WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO

Transkrypt

1 Ćwiczenie 0 WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO 0.1. Wiadomości oóne Wahadłem fizycznym nazywamy ciało sztywne, zawieszone na poziomej osi nie przechodzącej przez jeo środek ciężkości (rys. 0.1). Po wychyeniu wahadła z położenia równowai będzie ono wykonywać drania pod wpływem siły ciężkości P = m (m masa ciała, przyspieszenie ziemskie), przyłożonej w środku ciężkości C wahadła. Jeżei w danej chwii wahadło jest wychyone o kąt ϕ, działający na nie moment siły ciężkości wzędem osi obrotu O wynosi M = P x = ma sinϕ, (0.1) dzie: x ramię siły ciężkości, a odełość środka ciężkości od osi obrotu. Znak minus uwzędnia fakt, że moment siły ciężkości powoduje obrót wahadła w kierunku O przeciwnym do kierunku jeo wychyenia. Wiedząc, że da małych kątów sin ϕ ϕ (kąt ϕ jest wyrażony ϕ w radianach), i wprowadzając oznaczenie a x C B D = ma (0.) możemy przepisać wzór (3.1) w postaci m S P Rys. 0.1 dzie: I moment bezwładności ciała wzędem osi obrotu, ε = d ϕ/dt przyspieszenie kątowe. Porównując (0.3) i (0.4), otrzymamy równanie które jest równaniem ruchu drająceo o okresie drań M = Dϕ. (0.3) Współczynnik proporcjonaności D w tym wzorze nazywamy momentem kierującym. Zodnie z II zasadą dynamiki, ruch obrotowy ciała sztywneo opisuje równanie M = I ε, (0.4) d ϕ D = ϕ, (0.5) dt I 1

2 dzie: D moment kierujący. I T = π, (0.6) D W przypadku wahadła fizyczneo D = ma (wzór 0.), więc okres I T = π. (0.7) ma Wprowadźmy teraz wiekość zwaną dłuością zredukowaną wahadła fizyczneo. Dłuość zredukowana wahadła fizyczneo o masie m jest to dłuość nici 1 takieo wahadła matematyczneo, któreo okres wahań T = π (0.8) jest równy okresowi wahań daneo wahadła fizyczneo, a jeo masa jest skupiona w punkcie S (rys. 0.1). Porównując (0.7) z (0.8), otrzymujemy: T I = =. (0.9) ma Punkt S na prostej OC, znajdujący się w odełości od osi obrotu (rys. 0.1), nazywamy środkiem wahań wahadła fizyczneo. Moment bezwładności I wahadła fizyczneo zaeży od odełości a jeo środka ciężkości od osi obrotu O. Zodnie z twierdzeniem Steinera I = I C + ma, (0.10) dzie: I C moment bezwładności wahadła wzędem osi przechodzącej przez środek ciężkości, równoełej do osi zawieszenia. Podstawiając (0.10) do (0.7), otrzymamy co prowadzi do równania I ma T = π (0.11) ma C + ma T ma + I C = 0, (0.1) które ma dwa różne pierwiastki okreśające dwie różne odełości a 1 i a środka ciężkości wahadła od osi obrotu O odpowiadające temu samemu okresowi T wahań wahadła. Ze wzoru na sumę pierwiastków równania kwadratoweo (0.1), otrzymujemy T a1 + a = =, (0.13) a więc suma obu odełości jest równa dłuości zredukowanej wahadła fizyczneo.

3 Wniosek ten jest podstawą wyznaczania przyspieszenia ziemskieo za pomocą wahadła rewersyjneo. O 1 Wahadło rewersyjne (odwracane) jest specjanym typem wahadła fizyczneo pozwaającym na bardzo proste wyznaczenie jeo a 1 dłuości zredukowanej. Wahadło rewersyjne jest bryłą, którą można koejno zawieszać na dwóch równoełych osiach O 1 i O, C znajdujących się po przeciwnych stronach środka ciężkości C (rys. 0.). Odełości a 1 i a (a 1 a ) środka ciężkości C od osi obrotu a dobiera się tak, aby okresy wahań wahadła zawieszoneo na obu O osiach były jednakowe. Jeżei osie O 1 i O eżą w jednej płaszczyźnie ze środkiem ciężkości wahadła, to dłuość zredukowana wahadła jest równa odełości między osiami: = a 1 + a (rys. 0.). Mierząc okres wahań T tak dobraneo wahadła, wyznacza Rys. 0. się wartość przyspieszenia ziemskieo na podstawie wzoru (0.8). Ponieważ odełość między punktami O 1 O może być ustaona i zmierzona z dużą dokładnością, pomiar przyspieszenia ziemskieo za pomocą wahadła rewersyjneo jest stosunkowo precyzyjny. 0.. Zadania Zbadać zaeżności okresów wahań T 1 i T wahadła rewersyjneo, zawieszoneo koejno na obu osiach, od położenia h ruchomeo ciężaru (rys. 0.3) Sporządzić wykres zaeżności okresów wahań T 1 i T od położenia h ruchomeo ciężaru. Zaznaczyć na wykresie niepewności pomiarów T 1 i T. Wyznaczyć z wykresu położenie ciężarka h o, przy którym T 1 = T Zmierzyć okresy wahań T 1 i T da położenia h o. Sprawdzić, czy T 1 = T w ranicach dokładności pomiarów. W przeciwnym przypadku powtarzać pomiary, zmieniając nieznacznie położenie ciężaru, aż do uzyskania równości okresów T 1 = T Obiczyć przyspieszenie ziemskie i oszacować niepewność jeo pomiaru Zasada i przebie pomiarów Najczęściej spotykaną konstrukcją wahadła rewersyjneo jest wahadło Katera (rys. 0.3). Składa się ono z metaowej sztaby, na której osadzone są dwa ciężary o opływowym kształcie i dwóch zwróconych ku sobie, zamocowanych na stałe, metaowych ostrzy O 1 i O stanowiących osie obrotu wahadła. Ciężar B, który można przesuwać wzdłuż wahadła, 3

4 zmieniając położenie jeo środka ciężkości, znajduje się między ostrzami, a ciężar A na zewnątrz. Na sztabie nacięta jest skaa, która umożiwia odczyt położenia ruchomeo ciężaru oraz odełości obu ostrzy. Z uwai na przybiżony charakter wzoru (0.8) pomiary naeży wykonywać przy małej ampitudzie wahań, nieprzekraczającej wartości kąta wychyenia ϕ 0 = 5. Rozpoczynając pomiary przesuwamy ruchomy ciężar A jak najbiżej ostrza O 1 i zawieszamy wahadło na jednym z ostrzy, np. O 1. A Odczytujemy położenie h ciężaru B i mierzymy czas t 1 iczby n = 0 pełnych wahnięć. Obiczamy okres wahań wahadła T 1 = t 1 /n. Kontynuujemy 0 pomiary, zwiększając odełość między ostrzem O 1 i ciężarem B co h = 5 1 cm do momentu, dy ciężar znajdzie się pośrodku wahadła. Odwracamy wahadło i zawieszamy je na druim ostrzu, O. Wyznaczamy okresy wahań B wahadła T = t /n da tych samych położeń h ciężaru B co poprzednio. W ceu oszacowania niepewności t pomiarów czasów t 1 i t jeden z pomiarów powtarzamy 3 5 razy da ustaonej wartości h. h Sporządzamy następnie wykres zaeżności okresów drań T 1 i T od odełości h (rys. 0.4). Odcięta punktu P przecięcia krzywych okreśa w przybiżeniu położenie h o ciężaru, przy którym T 1 = T. Ustawiamy ciężar B w tym położeniu i wyznaczamy okresy drań T 1 i T da n = 100 wahnięć przy zawieszeniu wahadła na ostrzach O 1 i O. Sprawdzamy, czy są one 0 równe w ranicach niepewności pomiarów T, tj. czy T 1 T T. Jeżei różnica okresów T 1 i T jest większa, przesuwamy ciężar o h 1 cm w jedną ub w druą stronę i powtarzamy pomiary. Da łatwiejszeo okreśenia właściweo położenia ciężaru nowe rezutaty również nanosimy Rys. 0.3 na wykres, zaęszczając punkty pomiarowe. Po uzyskaniu zadawaającej zodności obu okresów drań obiczamy ich średnią T1 + T =. (0.15) Tśr Odełość O 1 O między ostrzami, równą dłuości zredukowanej wahadła podano przy zestawie pomiarowym. Przyspieszenie ziemskie obiczamy ze wzoru =, (0.16) T śr który wynika ze wzoru (0.8). T P h 0 Rys. 0.4 T T1 h 4

5 0.4. Ocena niepewności pomiarów Niepewność t pomiarów czasów t 1 i t szacujemy jako niepewność systematyczną (wzór(3) Wstęp). Niepewność pomiarów okresów wahań T 1 i T oraz ich wartości średniej T obiczamy ze wzoru T 1 = T = T = t/n. Za niepewność pomiaru odełości = O 1 O przyjąć = 0,5 mm. Niepewność pomiaru przyspieszenia ziemskieo obiczamy metodą różniczki oarytmicznej ze wzoru (0.16), jako wzędną niepewność złożoną (wzór (15) Wstęp) T δ = = +, (0.17) T a bezwzędną niepewność systematyczną w wyznaczaniu przyspieszenia ziemskieo obiczamy ze wzoru = δ. (0.18) Uwai 1. Wahadło rewersyjne jest ciężkim przyrządem. Da uniknięcia wypadku ub uszkodzenia wahadła naeży podczas pomiarów zachować ostrożność, zwłaszcza przy zmianie jeo zawieszenia.. W trakcie ćwiczenia wykonuje się prowizoryczny wykres zaeżności T 1 i T od h. Naeży w tym ceu zaopatrzyć się w miimetrowy papier i przybory kreśarskie. Literatura [1] Massaski J., Massaska M.: Fizyka da inżynierów, cz. I. Warszawa: WNT [] Szydłowski H.: Pracownia fizyczna. Warszawa: PWN