RÓŻNE FORMY ZAPISU DOWODÓW TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH W SAMODZIELNEJ PRACY UCZNIÓW

Transkrypt

1 Zespół Szkół Zawodowych nr1 w Zakopanem RÓŻNE FORMY ZAPISU DOWODÓW TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH W SAMODZIELNEJ PRACY UCZNIÓW Autor: mgr Jolanta Knapik

2 2 Wstęp Sposób uzasadniania twierdzeń i jego zapis należą do specyficznych cech matematyki. Stanowią istotę matematycznej metody, która nie odnosi się tylko do tej jednej dziedziny wiedzy, ale ingeruje w wiele sfer działalności ludzkiej. Każdy z nas spotyka się na co dzień z koniecznością dokonywania wyboru, prowadzi określoną politykę, przekonuje do własnych racji w oparciu o racjonalne przesłanki i przyjęte założenia. W toku tych działań bardzo przydaje się rozwinięta przez szkołę precyzja i ścisłość dowodzenia. Cechy te eksponuje odpowiedni zapis rozumowań,ajegoróżne formy akcentują dodatkowo określone aspekty konstrukcji myślowej. Sugeruje to, jak istotna jest technika przeprowadzania dowodów i umiejętność ich zapisu, kształcone w trakcie nauki szkolnej. Aby zachęcić moich uczniów do dowodzenia twierdzeń matematycznych skorzystałam z twierdzenia znajdującego się w podręczniku Z. Krygowskiej do geometrii dla klas II liceum ogólnokształcącego. Zapis słowny dowodu, znajdujący się w podręczniku uzupełniłam o własne zapisy: ciągowy, strzałkowy i filmowy. Zapisy te bardzo rzadko występują w podręcznikach i na lekcjach matematyki. Organizacja i przebieg badań Lekcję przeprowadziłam z uczniami klasy trzeciej liceum ogólnokształcącego o profilu ogólnym. Uczniowie pracowali w ośmiu grupach trzy - czteroosobowych. Każda grupa pracowała samodzielnie, dopuszczalne jednak były pytania do prowadzącego owyjaśnienia i wskazówki, o czym uczniowie zostali poinformowani przed rozpoczęciem pracy. Eksperyment trwał jedną godzinę lekcyjną, uczniowie byli pod moją bezpośrednią obserwacją. Przebieg badań był następujący: Każda grupa otrzymała jeden zestaw zawierający tekst twierdzenia nr 1 z gotowym dowodem do przeanalizowania i zadanie do samodzielnego rozwiązania. Treść twierdzenia nr 1: Suma miar dwóch kątów wpisanych w uzupełniające się łuki okręgu jest równa 180 o. Dwie grupy pracowały z dowodem słownym, dwie z dowodem ciągowym, dwie z dowodem strzałkowym oraz dwie z dowodem filmowym (Dowody twierdzeń są przedstawione na stronach:3,4,5,6mojejpracy). Przed wszystkimi uczniami było postawione zadanie: Uzasadnij twierdzenie nr 2: Dwa kąty wpisane i oparte na tym samym łuku okręgu są równe.

3 3 Dowód: Niech < ADB i < ACB będą kątami wpisanymi w okrąg i opartymi na tym samym łuku okręgu. Z twierdzenia nr 1 i z założeń mamy, że <ACB + <AEB = 180 o i <ADB + <AEB = 180 o zatem <ACB = <ADB. Cel badań iwstępne hipotezy Zastosowanie różnych form zapisu dowodu twierdzenia nr1miało służyć wyciągnięciu wniosków dotyczących samodzielnej pracy uczniów nad dowodem tego samego twierdzenia, zapisanym w różnych konwencjach. Które z form są najłatwiej przyswajalne i zrozumiałe dla uczniów, a które powodują trudnościijakie? Zrozumienie istoty podanego w zestawie twierdzenia nr 1 i jego dowodu umożliwiało uczniom samodzielne rozwiązanie zadania. Problemowo wiązało się ono ściśle z pierwszą częścią zestawu i to zdecydowało o ich wyborze. W założeniu, uczniowie powinni przeanalizować treść twierdzenia wraz z dowodem. Niekonieczne było przy tym sporządzanie notatek. Poprawne i dokładne wykonanie tego polecenia pozwalało uczniom rozwiązać zadanie. Tutaj uczniowie zobowiązani byli już do opisywania toku rozumowania i zapisywania wniosków. W efekcie powinni udowodnić twierdzenie. Analiza uzyskanych rezultatów Tylko trzy grupy samodzielnie i poprawnie udowodniły twierdzenie nr 2. Były to grupy pracujące z dowodem strzałkowym, ciągowym i filmowym do twierdzenia nr 1. Przy czym grupa pracująca z dowodem zapisanym w postaci strzałkowej na początku nie wiedziała jak zabrać się do analizy takiego dowodu. Dopiero wyjaśnienie roli strzałek w zapisie pozwoliło jej przystąpić do pracy. Grupa pracująca z dowodem filmowym, robiła to z zainteresowaniem i zapałem. Uczniowie byli zafascynowani tym, że za pomocą rysunków można przedstawić dowód twierdzenia. Grupa pracująca z dowodem ciągowym samodzielnie przeanalizowała dowód twierdzenia nr 1 i udowodniła twierdzenie nr 2. Cztery grupy pracujące z dowodem zapisanym w sposób słowny, lub ciągowy, lub strzałkowy samodzielnie przeanalizowały dany dowód. Kłopoty rozpoczęły się w drugiej części zestawu. Uczniowie bowiem bezmyślnie próbowali powielać tam - gotowe, zapisane dowody, nawet w takich samych formach notacji. Również przy sporządzaniu rysunków wzorowano się

4 4 na rysunkach odnoszących się do pierwszego twierdzenia. Dopiero po mojej sugestii, aby wykonali rysunki odpowiednie dla dowodzonego twierdzenia, a nie już udowodnionego, trzy grupy przeprowadziły poprawne dowody. Czwarta grupa dopiero po mojej dodatkowej podpowiedzi, aby odwołała się do samej treści twierdzenia nr 1, pomijając jego dowód, udowodniła twierdzenie nr 2. Tylko jedna grupa nie przeprowadziła poprawnego dowodu. Grupa ta pracowała z dowodem filmowym. Wciągu całej lekcji usiłowała ona zrozumieć tak dziwnie ( jak to określiła) zapisany dowód. Robiła to z moją pomocą. Jej praca ograniczyła się do jednokrotnego przeanalizowania dowodu filmowego. Zadaniem uczniów było przeanalizowanie dowodu jednego twierdzenia i w oparciu o nie przeprowadzenie krótkiego i prostego dowodu innego twierdzenia. Okazało się, że stwarzało to uczniom poważne trudności, wynikające z nieumiejętności wiązania znanych faktów matematycznych. Poza tym okazało się, że uczniowie najchętniej zapisują dowody w sposób słowny, bądź słowno ciągowy. Potwierdza to fakt, żesą to formy najczęściej wykorzystywane na lekcjach matematyki, zarówno przy odczytywaniu jak i redagowaniu dowodów. Podsumowanie Opierającsię na wynikach przeprowadzonego badania oraz na obserwacji uczniów na lekcjach matematyki mogę powiedzieć, że forma zapisu dowodu twierdzenia jest elementem wpływającymnaprzyswajaniebądź redagowanie dowodów, ale decydujące znaczenie ma stopień przygotowania uczniów do samodzielnej pracy nad tekstem dowodu twierdzenia. Dokonana analiza oraz doświadczenie nasuwają wniosek mówiący, że trudności uczniów w dowodzeniu twierdzeń spowodowane są następującymi czynnikami: 1. Dominacja w podręcznikach i na lekcjach matematyki słownej i ciągowej formy notacji dowodów. Brak urozmaicenia formy zapisu dowodów w procesie nauczania; niewykorzystanie form: filmowej, w postaci drzewa i strzałkowej. 2. Nieumiejętność samodzielnej pracy nad gotowym tekstem dowodu twierdzenia i nad redagowaniem dowodu. 3. Pomijanie w nauczaniu problemu wykorzystania dowodu jednego twierdzenia, bądź treści samego twierdzenia dla dowodu innych twierdzeń. 4. Nie stosowanie w nauczaniu zadań na dowodzenie wykorzystujących analogie dowodów pewnych znanych twierdzeń. 5. Brak logicznego myślenia. Twierdzenie nr 1: Suma miar dwóch kątów wpisanych w uzupełniające się łuki okręgu jest równa 180 o. Wniosek wykorzystany w dowodzie twierdzenia nr 1: Jeżeli odcinek AC jest cięciwą okręgu o(o;r) i P jest punktem należącym do odcinka AC, to AP * PC = r 2 OP 2 Dowód słowny: Przypuśćmy, że <ABC i <ADC są wpisane w dwa uzupełniające się łuki okręguo(o;r). Wtedy punkty D i B leżą po przeciwnych stronach prostej AC, a więc odcinek BD przecina tą

5 5 prostą wjakimś punkcie P różnymodbid.pnależydoodcinkabd,awięc P jest punktem wewnętrznym koła k (O;r) (bo koło jest figurą wypukłą). Na podstawie powyższego wniosku mamy, że AP * CP = r 2 - OP 2 = BP * DP. Stąd wnosimy, że AP : BP = DP : CP, a więc ABP ~ DPC i BPC ~ APD. Zatem: <ABP = <PCD i <CBP = <PAD. Ponieważ suma miar kątów trójkąta o wierzchołkach A, D, C jest równa 180 o, więctakże <ABC + <ADC = 180 o. Dowód ciągowy: Niech kąty: <ABC i <ADC będą wpisane w dwa uzupełniające się łuki okręguo(o;r). 1. Punkty B i D leżą po przeciwnych stronach odcinka AC BD AC = {P} P wnętrza k (O;r) AP * CP =r 2 - OP 2 = BP * DP AP = BP DP CP ABP ~ DPC BPC ~ APD < ABP = < PCD < CBP = < PAD < ABC + < ADC = 180 o.

6 6 Dowód strzałkowy: <ABC i <ADC - kąty wpisane w dwa uzupełniające się łuki okręgu o(o;r) Punkty B, D leżą po przeciwnych stronach odcinka AC BD AC = {P} Koło jest figurą wypukłą P wnętrza k(o;r) odpowiedni wniosek AP * CP =r 2 - OP 2 = BP * DP cecha bkb podobieństwa trójkątów AP = BP DP CP < APB < DPC ABP ~ DPC BPC ~ APD < ABP = < PCD tw. o sumie miar < CBP = <PAD kątów w trójkącie < ABC + < ADC = 180 o

7 7 Dowód filmowy:

8 8 Literatura wykorzystana: 1. Konior J.: Z zagadnień dowodzenia twierdzeń w nauczaniu szkolnym matematyki, Uniwersytet Śląski Krygowska Z.: Geometria (podręcznik dla klasy II liceum ogólnokształcącego), WSiP Warszawa 1976