na ko cu opracowania zawaro podsumowanie, w kórym przesawiono najwa niejsze wnioski b d ce rezulaem prowadzonych bada. 9

11

12 1. Isoa prognozowania na podsawie szeregów czasowych Podsaw przewidywania na podsawie modeli szeregów czasowych s wnioski z obserwacji prawidłowo ci wys puj cych w okresie hisorycznym. Niniejszy rozdział podejmuje zagadnienie sposobu okre lania charakeru akich prawidłowo ci, a ak e problem mo liwo ci i warunków eksrapolowania ich na przyszłe okresy. Warunkiem prognozowania na podsawie szeregów czasowych jes bowiem umiej no dosrze enia w przeszłych zdarzeniach pewnych regularno ci. Pogł bienie obserwacji o jako ciowy i ilo ciowy pomiar ych prawidłowo ci oraz wybór reguł, zgodnie z kórymi b d one eksrapolowane w przyszło jes podsaw prognozowania Prawidłowo ci wys puj ce w szeregach czasowych cen surowców rolnych Procesy ekonomiczne nie przebiegaj w czasie całkowicie przypadkowo i chaoycznie. W ich kszałowaniu mo na dosrzec pewne prawidłowo ci. Skueczne przewidywanie zjawisk i procesów gospodarczych mo liwe jes ylko i wył cznie wówczas, gdy zidenyfikujemy akie regularno ci. Dosrze one prawidłowo ci s bowiem wyrazem działania ró nych czynników i mechanizmów, kórych rezula b dzie najpewniej widoczny równie w przyszło ci. Jednak czynniki kszałuj ce zachowanie w czasie szeregów deerminuj konieczno zdarze ylko do pewnego sopnia. Wci isony jes elemen przypadkowo ci, a ak e wpływu mechanizmów doychczas niezauwa onych b d nieobecnych. Doyczy o zwłaszcza działalno ci gospodarczej. Niemniej gdyby procesami gospodarczymi rz dził wył cznie przypadek, przewidywanie przyszło ci byłoby niemo liwe. Znajomo pojawiaj cych si w przeszło ci zale no ci pozwala wyja ni szereg prawidłowo ci wys puj cych w oaczaj cym nas wiecie oraz sanowi podsaw do budowy prognoz. W celu wyja nienia wys puj cych prawidłowo- ci w oaczaj cej nas rzeczywiso ci rzeba ujmowa faky w pewnych ramach eoreycznych. Teoria z jej poj ciami, prawami i hipoezami pomaga nam dosrzec zwi zki mi dzy zjawiskami. Ona e decyduje o s dach na ema przyszło ci i sposobie posrzegania era niejszo ci. Nieadekwano uj eoreycznych, odwzorowuj cych rzeczywiso i zmian, jakie w niej zachodz, poci ga za sob bł dy w idenyfikacji oraz pomiarze zjawisk i procesów, a dalej jes ródłem bł dów w prognozowaniu [Makridakis i Wheelwrigh 1989]. 11

13 Podsaw dla prognozowania cen surowców rolnych jes wiedza na ema prawidłowo ci rynkowych zachodz cych w rolnicwie i jego ooczeniu, zw. agrobiznesie. Wiedza a jes pochodn wykszałcenia, do wiadcze oraz biecych informacji, z jakimi uczesnicy rynku i progno ci maj do czynienia. Rolnicwo i rynek surowców rolnych, bo na nim koncenrujemy nasz uwag, charakeryzuje si specyficznymi cechami, kóre powoduj pewne odmienne zachowania rynkowe, w porównaniu do rynków arykułów przemysłowych czy usług. W szczególno ci chodzi u o wi ksz zmienno cen ni na rynkach innych produków [Heijman i inni 1997]. Kszałowanie si cen surowców rolnych na rynku krajowym jes wynikiem oddziaływania wielu elemenów, akich jak: prawa popyu i poda y, biologiczno-echnicznego charakeru produkcji rolnej (srona poda owa), po redniego powi zania rynków surowcowych z konsumenem (srona popyowa), powi za mi dzyrynkowych, powi zania z cenami wiaowymi, oddziaływanie insrumenów poliyki ekonomicznej, głównie poliyki rolnej i handlowej [Hamulczuk, Sa ko 2011]. Czynniki e zosały ju omówione szerzej przez Tomka i Robinsona [2001] oraz w cyowanym wy ej opracowaniu. Naomias podsawowe pyanie brzmi, czy w syuacji oddziaływania akiej mnogo ci przedsawionych czynników, informacje ylko i wył cznie doycz ce kszałowania si cen hisorycznych pozwalaj rafnie przewidywa przyszłe ich waro ci. Nale y si zasanowi, czy mo liwe jes konsruowanie celnych prognoz, absrahuj c od wpływu poszczególnych czynników. Jes bowiem inuicyjnie oczywise, e pomini e uwarunkowania wpływaj na przebieg cen surowców rolnych. Czy przykładowo nie byłoby lepiej, gdyby uzale ni prognoz od zmiennych reprezenuj cych powy sze czynniki? Nie zawsze jes celowe i mo liwe wyodr bnienie wszyskich przyczyn, kóre wpływaj na dane zjawisko, np. ceny rolne. Cz so lepiej i aniej jes jedynie rozparywa skuki ych przyczyn w posaci przebiegu zjawiska w czasie. Takie podej cie uławia przewidywanie przyszło ci nawe wówczas, gdy nie mamy mo liwo idenyfikacji czynników wpływaj cych. Wa ne s koszy opracowywania analiz i prognoz na podsawie szeregów czasowych, kóre mog by znacz co ni sze ni w przypadku bada prowadzonych na olbrzymich zbiorach informacji. 12

14 Isoa prognozowania na podsawie szeregów czasowych opiera si na zało eniu, e w zjawisku prognozowanym znajduj odzwierciedlenie wszyskie powy sze uwarunkowania, czyli wszyskie czynniki, kóre na nie wpływaj. Szczególnie doyczy o cen. Uczesnikom rynku znane jes powiedzenie, e ceny odzwierciedlaj wszyskie znane i isone informacje. Zakładaj c jego rafno, nie ma porzeby badania ich przyczyn. Ceny lub inny dowolny proces mo na porakowa jako zw. czarn skrzynk, a wnikanie w przyczyny współzale no- ci z innymi zjawiskami nie jes konieczne. Skoro nie badamy powi za z innymi zmiennymi, nie szacujemy zwi zków przyczynowo-skukowych, o jakie prawidłowo ci wys puj w szeregach czasowych? Ogólnie przyjmuje si, e prawidłowo ci e ukrye s w posaci pewnej srukury szeregu czasowego. Cz prawidłowo ci ma charaker sysemayczny, regularny, a cz przypadkowy. Szereg czasowy składa si mo e z nas puj cych niezale nych od siebie składowych: endencji rozwojowej (rendu), waha cyklicznych, waha sezonowych, waha przypadkowych. Poni ej pokróce przedsawione zosan zwi zki mi dzy ymi składowymi a mechanizmami zmian cen w czasie. Ma o olbrzymie znaczenie w rozumieniu wyników analiz saysycznych oraz jes pomocne w prognozowaniu i meryorycznej ocenie realno ci prognoz. Wszelkie zmiany cen dokonuj si wokół endencji rozwojowej (rendu). Tendencj definiuje si jako długookresow skłonno do jednokierunkowych zmian waro ci zmiennej w czasie. W jej ramach mo emy zało y, e zjawisko charakeryzuje si rendem horyzonalnym (brakiem zmian, sałym poziomem), sopniowym spadkiem lub wzrosem. Obserwowane w rolnicwie i gospodarce ywno ciowej rendy s pochodn m.in. innowacji echnicznych, zmian preferencji i upodoba konsumenów, b d e ogólnym poziomem inflacji. Mo na uzna, e endencja nie reprezenuje zmienno ci decyduj cej o poziomie ryzyka cenowego. Ka dy obecny na rynku ma czas na dososowanie si do zmian długookresowych poprzez zmiany echnologii, koncenracj produkcji czy obni enie koszów. W efekcie długookresowa elasyczno poda y jes znacznie wy sza od elasyczno ci krókookresowej. Wokół rendu maj miejsce ró nego rodzaju odchylenia, w ym wahania cykliczne przejawiaj ce si w posaci mniej lub bardziej regularnych flukuacji wokół rendu. Wahania cykliczne s zmianami rednio- i długookresowymi. Nale y pami a, e okres waha cyklicznych, mierzony np. mi dzy dwoma 13

15 górnymi lub dwoma dolnymi punkami zwronymi (mi dzy maksimami lub minimami) jes dłu szy od jednego roku. Mog co prawda zdarza si krósze wahania cykliczne (niezwi zane z sezonowo ci ), ale do ich analizy porzebne s dane o dosy du ej cz soliwo ci (dzienne, godzinowe). W niniejszych badaniach nie b dziemy si zajmowali ego ypu wahaniami cyklicznymi. Samo rozró nienie waha cyklicznych i rendu jes dosy problemayczne na gruncie meodycznym. Obydwa rodzaje waha wyra aj bowiem zmiany długookresowe i cz so nie s rozdzielane, ale rakowane jako długookresowy rend (zw. rend-cykl). Za akim podej ciem przemawia fak, e w rzeczywiso- ci gospodarczej wys puj cykle o ró nej długo ci, cz so nakładaj ce si na siebie. Kwesi zasadnicz pozosaje jedynie, jaki yp waha jese my w sanie uchwyci. Maj c dwa szeregi czasowe ych samych cen miesi cznych, ale o ró nej długo ci (np. jeden licz cy 10 la, a kolejny 100 la), mo e okaza si, e uzyskamy ró ne szacunki rendu i cykli dla wspólnego dla nich przedziału czasowego. To co dla krókich danych b dzie si wydawało rendem, mo e okaza si dobrym przybli eniem cyklu, ławo zauwa alnym dla dłu szych szeregów czasowych. Cykle o ró nej długo ci pozosaj wobec siebie w okre lonej zale no ci. Krzywa cyklu dłu szego jes rendem cyklu krószego (ni szego rz du). Faza wzrosowa cyklu dłu szego przedłu a faz wzrosow cyklu krószego, faza spadkowa cyklu dłu szego przedłu a faz spadkow cyklu krószego. Z poznawczego punku widzenia wa ne jes okre lenie czynników lecych u podsaw waha cyklicznych w gospodarce rolno- ywno ciowej. Nale do nich przyczyny o charakerze biologiczno-echnicznym, ekonomicznym oraz uwarunkowania zewn rzne, np. susze, kóre inicjuj wys powanie cykli. Nale- y ak e mie na uwadze, e wahania e mog by powi zane zarówno z koniunkur ogólnogospodarcz, jak i wys powa w posaci cykli owarowych (specjalnych). Zmiany cykliczne dokonuj si pod wpływem wielu dodakowych uwarunkowa, akich jak inerakcje mi dzy rynkami, reakcje psychologiczne czy oczekiwania gospodarcze. Do głównych czynników powoduj cych wys powanie waha cyklicznych cen surowców rolnych nale ograniczenia biologiczno-echniczne. Specyfika produkcji rolniczej powoduje, e od podj cia decyzji o rozpocz ciu danej produkcji, do pojawienia si owarów na rynku, upływa pewien okres. Produkcja mo e by planowana w oparciu o ró nego rodzaju s dy. W naiwnym modelu zachowa producen bierze pod uwag wył cznie biec syuacj. Zachowanie adapacyjne oznacza planowanie na podsawie oceny przeszłej i biecej syuacji. Wreszcie, całkowicie racjonalny producen dokonuje oceny przyszłej syuacji w oparciu o wiedz na ema sanu przeszłego, biecego i na podsawie oczekiwa co do przyszło ci. W przypadku zmiany uwarunkowa gospodar- 14

16 czych, czy e oczekiwa, małe s mo liwo ci zmian srukury po rozpocz ciu produkcji i dososowania jej do zmieniaj cej si syuacji rynkowej. Poda rynkowa jes zaem zawsze w wi kszym sopniu funkcj cen przeszłych, a nie bie- cych. Efekem ego mechanizmu (znanego jako model paj czyny popyowo- -poda owej) s wahania cykliczne produkcji i cen surowców rolnych. Szerzej model en wyja nia Tomek i Robinson [2001]. Długo cyklu zale y od okresu dziel cego momen podj cia osaecznej decyzji co do kszału produkcji do momenu, w kórym produkcja a jes rzeczywi cie realizowana. Niewielkie zmiany w poda y surowców rolnych powoduj bardzo du e wahania ich cen. Wedle ego mechanizmu reakcj na wysokie ceny w okresach niedoborów s decyzje o zwi kszeniu produkcji. Niezale nie czy mamy do czynienia z produkcj ro linn, czy zwierz c, od momenu podj cia decyzji do wyprodukowania owaru mija od kilku miesi cy do kilku nawe la. Zwi kszaj ca si poda prowadzi do spadku cen. Reakcj jes cz so zwi kszanie produkcji w celu osi gni cia zakładanych zysków poprzez wzros skali produkcji. Te racjonalne z mikroekonomicznego punku widzenia decyzje, powoduj dalszy spadek cen, przy kórych producenci rolni ponosz coraz wy sze sray. W efekcie decyduj si oni na zmniejszenie produkcji, co w kolejnych okresach b dzie skukowało wzrosem cen rynkowych. Ograniczenia biologiczno-echniczne powoduj, e w krókim okresie produkcja rolna jes wysoce nieelasyczna i nie reaguje na zmiany cen. Zdarza si, e z uwagi na wysoki udział koszów sałych w koszach całkowiych ponoszonych przez producenów rolnych, rolnik nie mo e ogranicza koszów poprzez zmniejszenie poda y. Nawe w warunkach spadku cen mo e próbowa pokry koszy sałe produkuj c coraz wi cej (efek odwróconej reakcji). Analizuj c zmiany cykliczne na rynkach rolnych w Polsce, nie mo emy ogranicza si wył cznie do przyczyn krajowych. Nale y zdawa sobie spraw, e w warunkach relaywnie owarej wymiany handlowej, kszałowanie si cen surowców rolnych w danym pa swie wynika nie ylko z krajowych relacji popyowo-poda owych, ale i z oddziaływania syuacji na zw. rynkach europejskich czy wiaowych. W isocie zmiany krajowej syuacji popyowo-poda owej maj relaywnie niewielki wpływ na poziom cen wi kszo ci surowców rolnych w Polsce w porównaniu z oddziaływaniem relacji cenowych na rynkach wiaowych. Konsekwencj ego jes konieczno wnikliwej obserwacji uwarunkowa kszałuj cych wiaowe i europejskie ceny surowców rolnych. W przypadku rolnicwa ze wzgl du na uzale nienie procesu produkcji od czynników pogodowych wahania najczciej kojarz si ze zmienno ci sezonow. Wahania sezonowe przejawiaj si w posaci regularnych zmian pe- 15

17 riodycznych o długo ci jednego roku (pomijamy cykle sezonowe dzienne czy ygodniowe). Przykładowo, na rynku zbó efek sezonowy objawia si spadkiem cen po okresie zbiorów. Za podsawow przyczyn waha sezonowych nale y na rynkach rolnych uzna cykliczn zmienno czynników klimaycznoprzyrodniczych. Szerzej rzecz ujmuj c, mo emy napisa, e sezonowo wynika ze zmienno ci naenia koszów, poda y i obrou rynkowego. Im mocniej ograniczona jes mo liwo przechowywania surowców, ym bardziej widoczne s przejawy sezonowo ci. Sezonowo w kszałowaniu si cen o nic innego jak przykład oddziaływania ogólnego prawa popyu i poda y. Popy na wzgl dnie sałym poziomie syka si ze zmienn w czasie poda, co w efekcie prowadzi do zmian cen. Osanim rodzajem zmienno ci obserwowanej w szeregach czasowych s wahania przypadkowe (nieregularne). Odpowiadaj one za wpływ wszelkich czynników ypu incydenalnego oraz ych niemo liwych do przewidzenia. W ród zmian o charakerze nieregularnym wyró ni mo na efeky wywołane przez czynniki losowe, akie jak kl ski ywiołowe, nagłe zmiany w poliyce pa swa, srajki. Niezwykle isonym problemem zwi zanym z prognozowaniem procesów zachodz cych na rynkach rolnych pozosaje wpływ poliyki rolnej. Ze wzgl du na specyfik rynków rolnych, ich funkcjonowanie zawsze było bardzo odległe od ego, w jaki sposób działa rynek w ramach modelu konkurencji doskonałej. W konsekwencji isnienia szeregu ułomno ci wymiany handlowej na rynkach rolnych akich jak na przykład niedoskonało przepływu informacji dochodzi do zb dnej sray społecznej. Z ego e powodu rynki rolne s szczególnie silnie poddawane procesom regulacyjnym. Inerwencja mo e by prowadzona na wiele ró nych sposobów i form, wpływaj c na rynek i jego kaegorie (poda, popy i ceny). Szerzej zagadnienia e przedsawiaj np. Kowalski i Rembisz [2005]. Wszyskie działania inerwencyjne maj swoje odzwierciedlenie w sposobie kszałowania si cen surowców rolnych. Osłabiaj i deformuj nauralne procesy rynkowe, przez co ceny rynkowe kszałuj si nieco inaczej ni wygl dałoby o w przypadku braku ego ypu rozwi za insyucjonalnych. Problem prognosyczny polega na ym, e w wi kszo ci działania e maj charaker okresowy i dosy rudno jes oszacowa wpływ neo ka dej z form inerwencji. 16

18 1.2. Analiza i pomiar prawidłowo ci Mo na uzna, e podsaw do przewidywa sanowi wiedza o naurze zjawisk, ich wzajemnych powi zaniach oraz mechanizmach i czynnikach je kszałuj cych. Do zbudowania prognozy niezb dna jes poprawnie przeprowadzona diagnoza rzeczywiso ci, czyli swierdzenie przeszłego oraz era niejszego sanu prognozowanych zjawisk. W przypadku prognozowania na podsawie szeregów czasowych analiza a sprowadza si do analizy dynamiki szeregu czasowego, w ym poszczególnych jego składowych. Składowe szeregów czasowych Rozło enie szeregu czasowego na poszczególne elemeny składowe nosi nazw dekompozycji szeregu czasowego. Jak podano w poprzednim rozdziale, zakłada si, e kszałowanie si ceny (Y) jes kombinacj rendu (T), waha cyklicznych (C), sezonowych (S) oraz przypadkowych (I). W prakyce najczciej sosuje si dwie formuły dekompozycji waro ci szeregu czasowego: modelu addyywnego lub modelu muliplikaywnego: Y = T + C + S + I, (model addyywny), (1.1) Y = T C S I, (model muliplikaywny), (1.2) gdzie: Y waro ci szeregu czasowego w czasie, T waro ci rendu (lub sałego poziomu) w czasie, C waro ci składnika cyklicznego w czasie, S wska niki waha sezonowych w czasie, I wahania przypadkowe (losowe) w czasie. Ró nica mi dzy modelem addyywnym a modelem muliplikaywnym polega na innych relacjach mi dzy składowymi. Najławiej o pokaza na przykładzie składnika sezonowego. W modelu addyywnym sezonowo nie jes powi zana z poziomem zjawiska w czasie. W przypadku modelu addyywnego mamy do czynienia z efekami sezonowymi, polegaj cymi na odchyleniach zjawiska w okresach jednoimiennych od waro ci redniej w roku o sał waro wyra an w ych samych jednoskach, w kórych jes wyra ony szereg czasowy. Oznacza o, e np. spadek cen zbó po okresie zbiorów jes niezale ny od redniego poziomu cen w danym roku. W przypadku sezonowo ci muliplikaywnej efeky sezonowe s sałe w uj ciu wzgl dnym zn. gdy wi ksze s waro ci zjawiska wynikaj ce z rendu, 17

19 o wi ksza jes równie ampliuda waha sezonowych lub cyklicznych. S d sezonowy spadek cen zbó b dzie wi kszy, gdy mamy do czynienia z ich wysokim poziomem, a mniejszy, gdy wyj ciowa cena b dzie relaywnie niska. Uj cie muliplikaywne jes czciej sosowane ni addyywne. Podsaw oceny dynamiki jes analiza graficzna szeregu czasowego. Umiej no formułowania wniosków w oparciu o graficzny przebieg obserwacji sanowi niezb dne minimum, jakie ka dy analiyk powinien posiada. Analiza graficzna doyczy równie przekszałce danych i poszczególnych składowych szeregu czasowego. Pokróce o poka emy na przykładzie miesi cznych cen rzody chlewnej w Polsce w laach (rysunek 1.2.1). 5,50 5,00 4,50 4,00 3,50 3,00 2,50 Rysunek Kszałowanie si cen ywca wieprzowego (zł/kg) wraz z długookresowym rendem (TC) Ceny T =0,0029x + 3,7008 2,00 sy 00 sy 01 sy 02 sy 03 sy 04 sy 05 sy 06 sy 07 sy 08 sy 09 sy 10 sy 11 TC ródło: opracowanie własne na podsawie danych GUS. Na rysunku w posaci przerywanej linii przedsawiono rend (T ), za w posaci czerwonej ci głej linii ł cznie rend i wahania cykliczne (TC ). Prakyczne wyznaczenie rendu wie si w Excelu z zaznaczeniem wewn rz wykresu opcji dodaj lini rendu. W uj ciu eoreycznym rend sanowi wyraz regresji zmiennej Y wzgl dem zmiennej czasowej. Trend-cykl jes wyznaczany za pomoc rednich ruchomych 12-okresowych (dla danych miesi cznych). Kwesie e przedsawimy szerzej pó niej. Ju na pierwszy rzu oka widzimy, e mamy do czynienia z niewielk endencj wzrosow. Waro ci maksymalne (i minimalne) co około 4 laa s na coraz wy szym poziomie. Powierdza o dodana linia rendu: przez okres 11 la ceny wzrosły o ponad 35 groszy, czyli około 10%. 18

20 Zauwa amy e okresy, w kórych ceny s na poziomie 4,50-5,00 zł/kg, i okresy, kiedy ceny s bliskie 3,00-3,50 zł/kg. Takie kszałowanie si cen jes wyrazem zmian cyklicznych. Najwy sze ceny wys piły w roku 2001, 2004, Laa e wyznaczaj górne momeny zwrone cykli, za ró nice mi dzy nimi pozwalaj okre li długo cyklu. Oznacza o, e długo cykli wi skich w ym okresie kszałuje si w przedziale 3-4 la. Długo cykli nie jes sała, a ulega zmianom. Jes o dosy dobrze widoczne w kszałowaniu si TC (odległo ci pomi dzy szczyami linii czerwonej). Sezonowo wyra a si w posaci krókookresowych waha wokół rendu-cyklu. Cykl sezonowy przejawia si w niskich cenach na pocz ku i na ko cu roku, a wysokich w połowie roku. To, e s o odchylenia nieregularne, jes wynikiem oddziaływania czynników losowych. Rysunek Kszałowanie si cen ywca wieprzowego (zł/kg) w podziale na sezony 5,50 5,00 4,50 4,00 3,50 3,00 2,50 2, I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII ródło: opracowanie własne na podsawie danych GUS. Sporym niesey do powszechnie spoykanym bł dem wydaje si posługiwanie w analizie jedynie wykresami przedsawionymi na rysunku Dzielenie szeregu czasowego na jednoimienne okresy powa nie urudnia analiz dynamiki zjawisk, nie mówi c o ich przewidywaniu. Mo na poszczególnym sezonom przypisa odpowiednie uwarunkowania i na ej podsawie dokonywa analogii. W isocie jednak, na ego ypu wykresach jedynie sezonowo jes dobrze zaznaczona. Nie ma naomias mo liwo ci okre lenia endencji rozwojowej oraz fazy cyklu, w jakiej znajduj si ceny. Do podsawowych sposobów analizy zjawisk w czasie nale y analiza dynamiki. Mówimy uaj o budowie indeksów dynamiki o sałej lub zmiennej podsawie. W ród nich na uwag zasługuj indeksy, za pomoc kórych jese my 19

21 w sanie okre li dynamik zmian w sosunku do analogicznego miesi ca roku poprzedniego. Sosuje si uaj nas puj c formuł : IY = Y / 12 *100 / 12 Y. (1.3) Ich obliczenie pozwala na analiz dynamiki zjawiska bez efeków sezonowych. W efekcie uzyskujemy co, co kszałem przypomina składnik cykliczny. Tak obliczone wska niki dynamiki maj cz so wła ciwo ci prognosyczne (osrzegawcze, wska nik wiod cy). Przykładowo, osłabienie dynamiki wzrosów sanowi sygnał, e ceny mog zmieni kierunek ze wzrosowego na spadkowy. Jes o dobrze widoczne na rysunku 1.2.3, gdzie widzimy, e w kilku momenach wska niki dynamiki wcze niej zmieniały kierunek ni oszacowany składnik rendu-cyklu. Rysunek Kszałowanie si cen ywca wieprzowego (zł/kg) wraz z długookresowym rendem (TC) oraz wska nikami dynamiki r/r 5,50 5,00 4,50 4,00 3,50 3,00 2,50 Ceny TC Dynamika r/r ,00 sy 00 sy 01 sy 02 sy 03 sy 04 sy 05 sy 06 sy 07 sy 08 sy 09 sy 10 sy ródło: opracowanie własne na podsawie danych GUS. Dekompozycja szeregu czasowego Z prakycznego punku widzenia podsawow kwesi w analizie szeregów czasowych jes obliczenie poszczególnych składowych, czyli waro ci rendu, składnika cyklicznego, wska nika waha sezonowych i waha przypadkowych. Procedury dekompozycji s szeroko opisane w wielu podr cznikach ze saysyki czy prognozowania. Poni ej pokróce przedsawione o zosanie dla ych uczesników rynku czy analiyków, kórzy chcieliby posłu y si ym prosym narz dziem w celu oceny syuacji rynków, a pó niej nawe sformułowania prognozy. Ogólne eapy dekompozycji szeregu czasowego do celów analiycznych wi si kolejno z: 20

22 obliczeniem redniej ruchomej scenrowanej, kóra reprezenuje rend-cykl, obliczeniem składnika sezonowego i jego eliminacj z szeregu, rozdzieleniu rendu-cyklu na rend i wahania cykliczne, obliczeniem składnika przypadkowego jako waro ci rezydualnej pomi dzy waro ciami szeregu czasowego a rendu-cyklu. Isnieje wiele warianów dekompozycji. W ym rozdziale przedsawiona zosanie najprossza z nich. Na jej podsawie dokonana zosanie inerpreacja poszczególnych składowych. Sanowi o niejako wprowadzenie do bardziej zaawansowanego podej cia, jakim jes przykładowo meoda korekcji sezonowej X-12-ARIMA przedsawiona w rozdziale 3. Pomocnicze obliczenia zawaro w abeli Zanim przeprowadzone zosan obliczenia, nale y zasanowi si nad rodzajem modelu (powi zaniami mi dzy zmiennymi). Korzysa si w ym celu najczciej z analizy graficznej danych. Z rysunku 1.1 nie wynika jednoznacznie, kóry model jes wła ciwszy, niemniej w prakyce w wi kszo ci przypadków sosuje si modele muliplikaywne. Dlaego e zało ymy powi zania mi dzy zmiennymi w nas puj cej formie Y =T *C *S *I. Zakładaj c akie powi zania mi dzy zmiennymi, wszelkie operacje, jakie wykonujemy na szeregu czasowym i jego poszczególnych składowych, sprowadzaj si do mno enia i dzielenia. W pierwszym kroku oblicza si redni ruchom scenrowan, kóra reprezenuje rend-cykl. Liczba pełnych obserwacji, z kórych obliczamy ak redni wynosi yle, ile mamy sezonów w roku (w naszym przypadku 12 miesi cy). Waro ci obliczonej redniej przyporz dkowuje si rodkowej obserwacji. W przypadku gdy liczba sezonów jes liczb parzys, bierzemy do redniej o jedn obserwacj wi cej, a osaniej i pierwszej z nich nadajemy wag ½. Przykładowo rend-cykl w 7 okresie (lipiec 2000) obliczamy jako: TC7 = ( 0,5* Y1 + Y2 + Y Y12 + 0,5* Y13 ) / 12 = = ( 0,5*3,17 + 3,10 + 3, ,05 + 0,5* 4,04) /12 = 3,78, gdzie Y 1 oznacza cen w pierwszym analizowanym miesi cu (sycze 2000), Y 2 cen w drugim miesi cu (luy 2000) id. Kolejne wyrazy redniej ruchomej obliczamy w analogiczny sposób ylko z innego zakresu danych (TC 8 obliczamy na podsawie danych od obserwacji 2 do 14). Tak obliczona rednia ruchoma jes przedsawiona na rysunkach i Wida, e jes ona pozbawiona zarówno waha sezonowych, jak i losowych. 21

23 Tabela Przykładowe obliczenia do dekompozycji szeregu czasowego (na przykładzie cen ywca wieprzowego (zł/kg)) Okres Y=TCSI TC Y/TC= SI i Si S Y/S=TCI T C I sy ,17 0,923 0,924 0,924 3,43 3,71 lu ,10 0,920 0,920 0,920 3,37 3,71 mar ,23 0,968 0,969 0,969 3,33 3,71 kwi ,39 0,964 0,964 0,964 3,52 3,72 maj ,54 0,961 0,962 0,962 3,68 3,72 cze ,60 1,021 1,021 1,021 3,52 3,72 lip ,19 3,78 1,11 1,078 1,079 1,079 3,88 3,72 1,02 1,03 sie ,28 3,86 1,11 1,103 1,104 1,104 3,88 3,73 1,03 1,01 wrz ,32 3,94 1,10 1,097 1,098 1,098 3,93 3,73 1,06 1,00 pa ,24 4,03 1,05 1,018 1,019 1,019 4,16 3,73 1,08 1,03 lis ,84 4,11 0,94 0,969 0,970 0,970 3,96 3,74 1,10 0,96 gru ,05 4,16 0,97 0,970 0,970 0,970 4,17 3,74 1,11 1,00 sy ,04 4,20 0,96 0,924 4,37 3,74 1,12 1,04 lu ,00 4,23 0,95 suma suma 0,920 4,35 3,74 1,13 1,03 mar ,34 4,26 1,02 11,991 12,000 0,969 4,48 3,75 1,14 1,05 kwi ,51 4,30 1,05 0,964 4,68 3,75 1,15 1,09 maj ,20 4,35 0,97 Wsp. koreky 0,962 4,37 3,75 1,16 1,00 cze ,29 4,40 0,98 0,999 1,021 4,20 3,76 1,17 0,96 lip ,43 4,42 1,00 1,079 4,10 3,76 1,18 0,93 sie ,63 4,42 1,05 1,104 4,20 3,76 1,17 0,95 wrz ,73 4,40 1,08 1,098 4,31 3,76 1,17 0,98 pa ,74 4,36 1,09 1,019 4,65 3,77 1,16 1,07 lis ,56 4,30 1,06 0,970 4,70 3,77 1,14 1,09 gru ,51 4,23 1,07 0,970 4,65 3,77 1,12 1,10 sy ,08 4,16 0,98 0,924 4,42 3,78 1,10 1,06 lu ,94 4,09 0,96 0,920 4,28 3,78 1,08 1,05 sy ,72 4,11 0,91 0,924 4,03 4,05 1,01 0,98 lu ,62 4,06 0,89 0,920 3,93 4,06 1,00 0,97 mar ,72 4,02 0,92 0,969 3,84 4,06 0,99 0,95 kwi ,57 3,99 0,89 0,964 3,70 4,06 0,98 0,93 maj ,77 3,96 0,95 0,962 3,92 4,07 0,97 0,99 cze ,38 3,95 1,11 1,021 4,29 4,07 0,97 1,09 lip ,32 3,95 1,09 1,079 4,00 4,07 0,97 1,01 sie ,47 3,96 1,13 1,104 4,05 4,07 0,97 1,02 wrz ,24 4,00 1,06 1,098 3,86 4,08 0,98 0,97 pa ,86 4,05 0,95 1,019 3,79 4,08 0,99 0,93 lis ,81 4,12 0,93 0,970 3,93 4,08 1,01 0,95 gru ,89 0,970 4,01 4,09 sy ,71 0,924 4,02 4,09 lu ,95 0,920 4,29 4,09 mar ,23 0,969 4,37 4,10 kwi ,47 0,964 4,64 4,10 maj ,41 0,962 4,59 4,10 ródło: opracowanie własne na podsawie danych GUS. W celu obliczenia składnika sezonowego, najpierw nale y usun z danych rend-cykl poprzez operacj dzielenia: Y /TC =SI. W przypadku modelu addyywnego, odejmujemy redni ruchom od waro ci rzeczywisych szeregu czasowego. Zaem w danych ych znajduje si ju wył cznie sezonowo i wahania przypadkowe. Obliczenie składnika sezonowego sprowadza si do u rednienia szeregu SI dla obserwacji z ych samych sezonów. Czyli obliczaj c wska nik sezonowo- ci dla sycznia, robimy o nas puj co: sycze = (SI sycze SI sycze SI sycze 2010 )/10 = (0,96+0,98+ +0,91)/10 = 0,

24 Sprowadza si o do obliczenia sumy kolejnych waro ci syczniowych szeregu Y /TC, kóra nas pnie jes dzielona przez liczb analizowanych la. Kolejne wska niki obliczamy w analogiczny sposób dla pozosałych jedenasu sezonów (miesi cy). Je eli suma wszyskich rednich wska ników dla poszczególnych miesi cy jes równa liczbie sezonów w roku, o uznajemy je za osaeczne wska niki sezonowe. Je li nie, o nazywamy je wska nikami nieoczyszczonymi (surowymi) i dokonujemy ich koreky, ak aby suma była równa dokładnie liczbie sezonów. W naszym przypadku suma rednich wynosi i =11,991, co jes liczb do blisk 12. S d mo na byłoby zaakcepowa e wska niki jako osaeczne. Je eli jednak zale y nam na dokładno ci, obliczamy wska nik koreky, dziel c sum wska ników surowych przez liczb sezonów w roku s: K r = i /s. Dla naszego przykładu wska nik koreky wynosi K r = i /12=0,999. Osaecznie oczyszczone wska niki sezonowe uzyskujemy poprzez podzielenie wska ników surowych przez obliczony wcze niej wska nik koreky S i = i /K r. Z uwagi na o, e wska nik jes bliski jedno ci, nie ma wi kszych ró nic w orzymanych wska nikach S i w sosunku do wska ników nieoczyszczonych. Naomias ich suma jes eraz równa 12. W przypadku modelu addyywnego, suma wska ników sezonowo ci powinna wynosi zero. W przypadku gdy ró ni si od zera, dokonujemy koreky, odejmuj c od poszczególnych surowych wska ników sezonowo ci obliczony współczynnik koreky. Wska niki e reprezenuj rednie odchylenia cen wieprzowiny w poszczególnych sezonach od długookresowego rendu w analizowanym okresie. Dlaego e w kolejnej kolumnie (S ) przepisano je w sposób cykliczny dla kolejnych la. Czyli np. wska nik dla sycznia (0,924) pokazuje, co si dzieje w syczniu ka dego roku. Waro 0,924 mówi, e ceny w syczniu sanowi 0,924 poziomu długookresowego rendu (lub 92,4% poziomu TC). Innymi słowy, w syczniu ceny wieprzowiny s przeci nie ni sze o (1-0,924)*100% = 7,6% od poziomu długookresowego rendu. Najwy sze sezonowo ceny s w sierpniu (1,103). Ich poziom jes o 10,3% wy szy od cen wynikaj cych z długookresowego rendu. Kolejnym krokiem jes eliminacja sezonowo ci z danych empirycznych. Dokonuje jej si poprzez podzielenie waro ci empirycznych przez oczyszczone wska niki sezonowo ci Y /S. Przykładowo dla sycznia 2000 roku liczymy je nas puj co: Y 1 /S 1 = 3,17/0,924 = 3,43. Tak orzymany szereg (skorygowany sezonowo) przedsawiono na rysunku W przypadku modelu addyywnego odejmujemy od danych empirycznych efeky sezonowe. 23

25 Nas pnie mo emy dokona rozdzielenia rendu od cyklu. Jes o eap budz cy najwi cej w pliwo ci co do jego zasadno ci. Wymaga o obliczenia endencji rozwojowej. W ym celu sosujemy analiyczne funkcje rendu. Z reguły sosuje si prose (liniowe lub wykładnicze posaci rendu). Trend mo na dopasowa za pomoc opcji dodaj lini rendu w Excelu. Orzymane w aki sposób równanie rendu liniowego po zaokr gleniu do czerech miejsc po przecinku wygl da nas puj co: y = 0,0029x+3,7369. Po podsawieniu w miejsce x zmiennej czasowej równanie zapisujemy jako T = 0,0029*+3,7369. Z niego e obliczmy poszczególne waro ci rendu, przykładowo waro rendu w maju 2001 (siedemnasa obserwacja w naszym szeregu czasowym, = 17) wynosi T 17 = 0,0029*17+3,7369 = 3,75. Rysunek Dekompozycja szeregu czasowego cen ywca wieprzowego (zł/kg) na rend (T), wahania cykliczne (C), sezonowe (S) i przypadkowe (I) 5,50 1,20 5,00 1,15 4,50 1,10 4,00 3,50 1,05 1,00 0,95 3,00 0,90 2,50 2,00 Ceny TC TCI T 0,85 0,80 C sy 00 sy 01 sy 02 sy 03 sy 04 sy 05 sy 06 sy 07 sy 08 sy 09 sy 10 sy 11 sy 00 sy 01 sy 02 sy 03 sy 04 sy 05 sy 06 sy 07 sy 08 sy 09 sy 10 sy 11 1,20 1,20 1,15 1,15 1,10 1,10 1,05 1,05 1,00 1,00 0,95 0,95 0,90 0,90 0,85 S 0,85 I 0,80 0,80 sy 00 sy 01 sy 02 sy 03 sy 04 sy 05 sy 06 sy 07 sy 08 sy 09 sy 10 sy 11 sy 00 sy 01 sy 02 sy 03 sy 04 sy 05 sy 06 sy 07 sy 08 sy 09 sy 10 sy 11 ródło: opracowanie własne na podsawie danych GUS. Wahania cykliczne obliczymy poprzez podzielenie rendu-cyklu przez waro ci endencji rozwojowej: C = TC /T. Przykładowo w maju 2001 roku oszacowana waro cyklu wynosi: C 17 = TC 17 /T 17 = 4,35/3,75 = 1,16. Inerpreacja wska ników cyklicznych jes podobna jes do inerpreacji wska ników sezonowych. 24

26 Osani elemen, czyli składnik przypadkowy I obliczany jes jako waro rezydualna. Mo na skorzysa np. ze wzoru I = Y /TC /S. W modelu addyywnym wahania przypadkowe obliczamy ze wzoru: I = Y -TC -S. Wad zaprezenowanego podej cia jes skracanie danych na pocz ku i na ko cu z uwagi na sosowanie rednich ruchomych. Isniej sposoby poradzenia sobie z ym problemem, jednak ich zasosowanie wpłyn łoby negaywnie na przejrzyso przykładu sanowi cego podsaw dla zrozumienia idei dekompozycji szeregu czasowego. Efek ko cowy powy szych działa jes widoczny na rysunku Szereg czasowy cen zosał rozło ony na rend, wahania cykliczne, sezonowe i przypadkowe. Widzimy, e najwi kszy wpływ na kszałowanie cen maj wahania cykliczne, kórych ampliuda przekracza 30 p.p. Mniejsze znaczenia maj wahania sezonowe (ampliuda wynosi niecałe 20 p.p.). Wahania przypadkowe maj podobny udział w całkowiej zmienno ci jak wahania sezonowe. Prawidłowo ci okre lone wy ej mog zosa wykorzysane przez analiyka, kóry korzysa równie z innych informacji, do budowy prognoz. Mog by równie podsaw budowy prognozy na podsawie zw. meody wska ników [Cie lak 2005] Eksrapolacja prawidłowo ci Pyania o mo liwo ci przewidywania przyszło ci pojawiały si od zawsze. Jes o pyanie sawiane nie ylko na gruncie ekonomicznym, saysycznym czy ekonomerycznym, ale i na gruncie filozoficznym. Je eli miliony chciwych, samolubnych jednosek w deniu do własnych celów i przewa nie niekonrolowanych przez pa swo w swych deniach nie prowadz do anarchii, jak o okre lił Adam Smih, o najprawdopodobniej mo liwe jes równie przewidywanie zachowa uczesników rynku. Pyanie ylko, w jakim sopniu mo emy przewidywa przyszło. Podsaw prognozowania jes zasosowanie pewnych meod prognosycznych. Na podej cie prognosyczne składaj si dwie fazy: faza diagnozowania przeszło ci i faza okre lania przyszło ci [Cie lak 2005]. Zwi zane s one odpowiednio z modelowaniem i eksrapolacj prawidłowo ci. Faza pierwsza zwi zana jes z poszukiwaniem prawidłowo ci w przeszło- ci i prób ich odzwierciedlenia za pomoc modelu. Model sanowi uproszczony opis rzeczywiso ci. Wedle definicji jes o schemayczne uproszczenie, pomijaj ce nieisone aspeky w celu wyja nienia wewn rznego działania, formy lub konsrukcji bardziej skomplikowanego mechanizmu [Klein 1982, s. 15]. Modele opare s na zwi zkach zmiennej prognozowanej z innymi zmiennymi, kóre 25

27 pełni rol zmiennych obja niaj cych, lub na zwi zkach w ramach danego szeregu czasowego. Poniewa niniejsze opracowanie po wi cone jes modelom prognozowania oparym na szeregach czasowych, ograniczymy si ylko do zwi zków o charakerze dynamicznym w ramach pojedynczego szeregu czasowego. Przykład prawidłowo ci, w oparciu o kóre buduje si modele podano w rozdziale 1.2. Uj cie, w kórym rozró niamy rend, wahania cykliczne, sezonowe i przypadkowe, jes jedn z propozycji, kóra uławia zrozumienie isoy modelowania szeregów czasowych. W wi kszo ci jednak przypadków prawidłowo ci wys puj ce w szeregu czasowym s ukrye w posaci czarnej skrzynki ró nych zale no ci, jak o wskazuj Box i Jenkins [1983]. Zakłada si ym samym inerakcje mi dzy składowymi, kóre modyfikuj si nawzajem. Zaem modelowe uj cie szeregu czasowego zakłada mniej lub bardziej czyelne (bezpo rednie) uło- enie prawidłowo ci dla okresów hisorycznych. Poznanie prawidłowo ci i budowa modelu s wa ne, aczkolwiek nie przes dzaj definiywnie o jako ci formułowanych na ich podsawie prognoz. Wszysko zale y od ego, jakimi zasadami b dziemy kierowali si okre laj c przyszło w oparciu o poznane zale no ci. Zasada (reguła) prognozowania pozwala przenie prawidłowo ci uj e w modelu do przyszło ci. Najczciej sosowan reguł jes reguła podsawowa. Jej sosowanie jes racjonalne wówczas, gdy isnieje uzasadnione podejrzenie, e model oszacowany w oparciu o przeszłe informacje nie zosanie zdezakualizowany w przyszło- ci. Reguł ak sosujemy w przypadku zjawisk charakeryzuj cych si znaczn inercj. Zasosowanie ej reguły w prakyce wie si z eksrapolacj opisanych w modelu prawidłowo ci poza prób (w przyszło). Wie si o z dwiema zaleami: saysyczn daje prognozy nieobcione oraz prakyczn jes ława do wyznaczenia. Powy sz zasad sosuje si wówczas, gdy proces jes powarzalny i nie wys puj bł dy sysemayczne. W długim ci gu prognoz bł dy dodanie i ujemne równowa si, co oznacza, e proces predykcji nie zawy a ani nie zani a ocen przyszłej realizacji zmiennej prognozowanej. W ych warunkach nale y oczekiwa, e redni bł d ci gu ak orzymanych prognoz b dzie bliski zeru. Z zasad podsawow wie si przyj cie zw. posaci pasywnej wobec przyszło ci [Dimann 2008]. Prognosa nie ingeruje w prognozy wyznaczone za pomoc modelu ilo ciowego. Zakłada jedynie, e np. wzorzec sezonowo ci nie ulegnie zmianom czy rend b dzie konynuowany w doychczasowym empie. Dla krókich okresów w zdecydowanej wi kszo ci przypadków akie podej cie jes wysarczaj ce. 26

28 Pyanie brzmi, kiedy nie jes mo liwe sosowanie posawy pasywnej, a wymagana jes akywna posawa wobec przyszło ci. Niew pliwie dzieje si ak wedy, gdy nie mo na uzna oszacowanego modelu za w pełni akualnego dla okresów przyszłych. Mo e o nas pi na przykład wówczas, gdy zosan wprowadzone nowe regulacje podakowe czy rynkowe (inerwencjonizm), powoduj c wzros cen (lub spadek) prognozowanego produku. W akim przypadku skorzysanie z reguły podsawowej prowadziłoby do obcienia prognoz, czyli do przyj cia za prognoz waro ci sysemaycznie zawy onych lub zani onych. Sosuje si wówczas zw. reguł podsawow z poprawk [Czerwi ski, Guzik 1980]. Polega ona na przyj ciu za waro prognozowan nie prognozy wyznaczonej bezpo rednio z modelu ilo ciowego, ale prognozy skorygowanej o pewn waro poprawk. Poprawka mo e mie charaker formalny b d wynika z czysej ingerencji prognosy i jego pozasaysycznej wiedzy. Z ym ł czy si inegracja meod ilo ciowych i jako ciowych w procesie prognozowania. Na dezakualizacj modelu, obok wiedzy meryorycznej, mog wskazywa nieypowe zachowania w szeregu czasowym. Najwa niejsze z nich o zdarzenia: jednorazowe (addiive ouliers AO), j. sanowi ce isone odchylenie od przewidywanej waro ci badanego zjawiska ylko w jednym okresie, nie wpływaj ce na waro ci szeregu w nas pnych okresach, długorwałe (level shif LS), j. powoduj ce rwał zmian poziomu zmiennej, powoduj ce przej ciow zmian poziomu zmiennej (emporary change TC), przy czym powró do sanu pocz kowego nas puje przewa nie zgodnie z funkcj wykładnicz lub liniow, innowacyjne (innovaion ouliers IO), kóre, w przeciwie swie do wy ej omawianych, powoduj zmian procesu generuj cego dane, w szczególno- ci zmian posaci rendu. Zdarzeniem o charakerze innowacyjnym mo e by np. zasosowanie nowej echnologii produkcji. W zale no ci od ego, jak zakwalifikujemy ak zmian srukury szeregu czasowego, w ró ny sposób podchodzimy do modelowania i prognozowania. Szczególnie doyczy o przypadków, gdy akie zmiany pojawiaj si w osanich okresach (na ko cu szeregu czasowego). Nale y przeanalizowa, dlaczego wys puj oraz czy maj charaker rwały, czy e chwilowy. Dopiero poem mo na okre li sposób poprawienia prognozy. Je eli b dzie o rwała zmiana, wówczas poprawk mo na oszacowa jako waro redni z kilku osanich odchyle, a nas pnie doda j do waro ci prognoz wynikaj cych z zasosowania reguły podsawowej. Inne pos powanie sosowane jes wówczas, gdy mamy do 27

29 czynienia z odchyleniami w osanich okresach, ale przypuszczamy, e nie s zwi zane z czynnikami, kóre urzymaj si w przyszło ci. Mo na wówczas oszacowa inny sposób dochodzenia waro ci rzeczywisych do prognoz uzyskanych z modelu podsawowego. Przy krókookresowym prognozowaniu, a ak e gdy isniej podsawy do przypuszczenia, e zmienna prognozowana ulega nieregularnym zmianom w czasie, przydane s zw. modele adapacyjne. Cech charakerysyczn modeli nalecych do ej grupy jes o, e nie zakłada si dla nich sałej posaci analiycznej mechanizmu przedsawiaj cego kszałowanie si zmiennej (np. cen surowców), lecz dopuszcza si zmiany w nieregularnych ods pach. Modele adapacyjne s konsruowane w en sposób, by rozlu ni zało enia klasycznej eorii predykcji, uwzgl dniaj c mi dzy innymi niesało srukury ekonomicznej i mo liwo zmian paramerów w czasie. Du a elasyczno modeli adapacyjnych i ich zdolno dososowawcza rendu czy waha sezonowych czyni z nich przydane narz dzie prognoz krókookresowych [Zelia 1997]. Poniewa mamy do czynienia dososowywaniem si modelu do danych, prognoza zawsze jes redni wa on przeszłych danych (i przeszłych bł dów). W zale no ci od sabilno ci srukury szeregu czasowego wagi e w ró ny sposób si rozkładaj : im bardziej nieregularne zjawisko, ym prognoza jes w wi kszym sopniu pochodn najnowszych informacji. Dzi ki emu nawe po załamaniu si doychczasowych prawidłowo ci ekonomicznych model szybko dososowuje si do nowych warunków. Do czynników przemawiaj cych za ich sosowaniem nale y e wzgl dna prosoa oblicze oraz ni sze formalno- -saysyczne wymagania. Niesey wad powy szych modeli jes brak powrou modelu do pewnego poziomu długookresowej równowagi. Isnieje wówczas ryzyko popełnienia du- ych bł dów, je eli prognozujemy na podsawie modeli adapacyjnych w okolicach momenów zwronych. Przykładowo, prognozuj c ceny ywca wieprzowego w czerwcu 2009 roku (por. rysunek 4.1.1) na podsawie modelu adapacyjnego (model Winersa byłby rekomendowany) prognoza na 12 miesi c naprzód przekroczyłaby zapewne poziom 5,50 zł/kg. Dlaego prognozy wykonywane na wi cej ni 3 okresy mog charakeryzowa si bardzo du ymi bł dami. Zaem z prognosycznego punku widzenia najlepiej byłoby, aby modele z jednej srony dososowywały si do nowych informacji, ale jednocze nie zakładały z czasem powró do długookresowego rendu (do regresji). Trudno sobie bowiem wyobrazi bezusanny wzros cen surowców rolnych, bez adnych korek, bez reakcji producenów czy konsumenów na zmiany cen. Ten posula wydaj si spełnia modele auoregresji, kórych podsawow cech jes zwi - 28

30 zek funkcyjny mi dzy waro ciami zmiennej w czasie a waro ciami ej samej zmiennej w okresach poprzednich (-1, -2, ). Sanowi one podsaw dla wielu modeli przedsawionych w rozdziale 2 i 3, akich jak ARMA (auoregresji i redniej ruchomej), ARIMA (zinegrowane modele auoregresji i redniej ruchomej) czy SARIMA (zinegrowane sezonowe modele auoregresji i redniej ruchomej) Meody prognozowania na podsawie szeregów czasowych W prakyce do celów krókookresowego prognozowania cen spo ród meod ilo ciowych wykorzysuje si głównie meody prognozowania opare na szeregach czasowych. Popularno a jes wynikiem kilku wła ciwo ci, na kórych opieraj si e meody. Po pierwsze, z zało enia jedynym i wysarczaj cym ródłem informacji o przyszłym przebiegu zjawiska jes szereg czasowy zmiennej prognozowanej i jego przekszałcenia. Ma o gł bokie uzasadnienie w ogólnym swierdzeniu mówi cym, e w cenie zaware s wszyskie dos pne informacje. Tym samym nie ma konieczno ci zbierania i analizowania niezliczonej ilo ci informacji z ró nych ródeł. Po drugie, prognoza jes s dem warunkowym zn. isnieje du e prawdopodobie swo, e waro ci rzeczywise b d bliskie prognozowanym, je eli zmienne obja niaj ce w okresie ym b d zachowywały si zgodnie z naszymi zało eniami. W przypadku modeli szeregów czasowych nie musimy w ogóle przyjmowa zało e co do waro ci zmiennych obja niaj cych. S one albo dane (np. czas), albo opieramy si na przeszłych obserwacjach. Po rzecie, jak pokazuje do wiadczenie, prognozy akie nie s gorsze od prognoz uzyskiwanych w oparciu o bardziej skomplikowane modele. W wielu przypadkach wysarczaj ca jes odpowied na pyanie, jak si sanie, a nie dlaczego ak si sanie. Poni ej przedsawimy kilka mo liwych podej, w kórych prognoza budowana jes na podsawie ylko i wył cznie hisorycznych informacji. Formułowane prognozy mog mie zarówno charaker ilo ciowy, jak i jako ciowy. Isone jes wskazanie meod, kóre umo liwiaj formułowanie krókookresowych prognoz, na podsawie kórych uczesnicy rynku (producenci, przewórcy czy handlowcy) b d mogli podejmowa decyzje produkcyjne i operacyjne (kiedy kupi, kiedy sprzeda ). Podsaw dla wyboru meod jes zawsze idenyfikacja prawidłowo ci (elemenów składowych szeregu czasowego) poprzez ocen meryoryczn, gra- 29

31 ficzn czy saysyczn. Pomiar ych prawidłowo ci nie jes konieczny do wyznaczenia prognozy, ale pozwala lepiej zrozumie zjawisko i w efekcie ko cowym dokona meryorycznej oceny modelu czy realno ci obliczonych prognoz. Do wiadczenie auorów jak i wiele bada wskazuj, e szeregi czasowe cen surowców rolnych charakeryzuj si zło on srukur i zawieraj wszyskie przedsawione wcze niej składowe, j. rend, wahania cykliczne, sezonowe i przypadkowe. Zaem meody powinny pozwoli akie prawidłowo ci uchwyci oraz umo liwi ich eksrapolacj poza prób poprzez zasosowanie bardziej lub mniej formalnego podej cia. Maj c na wzgl dzie cel opracowania, przedsawiono w nim zarówno prose, jak i bardziej skomplikowane podej cia do prognozowania na podsawie szeregów czasowych. Z ego uj cia b d mogły skorzysa zarówno osoby posiadaj ce relaywnie niewielk wiedz z zakresu saysyki i ekonomerii, jak równie analiycy dysponuj cy szersz wiedz w ym zakresie. Sposoby uzyskania prognoz na podsawie szeregu czasowego zaprezenowano na rysunku Podej cie o charakeryzuje si du ym sopniem swobody w zale no ci od wiedzy prognosy, jak i srukury szeregu czasowego. Pozwala na zasosowanie równie innych modeli ni sugerowane uaj. Niemniej jednak nale y pami a, e dobór meody powinien uwzgl dnia srukur szeregu czasowego, j. prawidłowo ci w nim wys puj ce. Najczciej prognozy s obliczane bezpo rednio na podsawie szeregów czasowych (danych wej ciowych). Dane akie mog podlega pewnym przekszałceniom (logarymowanie, ró nicowanie) jednak akie modyfikacje wchodz w zakres sosowanej meody. Do prognozowania mo na sosowa szerok gam meod i modeli. Najbardziej ogólnym podej ciem do prognozowania szeregów czasowych jes zasosowanie zinegrowanych modeli auoregresji i rednich ruchomych (ARIMA) [Box, Jenkins 1983]. Omówiono je szerzej w kolejnym rozdziale. Proponujemy je, poniewa sanowi bardzo szerok klas modeli i cz so inne modele sanowi pewien przypadek modelu ARIMA. Modele ARIMA zosały przedsawione kilkadziesi la emu, a pełne mo liwo ci ich wykorzysania pojawiły si wraz z rozwojem echnik kompuerowych. Modele ARIMA mog by rozszerzone o dodakowe zmienne, za pomoc kórych mo emy uwzgl dni pewne specyficzne charakerysyki szeregów czasowych lub wpływ innych zmiennych. W naszym badaniach nie brali my pod uwag wpływu zmiennych innych ni zmienna prognozowana i ograniczyli my si do uwzgl dniania jedynie obserwacji odsaj cych, efeku wi ruchomych, liczby dni roboczych czy sezonowo ci. Modele e nazywamy modelami RegARIMA lub ARIMAX. 30

32 Rysunek Schema prognozowania cen surowców rolnych na podsawie szeregów czasowych Szereg czasowy Y = T +C +S +I Bezpo rednie prognozowanie cen np. meodami: SARIMA, RegARIMA, Wyodr bnienie i eliminacja waha sezonowych (Y -S ): meoda np. Census I, X-12-ARIMA, TRAMO/SEATS. Dodakowo mo na skorygowa wpływ waro ci odsaj cych Prognoza szeregu skorygowanego z waha sezonowych: np. me. ARIMA oraz uwzgl dnienie S Oszacowanie rendu i jego eliminacja: Y -(S +T ) Prognoza danych bez rendu i sezonowo ci: np. me. ARIMA, me. Fouriera, nas pnie uwzgl dnienie prognozy T oraz S Wygładzenie waha cyklicznych: np. filry Hendersona dos pne w ramach meody X-11 Prognoza składnika cyklicznego w oparciu o znajomo mechanizmu ekonomicznego: analogie do poprzednich cykli, wykorzysanie innych informacji (np. zmienne wyprzedzaj ce), Wyznaczenie prognozy ko cowej jako sumy prognoz cz skowych: rendu, sezonowo ci i waha cyklicznych. ródło: opracowano na podsawie [Hamulczuk, Sa ko 2009]. Z drugiej srony prognoza mo e by wyliczana w drodze procedury wielosopniowej, co nosi nazw meody wska ników lub dekompozycji. Dekompozycja szeregu czasowego i prognozowanie w oparciu o wyodr bnione elemeny jes jedn z procedur prognozowania zjawisk charakeryzuj cych si periodycznymi zmianami. Mimo e nie zawsze spełnia wymagania z punku widzenia eorii saysyki i predykcji, o znajduje zasosowanie w prakyce gospodarczej. Musimy jednak pami a, e prakyka prognozowania cen opiera si na prosych meodach ilo ciowych i przede wszyskim na podsawie meod jako ciowych (opinie, eksperyzy indywidualne i zespołowe). Niniejsze opracowanie ma na celu pokazanie równie innych sposobów. 31

33 W ramach meody wska ników mo na wykorzysa wiele meod, kórych celem jes oszacowanie wska ników sezonowych, wyodr bnienie rendu czy waha cyklicznych. Niekoniecznie procedura dekompozycji musi by pełna, ak jak o zaprezenowano w podrozdziale 1.2. W ramach dekompozycji mo na ograniczy si do wyodr bnienia i eliminacji waha sezonowych. Nas pnie nale y uzyska prognoz szeregu czasowego bez waha sezonowych. Do oszacowania składnika sezonowego mo na zasosowa prosy sposób przedsawiony w podrozdziale 1.2 lub wielosopniowe meody korekcji sezonowej X-12-ARIMA czy TRAMO/SEAT [Grudkowska, Pa nicka 2007]. Ich wykorzysanie wynika z konieczno ci uwzgl dnienia zmiennego ypu sezonowo ci oraz koreky ze wzgl du na obserwacje odsaj ce. Udoskonalane sposoby oszacowania i eliminacji składnika sezonowego sprawiły, e pos powanie opare na akim sposobie eliminacji sezonowo ci sało si sandardem w wielu krajowych urz dach saysycznych. Nale y jednak pami a, e wyniki uzyskiwane przy szacowaniu zale od długo ci przyj ych rednich ruchomych oraz sosowanych korek ze wzgl du na waro ci odsaj ce. Do prognozowania szeregu skorygowanego sezonowo wykorzysuje si najczciej modele ARIMA [Box, Jenkins 1983]. Osaeczna prognoza b dzie równa prognozie cz skowej szeregu skorygowanego sezonowo plus składnik sezonowy. Waro ci składnika sezonowego dla okresów przyszłych mo na eksrapolowa lub pozosawi na poziomie osaniego roku (wahania sezonowe s zmienne, ale zmiany e w krókim okresie s niewielkie). Składnika przypadkowego nie uwzgl dnia si, o ile ma on charaker losowy. Desezonalizacj mo emy dodakowo rozszerzy o wyodr bnienie rendu za pomoc np. liniowej lub wykładniczej linii rendu. Jes zasadne wówczas, gdy zjawisko podlega deerminisycznego rendowi w długim okresie od kórego (jako poziomu pewnej równowagi) nas puj pewne odchylenia w gór i w dół. Rozdzielanie rendu od waha cyklicznych budzi najwi cej konrowersji w ród saysyków z uwagi na o, e s o elemeny silnie powi zane i w zale no ci od ilo ci posiadanych danych uzyskuje si znacz co ró ne oszacowania rendu. W prakyce gospodarczej wys puj bowiem cykle o ró nej długo ci, pozosaj c wobec siebie w okre lonej relacji. Krzywa cyklu dłu szego jes rendem cyklu krószego (ni szego rz du). Generalnie najczciej proponuje si (z uwagi na mo liwo pó niejszej eksrapolacji poza prób ) w miar prosy rend analiyczny (liniowy, wykładniczy). Orzymuje si wówczas szereg skorygowany z waha sezonowych i rendu. Najczciej zawiera on wahania cykliczne i przypadkowe. Cz so jes o ju szereg sacjonarny, do prognozowania kórego mo emy zasosowa np. model 32

34 auoregresji czy model ARMA. Oczywi cie mo liwo ci jes uaj znacznie wi cej, ale my skupiamy si na modelach, kóre opisujemy w dalszej czci opracowania i kóre sały si pewnym sandardem prognosycznym. Aby obliczy osaeczn prognoz nale ałoby: dokona eksrapolacji rendu, uwzgl dni wahania sezonowe oraz prognoz cz skow szeregu czasowego powsałego po eliminacji rendu i sezonowo ci. Pełna dekompozycja szeregu czasowego wi załaby si z wyodr bnieniem wszyskich elemenów. Jej idea zosała opisana w podrozdziale 1.2. Przy czym je eli celem dekompozycji jes pó niejsze prognozowanie szeregu czasowego, o nale ałoby zmieni sposób szacowania waha cyklicznych. W sosowanym am podej ciu wahania cykliczne s skrócone o pół roku na pocz ku i na ko cu szeregu czasowego. Zamias opierania si na prosych rednich ruchomych, mo na wykorzysa inne filry, np. filry Hendersona sanowi ce elemen meody X-11 (obliczenie ich ma charaker auomayczny przy korzysaniu np. z oprogramowania DEMETRA czy Grel). Długo filra wygładzania mo emy przyj na akim poziomie, aby składnik przypadkowy charakeryzował si losowymi wła ciwo ciami. Prognozowanie w ym przypadku jes najmniej formalnym uj ciem i daje mo liwo ci analiykom wykorzysania swojej wiedzy. Osaeczna prognoza sanowi wówczas sum prognoz cz skowych: eksrapolacji rendu oraz uwzgl dnienia waha sezonowych i cyklicznych dla prognozowanego okresu. W ym przypadku prognoza składnika cyklicznego ma najczciej nieformalny charaker. Podsaw akiej prognozy jes znajomo mechanizmu rozwojowego lecego u podsaw zw. cykli owarowych (specjalnych). Mo na powiedzie, e szacunek (prognoz ) waha cyklicznych na okresy przyszłe opieramy na wielu czynnikach jednocze nie: analogiach co do kszału poprzednich cykli, w oparciu o ewenualne kszałowanie si zmiennych wyprzedzaj cych, kórych zmiany wcze niej mog informowa nas o ym, co si mo e wydarzy w przyszło ci, na podsawie informacji rynkowej z ró nych ródeł. Ison rol odgrywa uaj prognosa dokonuj cy selekcji czynników i oceniaj cy ich wa no. 33

35

36 2. Meodologia ARIMA W niniejszym opracowaniu posługujemy si nazw ogóln ARIMA, kóra sanowi skró od modeli znanych jako zinegrowane modele auoregresji i redniej ruchomej (Inegraed AuoRegressive and Moving Average models). W ramach ej nazwy b dziemy rozparywali zarówno modele danych sacjonarnych, jak i niesacjonarnych, modele niesezonowe, jak i sezonowe. W lieraurze mo emy je spoka równie pod nazw modeli Boxa-Jenkinsa, od nazwisk pomysłodawców akiego uj cia zjawisk: George a Boxa i Gwilyma Jenkinsa [1983]. Meodyka pos powania obejmuje idenyfikacj modelu, esymacj paramerów i ocen modelu oraz prognozowanie. Je eli w fazie oceny modelu oka e si, e nie spełnia on wymaganych warunków (isono paramerów, wła ciwy rozkład składnika losowego), wówczas nale y powróci do punku pocz kowego i na nowo okre li paramery modelu. Pomimo zale modeli ARIMA, ko cowy wynik zale y od auomayzacji procedury, ws pnych zało e a priori oraz od do wiadczenia prognosy. S d e ró ne osoby, wykonuj c prognoz dla ego samego zjawiska, mog wybra ró ne modele i orzyma ró ne prognozy (chocia cz so prognozy dla konkurencyjnych modeli s zbli one). Jedn z wad ych modeli jes wymagana minimalna długo szeregów czasowych niezb dna do prawidłowego oszacowania paramerów. Box i Jenkins [1983] zalecaj, eby szereg czasowy zawierał co najmniej 50 obserwacji dla modeli niesezonowych, a dla sezonowych znacznie wi cej. Przykładowo w Tramo/Seas oraz X-12-ARIMA zaleca si, aby szereg czasowy zawierał co najmniej siedem la [ESS Guideline 2009]. Jes mo liwe prognozowanie równie na podsawie krószych szeregów czasowych, jednak e im mniejsza liczba obserwacji, ym zmniejsza si pewno oszacowania prawidłowych paramerów Modele ARIMA Modele klasy ARIMA s sosowane do prognozowania ró nych zjawisk: zarówno charakeryzuj cych si sałym poziomem (sacjonarnych), endencj rozwojow, wahaniami cyklicznymi oraz wahaniami sezonowymi. Modele e maj du e mo liwo ci ujmowania ró nych aspeków dynamiki zjawisk gospodarczych, co powoduje, e sanowi mog dobre narz dzie budowy krókookresowych prognoz wielu zjawisk. Wiele z isniej cych modeli prognosycznych mo na przedsawi w noacji ARIMA. 35

37 Procesy sacjonarnych szeregów czasowych Modele ARIMA nale do meod prognozowania szeregów czasowych. Szereg czasowy jes zbiorem zmiennych losowych (Y ). Tak uporz dkowane zmienne losowe nazywamy procesem sochasycznym {Y }. Podsawowe modele auoregresji i redniej ruchomej opisuj zw. szeregi (procesy) sacjonarne. Procesy mog by sacjonarne w wszym lub szerszym sensie. Proces sochasyczny jes sacjonarny w szerszym sensie, je eli wielowymiarowy rozkład prawdopodobie swa (ł czne i warunkowe rozkłady prawdopodobie swa) nie zmienia si w czasie. Dla celów prakycznych wygodniej jes posługiwa si definicj sacjonarno ci w wszym sensie. Proces sochasyczny jes słabo sacjonarny, je eli spełnia równocze nie rzy nas puj ce warunki [Box, Jenkins 1983]: Waro oczekiwana ( rednia) jes sała w czasie: E(Y ) = cons, Wariancja jes sała w czasie: Var(Y ) = cons, Kowariancja nie ulega zmianom w czasie: Cov(Y, Y -i ) = i. Innymi słowy, procesy sacjonarne charakeryzuj si ym, e maj sał wariancj, a ich waro ci w poszczególnych momenach kszałuj si wokół wzgl dnie sałego poziomu ( redniej). Z kolei waro kowariancji nie zale y od czasu, lecz wył cznie od ods pu pomi dzy dwoma momenami obserwacji. Szczególnym rodzajem procesu sacjonarnego jes proces białego szumu. W jego przypadku rednia procesu jes równa zero, wariancja jes sała w czasie, naomias kowariancja mi dzy obserwacjami z okresu oraz -i jes równa zero. Jes o jednoznaczne z brakiem isonych zale no ci auokorelacyjnych. Takimi własno ciami powinny charakeryzowa si reszy modeli klasy ARIMA, kóre s oznaczane jako e. Do opisu sacjonarnych szeregów czasowych prakyczne zasosowanie znajduj : modele auoregresji (AR), modele redniej ruchomej (MA), mieszane modele auoregresji i redniej ruchomej (ARMA). Model auoregresji W wielu przypadkach opis badanej rzeczywiso ci mo liwy jes dzi ki zało eniu, e bieca waro zmiennej zale y od jej przeszłych realizacji. Taki opis zjawiska mo na przedsawi w posaci liniowego modelu auoregresji (AR auoregressive model): AR: Y = φ 0 + φ1y 1 + φ2y φ py p + ε, (2.1) 36

38 gdzie: Y -1, Y -2 Y -p waro zmiennej prognozowanej odpowiednio w okresie -1, -2,, -p, p rz d auoregresji oznaczaj cy maksymalne opó nienie zmiennej obja nianej, φ0 φ 1... φ p paramery modelu auoregresyjnego, ε bł dy modelu, zw. biały szum. Model dany wzorem (2.1) mo emy zapisa równie sosuj c inne formy. Na przykład mo emy zapis skróci do nas puj cej posaci: p Y = φ 0 + φiy i + ε. (2.2) i= 1 Inn, cz so sosowan w prakyce mo liwo ci jes posługiwanie si we wzorach operaorami przesuni cia wsecz (B backshif operaor, lag operaor). Przykładowo zamias u ywa Y -1 piszemy BY. Z kolei zamias Y -2 u ywamy oznaczenia B 2 Y, gdy BBY =B 2 Y. Zaem operaor B podniesiony do po gi i przesuwa subskryp o i okresów wsecz: i B Y = Y i. (2.3) S d przykładowo model AR rz du p mo na przedsawi w posaci: Y = φ0 + φ1y 1 + φ2y φ py p + ε 2 p (2.4) = φ + φ BY + φ B Y φ B Y + ε Przenosz c na lew sron równania Y i sosuj c oznaczenie φ(b) dla wielomianu opó nie dla czci auoregresyjnej: 1 φ B φ B 2... φ B 1 2 p p orzymujemy: Y φ Y φ Y... φ Y = φ + ε (1 φ1b φ2b... φ pb φ( B) Y = φ + ε 0 p p p p ) Y 0 = φ0 + ε. (2.5) Model redniej ruchomej Proces redniej ruchomej (MA moving average) jes uzyskiwany według nas puj cego modelu: Y = θ 0 + ε + θ1ε 1 + θ 2ε θ qε q, (2.6) gdzie: q rz d redniej ruchomej oznaczaj cy maksymalne jej opó nienie, 0, 1 q paramery modelu redniej ruchomej, 37

39 38 pozosałe oznaczenia jak wy ej. Równie 2.6 mo na zapisa w posaci syneycznej: q i i i Y ε θ ε θ + + = = 1 0. (2.7) Aby zasosowa operaory przesuni cia, wsecz model MA(q) mo emy przekszałci analogicznie jak o miało miejsce w przypadku modelu AR(p), sosuj c do ego wielomian opó nienia dla redniej ruchomej q q B B B B θ θ θ θ =... 1 ) ( S d orzymujemy: + = = = = q q q q q q B B B B B B B Y ε θ θ ε θ θ θ θ ε θ ε θ ε θ ε θ ε θ ε θ ε θ ε θ ) ( )... ( (2.8) Modele auoregresji i redniej ruchomej W modelach ARMA(p,q) waro zmiennej prognozowanej w okresie zale e mo e od jej przeszłych waro ci oraz ró nicy mi dzy przeszłymi waro- ciami rzeczywisymi zmiennej prognozowanej a jej waro ciami uzyskanymi z modelu (bł dów prognoz). Innymi słowy, sanowi o poł czenie modelu AR(p) z modelem MA(q). Zapis modelu dla szeregu czasowego sacjonarnego jes nas puj cy [Box, Jenkins 1983]: p p e Y Y Y Y = φ φ φ φ q q e e e θ θ θ , (2.9) gdzie: oznaczenia jak wy ej. Inne zapisy modelu ARMA(p,q) s nas puj ce: = = = q i i i p i i i e e Y Y θ φ φ, (2.10). ) ( ) ( 0 e B Y B θ φ φ + = (2.11) Uzale nienie biecego poziomu zjawiska od przeszłych obserwacji oraz przeszłych bł dów prognoz zmniejsza liczb wykorzysywanych paramerów w porównaniu do czysych modeli auoregresyjnych. S d bezsprzeczn zale modeli ARMA(p,q) jes oszcz dno paramerów.

40 Procesy niesacjonarnych i sezonowych szeregów czasowych W modelach ARMA(p,q) zakłada si sacjonarno szeregu zmiennej prognozowanej. W przypadku jej braku, nale y doprowadzi szereg czasowy do sacjonarno ci. W najprosszym uj ciu uzyskanie sacjonarnego szeregu wi załoby si z eliminacj rendu deerminisycznego (poprzez odj cie od danych waro ci oszacowanych na podsawie dopasowanej do danych linii rendu). Pos powanie akie jes zasadne wówczas, gdy wahania wokół akiej linii maj charaker sacjonarny. Takie szeregi okre la si mianem rendosacjonarnych. Mówimy, e aki szereg czasowy jes niesacjonarny w zakresie redniej [Gruszczy ski i inni 2009]. Nie zawsze jednak szereg czasowy ma aki charaker. W wielu przypadkach szeregi czasowe s przyrososacjonarne, z czym wie si uznanie szeregów za niesacjonarne w zakresie ich wariancji. Oznacza o, e wła ciwym sposobem eliminacji rendu (doprowadzenia do sacjonarno ci) jes poddanie szeregu czasowego ró nicowaniu. Polega o na d-kronym obliczaniu ró nic s siednich wyrazów szeregu a do momenu osi gni cia sacjonarno ci. Do zapisu akiej operacji wykorzysujemy zw. operaor ró nicowania (differencing operaor), definiowany jako ΔY = Y Y = (1 B) Y. Sanowi o klasyczne podej cie 1 Box-Jenkinsa do modelowania szeregów czasowych. Modele ARIMA Modele prognosyczne, kóre oparo na danych ró nicowanych nosz nazw zinegrowanych modeli auoregresji i redniej ruchomej. Mog by zapisane przy pomocy noacji ARIMA(p,d,q), gdzie p oznacza rz d auoregresji, d krono ró nicowania, q wielko opó nienia redniej ruchomej. Przykładowo model ARIMA(2,1,1) oznacza, e do zró nicowanego z krokiem pierwszym szeregu czasowego zmiennej Y dopasowano model ARMA(2,1). Mo na o zapisa jako: ΔY 0 + 1( Y 1 Y 2) + 2( Y 2 Y 3) = φ φ φ ε θ ε. (2.12) Równie w ym przypadku dosy cz so posługujemy si zapisem z wykorzysaniem operaorów ró nicowania oraz operaorów opó nie. Isnieje pomi dzy nimi zale no: ΔY = Y Y = Y BY = (1 B) Y. Z ego wynika,. Pozwala o nam zapisa d-kronie zró nicowa- d e Δ = ( 1 B), za Δ = ( 1 B) ny szereg czasowy jako: d 1 d d Δ Y = ( 1 B) Y. (2.13) Zaem model ARIMA(p,d,q) mo na zapisa w zwi złej posaci: 39

41 d φ ( B)(1 B) Y = φ0 + θ ( B) ε. (2.14) Przykładowo model ARIMA(2,1,1) zapiszemy jako: Modele SARIMA ( φ B φ B )(1 B) Y = φ + (1 θ B) ε. Je eli zjawisko charakeryzuje si sezonowo ci, nale y wówczas model rozszerzy o paramery sezonowe. Modele akie okre la si cz so modelami SARMA (dla sacjonarnych szeregów czasowych) oraz SARIMA (dla niesacjonarnych szeregów czasowych). Ten osani model mo e by opisany za pomoc noacji: SARIMA(p,d,q)(P,D,Q) S, gdzie P, D, Q oznaczaj odpowiednio: rz d auoregresji, ró nicowania i opó nienia redniej ruchomej sezonowej czci modelu. Waro parameru S wskazuje na liczb okresów w roku, np. dla danych miesi cznych S=12. Y gdzie: Sacjonarny proces SARMA(p,q)(P,Q) S zapiszemy jako: = φ 0 + φ1y 1 + φ 2Y φ py p + Φ1Y S + Φ 2Y 2S Φ PY PS + ε + θ ε + θ ε θ ε + Θ ε + Θ ε Θ ε q q 1 S 2 S Q QS, (2.15) Φ i Θ oznaczaj sezonowe paramery czci odpowiednio: auoregresyjnej i redniej ruchomej. Niesacjonarno szeregu czasowego mo e równie wynika z faku wys powania wyra nej sezonowo ci. W celu doprowadzenia szeregu czasowego do sacjonarno ci dokonuje si D-kronego ró nicowania z krokiem sezonowym. Polega o na obliczaniu ró nic mi dzy waro ciami szeregu czasowego pochodz cymi z analogicznych sezonów s siednich la. Równie uaj posługujemy si sezonowymi operaorami ró nicowymi: Δ Y. (2.16) S S SY = Y Y S = Y B Y = ( 1 B ) Niesacjonarno mo e e by efekem zarówno wys powania rendu, jak i waha sezonowych. Szereg czasowy zró nicowany z krokiem sezonowym i niesezonowym zapiszemy jako iloczyn dwóch operaorów (1-B) d (1-B S ) D Y. S d ogólny zapis modelu SARIMA(p,d,q)(P,D,Q) S jes nas puj cy: S d S D S φ ( B) ( B )(1 B) (1 B ) Y = φ0 + θ ( B) Θ( B ) Φ ε (2.17) S S gdzie: Φ ( B ), Θ ( B ) s wielomianami opó nie dla czci sezonowej. Przykładowo model SARIMA(2,1,1)(0,1,1) 12 zapiszemy jako: 12 (1 φ B ) ε B φ1b )(1 B)(1 B ) Y = φ0 + (1 + θ1b)(1 + Θ1 40

42 2.2. Idenyfikacja modeli ARIMA Idenyfikacja modelu obejmuje ocen sacjonarno ci szeregu czasowego, okre lenie przekszałce szeregu czasowego niezb dnych do uzyskania najlepszych wła ciwo ci modelu oraz wskazanie liczby paramerów (opó nie ) auoregresyjnych i redniej ruchomej sezonowej i niesezonowej czci modelu. Ocena graficzna Procedura idenyfikacji rozpoczyna si od analizy graficznej szeregu czasowego celem ws pnego swierdzenia wys puj cych prawidłowo ci. Chodzi głównie o swierdzenie srukury szeregu czasowego (rend, sezonowo) oraz sało ci wariancji w czasie (zale no ci addyywne czy muliplikaywne). To deerminuje dobór odpowiednich modeli oraz poencjalne przekszałcenia danych. Rysunek Szeregi czasowe cen skupu mleka w Polsce oraz ich pierwszych przyrosów (d_mleko) ródło: opracowanie własne. Przekszałcenia Je eli srukura szeregu czasowego ma charaker muliplikaywny (przy wy szym poziomie zjawiska ampliudy waha s wi ksze), nale y zasanowi si nad przekszałceniem danych. Ich celem jes usabilizowanie wariancji [Lükepohl, Kräzig 2007; Makridakis i inni 1998]. Najczciej sosowanym przekszałceniem jes logarymowanie danych (logarym nauralny) lub ransformacja Boxa-Cooka. Przykładowo na rysunku przedsawiono ceny mleka w Polsce (lewa srona) i ich pierwsze ró nice (prawa srona). Widzimy, e wariancja obydwu szeregów czasowych ulega zwi kszeniu w czasie, co sugerowa mo e konieczno ransformacji szeregu czasowego w celu wyrównania jego wariancji. 41

43 Rysunek Szeregi czasowe logarymów cen mleka (l_mleko) oraz logarymów cen zró nicowanych z: krokiem pierwszym (d_l_mleko), z krokiem sezonowym (sd_l_mleko) oraz z krokiem pierwszym i sezonowym (sd_d_l_mleko) ródło: opracowanie własne. Logarymowanie szeregu czasowego (rysunek 2.2.2) spowodowało wyrównanie wariacji w czasie. Doyczy o zarówno wyj ciowego szeregu czasowego (l_mleko), jak i szeregów zró nicowanych: z krokiem pierwszym (d_l_mleko), z krokiem sezonowym (sd_l_mleko) oraz z krokiem pierwszym i sezonowym (sd_d_l_mleko). Wskazuje o, e lepszym rozwi zaniem jes oparcie modelu na logarymowanym szeregu czasowym (lny ) ni na szeregu czasowym poziomu cen (Y ) Ocena sacjonarno ci Oceniaj c sacjonarno szeregów czasowych, mo emy skorzysa zarówno z oceny graficznej szeregu czasowego, analizy graficznej funkcji auokorelacji i auokorelacji cz skowej (korelogramów), jak i wykorzysa esy saysyczne. Analiza graficzna szeregu czasowego sprowadza si do oceny, czy zjawisko w dłu szym okresie ma endencj do zmiany swojej waro ci oczekiwanej. Zaem je eli kszałuje si pod wpływem endencji rozwojowej, o przyj 42

44 mo na, e jes o szereg niesacjonarny. Przykładem jes szereg czasowy nominalnych cen mleka (i jego logarymów), gdzie zauwa y mo na, i ceny w długim okresie charakeryzuj si endencj rozwojow. Niesacjonarno mo e wynika równie z isnienia waha sezonowych, na co wskazuj sabilne sezonowe cykle. W prakyce jednoznaczne okre lenie ypu niesacjonarno ci jes dyskusyjne. Naomias sam wybór sposobu usuni cia rendu jes wa ny i dosy isonie wpływa na wyniki analizy i prognozowania. Mianowicie, je eli zało ymy zmiany cen wokół rendu deerminisycznego, o rend aki sanowi pewien san równowagi, do kórego ceny zmierzaj w długim okresie. Z kolei zało enie rendu sochasycznego powoduje, e ceny mog znacznie odbiega od poziomu rendu długookresowego i nie wracaj do niego. Logika wskazuje, e miesi czne ceny surowców rolnych kszałuj si raczej wokół rendu deerminisycznego, odchylaj c si od niego w dół i w gór. Innym sposobem sosowanym przez prakyków jes analiza waro ci współczynników funkcji auokorelacji (ACF) i funkcji auokorelacji cz skowej (PACF). Współczynniki auokorelacji obrazuj zale no ci korelacyjne wewn rz szeregu czasowego. ACF ( r k ) jes miar korelacji szeregu czasowego z nim samym, ale opó nionym o k okresów. Waro współczynnika obliczana jes ze wzoru: r k = n = k + 1 n ( Y Y )( Y = 1 k 2 ( Y Y ) Y ). (2.18) Współczynniki funkcji auokorelacji cz skowej PACF oznaczane s jako (r j ). Auokorelacja cz skowa jes podobna do auokorelacji, ale dosarcza czysszego obrazu zale no ci dla poszczególnych opó nie. Współczynnik en słu y do oceny sopnia powi za pomi dzy waro ciami szeregu czasowego w chwili, a ym samym szeregiem czasowym, ale opó nionym o k okresów w przypadku, gdy efek wcze niejszych opó nie zosał wyeliminowany. Idea jes podobna do współczynników korelacji cz skowej. Je eli współczynniki funkcji auokorelacji (ACF) bardzo powoli si zmniejszaj, za współczynniki funkcji auokorelacji cz skowej (PACF) s wysokie (bliskie jedno ci) dla pierwszego opó nienia, a pó niej szybko saj si nieisone saysycznie, o wówczas mo na przyj, e szereg czasowy jes niesacjonarny. W przypadku sacjonarnych szeregów czasowych ACF szybko (wykładniczo, po kilku pierwszych okresach lub w formie sinusoidalnej) przyjmuje waro ci bliskie zeru. 43

45 Rysunek Wykresy auokorelacji (ACF) i auokorelacji cz skowej (PACF) szeregów czasowych logarymów cen mleka i ich ró nic (pierwszych d, sezonowych, s oraz pierwszych i sezonowych s,d) ródło: opracowanie własne. Dla szeregu czasowego logarymów cen mleka z rysunku w programie GRETL obliczono współczynniki ACF i PACF. Przedsawiono je na rysunku Zauwa y mo na, e szereg czasowy l_mleko jes niesacjonarny. Je- eli uznamy szereg czasowy za niesacjonarny, o nale y doprowadzi go do sacjonarno ci. Najczciej polega o na zasosowaniu operacji ró nicowania. Przy czym ró nicowa mo na z krokiem pierwszym (ró nice mi dzy s siednimi obserwacjami) i/lub krokiem sezonowym (ró nice mi dzy analogicznymi okresami w s siednich laach). Decyzja co do ró nicowania sezonowego nie jes prosa generalnie w przypadku wyra nej sezonowo ci nale y o zrobi, za w przypadku, gdy sezonowo jes nieznaczna, wysarczy ylko uwzgl dni opó nienia sezonowe. Zró nicowanie z krokiem pierwszym spowodowało wyeliminowanie rendu (szereg czasowy d_l_mleko, rysunek 2.2.2). Jednak sinusoidalne zachowanie ACF (sinusoidy nie s łumione) orzymanego szeregu czasowego z mak- 44

46 symalnymi wielko ciami sanowi cymi krono cyklu sezonowego wskazywa mo e na niesacjonarno z uwagi na wahania sezonowe. S d w kolejnym kroku dokonano ró nicowania zarówno z krokiem pierwszym, jak i sezonowym (sd_d_l_mleko). Szereg en na pewno jes sacjonarny. Naomias mo liwe jes równie przeró nicowanie danych wykonanie za du ej liczby ró nicowa. Mo na e wyj od sezonowego ró nicowania najpierw spróbowa przekszałci dane, obliczaj c ró nice mi dzy obserwacjami pochodz cymi z analogicznych okresów w kolejnych laach. Wykresy ACF (malej cy wykładniczo) i PACF (urywaj cy si po dwóch okresach) wskazuj, e szereg czasowych sezonowych ró nic logarymów cen (sd_l_ceny) mo e by uznany za bliski sacjonarnemu (jes o subiekywna ocena). W ród esów saysycznych słucych ocenie sacjonarno ci wyró nia si mi dzy innymi: es Dickeya-Fullera (DF i ADF), es Dickeya, Haszy i Fullera (DHF do esowania sezonowej inegracji) czy es KPSS (Kwiakowskiego, Phillipsa, Schmida i Shina). Spo ród nich najczciej sosuje si esy pierwiaska jednoskowego Dickeya-Fullera [Maddala 2006; Kufel 2007]. Z uwagi na o, e szeregi czasowe charakeryzuj si auokorelacj, prakycznie posługujemy si rozszerzonymi esami Dickeya-Fullera na pierwiasek jednoskowy (ADF). W równaniach esuj cych przyrosy zmiennej s funkcj opó nionej zmiennej oraz (ewenualnie) zmiennych deerminisycznych. Dodakowo do równa wł cza si opó nione pierwsze ró nice celem uwzgl dnienia wpływu auokorelacji. Maksymalne opó nienie k dobieramy jako najmniejsze opó nienie, przy kórym składnik losowy nie wykazuje auokorelacji. Nale y doda, e esy s bardzo wra liwe na liczb opó nie. W e cie ym hipoeza zerowa (H0) zakłada, e analizowany szereg czasowy jes niesacjonarny. Do weryfikacji hipoezy zerowej wykorzysujemy nas puj ce modele: model bez wyrazu wolnego: ΔY = δ Y 1 + γ 1ΔY 1 + γ 2ΔY γ kδy k + ε (2.19) model z wyrazem wolnym: ΔY = α + δy 1 + γ 1ΔY 1 + γ 2ΔY γ kδy k + ε (2.20) model z wyrazem wolnym i rendem liniowym: ΔY = α + β + δy 1 + γ 1ΔY 1 + γ 2ΔY γ kδy k + ε, (2.21) gdzie: zmienna czasowa, α 1, α 0, δ 1 - paramery modelu, 45

47 Y 1 waro ci obserwacji, ΔY = Y Y. 1 Isonie mniejsza od zera waro parameru δ wskazuje na sacjonarno szeregu czasowego (Y I(0)). Odrzucenie hipoezy zerowej ko czy procedur. Tabela Wyniki esu ADF dla logarymów cen mleka i ich pierwszych przyrosów Rozszerzony es Dickeya-Fullera dla procesu l_mleko dla opó nienia rz du 2 procesu (1-L)l_mleko liczebno próby 182 Hipoeza zerowa: wys puje pierwiasek jednosk. a=1; proces I(1) es bez wyrazu wolnego (cons) model: (1-L)y = (a-1)*y(-1) e Auokorelacja resz rz du pierwszego: -0,008 esymowana waro (a-1) wynosi: 0, Saysyka esu: au_nc(1) = 0, asympoyczna waro p = 0,9138 es z wyrazem wolnym (cons) oraz sezonowymi zmiennymi 0-1 model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) e Auokorelacja resz rz du pierwszego: 0,011 esymowana waro (a-1) wynosi: -0, Saysyka esu: au_c(1) = -1,21905 asympoyczna waro p = 0,6686 z wyrazem wolnym i rendem liniowym oraz sezonowymi zmiennymi 0-1 model: (1-L)y = b0 + b1* + (a-1)*y(-1) e Auokorelacja resz rz du pierwszego: -0,000 esymowana waro (a-1) wynosi: -0, Saysyka esu: au_c(1) = -3,33583 asympoyczna waro p = 0,06049 ródło: opracowanie własne. Rozszerzony es Dickeya-Fullera dla procesu d_l_mleko dla opó nienia rz du 2 procesu (1-L)d_l_mleko liczebno próby 181 Hipoeza zerowa: wys puje pierwiasek jednosk. a=1; proces I(1) es bez wyrazu wolnego (cons) model: (1-L)y = (a-1)*y(-1) e Auokorelacja resz rz du pierwszego: -0,003 esymowana waro (a-1) wynosi: -0, Saysyka esu: au_nc(1) = -6,26694 asympoyczna waro p = 1,093e-009 es z wyrazem wolnym (cons) oraz sezonowymi zmiennymi 0-1 model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) e Auokorelacja resz rz du pierwszego: 0,012 esymowana waro (a-1) wynosi: -0, Saysyka esu: au_c(1) = -4,76577 asympoyczna waro p = 6,003e-005 z wyrazem wolnym i rendem liniowym oraz sezonowymi zmiennymi 0-1 model: (1-L)y = b0 + b1* + (a-1)*y(-1) e Auokorelacja resz rz du pierwszego: 0,012 esymowana waro (a-1) wynosi: -0, Saysyka esu: au_c(1) = -4,74346 asympoyczna waro p = 0, Je eli nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej, wnioskuje si, e szereg jes szeregiem niesacjonarnym naomias nie wiemy, w jakim sopniu szereg czasowy jes zinegrowany. Wiemy ylko, e szereg jes zinegrowany co najmniej w sopniu pierwszym Y I(1)), na co wskazuje równy zeru współczynnik δ soj cy przy opó nionej zmiennej. Wówczas cał procedur esowania nale y powórzy dla szeregu pierwszych ró nic. Za zmienn Y przyjmuje si Δ Y, a za zmienn ΔY 1 drugie ró nice, j. ΔΔY i = ΔY i ΔY i 1. Je eli pierwsze ró nice oka si sacjonarne (H0 zosanie odrzucona), o wówczas mamy podsawy aby przypuszcza, e szereg jes zinegrowany w sopniu pierwszym. 46

48 Niesey, nie ma jednoznacznych kryeriów wyboru równa esowych. W prakyce najczciej sosujemy drugie i rzecie równanie równocze nie. Pozwala o nam w przybli eniu oceni yp niesacjonarno ci. Je eli nie odrzucimy H0 w drugim równaniu, a zrobimy o dla równania rzeciego, o nale y s dzi, e badany szereg czasowy jes rendosacjonarny. Przykładowo, zasosowanie rozszerzonego esu Dickeya-Fullera z wyrazem wolnym dla szeregu czasowego logarymów cen mleka (l_mleko) i jego pierwszych ró nic (d_l_mleko) dało wyniki zamieszczone w abeli W równaniach ych zało ono wys powanie sezonowo ci oraz uwzgl dniono dwa opó nienia celem wykluczenia wpływu auokorelacji. Na brak sacjonarno- ci wskazuje bliska zeru waro wyra enia (a-1)= (równocze nie waro p>0,05). Zaem szereg czasowy logarymów cen mleka jes zinegrowany w sopniu pierwszym (brak podsaw do odrzucenia H0, p>0,05). Z kolei pierwsze ró nice cen s sacjonarne (p<0,05). Równocze nie es z wyrazem wolnym i rendem liniowym oraz sezonowymi zmiennymi 0-1 wykazał isnienie pewnego prawdopodobie swa, e szereg czasowy mo e by rendosacjonarny. Oznacza o, e wła ciwym sposobem mo e by eliminacja rendu poprzez dopasowanie funkcji liniowej. Tabela Wyniki esu ADF dla szeregów czasowych: sezonowych przyrosów logarymów cen mleka oraz pierwszych i sezonowych przyrosów logarymów cen mleka Rozszerzony es Dickeya-Fullera dla procesu sd_l_mleko dla opó nienia rz du 2 procesu (1-L)sd_l_mleko liczebno próby 170 Hipoeza zerowa: wys puje pierwiasek jednosk. a = 1; proces I(1) es bez wyrazu wolnego (cons) model: (1-L)y = (a-1)*y(-1) e Auokorelacja resz rz du pierwszego: 0,009 esymowana waro (a-1) wynosi: -0, Saysyka esu: au_nc(1) = -3,73482 asympoyczna waro p = 0,0001 es z wyrazem wolnym (cons) model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) e Auokorelacja resz rz du pierwszego: 0,007 esymowana waro (a-1) wynosi: -0, Saysyka esu: au_c(1) = -4,08007 asympoyczna waro p = 0, ródło: opracowanie własne. Tes Dickeya-Fullera dla procesu sd_d_l_mleko bez opó nie liczebno próby 171 Hipoeza zerowa: wys puje pierwiasek jednosk. a = 1; proces I(1) es bez wyrazu wolnego (cons) model: (1-L)y = (a-1)*y(-1) + e Auokorelacja resz rz du pierwszego: -0,039 esymowana waro (a-1) wynosi: -0, Saysyka esu: au_nc(1) = -5,22784 waro p 4,605e-007 es z wyrazem wolnym (cons) model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + e Auokorelacja resz rz du pierwszego: -0,039 esymowana waro (a-1) wynosi: -0, Saysyka esu: au_c(1) = -5,21231 waro p 1,576e

49 Wcze niej analizuj c rysunek sugerowali my, e szereg logarymów cen mleka mo e by niesacjonarny z uwagi na wahania sezonowe. S d zasosowano es ADF dla sezonowych ró nic logarymów cen (abela 2.2.2). Nie odrzucono hipoezy zerowej zarówno w e cie z wyrazem wolnym, jak i bez wyrazu wolnego. S d wnioskujemy, e ró nicuj c szereg czasowy ylko z krokiem sezonowym orzymujemy szereg sacjonarny. Równie szereg czasowy ró nic sezonowych i pierwszych jes szeregiem sacjonarnym. Wnioskujemy o ym na podsawie esu DF, kórego wyniki przedsawiono w prawej kolumnie abeli Idenyfikacja modelu Po swierdzeniu sacjonarno ci szeregu czasowego lub po doprowadzeniu go do sacjonarno ci nale y dokona idenyfikacji modelu. Innymi słowy, musimy zdecydowa, ile paramerów auoregresyjnych, a ile redniej ruchomej nale y wł czy, aby uzyska dobry, a jednocze nie oszcz dny (o jak najmniejszej liczbie paramerów) model. W prakyce bardzo rzadko liczby paramerów modelu przekraczaj 2-3. W prosym uj ciu (bez sezonowo ci) idenyfikacja polega na porównaniu eoreycznych funkcji auokorelacji (ACF) i auokorelacji cz skowych (PACF) odpowiednich procesów ARIMA z ich empirycznymi odpowiednikami orzymanymi na podsawie waro ci szeregu prognozowanego lub szeregu orzymanego w wyniku przekszałce (logarymowanie, ró nicowanie). W przypadku czysego procesu auoregresyjnego funkcja ACF opada wykładniczo lub ma charaker sinusoid łumionych, za funkcja PACF jes sko czona i urywa si (saje si nieisona) po ods pie p. Je eli mamy do czynienia z procesem redniej ruchomej, syuacja jes odwrona. Funkcja ACF jes sko czona, a jej isone współczynniki urywaj si po ods pie q, za funkcja PACF jes niesko czona i zdominowana przez zanikaj ce funkcje wykładnicze oraz/lub łumione sinusoidy. W przypadku modeli mieszanych mamy do czynienia z funkcjami niesko czonymi [Box, Jenkins 1983]. W wiele wcze niejszych rozwa a poencjalnie mo emy si opiera na szeregu czasowym zró nicowanym z krokiem pierwszym (d_l_mleko), z krokiem sezonowym (sd_l_mleko) oraz z krokiem pierwszym i sezonowym (sd_d_l_mleko). S o szeregi, co do kórych mo emy przypuszcza, e s sacjonarne. Taka niejasno oczywi cie nie uławia nam zadania. Gdyby my opierali si na logarymicznych cenach ró nicowanych z krokiem pierwszym, o analiza graficzna ACF i PACF dla d_l_ceny wskazuje nam model ARIMA (1,1,0)(2,0,0) 12. Z kolei maj c za podsaw szereg czasowy 48

50 sd_l_mleko, proponowanym modelem byłby ARIMA (2,0,0)(1,1,0) 12. Naomias ró nicuj c model zarówno z krokiem pierwszym, jak i sezonowym, poencjalne modele o ARIMA (1,1,0)(1,1,0) 12 lub ARIMA (1,1,0)(0,1,1) 12. Podej cie powy sze jes do efekywne w przypadku czysych modeli AR i MA. W przypadku modeli mieszanych oraz modeli z czci sezonow lieraura wskazuje, e bardziej zasadnym podej ciem jes wybór modelu na podsawie kryeriów dopasowania modelu do danych, a nas pnie ocena isono ci paramerów i rozkładu składnika reszowego. Do kryeriów ych nale- y np. kryerium informacyjne Akaike a (AIC), Schwarza (BIC) czy Hannana-Quinna (HQ) [Lükepohl, Kräzig 2007; Maddala 2006]. W lieraurze spoyka si e same kryeria (np. AIC) przyjmuj ce ró n posa, s d nie b dziemy podawali adnych wzorów 1. Generalnie zawieraj w sobie dwa komponeny: jeden opisuj cy sopie dopasowania do danych, a drugi okre laj cy sopie zło ono ci modelu (czynnik karz cy, penaly erm). Co isone, ich isoa jes zbli ona do współczynnika deerminacji skorygowanego ze wzgl du na sopnie swobody. Dzi ki odpowiednio sformułowanym wagom i funkcjom, ł cz ocen sopnia dopasowania modelu z jego proso. Chodzi o o, e dodawanie kolejnych opó nie (paramerów) daje coraz mniejszy wkład w wyja nianie zjawiska. S d nale y zachowa umiar w liczbie u yych paramerów poprzez karanie za ka dy dodakowy paramer. S d porównuj c ró ne modele powinni my wybiera e, kóre charakeryzuj si najni sz waro ci danego kryerium informacyjnego. Tabela Waro ci kryeriów informacyjnych dla wybranych modeli cen mleka Model ARIMA Kry. Akaike'a Kry. Schwarza Kry. Hannana-Quinna (1,1,0)(2,0,0) , , ,7462 (2,0,0)(1,1,0) , , ,9065 (2,0,0)(0,1,1) , , ,8899 (1,1,0)(1,1,0) , , ,4855 (1,1,0)(0,1,1) , , ,3812 ródło: opracowanie własne. Waro ci powy szych kryeriów przedsawiono w abeli Najni sze waro ci informacyjne mamy w przypadku szeregów czasowych ró nicowanych jednokronie, w ym najni sze przy ró nicowaniu niesezonowym. S d e modele s preferowane wzgl dem modeli ró nicowanych z krokiem pierwszym i se- 1 Przykładowe wzory na wybrane kryeria przedsawiono w rozdziale

51 zonowym (osanie dwa). Problem w ym, e rudno jes porównywa ze sob modele o ró nej liczbie ró nicowa. Cz so e ró ne kryeria wskazuj na odmienne opymalne modele. Oprócz wskazanych wy ej paramerów nale y zdecydowa, czy w modelu znajdzie si sała. W modelach nieró nicowanych sała zazwyczaj wys puje, w modelach jednokronie ró nicowanych mo e, ale nie musi, naomias w przypadku ró nicowania wy szego rz du w prakyce modele budowane s bez sałej Esymacja i weryfikacja modeli ARIMA Maj c zidenyfikowany model lub kilka ich propozycji, nale y dokona esymacji nieznanych paramerów auoregresji i redniej ruchomej (oraz wyrazu wolnego). Z prakycznego punku widzenia nie sanowi o adnego problemu, poniewa procedury esymacji s sandardem wi kszo ci dos pnych pakieów saysycznych. Esymacja modeli Wybór meody esymacji uzale niony jes od rodzaju modelu. Najprossza syuacja jes w przypadku modeli auoregresji. Paramery akich modeli mo na oszacowa klasyczn meod najmniejszych kwadraów, rakuj c zmienne opó nione w czasie jako zmienne obja niaj ce. Minimalizujemy wówczas sum kwadraów resz modelu. W przypadku modeli redniej ruchomej i mieszanych modeli auoregresji i redniej ruchomej do esymacji wykorzysuje si procedury ieracyjne. Jes o z reguły meoda najwi kszej wiarygodno ci (MNW), kóra mo e by opara na ró nych algorymach. Meod mo na sosowa równie do oszacowania paramerów modeli posiadaj cych ylko cze auoregresyjn. Jedn z prosszych jes warunkowa MNW opara na algorymie BHHH [Maddala 2006, s ]. Jes ona oprogramowana m.in. w ogólnie dos pnym programie saysycznym Grel (opcja warunkowa meoda najwi kszej wiarygodno ci ). W skrócie mo na napisa, e jej celem jes odnalezienie akiej kombinacji paramerów (w ym wyrazu wolnego), kóra pozwala na minimalizacj sumy kwadraów resz modelu prognoz z jednookresowym wyprzedzeniem. To, jaki algorym zosanie wybrany do esymacji modeli ma olbrzymi wpływ na waro ci oszacowywanych paramerów oraz na waro ci uzyskiwanych prognoz. Do wiadczenie auora pokazuje np., e warunkowa MNW jes mniej wra liwa rachunkowo ni wła ciwa MNW. Równie liczba ieracji i kryerium zbie no ci maj znaczenie w przypadku szacowania paramerów modelu. 50

52 Weryfikacja modeli Weryfikacja modeli ARIMA zasadniczo podobna jes do weryfikacji innych modeli ekonomerycznych. Obejmuje bowiem ocen dopasowania do danych empirycznych, analiz isono ci paramerów srukuralnych i ocen rozkładu składnika losowego. W przypadku modeli ARIMA dodakowo analizuje si sacjonarno i odwracalno modelu. Dobry model ARIMA o aki, kóry posiada isone paramery, jes sacjonarny i odwracalny oraz w kórym brak jes składnika sysemaycznego w reszach. Reszy powinny by procesem białego szumu: losowe (wokół zera), o rozkładzie normalnym oraz bez isonych auokorelacji [Evans 2003]. Cz so zdarza si, e ws pnie wyselekcjonowany model charakeryzuje si nieisonymi zmiennymi (opó nieniami). Zaem cz z nich powinna zosa usuni a. Najogólniej mo na napisa, e paramery modelu auoregresyjnego powinny by saysycznie isone nawe przy najdalszym opó nieniu. Isono zmiennych oceniamy na podsawie saysyki Z lub waro ci p (p-value). Przyjmuj c poziom isono ci 0,05 zmienne s isone wówczas, gdy waro p jes mniejsza ni 0,05. W abeli przedsawiono przykładowy wydruk (dla modelu ARIMA(1,1,0)(2,0,0) 12 najwa niejszych saysyk owarzysz cych procesowi esymacji i weryfikacji modelu. Wynika z niego, e wszyskie zmienne (współczynniki) oprócz wyrazu wolnego s saysycznie isone. Tabela Esymacja modelu ARIMA (1,1,0)(2,0,0) za pomoc WMNW wydruk programu Grel (obserwacje 1996: ; zmienna zale na: (1-L) l_mleko) Paramer Współczynnik Bł d sand. z waro p cons 0, , ,6567 0,51137 phi_1 0, , ,9632 <0,00001 Phi_1 0, , ,2298 0,00002 Phi_2 0, , ,8940 <0,00001 redn.ary.zm.zale nej 0, Odch.sand.zm.zale nej 0, rednia zaburze los. -0, Odch.s. zaburze los. 0, Logarym wiarygodno ci 490,6307 Kry. inform. Akaike'a -971,2614 Kry. bayes. Schwarza -955,1868 Kry. Hannana-Quinna -964,7462 Rzeczywisa Urojona Moduł Okresowo AR Pierwiasek 1 1,4554 0,0000 1,4554 0,0000 AR (sezonowe) Pierwiasek 1 1,3193 0,0000 1,3193 0,0000 Pierwiasek 2-2,1306 0,0000 2,1306 0,5000 ródło: opracowanie własne. 51

53 Du o uwagi podczas diagnosyki po wi ca si analizie niezale no ci resz, j. ocenie wys powania auokorelacji. Mo na w ym celu wykorzysa wykresy auokorelacji (ACF) i auokorelacji cz skowej (PACF) dla resz modelu lub dokona ego na podsawie esu Ljung-Boxa. Przydano wykresów ACF i PACF (korelogramów) wie si z ym, e obok swierdzenia prawidłowo ci w reszach mo na z nich odczya, w jaki sposób aki model poprawi. Mo e si bowiem okaza, e ws pnie wyselekcjonowany model powinien by uzupełniony o dalsze opó nienia. Korelgramy resz umo liwiaj usalenie, ile dodakowych opó nie AR lub MA nale y uwzgl dni jeszcze w modelu, aby model dobrze opisywał srukur procesu. Je eli wys puj saysycznie isone współczynniki auokorelacji na wykresie ACF o oznacza, e nale y doda wi cej opó nie redniej ruchomej. W przypadku prawidłowego modelu współczynniki ACF i PACF resz powinny by saysycznie nieisone, zn. mniejsze co do waro ci bezwzgl dnej od waro ci kryycznej liczonej jako 1,96/ n. W rzeczywiso ci rudno jes unikn pojedynczych isonych współczynników auokorelacji, dlaego nale y dba o ich brak w pierwszych kilku okresach i pierwszym opó nieniu sezonowym. Na rysunku przedsawiono przykładowe korelogramy resz modelu. Widzimy, e brak jes saysycznie isonych zale no ci liniowych w reszach. Jedynie dla opó nienia równego 22 współczynniki przekraczaj waro ci kryyczne. Naomias rudno je dodakowo uwzgl dni z uwagi na o, e nie s krono ci opó nienia sezonowego. Rysunek Wykresy auokorelacji (ACF) i auokorelacji cz skowej (PACF) resz modelu ARIMA(1,1,0)(2,0,0) ródło: opracowanie własne. 52

54 O braku auokorelacji resz (własno ciach białoszumowych) wnioskowa mo na równie na podsawie esu Ljung-Boxa. Tes en pozwala oceni isono współczynników auokorelacji r j dla zadanego danego rz du opó nie. Saysyka esowa modelu jes nas puj ca [Makridakis i inni 1998]: gdzie : n liczba obserwacji szeregu czasowego, r Q = n( n + 2), (2.22) j m 2 j j= 1 n j przyj y rz d badanych opó nie : 1, 2,, m. W dobrym modelu saysyka Q powinna by mo liwie jak najni sza (przy jednoczesnym p>0,05 lub p>0,1). W naszym przypadku dla ka dego opó nienia do 27 miesi ca współczynniki Q przyjmuj niskie waro ci i s saysycznie nieisone. Dobry model ARIMA powinien by sacjonarny i odwracalny. Wynika o z dwoisej srukury procesów AR i MA. Sacjonarno procesu auoregresyjnego ma miejsce, je eli wszyskie pierwiaski jednoskowe wielomianu charakerysycznego AR s wi ksze co do modułu od jedno ci. Sacjonarny proces AR mo na przedsawi jako niesko czony proces MA. Odwracalno procesu redniej ruchomej ma miejsce, je eli wszyskie pierwiaski jednoskowe wielomianu charakerysycznego MA s wi ksze co do modułu od jedno ci. Odwracalny proces MA mo na przedsawi jako niesko czony proces AR. W abeli moduły wszyskich pierwiasków s wi ksze od jedno ci, co wskazuje na podane wła ciwo ci analizowanego modelu. Prognozy punkowe na podsawie modeli ARIMA oblicza si w oparciu o skonsruowany model jako waro oczekiwan procesu sochasycznego o znanych charakerysykach dla okresów przeszłych. Prognozy w modelach ARIMA s obliczane po cofni ciu wszyskich przekszałce i ró nicowa. Prognozy modelu ARIMA mog by funkcj przeszłych danych, prognoz wykonach na wcze niejsze momeny oraz bł dów prognoz (resz). Ogólnie mo emy o zapisa jako: Y ˆ ( ˆ, ˆ + h = E Y + h Y Y + h, e ). (2.23) Przy prognozowaniu na dalsze okresy z uwagi na brak przeszłych waro- ci do modelu podsawiane s waro ci prognoz na poprzednie okresy. 53

55

56 3. Meody sezonowej koreky danych: X-12-ARIMA i TRAMO/SEATS 3.1. Wprowadzenie Jako modeli klasy ARIMA, w ym orzymywanych z nich prognoz, jes z reguły saysfakcjonuj ca. Jednak e, pomimo swojej elasyczno ci pod wzgl dem doboru paramerów, modele e nie s w sanie odda zło ono ci procesów generuj cych analizowany szereg czasowy. Problem en doyczy mi dzy innymi składnika sezonowego, kórego przebieg jes z reguły zmienny w czasie i podlega zaburzeniom wywołanym przez czynniki zewn rzne. Z ego powodu, do analizy i prognozowania szeregów czasowych o cz soliwo ci krószej ni roczna, wykorzysywane s cz so meody sezonowej koreky danych 2. Najpopularniejsze z nich o meody X-12-ARIMA 3 [Ladiray, Quenneville 2001, Findley i inni 1998] i TRAMO/SEATS 4 [Maravall 2008a; Maravall 2008b], kóre wykorzysuj w sosowanych przez siebie algorymach meodologi ARIMA 5. Wymienione powy ej meody pozwalaj na wydzielenie z szeregu czasowego jego poszczególnych składowych, j: rendu i cyklu (TC), obrazuj cych oscylacje szeregu czasowego rwaj ce dłu ej ni jeden rok, waha sezonowych (S), czyli powarzaj cych si w obr bie jednego roku odchyle od rendu-cyklu; wywołane przez klima, uwarunkowania insyucjonalne oraz krókookresowe, cykliczne zmiany akywno ci ekonomicznej uczesników rynku, waha nieregularnych (I), na kóre składaj si flukuacje o charakerze losowym. 2 Z reguły meody e s wykorzysywane do analizy szeregów czasowych o cz soliwo ci miesi cznej i kwaralnej. 3 X-12-ARIMA zosała opracowana przez Unied Saes Census Bureau. Szczegółowy opis meody i program ródłowy s dos pne pod adresem: hp:// 4 Meoda TRAMO/SEATS, kórej wórcami s V. Gomez i A. Maravall, jes wspierana i rozwijana przez Cenralny Bank Hiszpanii (Bank of Spain). Szczegółowe informacje o TRAMO/SEATS dos pne s na sronie hp:// 5 Obie wymienione meody s rekomendowane przez Eurosa i Europejski Bank Cenralny do wykonywania przez krajowe insyucje saysyczne i banki cenralne do sezonowej koreky danych sprawozdawczych. 55

57 Szereg czasowy mo e by zaem rozumiany jako suma waha o ró nej cz soliwo ci wys powania. Powy sza dekompozycja jes wykonywana w celu usuni cia z szeregu składnika sezonowego, a nas pnie składnika długookresowego i waha przypadkowych. Nie dokonujemy uaj podziału rendu i cyklu (TC) na rend (T) i wahania cykliczne (C). Ka da z ych meod jes wyra nie podzielona na dwa eapy: faz ws pnego modelowania szeregu czasowego, maj c na celu m.in. oczyszczenie szeregu czasowego z wpływu zaburze o charakerze szokowym oraz eap, w kórym dokonywana jes wła ciwa dekompozycja szeregu czasowego, obliczenie prognoz i ocena jako ci przyj ego modelu. Ws pne modelowanie szeregu czasowego, nieobecne w meodologii ARIMA, ma kluczowe znaczenie dla jako ci orzymywanych wyników. Polega ono na idenyfikacji ró nego rodzaju obserwacji nieypowych, jakie oddziaływały na szereg w okresie obj ym prób, a ak e na esowaniu wpływu wi sałych i ruchomych oraz innych czynników zewn rznych na analizowane dane. Czynniki e powoduj wys powanie nieliniowo ci w modelu, oe s one szacowane i usuwane z szeregu czasowego przed rozpocz ciem zasadniczej esymacji. Proces en nazywany jes linearyzacj szeregu czasowego. Po zako czeniu dekompozycji usuni e wcze niej elemeny s dodawane do odpowiednich komponenów szeregu czasowego lub s wykazywane w osobnych kaegoriach. Ponado na ym eapie okre lany jes rodzaj zale no ci pomi dzy komponenami szeregu czasowego oraz wyliczane s prognozy wykorzysywane na dalszym eapie esymacji. Szczegółowy opis algorymów X-12-ARIMA i TRAMO/SEATS zosał przedsawiony poni ej Meoda X-12-ARIMA X-12-ARIMA jes procedur dekompozycji szeregu czasowego Y w oparciu o filry rednich ruchomych, ogólnie zdefiniowanych jako: + f k k = p M ( Y ) = θ Y, (3.1) gdzie θ k paramery modelu redniej ruchomej. Waro p+f+1 nosi nazw rz du procesu redniej ruchomej. Zasosowanie powy szych filrów prowadzi do wygładzenia szeregu czasowego, gdy bie- ca obserwacja jes zas powana wa on redni ej obserwacji oraz obserwacji poprzedzaj cych i opó nionych wzgl dem niej. W przypadku gdy p jes równe f, rednia ruchoma jes scenrowana. Symeryczna rednia ruchoma o rednia ru- + k 56

58 choma scenrowana, dla kórej θ = θ dla ka dego k. Symeryczn redni ruchom mo na przedsawi w posaci równania 3.2 [Planas 1998]: gdzie B operaor opó nie (por. rozdział 2.1.1). k k p k k M Y k B B ( ) = θ 0 + θ ( + ) Y, (3.2) k = 1 Do szacowania rendu i waha sezonowych u ywane s podwójne rednie ruchome. S one orzymywane przez nało enie na scenrowan, symeryczn redni ruchom rz du P o współczynnikach równych 1 / P scenrowanej, symerycznej redniej ruchomej rz du Q o współczynnikach równych 1 / Q. Rz d podwójnej redniej ruchomej jes oznaczany jako P Q. Dla nieparzysych waro- ci P i Q podwójna rednia ruchoma M Y ) jes wyra ona jako [Grudkowska, Pa nicka 2007]: gdzie: + n S 2n 1 1 = Y 2n sj, j= n 2 k +1 = P, P Q ( 1 k M ( Y ) = n+ + + S 2 1 ( 2k 1) (2n 1) 2k sj, (3.3) j= k 2 n +1 = Q, s liczba obserwacji przypadaj ca na jeden rok. gdzie: Dla parzysych waro ci P i Q wzór 3.3 przyjmuje posa : 2 1 n = 1 S n Y, 2n + sj j= n+ 1 2 k = P, 2 n = Q, s liczba obserwacji przypadaj ca na jeden rok. M 1 k = 1 ( Y ) S 2n 2k 2n 2k + sj, (3.4) j= k + 1 Przykładowo, współczynniki redniej ruchomej 3 x 5 przyjmuj waro ci {1,2,3,3,3,2,1,}, a współczynniki dla redniej ruchomej 2 x 4 o {1,2,2,2,1}. 57

59 Symeryczne rednie ruchome posiadaj własno ci podane z punku widzenia dekompozycji szeregu czasowego umo liwiaj eliminacj okre lonych cz so ci z szeregu czasowego oraz nie powoduj wys pienia efeku fazowego 6. Cechy e mo na przeanalizowa dla przykładowego szeregu czasowego Y, w kórym wys puj wahania o cz soliwo ci ω : gdzie: R ampliuda szeregu Y, ω cz soliwo, φ przesuni cie. gdzie: Y = R sin( ω + φ), (3.5) Sosuj c filr redniej ruchomej orzymujemy: M ( Y ) = M ( R sin( ω + φ)) = G( ω) R sin( ω + φ + Γ( ω)), (3.6) G (ω) charakerysyka cz soliwo ciowa filra 7 (gain funcion), wyra ona jako r G( ω ) = θ θ k cos kω, wskazuj ca cz so ci, kóre s zachowywane w szeregu czasowym, k = 1 Γ (ω) funkcja przesuni cia. Dla symerycznego, scenrowanego filru redniej ruchomej Γ (ω) jes równa zero. Dokładne wyeliminowanie zmian sezonowych wymaga, aby filr usuwał z szeregu czasowego cz so ci poni ej pewnej wielko ci granicznej (cz so ci sezonowej) pozosawiaj c pozosałe wahania niezmienione, j.: 1 dla ω ω0 G ( ω) =. (3.7) 0 dla ω > ω0 6 Efek fazowy polega na wys powaniu przesuni cia punków zwronych rendu w sezonowo wyrównanym szeregu czasowym w sosunku do danych oryginalnych. Ze wzgl du na znaczenie punków zwronych rendu w prognozowaniu szeregów czasowych, efek fazowy jes zjawiskiem niepodanym. 7 Nazwa charakerysyka cz soliwo ciowa filra sanowi łumaczenie z j zyka angielskiego gain funcion. Przykładowo [Grudkowska 2007] u ywa poj cia funkcja zysku. Wskazuje ona jakie cykle, o jakiej długo ci, s pozosawiane w szeregu czasowym dzi ki zasosowaniu danego filra, w ym przypadku redniej ruchomej. Innymi słowy funkcja a przedsawia o, co zyskujemy, co wyodr bniamy, dzi ki usuni ciu czci informacji w wyniku zasosowania danej operacji na szeregu czasowym. 58

60 Rysunek Charakerysyka cz soliwo ciowa filra 2 x 12 ródło: [An Inroducory 2005]. Dla filrów redniej ruchomej własno a jes daleka od oczekiwa eoreycznych. Przykładowo, charakerysyka cz soliwo ciowa filra 2 12 przedsawiona na rysunku pokazuje, e przy jego pomocy usuwamy z szeregu π π 5π π 2π czasowego cz so ci sezonowe (czyli,,,,, π ), ale jednocze nie zmniejszamy ampliud waha pozosałych cz so ci, co jes zjawiskiem niepo- danym. Oznacza o, e w dziedzinie cz so ci filry rednich ruchomych nie sprawdzaj si w roli narz dzia do sezonowej koreky danych, naomias pozwalaj na orzymywanie wygładzonego szeregu czasowego w dziedzinie czasu. Z ego powodu w meodzie X-12-ARIMA dekompozycja szeregu czasowego jes wykonywana w dziedzinie czasu 8. Meoda X-12-ARIMA składa si z dwóch eapów: RegARIMA, kórego celem jes linearyzacja szeregu czasowego, oraz X-11, dokonuj cego dekompozycji szeregu czasowego za pomoc odpowiednio dobranych rednich ruchomych, kóre słu do oszacowania rendu-cyklu i komponenu sezonowego. Algorym en, uzupełniony o diagnosyk modelu, przedsawiono na rysunku Podział szeregu czasowego na składowe w dziedzinie cz so ci jes wykonywany w algorymie TRAMO/SEATS, omówionym w dalszej czci pracy. 59

61 Rysunek Schema sezonowej koreky danych meod X-12-ARIMA Model RegARIMA (wydłu enie próby, koreka danych za pomoc regresorów) Modelowanie (wybór opymalnego modelu) Sezonowa koreka danych (Algorym X-11) ródło: [Findley i inni 1998]. Diagnosyka (saysyki: hisoria rewizji, analiza podrób, analiza spekralna, saysyki M i Q, esy saysyczne) Model RegARIMA Ogólny model regresji szacowany na eapie RegARIMA ma posa [Findley i inni 1998]: gdzie: Y oryginalny szereg czasowy, Y β + Z, (3.8) = i X i, i β i paramer przy i-ej zmiennej obja niaj cej, X i, i-a zmienna obja niaj ca, Z resza z modelu, esymowana za pomoc modelu SARIMA(p,d,q)(P,D,Q) w posaci: gdzie: oznaczenia jak w rozdziale 2.1. S d S D S ( B) ( B )( 1 B) (1 B ) Z = θ ( B) Θ( B ε φ Φ ), (3.9) 60

62 Po podsawieniu wzoru (3.9) do (3.8) równanie przyjmuje posa : S d S D S φ ( B) Φ( B )( 1 B) (1 B ) Y βi X i, = θ ( B) Θ( B ) ε, (3.10) i i mo e by rakowane jako uogólnienie modelu SARIMA (wzór 2.17). Na eapie RegARIMA okre lany jes yp zale no ci wys puj cy pomi dzy komponenami szeregu czasowego. Najczciej rozwa a si model addyywny i muliplikaywny 9. Model addyywny Model addyywny w sosowanych meodach zakłada, e waro szeregu czasowego jes sum jego składowych, a wi c mo e by zapisana jako: gdzie: numer obserwacji, =1,,T, Y = TC + S + I + D + E, (3.11) TC składnik obrazuj cy ł cznie rend i cykl w okresie, S wahania sezonowe w okresie, I wahania nieregularne w okresie, D efeky kalendarzowe w okresie, E efek Wielkanocy w okresie, Model muliplikaywny Model muliplikaywny, charakeryzuje si ym, e wahania cykliczne, sezonowe i nieregularne mo na opisa jako wzgl dne odchylenia waro ci zmiennej od jej waro ci wynikaj cej z rendu za pomoc równania: gdzie oznaczenia jak w Y = TC S I D E, (3.12) Rzadziej sosowane s : Model log-addyywny, w kórym składniki szeregu czasowego s powi zane zale no ci : Model pseudo-addyywny: ln( Y ) = ln( TC + S + I + D + E ). (3.13) Y TC ( S + I + D + E 1). (3.14) = przeznaczony dla szeregów czasowych, w kórych wys puj waro ci zerowe. 9 Równania poszczególnych modeli zosały zaczerpni e z [Ladiray, Quenneville 2001]. 61

63 Z uwagi na o, e dla wi kszo ci ekonomicznych szeregów czasowych ampliuda waha sezonowych jes proporcjonalna do poziomu ego szeregu, najczciej sosowany jes model muliplikaywny lub log-addyywny. Dla rendosacjonarnych szeregów czasowych najbardziej wła ciw opcj jes model muliplikaywny, naomias dla szeregów przyrososacjonarnych preferowany jes model log-addyywny [ESS Guidelines, 2009]. Do regresorów esymowanych przez RegARIMA zalicza si : sał, odpowiadaj c paramerowi φ 0 w równaniu 2.17, obserwacje nieypowe, sezonowe zmienne zerojedynkowe oraz efeky kalendarzowe. W ród wymienianych w lieraurze przedmiou obserwacji nieypowych znajduj si zdarzenia jednorazowe, permanenne (skokowe), przej ciowe, rozło one w czasie maj ce niesezonowy charaker i zwi zane z efekami sezonowymi 10. Poni ej przedsawimy ich iso. Zdarzenia jednorazowe Zdarzenie jednorazowe, kóre zaszło w okresie 0 jes oznaczane jako AO (Addiive oulier) i modelowane za pomoc zmiennej: 1 dla = 0 0 AO =. (3.15) 0 dla 0 Rysunek Regresor ypu AO ródło: opracowanie własne. 10 Definicja obserwacji nieypowych AO, LS, TC i RP przedsawionych w dalszej czci pochodzi z [X-12-ARIMA 2007]. 62

64 Regresor en jes u ywany do modelowania wpływu na szereg jednorazowego impulsu. Przykładem zdarzenia ego ypu s anomalie pogodowe czy srajki. Zmiany permanenne, skokowe Permanenna, skokowa zmiana poziomu szeregu czasowego (Level shif LS), kóra miała miejsce w okresie 0, szacowana jes przy u yciu zmiennej: 0 dla < 0 0 LS =. (3.16) 1 dla 0 Przykładem zdarzenia ego ypu jes zmiana wymiaru podaku czy wprowadzenie ceł. Efek akich zmian poziomu zjawiska jes przedsawiony schemaycznie na rysunku Rysunek Regresor ypu LS ródło: opracowanie własne. Zmiany przej ciowe Przej ciowa zmiana poziomu szeregu czasowego (Temporary change TC 11 ) o aka, kóra zosała zainicjowana w okresie 0 i zanikała w empie okre- lonym przez współczynnikα. Jes ona modelowana za pomoc równania: TC 0 0 dla < 0 0 α dla = 0. (3.17) 11 Ogólnie w niniejszym opracowaniu nazwa TC jes sosowana do okre lenia długookresowego rendu. W ym momencie wyj kowo za jej pomoc oznaczamy przej ciow zmian szeregu czasowego, z uwagi na przyj e w meodologii X-12-ARIMA oznaczenia. 63

65 Rysunek Regresor ypu TC ródło: opracowanie własne. Zmienna ypu TC jes u ywana do modelowania zdarze, kórych siła wpływu na szereg czasowy maleje w czasie. Mo e by o przykładowo efek eksremalnych sanów pogodowych urzymuj cych si przez kilka okresów (susze, powodzie). Zmiany permanenne rozło one w czasie Permanenna, rozło ona w czasie, zmiana poziomu szeregu czasowego (Ramp effec RP ), kóra zosała zainicjowana w okresie 0 i zako czona w okresie 1 wyra a si za pomoc zmiennej: 1 dla 0 ( 0, 1) RP = ( 0) /( 1 0) 1 dla 0 < 1. (3.18) 0 dla 1 Regresor ego ypu jes u ywany do opisu akich samych zjawisk jak LS. W odró nieniu od LS zakłada on wys powanie okresu dososowawczego do nowych warunków ekonomicznych. 64

66 Rysunek Regresor ypu RP ródło: opracowanie własne. Zmiany sezonowe permanenne Sezonowe permanenne zmiany poziomu szeregu czasowego (Seasonal level shif SLS), kóre od punku 0 wpływaj na dany sezon szeregu czasowego. Przykładem syuacji, w kórej zmienna ypu SLS znajduje zasosowanie, jes wprowadzenie od okresu 0 rocznych premii wypłacanych pracownikom w grudniu ka dego roku. Rysunek Regresor ypu SLS ródło: opracowanie własne. 65

67 SLS Zmiany ypu SLS modelowane s za pomoc zmiennej 12 : 0 Realokacje 0 dla < 0 = 1 dla 0, gdzie = 0 + ks, k = {1,2.. n}, s liczba okresów w roku. (3.19) 1, w p. p. ( s 1) Realokacje (Reallocaion oulier RO), dla kórych wpływ regresora na obserwacje z s siaduj cych okresów jes przeciwsawny i równy co do waro ci bezwzgl dnej [Wu i inni 1993]. Oscylacje s modelowane jako suma dwóch zmiennych ypu AO. Tego ypu regresory s wykorzysywane do modelowania zmian wzorca sezonowego zachodz cych w okresie obj ym prób (np. przesuni cie wypła nagród rocznych z grudnia na sycze ). Rysunek Regresor ypu RO ródło: opracowanie własne. W przypadku niekórych szeregów czasowych obserwuje si zale no pomi dzy waro ci obserwacji a liczb dni wolnych od pracy przypadaj cych na dany okres. Nosi ona nazw efeku kalendarzowego i wynika z ró nic w liczbie i układzie dni wolnych od pracy w poszczególnych okresach w kolejnych laach oraz z wys powania roku przes pnego i wi ruchomych. Obecno efeku kalendarzowego zaburza szacowanie czynników sezonowych, gdy efek en ma charaker sochasyczny, a nie deerminisyczny. Z ego 12 Definicja SLS pochodzi z pracy [Kaiser, Maravall 2002]. 66

68 wzgl du jes on esymowany i usuwany z szeregu czasowego przed zasadnicz procedur sezonowej koreky danych. Do szeregów czasowych, na kóre efek kalendarzowy ma zwykle wpływ nale y wielko produkcji przemysłowej i sprzeda y dealicznej. Meoda X-12-ARIMA umo liwia oszacowanie kilku rodzajów efeków kalendarzowych [Findley i inni 1998], kórych opis przedsawiamy poni ej. Efek dnia roboczego Efek dnia roboczego (zw. Working Days effec), oznacza wys powanie zale no ci waro ci szeregu czasowego od liczby dni roboczych i wolnych od pracy. Przykładowy rozkład ych waro ci dla sycznia w kolejnych laach przedsawia abela Efek dnia roboczego jes modelowany za pomoc zmiennej wskazuj cej na wielko odchylenia liczby dni roboczych od redniej liczby dni roboczych w danym sezonie w sosunku do relacji wzorcowej. Wspomniany wzorzec zakłada, e proporcja dni roboczych do dni wolnych od pracy w danym okresie jes aka jak w ypowym ygodniu, zawieraj cym pi dni roboczych i dwa dni wolne od pracy. 5 WD = Di WD, DiH,, (3.20) 2 gdzie: numer okresu, D i, liczba wys pie i -ego dnia ygodnia w -ym okresie, i = {1, 2,3, 4,5, 6,7} numer dnia ygodnia, aki, e 1 = Pon, 2 = W,., i dzie roboczy, j. i {1, 2,3, 4,5}, WD i H dzie wolny od pracy, j. i {6,7}. Zmienna WD przyjmuje waro zero dla okresów, w kórych proporcja dni roboczych i wolnych od pracy odpowiada rozkładowi ych dni w ypowym ygodniu, zn. na ka de 5 dni roboczych przypadaj dwa dni wolne od pracy. WD > 0 wskazuje na okres, w kórym liczba dni roboczych jes wy sza od ypowej waro ci, a WD < 0 o okres, dla kórego proporcja liczby dni wi ecznych do ogólnej liczby dni w okresie jes wy sza ni a proporcja obliczona dla wzorcowego ygodnia. 67

69 Tabela Liczba dni roboczych i wolnych od pracy w syczniu w laach Wyszczególnienie Dni robocze Dni wolne od pracy ródło: opracowanie własne. Powy szy regresor znajduje zasosowanie dla szeregów czasowych, dla kórych poziom akywno ci ekonomicznej dla ka dego dnia roboczego jes w przybli eniu aki sam i ró ni si on isonie od poziomu obserwowanego w dni wolne od pracy. Efek dni ygodnia Efek dni ygodnia (zw. Trading Day effec) mierzy wpływ liczby ka dego z dni ygodnia na waro szeregu czasowego. Znajduje on zasosowanie dla kaegorii, dla kórych wys puje zró nicowanie pomi dzy poziomem akywno- ci ekonomicznej w kolejnych dniach, np. efek poniedziałku lub efek pi ku. Zró nicowanie liczby dni ygodnia w kolejnych laach dla wybranego okresu przedsawia abela Tabela Liczba dni ygodnia w syczniu w wybranych laach Dzie ygodnia Poniedziałek Worek roda Czwarek Pi ek Soboa Niedziela ródło: opracowanie własne. Efek dni ygodnia jes modelowany przez sze zmiennych T i,, dla kórych sprawdzana jes ł czna isono oszacowanych paramerów regresji: gdzie: =, dla i = 1, 2,... 6, (3.21) TD Di, D7, D i, liczba wys pie i -ego dnia ygodnia w -ym okresie. 68

70 Długo okresu Długo okresu (zw. Lengh-of-Monh effec) wskazuje na odchylenie liczby dni przypadaj cych na dany okres od długookresowej redniej. Efek en jes modelowany za pomoc zmiennej 13 : gdzie: m długo okresu w dniach, Lengh = m m (3.22) m rednia długo okresu, dla danych miesi cznych = 30, 4375 Efek roku przes pnego m. Efek roku przes pnego (zw. Leap Year effec) umo liwia pomiar wpływu dodakowego dnia w roku na waro szeregu czasowego za pomoc zmiennej: gdzie: i = { 1,2,...,12} podokresy w roku, numer okresu, l rok przes pny. Efek wi Wielkanocy 0,75, gdy i = 2, l = leap Leap = 0,25, gdy i 2, l = leap, (3.23) 0 w p. p. Efek wi Wielkanocy (zw. Easer Effec) wskazuje na zmian akywno ci ekonomicznej podmioów gospodarczych w dniach poprzedzaj cych o wi o. W zale no ci od przyj ego czasu rwania ego efeku, mo e on ka dego roku wpływa na waro ci szeregu czasowego wył cznie w jednym lub dwóch spo ród rzech miesi cy: luym, marcu i kwieniu: n E( w, ) = w, (3.24) 0 w p. p. gdzie: w czas rwania efeku wi Wielkanocy, liczony w dniach, 1 w 25, 13 Definicja sosowana do danych o cz soliwo ci miesi cznej. W przypadku cz soliwo ci kwaralnej definicja zmiennej podlega odpowiednim modyfikacjom. 69

71 n i, liczba dni w -ym okresie, nalecych do przedziału w. pozosałe oznaczenia jak wy ej. Nale y podkre li, e zmienno rozkładu dni ygodnia jes mniejsza w kwarałach ni w miesi cach, gdy w drugim kwarale ka dego roku wszyskie dni ygodnia wys puj dokładnie 13 razy [Guideline o 2007]. Ponado efek roku przes pnego ma wpływ ylko na pierwszy kwarał. Z ego wzgl du efeky kalendarzowe maj znacznie słabszy wpływ na szeregi o cz soliwo ci kwaralnej ni miesi cznej. Wymienione powy ej regresory s sandardowo zaimplemenowane w pakieach saysycznych przeznaczonych do sezonowej koreky danych i mog by auomaycznie uwzgl dniane w modelu (3.10). Ponado z reguły mo liwe jes dodawanie do modelu regresji innych zmiennych zdefiniowanych przez u ykownika. Usalanie posaci modelu Proces usalania osaecznej posaci modelu (3.10) jes wielosopniowy 14. W pierwszej fazie procedury do szeregu czasowego dobierany jes model SARIMA (0,1,1)(0,1,1) s, kóry jes u ywany do esowania isono ci efeków kalendarzowych i innych regresorów nalecych do wekora X,, z wyj kiem wykrywanych auomaycznie obserwacji nieypowych. Isono ych zmiennych jes weryfikowana przy pomocy zmodyfikowanego kryerium informacyjnego Akaike a (AICC) 15. Isono sałej w modelu (2.17) jes sprawdzana saysyk esu -Sudena. W kolejnym kroku ma miejsce auomayczna idenyfikacja obserwacji nieypowych, po kórej nas puje powórna weryfikacja isono ci efeków kalendarzowych i sałej. W osaniej fazie wykonywana jes diagnosyka resz modelu (es Ljung-Boxa na reszach i odchylenie sandardowe resz) i usuni cie z szeregu zaburze modelowanych przez zidenyfikowane regresory. Celem drugiego kroku algorymu jes idenyfikacja rz dów ró nicowania docelowego modelu ARIMA, j. usalenie waro ci paramerów d i D. Odbywa i 14 Opis procedury na podsawie X-12-ARIMA Reference Manual. Opisany algorym bazuje na procedurze sosowanej przez program TRAMO. Dla X-12-ARIMA mo liwe jes równie sosowanie innych meod usalania posaci modelu auoregresyjnego. 15 Saysyka zmodyfikowanego kryerium informacyjnego Akaike ma posa : n p + 1 AICC = N LN n p N modelu, L logarym funkcji wiarygodno ci modelu. N 1, gdzie: N liczba obserwacji, n p liczba paramerów 70

72 si ona przy u yciu meody Hannana-Rissanena 16. Po ich usaleniu w modelu uwzgl dniana jes sała równa redniej ze zró nicowanego szeregu czasowego i sprawdzana jes jej isono. Kolejnym eapem jes idenyfikacja paramerów sezonowej czci modelu SARIMA, j. P i Q, dla zró nicowanego szeregu czasowego. Odbywa si ona poprzez porównanie waro ci kryerium informacyjnego Schwarza-Bayesa (BIC) 17 dla ró nych specyfikacji modelu SARIMA posaci (3, d,0)( P, D,Q ). Preferowany jes model o najni szej waro ci kryerium informacyjnego. Nas pnie na podsawie saysyki BIC usalane s waro ci paramerów p oraz q w modelu (p,d,q)(p,d,q), gdzie waro ci P i Q zosały wyliczone w poprzednim kroku. Nas pnie przeprowadzany jes ponowny dobór paramerów P i Q za pomoc kryerium BIC [X-12-ARIMA 2011]. W czwarym eapie procedury nas puje porównanie modelu usalonego w poprzednim kroku z modelem domy lnym (0,1,1)(0,1,1) s i wybór jednego z nich 18. Dla osaecznego modelu przeprowadzana jes weryfikacja poprawno- ci jego budowy, w ym sprawdzenie isono ci paramerów modelu ARIMA i regresorów. Wybrany w procedurze RegARIMA model jes wykorzysywany do wydłu enia próby na obu ko cach (forecas i backcas). Orzymywane na podsawie biecych i przeszłych obserwacji szeregu liniowe prognozy Y minimalizuj bł d redniokwadraowy (MMSE Minimum Mean Square Error), przy zało- eniu poprawno ci budowy modelu ARIMA i doboru regresorów. Przy ich wyliczaniu przyjmuje si, e w okresie obj ym prognoz nie wys pi obserwacje nieypowe. U ycie waro ci prognozowanych umo liwia zasosowanie przez algorym X-11 symerycznych filrów dla wszyskich rzeczywisych obserwacji w próbie [X-12-ARIMA 2011]. 16 Meoda Hannana-Rissanena o dwusopniowa procedura doboru rz dów procesu auoregresyjnego i procesu redniej ruchomej w modelu AIRMA. Szczegółowy opis mo na znale w (2007): X-12-ARIMA Reference Manual. 17 Saysyka kryerium informacyjnego Schwarza-Bayesa ma posa : BIC L n N N = 2 N + p log, gdzie: N liczba obserwacji, n p liczba paramerów modelu, L N logarym funkcji wiarygodno ci modelu. 18 Kryeria wyboru modelu zosały opisane w [X-12-ARIMA 2007]. 71

73 Algorym X-11 Algorym X-11 posiada charaker ieracyjny. Składa si on z dwóch eapów o podobnej srukurze. W ramach ka dego eapu wykonywane s kolejne kroki, z kórych ka dy korzysa z wyników uzyskanych w kroku poprzednim 19. Poni szy opis doyczy modelu addyywnego, inne modele wymagaj wcze niejszego zasosowania odpowiednich przekszałce do posaci addyywnej 20. W pierwszej czci algorymu 21 nas puje ws pna esymacja komponenu rend-cykl poprzez zasosowanie scenrowanej redniej ruchomej rz du 12: gdzie: TC rend-cykl, ( 1) numer ieracji, (1) TC = M 2 12 ( ), (3.25) Z Z zlinearyzowany szereg czasowy z równania (3.9). Jak wynika z wykresu 3.1. filr en usuwa wahania sezonowe, pojawiaj ce si z cz soliwo ci raz, dwa, rzy, czery, pi i sze razy do roku. Filr w niewielkim sopniu oddziałuje na wahania długookresowe i jednocze nie redukuje ampliud waha o wysokiej cz so ci odpowiadaj cych składnikowi nieregularnemu. Suma komponenu sezonowego i nieregularnego (Seasonal-Irregular ( SI )) jes wyliczana w sposób rezydualny: gdzie: S składnik sezonowy, I składnik nieregularny, pozosałe oznaczenia jak wy ej. (1) (1) ( S I ) = Z TC +, (3.26) Rozdzielenie składnika sezonowego i nieregularnego jes wykonywane poprzez zasosowanie wobec składnika SI redniej ruchomej 3 3, w wyniku czego nas puje jego wygładzenie, sanowi ce ws pn esymacj czynnika sezonowego: 19 Opis algorymu X-11 na podsawie [Ladiray, Quenneville 2001]. 20 Przykładowo, dla modelu muliplikaywnego wła ciw operacj jes logarymowanie. 21 Do oznaczenia komponenów szacowanych w pierwszej i drugiej czci algorymu u ywane s subskrypy odpowiednio (1) oraz (2). 72

74 (1) (1) S = M [( S + I ) ]. (3.27) 3 3 W kolejnym kroku czynnik sezonowy poddawany jes normalizacji, ak aby suma składników sezonowych w obr bie jednego roku była w przybli eniu równa zero 22. ~ (1) S 2 12 (1) (1) = S M ( S ). (3.28) Ws pna esymacja czynnika nieregularnego I powsaje przez odj cie od SI znormalizowanego komponenu sezonowego. W nas pnym kroku czynnik nieregularny jes korygowany o waro ci odsaj ce. W ym celu dla ka dego 5-leniego przedziału czasowego obliczane jes odchylenie sandardowe, kórego waro jes nas pnie przypisywana do roku znajduj cego si w cenrum danego 5-leniego przedziału. Kolejne waro ci komponenu nieregularnego, nalece do cenralnego roku w 5-lenim przedziale, kóre s wi ksze ni 2,5 odchylenia sandardowego s oznaczane jako odsaj ce i przyporz dkowywana jes im waga równa zero. Waro ciom, kóre nale do przedziału (1,5 ; 2,5 ), gdzie jes odchyleniem sandardowym, przypisywana jes waga z przedziału (0;1) 23. Nas pnie dokonywana jes powórna esymacja odchylenia sandardowego z uwzgl dnieniem nadanych wag [X-12-ARIMA 2011]. Rysunek obrazuje zale no ci pomi dzy skorygowanymi o obserwacje odsaj ce wska nikami SI (kropki) a czynnikiem sezonowym orzymanym ze wzoru 3.28 (niebieska linia). Dla celów analiycznych dane przesawione s w podziale na okresy roku kalendarzowego, za widoczne endencje obrazuj, jak zmienia si wzorzec waha sezonowych w czasie, w poszczególnych sezonach. Na rysunku zaznaczono równie redni waro czynnika sezonowego w ka dym okresie. 22 Filr 2x12, podobnie jak filr 3x3 zachowuje rend. Normalizacja wykonana za pomoc filru polega na usuni ciu rendu ze składnika sezonowego. W przypadku modelu muliplikaywnego suma składników sezonowych w obr bie jednego roku jes równa liczbie okresów w roku (12 dla danych o cz soliwo ci miesi cznej, 4 dla danych o cz soliwo ci kwaralnej). 23 Waga a jes wpros proporcjonalna do waro ci czynnika nieregularnego. Je eli waro komponenu nieregularnego jes ni sza ni 1,5δ, o przypisywana jes pełna waga równa 1. 73

75 Rysunek Przykładowe wska niki SI i czynnik sezonowy Oznaczenia: czarny wska nik SI, niebieski czynnik sezonowy w danym okresie, czerwony rednia waro czynnika sezonowego dla danego okresu. ródło: opracowanie własne, wykonane w pakiecie Demera+. Dane wyrównane sezonowo oznaczone symbolem A s obliczane jako ró nica szeregu wej ciowego i znormalizowanego składnika sezonowego danym okresie: A (1) ~ (1) (1) ( TC + I ) = Z S =. (3.29) Druga ieracja rozpoczyna si od powórnej esymacji rendu-cyklu przy wykorzysaniu filru Hendersona 24 i sezonowo skorygowanego szeregu czasowego uzyskanego w poprzednim kroku: (2) (1) TC = H ( ). (3.30) 13 A 24 Filr Hendersona o filr redniej ruchomej słucy do eksrakcji rendu-cyklu z szeregu czasowego. Filr en zachowuje wielomiany kwadraowe i minimalizuje sum kwadraów rzecich ró nic szeregu. Ze wzgl du na e dwie cechy zasosowanie filru Hendersona prowadzi do orzymania wygładzonego rendu, w kórym zachowane s jego zmiany w krókim okresie. W celu wyliczenia finalnego komponenu rend-cykl algorym X-11 sosuje filr Hendersona na wyrównanych sezonowo danych. Rz d filru zale y od charakerysyki danych. W przypadku szeregu czasowego o cz soliwo ci miesi cznej jes o filr rz du 9, 13 lub 23, naomias w przypadku danych kwaralnych sosowany jes filr rz du 5 lub 7. Waro ci wag filru Hendersona rz du 2 p + 1 s obliczane z nas puj cego wzoru: [( n 1) i ][ n i ][( n + 1) i ][3n 16 11i ] θ i = gdzie n = p + 2. Wi cej w [Ladiray, Quenneville n( n 1)(4n 1)(4n 1)(4n 9)(4n 25) 2001]. 74

76 Nas pnie obliczana jes ł czna waro składnika sezonowego i nieregularnego: + =. (3.31) (2) (2) ( S I ) Z TC Do szacowania czynnika sezonowego wykorzysywany jes filr redniej ruchomej: (2) (2) S = M [( S + I ) ]. (3.32) 3 5 Jes on nas pnie normalizowany w analogiczny sposób jak w pierwszej ieracji: ~ (2) S 2 12 (2) (2) = S M ( S ). (3.33) Osaecznie, na sezonowo wyrównany szereg składaj si : rend-cykl i składnik nieregularny orzymane na drugim eapie ieracji: A (2) ~ (2) (2) ( TC + I ) = Z S =. (3.34) W ko cowym kroku meody X-12-ARIMA nas puje diagnosyka modelu. Obecno sezonowo ci w szeregu czasowym i jej yp jes okre lany na podsawie esów sezonowo ci, saysyk M i Q oraz analizy podprób (sliding spans) naomias sopie eliminacji waha sezonowych z szeregu czasowego jes oceniany na podsawie odpowiedniego periodogramu. Wielko rewizji rendu i składnika sezonowego jes wyliczana przez saysyk hisorii rewizji (revisions hisory) 25. W bardziej rozbudowanych wersjach algorymu dobór długo ci filrów zale y od charakerysyki komponenów [X-12-ARIMA 2011] Meoda TRAMO/SEATS TRAMO/SEATS jes meod sezonowej koreky danych, w kórej wyodr bnienie komponenów z szeregu czasowego dokonywane jes na podsawie odpowiednio dobranych modeli ARIMA. Podobnie jak X-12-ARIMA, TRAMO/SEATS jes meod dwueapow w pierwszej fazie TRAMO w wyniku idenyfikacji czynników deerminisycznych wpływaj cych na dany szereg czasowy nas puje jego linearyzacja. W drugiej fazie SEATS nas puje wła ciwa dekompozycja szeregu czasowego poprzez okre lenie posaci modelu ARIMA dla ka dego ze składników. 25 Tesy sezonowo ci, periodogram, saysyki M i Q, analiza podrób oraz hisoria rewizji zosały omówione w rozdziale

77 Algorym TRAMO Zasadniczymi celami programu procedury (Time Series Regression wih ARIMA Noise, Missing Observaions and Ouliers) s : inerpolacja szeregu czasowego zawieraj cego obserwacje nieypowe, esymacja modelu regresji, w kórym bł dy s opisywane modelem ARIMA oraz prognozowanie szeregu czasowego na podsawie oszacowanego modelu. Algorym TRAMO esymuje szereg czasowy z za pomoc nas puj cego równania regresji [Maravall 2006]: gdzie: β = β,... β ) wekor współczynników regresji, ( 1 n z = y β + x. (3.35) ( 1 n y = y,..., y ) regresory opisuj ce wpływ na szereg czasowy czynników kalendarzowych, obserwacji nieypowych, zmiennych inerwencyjnych i sałej 26, x czynnik podlegaj cy procesowi ARIMA: gdzie: B operaor opó nienia, a φ ( B ) δ ( B) x = θ ( B), (3.36) d s D δ ( B ) = (1 B) (1 B ) wielomian operaora opó nie zawieraj cy pierwiaski zwi zane z rz dem regularnego i sezonowego ró nicowania szeregu czasowego, p s sxp ϕ B) = (1 + ϕ B ϕ B )(1 + ϕ B ϕ B ) wielomian operaora opó nie ( 1 p 1 zawieraj cy pierwiaski procesu auoregresyjnego, q s sxq θ B) = (1 + θ B θ B )(1 + θ B θ B ) odwracalny 27 proces redniej ( 1 p 1 ruchomej, a proces białego szumu 28, a ~ N(0, V ( a)). Q P 26 Sała jes równa redniej ze zró nicowanego szeregu (B)z. Regresory rozparywane przez TRAMO s zdefiniowane analogicznie jak w RegARIMA. 27 Proces redniej ruchomej jes odwracalny, je eli wszyskie rozwi zania równania ϕ( B) = 0 s co do modułu wi ksze od Przyj o oznaczenie procesu białego szumu zgodnie z konwencj sosowan w lieraurze przedmiou doycz cej meody TRAMO/SEATS. W meodzie X-12-ARIMA proces białego szumu oznaczany jes symbolem ε. 76

78 Procedura szacowania równania 3.35 jes niemal idenyczna jak esymacja wykonywana przez RegARIMA 29. Oszacowany przez TRAMO model ARIMA wraz z wyliczonymi prognozami jes wykorzysywany przez program SEATS Procedura SEATS Procedura SEATS (Signal Exracion in Arima Time Series) polega na dekompozycji szeregu czasowego opisanego modelem ARIMA na nieobserwowalne komponeny: rend-cykl, czynnik sezonowy, komponen przej ciowy i komponen nieregularny. SEATS wykorzysuje do esymacji model ARIMA wybrany przez TRAMO 30. Dekompozycja mo e mie posa addyywn lub muliplikaywn, przy czym posa muliplikaywna mo e by przekszałcona do addyywnej za pomoc logarymowania. W przypadku addyywnym szereg czasowy x jes przedsawiony w posaci sumy składowych 31 : k x = x i, (3.37) i= 1 przy czym ka dy i-y komponen jes realizacj procesu ARIMA w posaci: δ ( B ) x = ψ ( B) a, (3.38) i i gdzie: i komponeny, odpowiednio: rend-cykl, sezonowy, przej ciowy, nieregularny 32, θi ( B) ψ i ( B) =, ϕ ( B) i a i ~ WN (0, V ( ai )) proces białego szumu nazywany innowacj i-ego komponenu; a i jes esymaorem bł du jednookresowej prognozy i-ego komponenu. i i 29 Linearyzacja szeregu przez RegARIMA jes wzorowana na rozwi zaniach opracowanych dla TRAMO. 30 W przypadku, gdy model ARIMA wybrany przez TRAMO nie jes dekomponowalny, SEATS dokonuje ponownej idenyfikacji modelu ARIMA. 31 k W przypadku muliplikaywnym odpowiednie równanie ma posa x = x i, kóre po k obusronnym zlogarymowaniu log( x ) = log( x i ) mo e by analizowane ak jak przypadek i= 1 addyywny. 32 Komponen nieregularny, kóry z definicji jes procesem białego szumu, jes zawsze przedsawiany jako ARIMA (0,0,0)(0,0,0). i= 1 77

79 W procesie esymacji zakłada si, e składowe szeregu czasowego s do siebie orogonalne 33. Warunek en jes weryfikowany przez badanie korelacji pomi dzy komponenami orzymanymi w wyniku esymacji oraz pomi dzy odpowiednimi esymaorami eoreycznymi. Przykładowy wynik esu korelacji przedsawia abela Korelacja jes uznawana za zaniedbywalnie mał, je eli poziom isono ci jes wi kszy ni zało ony poziom isono ci równy 5%. Tabela Przykładowy wynik esu korelacji: meoda TRAMO/SEATS Współczynniki korelacji Esymaor Waro saysyki Esymacja eoreyczny esowej Trend/Komponen sezonowy -0,1206-0,0715 0,6202 Trend/Komponen nieregularny 0,0912 0,0017 0,1738 Komp. sezonowy/komp. nieregularny 0,0244 0,0420 0,2307 ródło: opracowanie własne, obliczenia w pakiecie Demera+. Jednoznaczna idenyfikacja komponenów wymaga, aby adne dwa z nich nie zawierały ych samych pierwiasków jednoskowych procesu auoregresyjnego ϕ (B). Dekompozycja jes wykonywana w dziedzinie cz so ci i polega na podziale funkcji g so ci spekralnej szeregu x na funkcje g so ci spekralnej poszczególnych składowych. Do rendu-cyklu s wł czane waro ci skupione wokół zerowej cz so ci spekralnej. Komponen sezonowy worz waro ci funkcji g so ci spekralnej znajduj ce si w okre lonym przedziale wokół cz so ci sezonowych. Na składnik przej ciowy składaj si cykliczne flukuacje o okresie zmian wi kszym ni rok. Komponen nieregularny jes procesem białego szumu. Prawidłowa dekompozycja wymaga, aby ka de dwa komponeny były niezale ne od siebie. Zgodno wyników z ym zało eniem jes weryfikowana odpowiednim esem. Liczba dekompozycji spełniaj ca powy sze zało enie jes niesko czona. Z ego wzgl du w procesie esymacji wariancja komponenu nieregularnego jes maksymalizowana, ak wi c niemo liwe jes wyodr bnienie procesu białego szumu z pozosałych komponenów Zało enie o oznacza, e za zachowanie poszczególnych komponenów odpowiadaj ró ne, niezale ne od siebie przyczyny. Przykładowo, czynniki sezonowe i kalendarzowe powoduj powsawanie składnika sezonowego, podczas gdy rend-cykl jes wynikiem m.in. okre lonego sposobu produkcji, wybranej echnologii i bod ców makroekonomicznych. Zało enie o orogonalno ci umo liwia jednoznaczne przyporz dkowanie konkrenych cz so ci wej ciowego szeregu do jednego z komponenów i pó niejsz niezale n analiz przebiegu ka dego składnika. 34 Jes o ak zwana dekompozycja kanoniczna, zakładaj ca, e oprócz składnika nieregularnego, aden z komponenów szeregu czasowego nie zawiera procesu białego szumu. 78

80 Z własno ci modelu sosowanego przez SEATS wynika, e esymaor eoreyczny danego komponenu cechuje si ni sz wariancj ni en komponen [Maravall 1993]. Ponado, wariancja esymaora eoreycznego powinna by zbli ona do wariancji komponenu orzymanego wyniku esymacji. Je eli dla danego komponenu jes isonie wi ksza, oznacza o, e w procesie esymacji doszło do przeszacowania ego komponenu. Odwrona zale no jes znakiem niedoszacowania komponenu [Grudkowska 2011]. Przykładowy wynik powy szego esu przedsawia abela Analiza zamieszczonych wyników wskazuje, e komponen sezonowy jes przeszacowany, gdy wariancja esymaora eoreycznego jes mniejsza ni wyesymowanego, a waro saysyki esowej jes ni sza ni zało ona waro graniczna, wynosz ca 5%. Tabela Przykładowy wynik analizy wariancji komponenów i ich esymaorów meody TRAMO/SEATS Wyszczególnienie Komponen Esymaor Waro saysyki Esymacja eoreyczny esowej Trend 0,0040 0,0001 0,0001 0,4707 Szereg skorygowany 0,5222 0,1065 0,0821 0,1440 Komponen sezonowy 0,9007 0,5951 1,3103 0,0000 Komponen nieregularny 0,0863 0,0164 0,0128 0,0585 ródło: opracowanie własne, obliczenia w pakiecie Demera+. Pomocniczym narz dziem analizy wyników s funkcje g so ci spekralnej i analizy cz soliwo ciowe podniesione do kwadrau. Kszały ych wykresów s deerminowane przez charakerysyk szeregu i generalnie nie wiadcz o ym, czy dekompozycja zosała wykonana prawidłowo. Funkcje g so ci spekralnej esymaorów komponenów, zamieszczone na rysunku 3.3.1, oddaj własno ci szeregu czasowego i jego składowych. O pionowa przedsawia wyra ony w procenach wkład spekrum oryginalnego szeregu czasowego do spekrum danego komponenu, a o pozioma cz so [Grudkowska 2011]. Oczekuje si, e spekra sezonowo wyrównanych danych (oraz rendu) nie b d zawiera cz so ci sezonowych (j. dla waro ci π π 5π π 2π,,,,, π spekrum b dzie równe zero). Funkcja g so ci spekralnej esymaora składnika sezonowego powinna koncenrowa si wokół cz so ci sezonowych. Je eli w szeregu czasowym wys puj efeky kalendarzowe i wyesymowany zosał składnik przej ciowy, o jego spekrum powinno osi ga lokalne maksimum w pobli u cz so ci dni roboczych. 79

81 Rysunek Przykładowe funkcje g so ci spekralnej komponenów szeregu czasowego Oznaczenia: czerwony rend, niebieski składnik sezonowy, ró owy komponen nieregularny, zielony czynnik przej ciowy, granaowy szereg wyrównany sezonowo. ródło: opracowanie własne, wykonane w pakiecie Demera+. Kwadray charakerysyk cz soliwo ciowych przedsawiaj wyra ony w procenach wkład zmienno ci oryginalnego szeregu czasowego (o Y) do wyesymowanych składowych w zale no ci od cz so ci (o X) [Grudkowska 2011]. Ponado wykres wskazuje, jaka cz poszczególnych cz so ci zosała zachowana w sezonowo wyrównanym szeregu czasowym. Wykres dla esymaora komponenu sezonowego powinien by skoncenrowany wokół cz so ci sezonowych. Nale y si spodziewa, e esymaor sezonowo wyrównanych danych b dzie zawierał pełn zmienno z wył czeniem cz so ci sezonowych, ak wi c wykres odpowiedniej charakerysyki cz soliwo ciowej filra (funkcji zysku) powinien zbli a si do 1 dla wszyskich cz so ci z wyj kiem cz so ci sezonowych. Przykładowy wykres kwadraów charakerysyk cz soliwo ciowych przedsawia rysunek

82 Rysunek Przykładowe kwadray charakerysyk cz soliwo ciowych dla komponenów szeregu czasowego Oznaczenia: czerwony rend, niebieski składnik sezonowy, ró owy komponen nieregularny, zielony czynnik przej ciowy, granaowy szereg wyrównany sezonowo. ródło: opracowanie własne, wykonane w pakiecie Demera+. Ko cowym eapem procedury TRAMO/SEATS jes ocena jako ci oszacowa, w ym sprawdzenie, czy przyj e zało enia s spełnione. Do diagnosyki wyników mo na równie wykorzysa niekóre esy saysyczne, oryginalnie dedykowane meodzie X-12-ARIMA, akie jak hisoria rewizji, analiza podrób i zło ony es sezonowo ci Walidacja modelu Diagnosyka modelu ma na celu weryfikacj poprawno ci jego budowy, sprawdzenie wys powania waha sezonowych w szeregu czasowym oraz okre- lenie charakerysyki ych zmian. Składaj si na ni 35 : wyniki esów sezonowo ci, analiza spekralna sezonowo wyrównanych danych, saysyki jako ci M i Q, analiza wska ników SI, oceny wielko ci rewizji, analiza sabilno ci wyników. 35 Opis poszczególnych saysyk i miar jako ci sezonowej koreky danych dos pny jes w pracach: [Findley i inni 1998], [Ladiray, Quenneville 2001] oraz [Gomez, Maravall 2001]. 81

83 Sezonowa koreka danych nie powinna by wykonywana dla szeregów, w kórych nie mo na zidenyfikowa komponenu sezonowego, gdy prowadzi o do szucznego wprowadzenia do danych składowych sezonowych. Isony jes równie charaker sezonowo ci. Zby szybko zmieniaj cy si wzorzec sezonowy jes rudny do modelowania i wymaga dokładnej analizy danych. Na kompleksow ocen waha sezonowych składaj si esy: Friedmana i Kruskala-Wallisa oraz es sezonowo ci ruchomej, es idenyfikowalnej sezonowo ci oraz zło ony es sezonowo ci. Zgodno zale no ci wys puj cych pomi dzy orzymanymi komponenami a oczekiwaniami jes weryfikowana w meodzie X-12-ARIMA za pomoc saysyk M i Q 36. Model sezonowej koreky danych powinien generowa sabilne wyniki, czyli akie, kóre nie podlegaj isonym zmianom w miar wydłu ania szeregu czasowego o kolejne obserwacje. Ta cecha jes sprawdzana za pomoc saysyk hisorii rewizji (ang. revision hisories) oraz analizy podprób (ang. sliding spans). Tes Friedmana Tes Friedmana weryfikuje hipoez zerow mówi c o ym, e k ró nych prób pochodzi z ej samej populacji lub z kilku populacji o równej redniej. Saysyka Friedmana jes wykorzysywana m.in. do esowania isono ci waha sezonowych w szeregu czasowym. Tes jes wykonywany na j podpróbach (j={1,,k}), gdzie k jes równe liczbie okresów w roku) pobranych z nieskorygowanych waro ci komponenu SI wyliczonych w pierwszej ieracji algorymu X Dla TRAMO/SEATS, składnik SI jes wyliczany na podsawie waro ci komponenów S i I. Hipoeza zerowa esu zakłada, e rednie dla ka dej z podprób s sobie równe, j.: H 0 : m1 = m2 =... = mk, co przy zało eniu, e wariancja ka dej z prób 2 jes sała i wynosi σ, jes równoznaczne z niewys powaniem sabilnych waha sezonowych. 36 Zało enia przyj e w meodzie TRAMO/SEATS s weryfikowane za pomoc sandardowej oceny współczynników korelacji pomi dzy komponenami. Ze wzgl du na powszechn znajomo ego ypu analizy, w opracowaniu pomini o jej opis. 37 Wska nik SI jes orzymywany jako suma (model addyywny) lub iloczyn (model muliplikaywny) komponenów S i I. 82

84 Tes bazuje na dekompozycji wariancji komponenu SI na wariancj w obr bie rednich i pozosał wariancj : gdzie x. j k n j= 1 i= 1 k k n j i, j x) = n j( x j x ) + ( xi, j x j ) j= 1 j= 1 i= 1 j ( x, (3.39) jes redni j-ej próby. Saysyka esowa ma rozkład F : F S = j= 1 k k n ( x j n j j= 1 i= 1 k 1 ( x j i, j n k x x ) 2 2 j ) ~ F( k 1, n k). (3.40) Brak odrzucenia hipoezy zerowej prowadzi do swierdzenia, e badany szereg czasowy nie wykazuje waha sezonowych. Tes Kruskala-Wallisa Hipoeza zerowa nieparamerycznego esu Kruskala-Wallisa jes aka sama jak esu Friedmana. Tes jes wykonywany na waro ciach osaecznego oszacowania nieskorygowanego komponenu SI, kóry jes dzielony na k podprób, gdzie k jes równe liczbie okresów w roku. Saysyka esowa ma posa : k 12 S W = n( n + 1) n 2 i rozkład χ α z k 1 sopniami swobody, gdzie obserwacji. j= 1 2 j j 3( n + 1) S j jes sum waro ci SI zaliczonych do j -ej grupy a, n = k n j j= 1 (3.41) o liczba 83

85 Tes sezonowo ci ruchomej Tes sezonowo ci ruchomej opiera si na dwuczynnikowej analizie wariancji S komponenu SI, kóry jes przedsawiany w posaci sumy rzech 2 czynników 38 : gdzie: j SI = b + m + e, (3.42) ij i m efek sezonowy dla j -ego okresu, j = ( 1,..., k), gdzie k = 12 dla danych miesi cznych i k = 4 dla szeregów kwaralnych, b efek roku i, ( i = 1,..., N ), gdzie N jes liczb pełnych la w SI, j e ij bł d. Całkowia wariancja jes rozdzielana na zmienno wynikaj c z przynale no ci obserwacji do ró nych sezonów w roku (miesi cy lub kwarałów), zmienno zwi zan z przynale no ci obserwacji do ró nych la i zmienno wewn rzgrupow (bł d): gdzie: S 2 = S S b + S m + N N 2 ( X ij X ) całkowia suma kwadraów, i= 1 i= 1 N 2 ( X j ) i= 1 j ij = S, (3.43) 2 Sb = k X suma kwadraów opisuj ca zmienno zwi zan z sezonami, N 2 ( X i ) i= 1 2 S m = k X suma kwadraów opisuj ca zmienno zwi zan z laami, S 2 e = N N 2 ( X ij X i X j + X ) reszowa (wewn rzgrupowa) suma kwadra- i= 1 i= 1 ów resz. Hipoeza zerowa esu zakłada, e dla wszyskich la efek roku jes idenyczny ( b 1 = b2 =... = bn ), co jes równoznaczne z ym, e wzorzec sezonowy nie ewoluuje w czasie. Hipoeza a jes weryfikowana za pomoc saysyki esowej: 2 e 38 Wzór dla addyywnej dekompozycji szeregu czasowego. W przypadku muliplikaywnym sosuje si posa : SI 1 = b + m + e. ij i j ij 84

86 2 SB FM = ( n 1) 2 SR, (3.44) ( n 1)( k 1) kóra przy zało eniu prawdziwo ci hipoezy zerowej ma rozkład F z k 1 i n k sopniami swobody. Tes idenyfikowalnej sezonowo ci Weryfikacja hipoezy o wys powaniu w szeregu czasowym indenyfikowalnej sezonowo ci jes mo liwa dzi ki wykorzysaniu saysyki esu sabilnej sezonowo ci Friedmana i esu ruchomej sezonowo ci: gdzie: F S = k k j= 1 n ( x j n j j= 1 i= 1 k 1 ( x j i, j n k x x ) 2 2 j ) FM + FS FS T =, (3.45) 2 jes saysyk esu Friedmana, 2 S B FM = ( n 1) 2 S R o saysyka esu ruchomej sezonowo ci. ( n 1)( k 1) Zło ony es sezonowo ci Poł czenie opisanych powy ej esów sezonowo ci umo liwiło sworzenie procedury weryfikuj cej hipoez o wys powaniu sezonowo ci w szeregu czasowym. Wynik esu zło onego mo e wskazywa na wys powanie mo liwej do zidenyfikowania sezonowo ci, wyklucza jej wys powanie lub sugerowa niskie prawdopodobie swo wys powania idenyfikowalnej sezonowo ci. Algorym sosowany w procedurze esowej przedsawia rysunek

87 Rysunek Algorym oceny wys powania sezonowo ci w szeregu czasowym F S H 0 H 0 FM H 0 H FM + FS FS T = 2 T 1 H 0 7 T = FM 1 T = 3 2 F F S T1 1 T 2 1 S H 0 H 0 H 0 H 0 H 0 ródło: [Ladiray, Quenneville 2001]. Tes sezonowo ci rezydualnej Sezonowo wyrównany szereg powinien by pozbawiony wszelkich isonych waha sezonowych. Tes sprawdzaj cy, czy cel en zosał osi gni y polega na usuni ciu rendu z sezonowo wyrównanego szeregu czasowego poprzez obliczenie rzecich ró nic 39, a nas pnie przeprowadzeniu esu Friedmana Operacja a polega na obliczeniu waro ci SA SA 3, gdzie SA waro skorygowana sezonowo w okresie. 40 Parz podrozdział

88 Powy szy es jes wykonywany w dwóch warianach: dla pełnej próby i dla obserwacji pochodz cych z rzech osanich la. Saysyki M i Q Saysyki M i Q s narz dziem diagnosycznym ci le oparym na wynikach poszczególnych ieracji meody X-12-ARIMA. Z ego powodu mog one by sosowane do oceny ylko ych wyników, kóre zosały orzymane w wyniku zasosowania algorymu X-12-ARIMA. Do zbioru saysyk M nale 41 : M1, kóra mierzy udział wariancji komponenu nieregularnego w wariancji szeregu; M2, kóra mierzy wielko komponenu nieregularnego w odniesieniu do linowego rendu. Waro saysyki M2 mo e prowadzi do bł dnych wniosków, gdy rend nie jes (w przybli eniu) liniowy. Z ego powodu jes ona niekiedy pomijana w analizie; M3, badaj ca sosunek waro ci komponenu nieregularnego do rendu na pocz kowym eapie esymacji. Wysoka waro M3 wskazuje na siln nieregularno w szeregu czasowym, mog c negaywnie wpływa na przebieg dekompozycji; M4, sprawdzaj ca losowo komponenu nieregularnego na podsawie esu auokorelacji. Ze wzgl du na o, e brak auokorelacji składnika sezonowego nie jes wymagany do ego, aby jako wyrównania sezonowego była wysoka, saysyka M4 nie zalicza si do kluczowych miar jako ci; M5, wskazuj ca na liczb okresów porzebnych, aby wariancja renducyklu przewy szała wariancj składnika nieregularnego; M6, esuj ca, czy wielko zmian w komponencie nieregularnym mierzonych rok do roku jes wła ciwa do zasosowania filru 3 5 do esymacji SI ; Nadmiernie wysoka waro M6 wskazuje na konieczno u ycia krószego filra do szacowania SI [Guide o 2007]; M7, kóra jes esem idenyfikowalnej sezonowo ci; M8, sprawdzaj ca wielko krókookresowych, quasi-losowych zaburze ; M9, esuj ca obecno flukuacji długookresowych w składniku sezonowym; M10, kóra jes zdefiniowana analogicznie jak M8 i jes obliczana dla obserwacji z rzech osanich la w próbie; 41 Szczegółowy opis saysyk M wraz z odpowiednimi formułami jes dos pny w [Lohian, Morry 1978]. 87

89 M11, kóra jes zdefiniowana analogicznie jak M9 i jes obliczana dla obserwacji z rzech osanich la w próbie. Saysyki M8, M9, M10 i M11 s pomocne w wykrywaniu obecno ci załama wzorca sezonowego, kóre s zjawiskiem niepodanym z punku widzenia sezonowej koreky danych i wymagaj indywidulanej analizy. Ka da ze saysyk M1 M11 mo e przyjmowa waro ci w zakresie [0,3], przy czym akcepowalne s waro ci poni ej 1. Wymienione powy ej saysyki wchodz w skład ogólnej miary jako ci Q zdefiniowanej nas puj co: 10M1+ 11M M 3 + 8M M M M 7 + 7M 8 + 7M 9 + 4M10 + 4M11 Q =. 100 W przypadku gdy szereg czasowy jes krószy ni 6 la, saysyki M8, M9, M10 i M11 nie mog by wyliczane i waro miary Q jes wyra ona jako: 14M1+ 15M M 3 + 8M M M M 7 + 0M 8 + 0M 9 + 0M10 + 0M11 Q = 100. Jako wyników wyrównania sezonowego uznaje si za akcepowaln, je eli waro ci poszczególnych saysyk M i miary Q s mniejsze ni 1. Analiza podprób Celem analizy podprób (ang. sliding spans) 42 jes ocena sabilno ci wyników sezonowej koreky danych. Sabilno badana jes poprzez wyodr bnienie z szeregu czasowego kilku podprób i wykonanie osobno dla ka dej z nich sezonowej koreky danych, a nas pnie porównanie rezulaów z ró nych podprób orzymanych dla ych samych obserwacji. Pierwsza podpróba zawiera obserwacje pochodz ce z analizowanego szeregu pocz wszy od pierwszej obserwacji do 1 + k obserwacji, gdzie k jes długo ci ka dego z podzbiorów. Kolejna podpróba obejmuje zakres, kórego pocz ek i koniec s przesuni e o rok naprzód w sosunku do poprzedniej podpróby (w przypadku szeregu o cz soliwo ci miesi cznej s o odpowiednio obserwacje nalece do przedziału [ 13, k + 13] ). Kolejne podpróby konsruowane s analogicznie z uwzgl dnieniem rocznego przesuni cia w sosunku do poprzedniej podpróby. Liczba podprób zale y od długo ci szeregu czasowego i rz du redniej ruchomej zasosowanej do esymacji składnika sezonowego Dokładny opis analizy podprób zawary jes w pracy [Findley i inni 1998]. 43 Przykładowo, w przypadku zasosowania redniej ruchomej rz du 5 3 długo podpróby wynosi 8 la. Je eli dla poszczególnych okresów zasosowane zosały filry sezonowe ró nej długo ci, o do usalenia długo ci podpróby u ywany jes najdłu szy z ych filrów sezonowych. 88

90 Dla ka dego okresu, kóry nale y do co najmniej dwóch podprób obliczane s waro ci rzech saysyk wyra onych wzorami : gdzie: SS max max = k N S ( k) min min k N S ( k) k N S ( k) S (k) czynnik sezonowy w okresie dla k -ej podpróby, N ={k: -y okres zawiera si w k -ej podpróbie}. gdzie: MM 1 max = max SA ( k) SA 1 ( k) MM ( k) =, SA ( k) k N MM ( k) min k N SA (k) sezonowo wyrównana obserwacja z okresu, pozosałe oznaczenia jak wy ej. gdzie: YY max SA ( k) SA 12 ( k) YY ( k) =. SA ( k) 12 Ka da ze saysyk = max max k N YY ( k) min k N, (3.46) MM ( k), (3.47) YY ( k), (3.48) max max SS, MM oraz YY jes uznawana za niesabiln, je eli jej waro przekracza 3%. Ogólny wynik sezonowej koreky danych jes rakowany jako niesabilny, je eli odseek niesabilnych waro ci saysyk max max max SS MM lub YY przekracza odpowiednio 25%, 40% lub 10%. Analiza podprób jes wykorzysywana do wykrywania załama wzorca sezonowego oraz porównania jako ci wyników konkurencyjnych specyfikacji modelu. Program Demera+ umo liwia wykonanie analiza podprób dla obu meod sezonowej koreky danych, mimo e oryginalnie a miara przeznaczona była do esowania wyników X-12-ARIMA. 44 Przedsawione formuły sosowane s dla danych o cz soliwo ci miesi cznej, Dla danych kwaralnych zamias saysyki MM liczona jes saysyka QQ a saysyka YY wyra a si wzorem: SA ( k) SA 4 ( k) YY ( k) =. SA ( k) 4 89

91 Hisoria rewizji Hisoria rewizji (ang. revision hisories) jes jednym z kryeriów oceny sabilno ci wyników wyrównania sezonowego. Polega ona na porównaniu ró nicy pomi dzy ws pnymi a osaecznymi waro ciami sezonowo wyrównanego szeregu 45 dla danego okresu. Oszacowanie ws pne o waro wyrównanej sezonowo obserwacji z okresu od 1 do n, orzymana, gdy n jes osanim okresem szeregu czasowego. W miar wydłu ania szeregu czasowego o kolejne obserwacje i wykonywania dla niego korek sezonowych, oszacowanie ws pne saje si oszacowaniem hisorycznym, czyli akim, kórego waro nie podlega isonym zmianom w miar dodawania kolejnych obserwacji. Hisoria rewizji analizuje zmiany oszacowa ws pnych z okresu na okres oraz bada empo konwergencji oszacowania ws pnego do oszacowania hisorycznego (osaecznego). Ocena wielko ci rewizji jes wykonywana na podsawie redniej z wzgl dnej waro ci rewizji oraz odchylenia sandardowego wzgl dnej waro ci rewizji. Program Demera+ oblicza hisori rewizji dla obu meod sezonowej koreky danych, mimo e oryginalnie a miara, podobnie jak analiza podprób, przeznaczona była do weryfikacji wyników X-12-ARIMA. Periodogram Jednym z najlepszych narz dzi słucych do wykrywania w dziedzinie cz so ci cyklicznych komponenów szeregu czasowego jes periodogram. ( y y) Dla wysandaryzowanego szeregu z ( z = gdzie y ^ szereg czasowy, δ n = n = 2 y y = 1 n, ^ 2 ( y y ) 1 δ y = n gdzie: n n, z ( ) = 1 C λ = cos( λ) z, n n, z ( ) = 1 S λ = sin( λ) z, n liczba obserwacji szeregu y. y ) periodogram jes zdefiniowany jako: I n, z ( λ) = ( Cn, z ( λ) + Sn, z ( λ)) (3.49) n 45 Analogiczna analiza jes wykonywana dla rendu-cyklu. 90

92 Cz so ci Fouriera dla periodogramu s okre lone jako: = 2 πj λ,0 < n j j n 2 Pokrycie si punku, dla kórego periodogram osi ga lokalne. maksimum z cz so ci sezonow lub cz so ci dni roboczych wiadczy o wys powaniu waha sezonowych w szeregu czasowym. Nale y zaem oczekiwa, e periodogram wykonany dla danych wyrównanych sezonowo nie b dzie posiada ej cechy. Rysunek Periodogram szeregu surowego (lewy) oraz wyrównanego sezonowo (prawy) ródło: opracowanie własne, wykonane w pakiecie Demera+. Na rysunku przedsawiono porównanie periodogramów dla szeregu czasowego miesi cznych cen mleka przed (rysunek 3.4.2, lewy) i po wykonaniu desezonalizacji za pomoc procedury X-12-ARIMA (rysunek 3.4.2, prawy). Na podsawie powy szych wykresów mo na wnioskowa, e w oryginalnym szeregu czasowym isniały wahania sezonowe wys puj ce raz na czery miesi ce (pik dla cz so ci równej 2 π ) oraz raz na rok (pik dla cz so ci równej 6 π ). Naomias nie wys powały, zmiany zwi zane z liczb dni roboczych w miesi cu, co jes logiczne, bo produkcja mleka, a ym bardziej ceny nie zale od liczby dni roboczych w miesi cu (cz so dni roboczych jes oznaczona ró ow pionow lini ). Procedura sezonowej koreky danych doprowadziła do usuni cia wymienionych powy ej waha. Najwa niejszym komponenem, kóry pozosał w szeregu czasowym po eliminacji waha sezonowych s zmiany długookresowe (TC), kórym odpowiadaj niskie cz soliwo ci. 91

93

94 4. Analiza i modele szeregów czasowych cen zbó i cen mleka Niniejszy rozdział przybli a najwa niejsze wła ciwo ci szeregów czasowych miesi cznych cen zbó i mleka w laach Prawidłowo ci przedsawione uaj mog sanowi podsaw wyboru meod prognozowania oraz sanowi wskazówki dla analiyków wykonuj cych krókookresowe prognozy. Analizy przeprowadzono w programie Demera+ 46 z wykorzysaniem meod X-12-ARIMA oraz TRAMO/SEATS. Meody e opisano rozdziale 3. Ka dy z rozdziałów podzielono na 4 czci. Ka dorazowo analiz rozpocz o od omówienia charakerysyki oszacowanych modeli prognosycznych na eapach RegARIMA oraz TRAMO. Na podsawie modeli oszacowanych w niniejszym rozdziale oraz w rozdziale 5 zbudowano prognozy wygasłe, kórych dokładno analizowano w dalszej czci opracowania (rozdział 6.2). Dalej scharakeryzowano prawidłowo ci szeregów czasowych, akie jak wahania sezonowe i cykliczne. Kolejne czci zawieraj charakerysyk jako ci procedury dekompozycji szeregu czasowego na rend-cykl (TC), składnik sezonowy (S) oraz wahania nieregularne (I). Na ko cu podrozdziałów zawaro krókie podsumowanie Ceny pszenicy W okresie obj ym badaniem ceny pszenicy podlegały wyra nym flukuacjom zwi zanym z cyklami owarowymi. Długookresowy rend-cykl ma endencj rosn c wynikaj c z działania czynnika inflacyjnego oraz endencji kszałuj cych si na rynkach wiaowych. Długo waha cyklicznych zawiera si w przedziale 3-4 la. Ampliuda waha cyklicznych zwi ksza si w czasie, co wskazuje na muliplikaywn zale no pomi dzy komponenami szeregu cen pszenicy (rysunek 4.1.1). Graficzna analiza przebiegu szeregu czasowego wskazuje, e rend-cykl jes jego dominuj c składow. Sezonowe i przypadkowe zmiany cen s relaywnie niewielkie. 46 Demera+ o opracowany przez Eurosa i Bank Belgii program do sezonowej koreky danych meodami X-12-ARIMA i TRAMO/SEATS. Narz dzie wraz z dokumenacj jes dos pne pod adresem hp://cros-poral.eu/page/demera-ne-windows.hm. 93

95 Modele prognosyczne Do opisu zachowania cen pszenicy, a w konsekwencji do prognozowania, oszacowano dwa modele, kórych saysyki przedsawiono w abeli Wszyskie paramery s saysycznie isone. Modele opare na obydwu procedurach s jednakowe w czci sezonowej, za w niesezonowej model RegARI- MA posiada jeden paramer auoregresyjny, z kolei model TRAMO jeden paramer redniej ruchomej. Rysunek Ceny pszenicy w Polsce w laach (zł/d). Szereg wyj ciowy oraz szacunki rendu i danych wyrównanych sezonowo na podsawie modeli: X-12-ARIMA (lewy) oraz TRAMO/SEATS (prawy) ródło: opracowanie własne, wykonane w pakiecie Demera+. Cech charakerysyczn cen pszenicy, podobnie jak cen innych zbó, jes wys powanie wzgl dnie wysokiego odseka obserwacji nieypowych w próbie. Obserwacje e zosały uj e w posaci dodakowych regresorów zamieszczonych w dalszej czci abeli Oszacowana, na eapie oczyszczania szeregu z obserwacji nieypowych, siła i kierunek wpływu poszczególnych zdarze nadzwyczajnych na ceny pszenicy jes zbli ona w obu meodach. Obserwacje nieypowe wys puj zazwyczaj w drugiej połowie roku, gdy dos pna saje si informacja o rzeczywisych zbiorach. Przyczyn ich ws powania jes silna zale no cen pszenicy od wielko ci zbiorów i jako ci ziarna. Dodakowo nakłada si na o wysoki sopie uregulowania ego rynku skukuj cy przeprowadzaniem inerwencji. Przykładowo, niskie zbiory w Polsce i na wiecie w 2003 r. spowodowały znaczny wzros cen pod koniec ego roku. Nało enie si na siebie efeku zmian regulacji rynku pszenicy po wej ciu do 94

96 Unii Europejskiej, spadku cen do poziomu cen inerwencyjnych oraz wysokich plonów spowodowało wys pienie w sierpniu 2004 r. rwałego obni enia poziomu cen. Paramer Tabela Paramery modeli RegARIMA i TRAMO Waro/ odchylenie sandardowe RegARIMA Saysyka / poziom isono ci Waro / odchylenie sandardowe TRAMO Saysyka / poziom isono ci AR(1) -0,6745/0, ,56/0,0000 MA(1) 0,6023/0,0640 9,42/0,0000 SMA(1) -0,8513/0, ,38/0,0000-0,8802/0,0916-9,61/0,0000 AO[7.1996] 0,0855/0,0170 5,02/0,0000 0,0765/0,0166 4,61/0,0000 LS[8.2000] -0,1805/0,0284-6,36/0,0000-0,1639/0,0292-5,61/0,0000 LS[ ] 0,1516/0,0280 5,42/0,0000 0,1500/0,0288 5,48/0,0000 LS[8.2004] -0,3075/0, ,84/0,0000-0,2979/0, ,20/0,0000 LS[7.2005] 0,1348/0,0282 4,78/0,0000-0,535/0,0291 5,28/0,0000 RP [ ] 0,4329/0,0549 7,89/0,0000 0,4148/0,0652 6,36/0,0000 LS[2.2009] 0,1131/0,0283 3,99/0,0000 0,0994/0,0291 3,42/0,0000 LS[8.2009] -0,1280/0,0292-4,38/0,0000-0,1479/0,0300 4,93/0,0000 LS[8.2010] 0,1352/0,0295 4,58/0,0000 0,1258/0,0298-4,22/0,0000 Specyfikacja modeli: RegARIMA (1,1,0)(0,1,1), TRAMO (0,1,1)(0,1,1). ródło: opracowanie własne, obliczenia wykonane w pakiecie Demera+. W 2007 r. miał miejsce silny wzros cen, na kóry zło yły si niskie zbiory wiaowe oraz wzros popyu na biopaliwa, zwi zany ze wzrosem cen ropy. Wzros cen w drugiej połowie 2007 r. odbywał si sopniowo i z ego wzgl du jes on modelowany przy pomocy regresora ypu RP. O ile zwi kszenie inflacji w luym 2009 r. wynikało raczej z przesadnej reakcji na wzros cen wiaowych pszenicy, o spadek cen, jaki miał miejsce w sierpniu 2008 r., odzwierciedlał efek wysokich zbiorów w Polsce i na wiecie. Ograniczenia eksporu zbó, jakie weszły w ycie w Rosji i na Ukrainie, a ak e bardzo niskie zbiory wiaowe i niedobory surowca wysokiej jako ci, spowodowały nadzwyczajny wzros cen pszenicy w sierpniu 2008 r. Oszacowane modele prognosyczne poddano weryfikacji maj cej na celu ocen ich jako ci z uwagi na wymagania sawiane modelom ekonomerycznym. Najwa niejsze z nich koncenruj si na rozkładzie składnika losowego. Wyniki e zawaro w abeli

97 Tabela Charakerysyka resz z modeli prognosycznych RegARIMA i TRAMO Tes RegARIMA TRAMO Saysyka esowa Normalno resz rednia 0,9477 0,9187 Sko no 0,2982 0,3233 Kuroza 0,7098 0,7292 Tes normalno ci 0,4880 0,5159 Niezale no Tes Ljung-Boxa (24 opó nienia) 0,0972 0,0971 Tes Boxa-Pierce a (24 opó nienia) 0,1520 0,1506 Tes Ljung-Boxa dla opó nie sezonowych (3 opó nienia) 0,0943 0,1824 Tes Boxa-Pierce a dla opó nie sezonowych (3 opó nienia) 0,1423 0,2487 Liniowo resz Tes Ljung-Boxa na kwadraach resz (24 opó nienia) 0,0117 0,0059 Tes Boxa-Pierce a na kwadraach resz (24 opó nienia) 0,0304 0,0165 W sekcji Normalno resz przyoczono poziom isono ci dla esu normalno ci Doornika-Hansena, a ak e poziomy isono ci dla esów zbie no ci waro ci sko no ci i kurozy z waro ciami charakerysycznymi dla rozkładu normalnego oraz esu zerowej redniej resz. ródło: opracowanie własne, obliczenia wykonane w pakiecie Demera+. Reszy z modeli RegARIMA i TRAMO maj rozkład normalny (waro ci redniej, sko no ci i kurozy odpowiadaj w przybli eniu rozkładowi normalnemu). Rezula esu na niezale no resz wskazuje, e liczba i długo serii wzrosów i spadków cen pszenicy ma charaker przypadkowy. Wyniki esów Ljung-Boxa i Boxa-Pierce a wiadcz o braku auokorelacji resz do 24. opó nienia wł cznie oraz braku auokorelacji dla opó nie sezonowych. Orzymane waro ci saysyk dla analogicznych esów wykonanych na kwadraach resz wskazuj na brak zale no ci nieliniowych w reszach. Mo na zaem oceni, e oszacowane modele prognosyczne spełniaj sawiane im wymagania, poniewa wszyskie prawidłowo ci obserwowane w szeregach czasowych cen zosały uj e przez paramery modelu. Analiza prawidłowo ci i diagnosyka dekompozycji szeregu czasowego Z analiycznego i prognosycznego punku widzenia wa ne jes przybli enie charakerysyk najwa niejszych prawidłowo ci wys puj cych w szeregach czasowych cen surowców rolnych. Szczególn uwag po wi ca si wahaniom sezonowym i koniunkuralnym. Wahania sezonowe produkcji ro linnej wydaj si by oczywise. Kszał wzorca waha sezonowych uzyskanych za pomoc modeli X-12-ARIMA oraz TRAMO/SEATS przedsawiono na rysunku Obie meody wskazuj, e w pierwszej połowie roku, ze wzgl du na czynniki sezonowe ceny s wy sze od redniej, a w drugiej połowie roku ni sze. W syczniu i luym wyra nie za- 96

98 znacza si sopniowe zwi kszanie siły efeku sezonowego w miar upływu la, podczas gdy dla sierpnia i pa dziernika efek en ma kierunek odwrony. Czynniki sezonowe dla poszczególnych miesi cy uwidocznione na rysunku podlegaj sopniowej ewolucji. Innymi słowy, wzorzec waha sezonowych ulega powolnym zmianom w czasie. W ród przyczyn akiego sanu rzeczy mo na wymieni zaniechanie corocznych inerwencji na rynku ego zbo a w okresie niw po przys pieniu Polski do Unii Europejskiej. Efekem ego jes wzros ampliudy waha sezonowych w porównaniu do okresu przedakcesyjnego. Rysunek Czynnik sezonowy oszacowany za pomoc meod: X-12-ARIMA (prawy) i TRAMO/SEATS (lewy) Oznaczenia: czarny wska nik SI, niebieski czynnik sezonowy w danym okresie, czerwony rednia waro czynnika sezonowego dla danego okresu. ródło: opracowanie własne, wykonane w pakiecie Demera+. Wynik esu Friedmana (abela 4.1.3) wskazuje, e zmiany cen pszenicy w ci gu roku s wysarczaj co regularne do okre lenia je jako sezonowe. Jednocze nie saysyka esu sezonowo ci ruchomej oznacza, e wzorzec waha sezonowych sopniowo ewoluuje w czasie. Ł czny es sezonowo ci powierdził, e ceny pszenicy podlegaj saysycznie isonym wahaniom sezonowym. S d prawidłowe jes sosowanie w ym przypadku procedur sezonowej koreky danych. Osani z esów zamieszczonych w abeli wykonany na sezonowo wyrównanych danych powierdza, e zasosowane procedury desezonalizacji umo liwiły całkowie usuni cie waha sezonowych z szeregu czasowego cen pszenicy. 97

99 Tabela Tesy sezonowo ci dla wyników meod: X-12-ARIMA i TRAMO/SEATS Tes X-12-ARIMA TRAMO/SEATS Poziom isono ci / wynik Poziom isono ci / wynik Tes Friedmana 0,0000 (wys puje sabilna sezonowo) 0,0000 (wys puje sabilna sezonowo) Tes sezonowo ci ruchomej 0,0000 (wys puje sezonowo ruchoma) 0,0000 (wys puje sezonowo ruchoma) Ł czny es sezonowo ci Zidenyfikowano sezonowo w szeregu czasowym Zidenyfikowano sezonowo w szeregu czasowym Tes sezonowo ci rezydualnej Brak sezonowo ci rezydualnej Brak sezonowo ci rezydualnej W abeli podano waro ci poziomu isono ci b d wyniku esu. Przyj e poziomy isono ci, przy kórych odrzucana jes odpowiednia hipoeza zerowa: Tes Friedmana 1%, Tes sezonowo ci ruchomej 20%, Tes sezonowo ci rezydualnej - 10%, Ł czny es sezonowo ci parz rozdział 3. ródło: opracowanie własne, obliczenia wykonane w pakiecie Demera+. Ze wskazanego powy ej powodu (ruchoma sezonowo) zdecydowano si na u ycie w meodzie X-12-ARIMA mieszanych filrów redniej ruchomej. Dla sierpnia, kóry wyró nia si na le innych okresów roku wi ksz niesabilno ci zasosowano dłu szy filr (3x9) ni dla pozosałych miesi cy (3x5), co pozwoliło na wygładzenie czynnika sezonowego dla ego okresu. Dobrana w sposób auomayczny długo filru Hendersona (11 okresów) wskazuje, e komponen nieregularny nie jes nadmiernie wysoki w sosunku do rendu- -cyklu, co powierdza wyniki wcze niejszej analizy graficznej 47. W meodzie TRAMO/SEATS sopniowe zmiany wzorca sezonowego zosały odwzorowane dzi ki obecno ci sezonowego parameru auoregresyjnego modelu ARIMA(0,0,0)(1,1,1) przyj ego do esymacji komponenu sezonowego na eapie dekompozycji. Funkcja g so ci spekralnej komponenu sezonowego orzymanego meod TRAMO/SEATS koncenruje si wokół cz so ci sezonowych, co wiadczy o deerminisycznej naurze ego składnika (rysunek 4.1.3, lewy). W szeregu pozbawionym waha sezonowych uwzgl dnione zosało 100% zmienno ci dla π cz so ci mniejszych od oraz ponad 90% zmienno ci w przedziale ( π, π 2 2 ) z wył czaniem cz so ci sezonowych (rysunek , prawy). 47 Im wi ksza jes waro komponenu nieregularnego w sosunku do rendu-cyklu, ym dłu szy filr Hendersona powinien by zasosowany do esymacji rendu-cyklu. Wi cej w [Guide o Seasonal 2007]. 98

100 Rysunek Funkcje g so ci spekralnej esymaorów komponenów szeregu czasowego (lewy) i kwadray charakerysyk cz soliwo ciowych esymaorów komponenów szeregu czasowego (prawy) dla meody TRAMO/SEATS Oznaczenia: czerwony rend-cykl, niebieski składnik sezonowy, ró owy komponen nieregularny, granaowy szereg wyrównany sezonowo. ródło: opracowanie własne, wykonane w pakiecie Demera+. Periodogramy szeregu wyrównanego sezonowo obiema meodami s niemal idenyczne (rysunek 4.1.4). Dla zmian cen pszenicy najwi ksze znaczenie maj wahania o okresie dłu szym ni jeden rok (waro ci periodogramu s najwy sze w przedziale ( 0, π / 6)). Maksymalne waro ci periodogramów (ok. 24% zmienno ci) odpowiadaj cyklowi o długo ci 46 miesi cy. Nale y podkre li, e długo cykli koniunkuralnych dla cen pszenicy nie jes sała w czasie. Z ego powodu obserwowane s równie lokalne maksima dla cz so- ci równoznacznej cyklom 24-miesi cznym i 17- miesi cznym (ka de odpowiada za ok. 9% zmienno ci). Za ison cz zmienno ci odpowiadaj równie wahania niesezonowe obecne w pobli u cz so ci 3 π, oznaczaj cej wys powanie impulsu o cz soliwo ci półrocznej. 99

101 Rysunek Periodogramy posaci sacjonarnej szeregu wyrównanego sezonowo meodami X-12-ARIMA (lewy) i TRAMO/SEATS (prawy) ródło: opracowanie własne, wykonane w pakiecie Demera+. Meody X-12-ARIMA i TRAMO/SETS słu przede wszyskim do dekompozycji szeregów czasowych na rend-cykl (TC), wahania sezonowe (S) oraz składnik przypadkowy (I). S d ni ej przedsawimy ocen jako ci sosowanych procedur. Rysunek Hisoria rewizji rendu-cyklu uzyskanego meodami: X-12-ARIMA (lewy) i TRAMO/SEATS (prawy) Oznaczenia: czerwony oszacowanie osaeczne rendu-cyklu, niebieski oszacowanie ws pne rendu-cyklu. ródło: opracowanie własne, wykonane w pakiecie Demera+. Hisoria rewizji (rysunek 4.1.5) wskazała, e pierwsze oszacowania rendu-cyklu nie podlegaj znacznym zmianom w miar dodawania kolejnych obserwacji. W przypadku meody X-12-ARIMA znacz c rewizj odnoowano jedynie w kwieniu 2008 r. Była ona zwi zana ze zmian kierunku rozwoju rendu-cyklu i zosała wykrya dopiero po upływie kilku okresów. Wyniki me- 100

102 ody TRAMO/SEATS równie wskazuj na brak isonych rewizji oszacowania rendu-cyklu z wyj kiem oszacowania dla pa dziernika 2007 r. odzwierciedlaj cego niepewno zwi zan z pocz kiem kolejnej fazy cyklu gospodarczego. Tabela Miary jako ci sezonowej koreky danych dla meody X-12-ARIMA Miara Waro saysyki esowej Miara Waro saysyki esowej M1 0,183 M7 0,578 M2 0,052 M8 0,944 M3 0,000 M9 0,458 M4 1,020 M10 0,902 M5 0,000 M11 0,000 M6 0,555 Q 0,399 ródło: opracowanie własne, obliczenia wykonane w pakiecie Demera+. Waro ci wszyskich saysyk M modelu X-12-ARIMA (abela 4.1.4), z wyj kiem M4, znajduj si poni ej waro ci progowej równej 1, co oznacza, e charakerysyki poszczególnych komponenów szeregu czasowego mieszcz si w zało onym wzorcu. Saysyka M4 bada auokorelacj składnika nieregularnego i przekroczenie przez ni waro ci granicznej sugeruje porzeb skrócenia filru Hendersona i filru sezonowego. Dla omawianego szeregu czasowego mo na jednak uzna, e saysyka M4 znajduje si na granicy obszaru dopuszczalnych waro ci. Blisko waro ci granicznej s równie saysyki M8 i M10, co wskazuje na znaczne, cho mieszcz ce si w normie, flukuacje komponenu sezonowego, zarówno w całej próbie (M8), jak i w rzech osanich laach (M10). Tabela Wariancja komponenów i ich esymaorów uzyskanych za pomoc meody TRAMO/SEATS Wyszczególnienie Komponen Esymaor eoreyczny Esymacja Poziom isono ci Trend-cykl 0,5343 0,3775 0,4228 0,3853 Szereg skorygowany 0,9418 0,8301 0,7941 0,6992 Komponen sezonowy 1,8887 0,0412 0,0199 0,3389 Komponen nieregularny 0,0679 0,0220 0,0174 0,1592 ródło: opracowanie własne, obliczenia wykonane w pakiecie Demera+. Dla wszyskich składowych szeregu cen pszenicy oszacowanego meod TRAMO/SEATS spełnione zosało zało enie o ym, e wariancja esymaora eoreycznego i empirycznego ( esymacja ) jes do siebie zbli ona (abela 4.1.5). Na podsawie wyników esu mo na swierdzi, e aden komponen nie zosał niedoszacowany ani przeszacowany. Oznacza o, e w wyniku dekompozycji orzymano komponeny o podanych własno ciach. Korelacja pomi dzy komponenami jes bardzo mała, ak wi c zało enia modelu zosały spełnione. Na podsawie wyniku esu przedsawionego w abeli 101

103 4.1.6 mo na przyj, e składowe szeregu cen pszenicy s wzgl dem siebie orogonalne. Wynika s d, e wahania cykliczne i długookresowe, sezonowe i nieregularne s od siebie niezale ne i mog by analizowane odr bnie. Tabela Korelacje mi dzy składowymi szeregów czasowych uzyskanymi za pomoc meody TRAMO/SEATS Wyszczególnienie Esymaor eoreyczny Esymacja Poziom isono ci Trend-cykl/Komponen sezonowy -0,1206-0,0715 0,6202 Trend-cykl/Komponen nieregularny 0,0912 0,0017 0,1738 Kom. sezonowy/komp. nieregularny 0,0244 0,0420 0,2307 ródło: opracowanie własne, obliczenia wykonane w pakiecie Demera+. Podsumowanie Cech charakerysyczn nominalnych cen pszenicy jes dodani rend i rosn ca ampliuda waha redniookresowych w kolejnych cyklach owarowych. Wahania cykliczne o długo ci około 46 miesi cy maj najwi kszy udział w kszałowaniu si cen i od ich prawidłowego wyznaczenia i eksrapolacji w najwi kszym sopniu zale y dokładno krókookresowych prognoz cen pszenicy. Oszacowany wzorzec waha sezonowych wskazuje na wyra ny podział roku na dwa okresy w pierwszych sze ciu miesi cach ceny s wy sze od redniorocznych, a w drugiej połowie roku ni sze. Wpływ czynników sezonowych na zmiany cen jes sosunkowo niewielki, gdy ampliuda redniocznych cen waha si od około 95% (sierpie lisopad) do 105% (maj i czerwiec). W miar upływu czasu znaczenie komponenu sezonowego sopniowo wzrasa, a wzorzec zmian ulega powolnej ewolucji przykładowo sopniowo zwi ksza si sezonowy wzros cen w luym. Specyfika produkcji ego surowca powoduje cz se, niespodziewane zaburzenia jego cen. Z reguły s one wywołane niekorzysnymi warunkami pogodowymi i s zlokalizowane w s siedzwie punków zwronych rendu. Taka zale no obni a wiarygodno prognoz oszacowanych meodami bazuj cymi na modelach szeregów czasowych, akich jak X-12-ARIMA i TRAMO/SEATS. Modele oszacowane meodami X-12-ARIMA oraz TRAMO/SEATS wyja- niaj najwa niejsze prawidłowo ci kszałuj ce ceny pszenicy oraz spełniaj wszyskie warunki nakładane modelom ekonomerycznym w zakresie isono ci paramerów, rozkładu składnika losowego oraz dopasowania modelu do danych empirycznych. 102

104 4.2. Ceny ya Spo ród wszyskich zbadanych szeregów charakerysyki cen ya podlegały najbardziej gwałownym przemianom w osanich laach. Ws pne analizy wykonane na całej dos pnej próbie wykazały, e wraz z przys pieniem Polski do Unii Europejskiej i wynikaj cej s d ransformacji ekonomicznych uwarunkowa prowadzenia działalno ci rolnej, zmianie uległy prawidłowo ci charakeryzuj ce ceny ya. Doyczy o równie flukuacji redniookresowych, zwi zanych z cyklami gospodarczymi oraz wzorca waha sezonowych. Przyczyn ego procesu mo na uparywa w zaniechaniu inerwencji na ym rynku oraz wpływie kryzysu finansowego na rynek produków rolnych. Wymienione powy ej czynniki zmieniły w isony sposób proces generuj cy szereg cen ya, w wyniku czego, na skuek braku zachowania podsawowych zało e nakładanych na model saysyczny, analiza pełnej próby sała si niemo liwa. Z ego powodu zdecydowano si na wydzielenie z szeregu czasowego dwóch podprób. Pierwsza z nich obejmuje okres od r. do r., a druga okres od r. do r. Za punk podziału przyj o miesi c ws pienia Polski do Unii Europejskiej, gdy było o najbardziej znacz ce, jednoznacznie zdefiniowane i umiejscowione w czasie wydarzenie, jakie zaszło w okresie, w kórym doychczasowe zachowanie szeregu uległo przeobra eniom. Wej cie do UE znacz co zmieniło warunki funkcjonowania rynku. Zesawienie rezulaów orzymanych w konsekwencji zasosowania ego punku podziału z wynikami, jakie s generowane po przyj ciu alernaywnych da granicznych, powierdziły słuszno dokonanego wyboru. Modele prognosyczne Ws pna analiza szeregu cen ya wykazała wys powanie okresów wzmo onej zmienno ci, zmian w hisorycznych wzorcach flukuacji oraz znacznej liczby obserwacji nieypowych, w wyniku czego prawdopodobne jes wys pienie rudno ci z doborem modeli oraz rafno ci prognoz. Pocz kowy okres próby zosał pomini y ze wzgl du na rudno ci esymacyjne wynikaj ce z wys pienia w 1996 r. nieypowo niskiego poziomu cen ya. Nale y podkre li, e drugi z podszeregów obejmuje zaledwie 5 pełnych la, co oznacza, e zgodnie z wyycznymi Eurosau kwalifikowany jes on jako króki szereg czasowy [ESS Guidelines 2009] i mo na spodziewa si problemów ze spełnieniem zało e modeli sezonowej koreky danych. 103

105 Rysunek Ceny ya w Polsce w laach (zł/d). Szereg wyj ciowy oraz szacunki rendu i danych wyrównanych sezonowo na podsawie modeli: X-12-ARIMA (lewy) oraz TRAMO/SEATS (prawy) ródło: opracowanie własne, wykonane w pakiecie Demera+. Procedura desezonalizacji zosała przeprowadzona oddzielnie dla ka dego z przedziałów czasowych. Poni ej zesawiono i omówiono wyniki orzymane dla wyró nionych podszeregów. We wszyskich modelach cen ya zało ono wys powanie muliplikaywnej zale no ci pomi dzy komponenami. Paramer Tabela Paramery modeli RegARIMA i TRAMO Waro/ odchylenie sandardowe RegARIMA Saysyka / poziom isono ci Waro/ odchylenie sandardowe TRAMO Saysyka / poziom isono ci Laa MA(1) 0,1445/ 0,1167 1,24/0,2196 SMA(1) -0,6957/0,0987-7,05/0,0000-0,6938/ 0,1806-3,84/0,0003 LS[ ] 0,2382/0,0366 6,51/0,0000 0,1866/ 0,0386 4,84/0,0000 LS[ ] 0,1508/0,0368 4,09/0,0001 0,1494/ 0,0360 4,15/0,0001 LS[ ] 0,1994/0,0394 5,07/0,0000 0,2390/ 0,0358 6,68/0,0000 Laa AR(1) -0,4353/0,1094-3,98/0,0002 MA(1) 0,5924/0,0996 5,95/0,0000 0,9904/0,1189 8,33/0,0000 MA(2) 0,2985/0,1185 2,52/0,0141 SMA(1) -0,9996/0,1095-9,13/0,0000-0,9850/0, ,44/0,0000 LS[ ] -0,3282/0, ,33/0,0000-0,3316/0, ,36/0,0000 LS[ ] -0,1930/0,0306-6,31/0,0000-0,1907/0,0309-6,17/0,0000 Specyfikacja modeli dla la : RegARIMA (0,1,0)(0,1,1), TRAMO (0,1,1)(0,1,1). Specyfikacja modeli dla la : RegARIMA (1,1,1)(0,1,1), TRAMO (0,1,2)(0,1,1). ródło: opracowanie własne, obliczenia wykonane w pakiecie Demera+. Ceny ya w długim okresie zachowuj si w sposób zbli ony do cen pszenicy, co wynika z wysokiego sopnia podobie swa zmienno ci poda y oraz 104

106 subsyucyjno ci wykorzysania. Procedura sezonowej koreky danych dla okresu wykryła wys pienie rzech rwałych zmian poziomu długookresowego rendu (abela 4.2.1). W 1999 r. i 2003 r. ich przyczyn był wzros cen wiaowych, naomias w 2000 r. wzros ceny ya był dodakowo spowodowany inerwencj w syuacji niskich zbiorów. Rysunek wskazuje, e obie meody prognozowały sopniowy spadek poziomu cen ya w drugiej połowie 2004 r., jednak e rzeczywisa dynamika ego procesu okazała si znacznie wi ksza. Niska dokładno ych prognoz wynika z ego, e wykonane zosały w pobli u punku zwronego rendu-cyklu i w okresie zmiany procesu generuj cego dane. Od 2004 r. ampliuda waha sezonowych, w porównaniu do pierwszej podpróby, uległa zwielokronieniu (rysunek 4.2.3). W ym okresie zidenyfikowano dwa rwałe obni enia poziomu cen (abela 4.2.1). Pierwszy z nich był zwi zany ze zmian regulacji prawnych po wej ciu Polski do UE, naomias drugi był wynikiem bardzo dobrych zbiorów w Polsce i na wiecie. Rysunek Ceny ya w laach oraz oszacowania na podsawie modeli: X-12-ARIMA (lewy) oraz TRAMO/SEATS (prawy) ródło: Opracowanie własne, wykonane w pakiecie Demera+. Jak wynika ze saysyk zebranych w abeli 4.2.1, zmiany poziomu cen ya, podobnie jak cen pszenicy (por. abela 4.1.1), maj charaker rwały, mimo e przyczyny lece u ich podsaw wygasaj w miar upływu czasu. Generalnie efeky zdarze szokowych, wynikaj cych z czynników pogodowych, powinny by modelowane za pomoc zmiennych ypu TC. Szeregi cen zbó cechuje jednak du a liczba obserwacji nieypowych, nas puj cych po sobie w niewielkich ods pach czasu, co na skuek nakładania si na siebie efeków kolejnych regresorów powoduje, e najlepiej przybli ane s one za pomoc zmiennych ypu LS. 105

107 Tabela Charakerysyka resz z modeli prognosycznych RegARIMA i TRAMO dla okresu Tes RegARIMA TRAMO Poziom isono ci Laa Normalno resz rednia 0,2496 0,3904 Sko no 0,1147 0,0459 Kuroza 0,2153 0,0726 Tes normalno ci 0,1437 0,0655 Niezale no Tes Ljung-Boxa (24 opó nienia) 0,3576 0,7218 Tes Boxa-Pierce a (24 opó nienia) 0,6615 0,8653 Tes Ljung-Boxa dla opó nie sezonowych (3 opó nienia) 0,0906 0,1636 Tes Boxa-Pierce a dla opó nie sezonowych (3 opó nienia) 0,2180 0,2717 Liniowo resz Tes Ljung-Boxa na kwadraach resz (24 opó nienia) 0,3576 0,1984 Tes Boxa-Pierce a na kwadraach resz (24 opó nienia) 0,6615 0,4461 Laa Normalno resz rednia 0,3978 0,3077 Sko no 0,6623 0,4812 Kuroza 0,8326 0,7465 Normalno 0,6449 0,5366 Niezale no Tes Ljung-Boxa (24 opó nienia) 0,2833 0,0685 Tes Boxa-Pierce a (24 opó nienia) 0,6821 0,3447 Tes Ljung-Boxa dla opó nie sezonowych (3 opó nienia) 0,0113 0,0061 Tes Boxa-Pierce a dla opó nie sezonowych (3 opó nienia) 0,0555 0,0372 Liniowo resz Tes Ljung-Boxa na kwadraach resz (24 opó nienia) 0,2833 0,0685 Tes Boxa-Pierce a na kwadraach resz (24 opó nienia) 0,6821 0,3447 ródło: opracowanie własne, obliczenia wykonane w pakiecie Demera+. Wykonana diagnosyka resz (abela 4.2.2) sygnalizuje, e dla obu podprób reszy z modeli RegARIMA i TRAMO maj rozkład normalny (jedynie w modelu TRAMO dla podpróby na poziomie isono ci 5% odrzucono hipoez o sko no ci resz zgodnej z rozkładem normalnym). Tesy Ljung- -Boxa i Boxa-Pierce a na niezale no wykazały isnienie zale no ci pomi dzy opó nieniami sezonowymi w reszach z drugiej z podprób esymowanej za pomoc modelu TRAMO. Zachodzi równie podejrzenie wys powania isonej korelacji opó nie sezonowych resz z modelu RegARIMA w laach Te problemy ze spełnieniem wymaga nało onych na modele wynikaj prawdopodobnie z niskiej liczby dos pnych obserwacji. Dla wszyskich modeli liniowo resz zosała zachowana. 106

108 Analiza prawidłowo ci i diagnosyka dekompozycji szeregu czasowego Porównanie wykresów wska ników sezonowych w obu podpróbach (rysunki i 4.2.4) powierdza, e w okresie obj ym badaniem miała miejsce isona zmiana wzorca sezonowego. Czynnik, kóry najprawdopodobniej miał na o decyduj cy wpływ o zaniechanie inerwencji na rynku ya po przys pieniu Polski do Unii Europejskiej. Rysunek Czynnik sezonowy oszacowany za pomoc meody X-12-ARIMA dla okresu (lewy) i (prawy) Oznaczenia: czarny wska nik SI, niebieski czynnik sezonowy w danym okresie, czerwony rednia waro czynnika sezonowego dla danego okresu. ródło: opracowanie własne, wykonane w pakiecie Demera+. Dla okresu sezonowy wzros cen w pierwszych czerech miesi cach roku wynosił około +5%, naomias w maju i czerwcu wzrasał do, odpowiednio, rednio +6% i +8% (rysunki i 4.2.4). Czynnik sezonowy orzymany ka d z meod dla lipca był bliski 1, co oznacza brak wpływu sezonowo ci na poziom cen. W pi ciu osanich miesi cach roku miał miejsce sezonowy spadek cen od około -10% w sierpniu do -2% w grudniu. Komponen sezonowy zosał oszacowany za pomoc filra redniej ruchomej 3 x 5. Na skuek oddziaływania wspomnianych wcze niej czynników, sezonowy wzros cen w pierwszych miesi cach roku w okresie r. jes znacznie wy szy ni dla pierwszej podpróby. W luym wynosi on rednio +8%, podczas gdy w laach nie przekraczał +5%. Najni sze ceny obecnie obserwuje si w lipcu (-12%), podczas gdy we wcze niejszym okresie czynnik sezonowy dla ego miesi ca był neuralny. Waro ci czynników sezonowych orzymanych dla drugiej podpróby dla czerwca, lipca i sierpnia sysemaycznie rosn, co przemawia za wys powaniem ruchomej sezonowo ci. Z ego powodu dla me- 107

109 ody X-12-ARIMA esowano zasadno zasosowania mieszanych filrów sezonowych i osaecznie wybrano dla sierpnia dłu szy filr (3 x 9) ni dla pozosałych miesi cy (3 x 5). Rysunek Czynnik sezonowy oszacowany za pomoc meody TRAMO/SEATS dla okresu (lewy) i (prawy) Oznaczenia: czarny wska nik SI, niebieski czynnik sezonowy w danym okresie, czerwony rednia waro czynnika sezonowego dla danego okresu. ródło: opracowanie własne, wykonane w pakiecie Demera+. Podsumowuj c, zaniechanie inerwencji na rynku ya wywołało wzros ampliudy sezonowych zmian cen. O ile w laach wynosiła ona rednio od -10% do +8%, o w okresie pó niejszym sezonowe zmiany cen ya zawierały si w przedziale -12% do +10%. Opisane endencje wys puj w obu meodach sezonowej koreky danych ze zbli onym naeniem. Wyniki esów sezonowo ci zamieszczone w abeli powierdzaj wys powanie prawidłowo ci zaobserwowanych podczas analizy graficznej wska ników SI. Dla podpróby z la wykryo obecno ruchomej sezonowo ci, kórej przyczyn jes najprawdopodobniej wys powanie du ej wariancji wska ników SI. Waro ci akie mo na zauwa y w m.in. wynikach X-12-ARIMA dla czerwca (rysunek 4.2.3). Porównuj c waro ci SI dla odpowiednich miesi cy, mo na swierdzi, e w drugiej próbie cechuj si one ni sz zmienno ci. Szczególnie jes o widoczne dla wyników orzymanych meod TRAMO/SEATS. W konsekwencji dla drugiej próby odrzucona zosała hipoeza o wys powaniu ruchomej sezonowo ci (w przypadku TRAMO/SEATS z prawdopodobie swem ponad 80%). Ł czny es sezonowo ci wskazuje, e w ka dym z analizowanych przypadków mo liwe było odró nienie waha sezonowych od zmian innych ypów (sezonowo w szeregach czasowych zosała zi- 108

110 denyfikowana). Wynik esu sezonowo ci rezydualnej wskazuje, e dla obu podprób zasosowanie meod X-12-ARIMA i TRAMO/SEATS pozwoliło na całkowie wyeliminowanie waha sezonowych, gdy w szeregach wyrównanych sezonowo nie zidenyfikowano ego ypu waha. Tabela Tesy sezonowo ci dla wyników meod: X-12-ARIMA i TRAMO/SEATS Tes X-12-ARIMA TRAMO/SEATS Poziom isono ci/wynik Poziom isono ci/wynik Laa Tes Friedmana 0,0000 0,0000 Tes sezonowo ci ruchomej 0,0011 (wys puje sezonowo ruchoma) 0,0000 (wys puje sezonowo ruchoma) Ł czny es sezonowo ci Zidenyfikowano sezonowo w szeregu czasowym Zidenyfikowano sezonowo w szeregu czasowym Tes sezonowo ci rezydualnej Brak sezonowo ci rezydualnej Brak sezonowo ci rezydualnej Laa Tes Friedmana 0,0000 0,0000 Tes sezonowo ci ruchomej 0,1663 (brak sezonowo ci ruchomej) 0,8163 (brak sezonowo ci ruchomej) Ł czny es sezonowo ci Zidenyfikowano sezonowo w szeregu czasowym Zidenyfikowano sezonowo w szeregu czasowym Tes sezonowo ci rezydualnej Brak sezonowo ci rezydualnej Brak sezonowo ci rezydualnej Przyj e poziomy isono ci: Tes Friedmana 1%, Tes sezonowo ci ruchomej 20%, Tes sezonowo ci rezydualnej 10%, Ł czny es sezonowo ci parz rozdział 3. ródło: Opracowanie własne, obliczenia wykonane w pakiecie Demera+. Funkcja g so ci spekralnej komponenu sezonowego orzymanego meod TRAMO/SEATS dla podpróby obejmuj cej laa (rysunek 4.2.5, lewy) wykazuje sosunkowo szerokie piki, co wiadczy o pewnej niesabilno ci ego składnika szeregu czasowego. Z ego powodu cz zmienno ci w pobli u cz so ci sezonowych zosała wł czona do składnika sezonowego, na co wskazuj grube podsawy odpowiedniej funkcji dla ego komponenu (rysunek 4.2.5, prawy). 109

111 Rysunek Funkcje g so ci spekralnej esymaorów komponenów szeregu czasowego (lewy) i kwadray charakerysyk cz soliwo ciowych esymaorów komponenów szeregu czasowego (prawy) meody TRAMO/SEATS dla la Oznaczenia: czerwony rend-cykl, niebieski składnik sezonowy, ró owy komponen nieregularny, granaowy szereg wyrównany sezonowo. ródło: opracowanie własne, wykonane w pakiecie Demera+. Rysunek Funkcje g so ci spekralnej esymaorów komponenów szeregu czasowego (lewy) i kwadray charakerysyk cz soliwo ciowych esymaorów komponenów szeregu czasowego (prawy) meody TRAMO/SEATS dla la Oznaczenia: czerwony rend, niebieski składnik sezonowy, ró owy komponen nieregularny, granaowy szereg wyrównany sezonowo. ródło: opracowanie własne, wykonane w pakiecie Demera+. Odmienne wła ciwo ci esymaorów orzymano dla podpróby z la r. Cechuje je skrajnie deerminisyczny charaker, za czym przemawia sil- 110