Wykład 9 Matematyka ruchu - Principia Newtona a Leibniz

Transkrypt

1 Krótki kurs historii matematyki Wojciech Domitrz MiNI PW Wykład 9 Matematyka ruchu - Principia Newtona a Leibniz

2 Marin Mersenne ( w pobliżu Oizé w Paryżu)

3 Pierre de Fermat ( w Beaumont-de-Lomagne w Castres)

4 Twierdzenie Fermata o sumie dwóch kwadratów Każda liczba pierwsza równa 1 modulo 4 jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

5 Małe twierdzenie Fermata Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to dla dowolnej liczby całkowitej a, liczba a p a jest podzielna przez p. Ogłoszone bez dowodu w 1640 w liście do przyjaciela, udowodnione 100 lat później przez Eulera

6 Wydanie z 1670 Wociech Domitrz Krótki Kurs Historii Matematyki

7 Wielkie twierdzenie Fermata Dla liczby naturalnej n > 2, nie istnieją takie dodatnie liczby naturalne x, y, z, które spełniałyby równanie x n + y n = z n. znalazłem zaiste zadziwiający dowód tego twierdzenia. Niestety, margines jest zbyt mały, by go pomieścid.

8 Sławny wąski margines

9 Andrew Wiles ur Podał dowód w 1994 wielkiego twierdzenia Fermata Dowód zawiera ponad 100 stron formatu A4. Wyrażony jest w języku topologii i krzywych Eliptycznych. Zdjęcie: copyright C. J. Mozzochi, Princeton N.J

10 Geometria analityczna Fermata Równania krzywych stożkowych (Isagoge,1679) y=mx, xy=k², x²+y²=a², x²+a²y²=b², x²-a²y²=b² Metody wyznaczania pól i objętości. Posługiwał się przy tym wieloma regułami znanymi dziś jako: zamiana zmiennych, dzielenie przedziału całkowania, całkowanie przez części Lemat o znikaniu pochodnej w ekstremach.

11 Evangelista Torricelli ( w Faenzy we Florencji)

12 Róg Gabriela (Torricelli) Skooczona objętośd figury ograniczonej Nieskooczone pole powierzchni

13 Bonaventura Francesco Cavalieri ( )

14 Zasada Cavalieriego Pierwsza wersja: Figury (bryły) mają równe pola (objętości), gdy mają równe przekroje. Krytyka Torricielliego: Wniosek. Dowolne dwa trójkąty prostokątne mają jednakowe pole.

15 Zasada Cavalieriego Poprawna wersja: Dwie figury, których przecięcia z dowolną spośród prostych (płaszczyzn) równoległych do wybranej prostej (płaszczyzny) są jednakowej długości (mają jednakowe pole), mają równe pola (objętości).

16 Bonaventura Cavalieri Geometria indivisibilibus quadam ratione promota (1635)

17 Nieskooczonośd aktualna Euler

18 Nieskooczonośd aktualna Guido Grandi ( )

19 Izaak Barrow ( )

20 Podstawowe Twierdzenie Analizy Matematycznej zmiennośd stanu wywołanego jakąś zmiennością jest tą właśnie zmiennością (1670) szukanie pola pod wykresem i operacja szukania stycznej do wykresu to operacje odwrotne

21 Izaak Newton ( w Woolsthorpe-by-Colsterworth w Kensington)

22

23 Method of Flouxions napisana 1671, wydana 1736 Zmienne to fluenty Pochodne zmiennych to fluksje W równaniu za każdą ze zmiennych podstawiamy tę zmienną plus jej pochodną pomnożoną przez o Wykonujemy redukcję Skracamy równanie przez o w najwyższej możliwej potędze Usuwamy wyrazy zawierające o

24 Różniczkowanie wg Newtona za podstawiamy za podstawiamy

25 Principia 1687

26 Principia 1687

27 Prawa dynamiki Newtona Istnieją ciała, które poruszają się ze stałą prędkością po prostej (układy inercjalne) Pojawienie się przyspieszenia ruchu ciała obserwowanego z inercjalnego układu odniesienia jest równoważne temu, że ciało to podlega działaniu jakiegoś innego ciała Każde ciało działające na inne pewną siłą podlega działaniu siły przeciwnej, pochodzącej od tego drugiego ciała.

28 Żart Gaussa o Newtonie i jabłku Pewnego razu głupiec zapytał Newtona o to, jak odkrył prawo powszechnego ciążenia. Widząc, z kim ma do czynienia i chcąc się pozbyd natręta, Newton odpowiedział, że spadające jabłko trafiło go w nos. I głupiec odszedł zadowolony, że teraz już wie.

29 Z notatek Royal Society M. Kordos Wykłady z historii matematyki Edmund Halley: Jak wygłąda siła, która powoduje, że planety krążą po orbitach eliptycznych? Izaak Newton: Odwrotnośd kwadratu. Edmund Halley: Skąd Pan wie? Izaak Newton: Po prostu obliczyłem.

30 Z I prawa Keplera i tw. cosinusów P S r φ 2εa 2a-r Z II prawa Keplera Z podstawowego Tw. Analizy (B) Siła wywołująca ruch działa wzdłuż promienia Słooce-planeta

31 Różniczkując i mnożąc przez r równanie Korzystając z równao (A) i (B) Różniczkując (A) Korzystając z (A) i (B) Z II prawa Keplera Z III prawa Keplera Z III zasady dynamiki

32 Arithmetica

33 Herb Sir Izaaka Newtona

34 Gród Newtona (Westminster Abbey)

35 Gottfried Wilhelm Leibniz ( w Lipsku w Hanowerze)

36 Symbolika i nazewnictwo rachunku różniczkowego i całkowego Differentialis (dzielący) Integralis (łączący)

37 Teoria monad Monada liczby rzeczywistej x to odcinek (x-dx,x+dx) zawierający tylko tę jedną liczbę rzeczywistą. dx jest dodatnie, ale mniejsze od dowolnej liczby rzeczywistej. dx jest nieskooczenie mała. 1/dx jest nieskooczenie wielka

38

39 Maszyna licząca Leibniza

40 Royal Society (1660)

41 Jacob Bernoulli

42 Johann Bernoulli

43 Matematyczna mafia Jacob Bernoulli ( ) Johann Bernoulli ( ) Nicolaus I Bernoulli ( ) Nicolaus II Bernoulli ( ) Daniel Bernoulli ( ) Johann II Bernoulli ( Johann III Bernoulli ( ) Jacob II Bernoulli ( )

44 Nicolaus II Bernoulli

45 Daniel Bernoulli

46 Leonard Euler ( )

47 886 prac Eulera

48 Charakterystyka Eulera W dowolnym wielościanie wypukłym (bez dziur) prawdziwy jest następujący wzór: Ś-K+W=2 Ś liczba ścian, K liczba krawędzi, W liczba wierzchołków.

49

50 Problem mostów królewieckich Autor: Bogdan Giuşcă na wikipedia

51 Bibliografia Marek Kordos,,Wykłady z historii matematyki SCRIPT, Warszawa Witold Więsław,,Matematyka i jej historia, NOWIK, Opole Simon Gindikin,,Tales of mathematicians and physicists Springer, Leszek Kołakowski,,Mini wykłady o maxi sprawach Wyd. Znak, Kraków Ian Stewart,,Oswajanie nieskooczoności. Historia matematyki Prószyoski i S-ka, Warszawa Wikipedia, hasła różne i linki zewnętrzne do nich. Michał Szurek,,Matematyka dla humanistów RTW, Warszawa Philip J. Davis, Reuben Hersh,,Świat matematyki Warszawa PWN Marcus du Sautoy The Story of Maths, Serial BBC4, 2008 (w Polsce,,Historia matematyki Planete) Izabela Bondecka-Krzykowska Przewodnik po historii matematyki Wudawnictwo Naukowe UAM, Poznao A. P. Juszkiewicz Historia matematyki wieków średnich Paostwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa Dirk J. Struik Krótki zarys historii matematyki do kooca XIX wieku Paostwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa Historia matematyki pod redakcją A. P. Juszkiewicza, Paostwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa Wojciech Domitrz,,Krótki kurs historii matematyki''