Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 8 Funkcje w matematyce szkolnej

Transkrypt

1 Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 2016/2017 Wykład 8 Funkcje w matematyce szkolnej

2 Co to jest objętość? Wyniki ankiety Objętość jest to przestrzeń jaką zajmuje dana figura. Ilość sześcianów 1 1 1, które zmieszczą się w danej figurze przy odpowiednio małej jednostce. Ilość sześcianów jednostkowych wewnątrz danej bryły. Ilość sześcianów jednostkowych wewnątrz obiektu trójwymiarowego (granica coraz mniejszych sześcianów). Objętość to miara ilości miejsca zajmowanego przez ciało w przestrzeni trójwymiarowej. Miara pojemności pewnej bryły. Objętość jest liczbą, która określa nam, ile potrzeba np. płynu lub piasku do wypełnienia danego obiektu, bryły, np. ile potrzeba wody, aby wypełnić do pełna wazon. Jest to funkcja przyporządkowująca danemu obiektowi przestrzeni 3- wymiarowej pewną nieujemną wartość. Jest to ilość sześcianów jednostkowych, np. 1 cm 3, 1 dm 3, która mieści się w danym obiekcie. Objętość jest to wielkość przestrzeni, która jest wypełniona lub może być wypełniona. Objętość to suma jednostkowych sześcianów, które wypełniają przestrzeń. Objętość powierzchnia jaką zajmuje dany obiekt w przestrzeni trójwymiarowej.

3 Zmienność w życiu codziennym czas przemija temperatura się waha wiatr się zmienia dzień się wydłuża cele się zmieniają nastrój się zmienia odporność na choroby się zmienia

4 Dzień się wydłuża Dzień się wydłuża oznacza, że na przykład, gdy ustalimy jako punkt zerowy datę 21 marca (zrównanie dnia z nocą), to długość dnia będzie codziennie rosła, zmieniała się. Zatem matematycznie rzecz ujmując, określenie dzień się wydłuża oznacza funkcję, która wraz ze zmianą dnia (zmienna niezależna) określa zmianę długości dnia (zmienna zależna).

5 Funkcje uwagi historyczne Wcześniejsze wydarzenia matematyczne: wprowadzenie liczb rzeczywistych i liczb zespolonych (Bombelli, Stifel); stworzenie algebry symboli (Viète, Kartezjusz); badanie ruchu jako centralnego problemu nauki (Kepler, Galileusz); połączenie geometrii i algebry (Fermat, Kartezjusz).

6 Funkcje epizody z historii XVII wiek, rachunek różniczkowy i całkowy; Newton i Leibniz omijali funkcje, zajmowali się krzywymi. W 1692 roku Leibniz wprowadził określenie funkcja jako obiekt związany z krzywą. W 1718 roku Johann Bernoulli podał następującą definicję: Funkcją wielkości zmiennej nazywamy analityczne wyrażenie utworzone w dowolny sposób za pomocą tej wielkości oraz stałych.

7 Funkcje epizody z historii W Introductio in Analysin Infinitorum (1748) Euler napisał: Funkcją wielkości zmiennej nazywamy analityczne wyrażenie utworzone w dowolny sposób za pomocą tej wielkości oraz za pomocą liczb i wielkości stałych. Kolejny etap to definicja Dirichleta: y jest funkcją zmiennej x określonej na przedziale, jeśli każdej wartości x z tego przedziału odpowiada jednoznacznie określona wartość y. Ponadto, nie ma znaczenia, w jaki sposób określono to przyporządkowanie. Koniec XIX wieku: Abstrakcyjna definicja funkcji (dziedziną oraz przeciwdziedziną funkcji mogą być dowolne zbiory). XX wiek: teoria kategorii, ogólniejsze pojęcie funkcji morfizmy.

8 Funkcje zasada trzech etapów Funkcje etap enaktywny

9 Funkcje etap enaktywny

10 Kształtowanie pojęcia funkcji przykład z programem Cabri x^2=5.61 x^2= (2.37, 0.00) 1 1 (2.37, 0.00) 1 1 (2.37, 0.00)

11 Doświadczenia fizyczne Przykład 1 (szkoła średnia) Uczniowie, podzieleni na grupy, obserwują swobodny spadek ciał, przyporządkowując wysokości, z jakiej spada np. kulka plasteliny, czas tego spadania. Wyniki pomiarów mogą zapisywać w wybrany przez siebie sposób.

12 Lekcja z CBR Oto plan lekcji: Uczniowie wykonują wykres obrazujący zależność przebytej drogi od czasu w ruchu jednostajnym. Uczniowie za pomocą wykresu ilustrują zmiany prędkości w zależności od czasu w ruchu jednostajnym. Uczniowie za pomocą wykresu ilustrują zmiany prędkości w zależności od czasu w ruchu jednostajnie przyśpieszonym. Uczniowie na wykresie próbują zilustrować zmiany przebytej odległości w zależności od czasu w ruchu jednostajnie przyśpieszonym. CBR: rejestracja ruchu dwóch obiektów, nieruchomej ściany oraz poruszającego się ucznia. Uczniowie na ekranie mogą zobaczyć trzy wykresy obrazujące zależność odległości (drogi), prędkości i przyśpieszenia przy zmieniającym się czasie. CBR (opcja MATCH): Program RANGER zainstalowany w kalkulatorze generuje różne wykresy przedstawiające zależność odległości poruszającego się obiektu przy zmieniającym się czasie. Zadaniem uczniów jest poruszanie się tak, aby ich ruch jak najdokładniej przypominał ruch wygenerowany przez kalkulator.

13 Doświadczenia fizyczne Przykład 2 (szkoła średnia) Do tego doświadczenia potrzebny jest CBR (urządzenie do rejestracji i analizy ruchu) oraz kalkulator TI 83. Urządzenie CBR (Calculator Based Ranger) emituje fale, które, odbijając się od obiektu poruszającego na linii emisji fal, wracają do CBR; zebrane dane przesyłane są do kalkulatora, w którym można wyświetlić funkcje: odległość obiektu od CBR w zależności od czasu, prędkość tego obiektu i przyśpieszenie.

14 Kształtowanie pojęcia funkcji etap Przykład (dobry) ikoniczny

15 Kształtowanie pojęcia funkcji etap Przykład (nie najlepszy) ikoniczny

16 Kształtowanie pojęcia funkcji etap ikoniczny

17

18

19 Matematyka 2001

20 Matematyka 2001

21 Matematyka 2001

22 Matematyka 2001

23 MEI

24 MEI

25 MEI

26 MEI

27 Funkcje etap ikoniczny

28 Funkcje etap ikoniczny

29 Funkcje etap symboliczny Gimnazjum

30 SŚ Funkcje etap symboliczny

31 Z podręcznika Kuratowskiego Wstęp do teorii mnogości i topologii

32 Zadanie domowe Podaj swoje własne pomysły na enaktywne i ikoniczne etapy wprowadzania pojęcia funkcji na poziomie: a) klas VII-VIII szkoły podstawowej b) szkoły średniej Ile jest wszystkich przyporządkowań ze zbioru m-elementowego w zbiór n-elementowy, które są funkcjami?

33 Zagadnienia do egzaminu-kolokwium Liczby naturalne w nauczaniu szkolnym i liczby naturalne matematycznie. Liczby całkowite w nauczaniu szkolnym i liczby całkowite matematycznie. Liczby wymierne w nauczaniu szkolnym i liczby wymierne matematycznie. Liczby rzeczywiste w nauczaniu szkolnym i liczby rzeczywiste matematycznie. Streść artykuł Romana Sikorskiego Czy liczby rzeczywiste są rzeczywiste? (miesięcznik Delta, październik 1974) Długość w nauczaniu szkolnym i długość matematycznie. Pole w nauczaniu szkolnym i pole matematycznie. Objętość w nauczaniu szkolnym i objętość matematycznie.

34 Zagadnienia do egzaminu-kolokwium Modelowanie pojęcia funkcji w szkole ze szczególnym uwzględnieniem etapów enaktywnego i ikonicznego. Modelowanie pojęcia ciągłości funkcji. Modelowanie pojęcia różniczkowalności funkcji. Definiowanie funkcji wykładniczej, własności tej funkcji. Szkic dowodu twierdzenia Picka. Dowody niewymierności liczby 2. Całkowe wyprowadzenia wzorów na długość okręgu, pole okręgu, pole powierzchni kuli, objętość kuli. Lang: Co to jest Pi?, Objętości w wyższych wymiarach, Kula i jej objętość, Pole powierzchni kuli.